专题七 解三角形
一、选择题
1.在△ABC中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,则AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为 ( )
A.2π3 B.
5π
6 C.
3π
4 D.
π
3
3.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=1,则3 sinB=
( )
A.1 B.55 9 C.
5
3 D.1
4.在△ABC中,若A=60°,B=45°,a=3 2,则b= ( )
A.4 3 B.2 3 C.3 D.32
5.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站南偏西40°,
灯塔B 在观察站南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
6.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,b=4,cosC=4,则5 △ABC
的面积是
( )
A.8 B.6 C.4 D.2
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acosB=c,则△ABC的形状一定是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
8.如图所示,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C 两地测得A 点的
仰角分别为30°和45°,则A 点离地面的高AB 等于 ( )
A.10m B.5 3m
C.5(3-1)m D.5(3+1)m
9.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积S 3△ABC= ,则边2 BC
的长为 ( )
A.3 B.3 C.7 D.7
10.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得AC 的长度为4m,A=
30°,则其跨度AB 的长为 ( )
A.12m B.8m
C.2 3m D.4 3m
·13·
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
12.在△ABC中,b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆面积为 ( )
A.196 B.196π3 3 C.
49
3 D.
49π
3
二、填空题
13.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15 3,△ABC的外接圆半径为 3,则边c的长为 .
14.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则c= .
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=8,B=60°,C=75°,则b= .
16.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD 的高度分别为20m,50m,BD 为水平面,则从建筑物
AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 .
三、解答题
17.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c= 3,b=1,C=120°.求:
(1)B 的大小;
(2)△ABC的面积S.
18.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=45°,b=4 5,sinB=2 5.求:5
(1)c的值;
(2)sinA 的值.
·14·参考答案
所以a≥1或a≤-2.
第一部分 合格考专题考点卷 又因为p,q都为真命题,
a≤1,所以 所以a a a≤-2或a=1.专题一 集合与常用逻辑用语 ≥1或 ≤-2.
所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.
1.D △ABC的三边长两两不等. 18.解:(1)因为A={2 , x|1≤x<7
},B={x|2
2.A 此集合是方程x -4x+3=0的根组成的集合 方程 所以 { },(
,, {,} A∪B= x|1≤x<10 RA
)∩B={x|x<1或
的根为13 所以列举法表示为 13 . x≥7}∩{x|2{x|7≤x<10}.
3.B ∵ 1 A ∴ 1 ∈A 错误.其余均正确. (2)由题意知 RC={x|x≥a},又A ( RC),故a≤1.
4.A ①∵ 2是无理数,∴ 2 Q,故①错误;②∵0不是正 专题二 一元二次函数、方程和不等式
整数,∴0 N*,故②错误;③∵π是实数,∴π∈R,故③
错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确. 1.B
最大限速与车距是同时的.
5.B x>3 x2>4,反之不一定成立. 2.C
由题设,知a>0,c<0,且b>c,所以ab>ac.
3.B 因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab=a2-
6.C 正确的为①③.
1 3 2
7.C 集合 M 中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是 ab+ b2+ b2= a-1b +3b2≥0,所以4 4 2 4 A≥B.
24-1=15.
8.A 命题乙是{-11,所以a-1>0,所以a+
1
a-1=a-1+
1
a-1+1
<3}.
2 , 2 ≥2 (a-1)·
1 ,当且仅当 1 即
9.C ①x +1≥1 ③x =2 x=± 2. a-1+1=3 a-1=a-1 a=
10.D 在数轴上分别表示出集合A,B,如图. 2时等号成立.
5.B 原不等式可化为3x2-19x+6≤0,得13≤x≤6.
所以A∪B={x|0由x(3-3x)=13×3x
(3-3x)≤1×9=3,当且3 4 4
<2}. 仅当3x=3-3x,即{ }, ( ) { x=
1时等号成立.
11.D UB= x|x<2或x≥5 A∩ UB = x|12}. 7.B ∵a>b>0,∴1 , ·1ab>0 ∴a ab>b
·1,即1>1
12.B 由题意得,阴影部分所示的集合为M∩N,由N={y|y ab b a
.
=2k-1,k∈Z}知N 表示奇数集合,又由 M={x|-2≤ 8.A 由题意知,Δ=4-4(5-m)=-16+4m<0,得m<4.
x<2}得,在-2≤x<2内的奇数为-1,1.所以 M∩N= 9.C 因 为 不 等 式 ax
2 +5x -2>0 的 解 集 为
{-1,1},共有2个元素. x 113.解析:已知命题是一个全称量词命题,其否定为存在量
词命题,先将“任意”换成“存在”再否定结论,即命题的 根,所 以 根 据 根 与 系 数 的 关 系 可 得 1×2=-2,所2 a
否定是:存在x∈R,若y>0,则x2+y≤0. 以a=-2.
答案:存在x∈R,若y>0,则x2+y≤0 10.A 设菜园的长为x,宽为y,则x+2y=L,面积S=xy,
14.解析:因为A={x|1因为x+2y≥2 2xy,所以xy≤ x+2y
)2 L2
结合数轴可知a≥6. ,当且仅8 =8
2
当x=2y=L,即2 x=
L, L时, L
2 y=4 Smax=8.
答案:[6,+∞) 11.C 由ax≥-(x2+1),x>0,得a≥- x+1x .∵0要条件,所以a-1=-2,即a=-1. ≤1,∴由2 x+
1的单调性可知, 1的最小值为1
: x
x+x 2+
答案 -1 5
16.解析:因为U=R, UN={x|05
2.
≤0或x≥2}, 12.D a>0,b>0,且(a+1)(b+1)=2,则a+b=a+1+b
所以 M∪N={x|-1{ } +1-2≥2
(a+1)(b+1)-2=2 2-2,当且仅当a=b
= x|x<1或x≥2 .
答案:{ 或 } = 2-1时取等号x|x<1 x≥2 .
17.解:由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上 13.解析:由题设得0<2α<π,0<β≤π,所以3 6 -
π
6≤-
β
3
恒成立. π
所以a≤(x2)min,x∈[1,2].所以a≤1. <0,所以-6<2α-
β
3<π.
若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解.
答案: π,
所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0. -6 π
·65·
14.解析:Δ=(-2)2-4(-a2+3a)<0,即a2-3a+1<0, () x+1,x<1,5.D 因为函数fx = 所以f 5 =-53- 5答案: 3- 5,3+ 52 2
2 2 2 2 2
6.C 函数y=x2-6x+10图像的对称轴为直线x=3,此
a<0, 函数在区间(2,3)上单调递减,在区间(3,4)上单调递增.
b 7.A 选项B,C在[1,4]上均为增函数,选项A,D在[1,4], a=-2,
15.解析:由题意,得 -3+2=-a 解得 上均为减函数,代入端点值,即可求得最大值为3的是b=-2.
-3×2=12, y=
1
x+2.a
∴a-b=0. 8.C 奇函数图像关于坐标原点对称,又f(-a)=-f(a).
答案: 50 9.B 因为函数y=x3 在(0,0)处有定义,且该函数为奇函
16.解析:因为a,b是正数,所以ab=a+b+3≥2 ab+3,解 数,排除选项A、D;又5 ,排除选项
, 3
>1 C.
得 ab≥3 即ab≥9.
:[, ) 10.D
根据题意总收入分为两部分:普通车存车费为0.2x
答案 9 +∞
元,变速车存车费为(
: , , 4000-x
)×0.3元.∴y=0.2x+
17.解 ①若m=0 则问题等价于-6<0对x∈R恒成立 显 1200-0.3x=-0.1x+1200(0≤x≤4000).
然成立.
m<0, m<0, 11.C 因为a
2+2a+5=(a+1)2+3≥3,又f(x)为偶
②若m≠0,则有 即 2 2 2Δ<0, (-m)2-4m(m-6)<0.
函数,且 在[0,+ ∞)上 是 减 函 数,所 以 3解得m<0. f -2 =
综上所述,所求m 的取值范围是(-∞,0]. f 32 ≥f a2+2a+52 .
18.解:(1)因为a>0,b>0,且1 2 ,a+b=1 12.B f(-x)= -x = -x (),所以 ()1+|-x| 1+|x|=-fx fx
所以1+2≥2 1·2=2 2,a b a b ab 是奇函数,图像关于原点对称.
2 13.解析:因为 (, , f2x+1
)=3(2 2x+1
)+1,所以f(a)=
则2 ab≤1
即ab≥8 2
3 1
1 2 又 () ,所以
3 1 ,则 7
+ =1, , 2
a+2. fa =4 2a+2=4 a=3.
a b a=2当且仅当 即 时等号成立,1 答案:7
a=
2, b=4 3
b m 2 m2 m
所以ab的最小值是8. 14.解析:f(x)=2 x- +3- ,由题意4 8 4=2,
(2)因为a>0,b>0,且1a+
2 , ∴m=8.
b=1 ∴f(1)=2×12-8×1+3=-3.
所以a+b= 1+2 (a+b)=3+b +2a≥3+2 答案:a b a b -3
15.解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解
b·2a=3+2 2, 得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即a b
m=1或2.
1 2 , :
a+b=1 a=1+ 2, 答案 1或2
当且仅当 即 时等号成立,b 2a 16.解析:因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为
= , b=2+ 2a b f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)
=f(x)=-g(x),所以 为奇函数;令 () (),则所以a+b的最小值是3+2 2. ② F x =xfx
F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函
专题三 函数的概念与性质 数;令h(x)=f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-
1.B 函数y= 1 =1,其定义域为{x|x≠0},与选项B x=-h(x),故④是奇函数.3
x3 x 答案:②④
中的函数是相等函数,其定义域相同.
17.解:f(x)=ax-1=a-a+1 设x+1 x+1. x1,
2.B y= x的值域为[0,+∞),y=1的值域为(x -∞
,0)
则f(x )-f(x )= a-a+1 - a-a+1∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞). 1 2 x1+1 x2+1 =a+1x2+1
a+1 (a+1)(x1-x2)
3.A ∵y=x在(0,+∞)上递增,y=-1在(0,+∞)上也 -x x
=
1+1 (x2+1)(x +1)
.
1
, () 1
又函数 ()在( ,
(, ) fx -∞ -1
)上是减函数,
递增 ∴fx =x- 在x 0 +∞
上递增.
所以f(x1)-f(x2)>0.
4.C 令x-1=2,则x=3,f(2)=f(3-1)=32-2=9-2 由于x1=7. <0,
·66·
所以a+1<0,即a<-1. 15.解析:从表格可以看出三个变量y1,y2,y3 都随x 的增
故a的取值范围是(-∞,-1). 大而变大,但增长速度不同,其中y1 的增长速度最快,
18.解:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 画出它的散点图(图略)知变量y1 关于x 呈指数函数
即mx
2+2 2 2 变化
-3x+n=-
mx +2=mx +2 比较得 , .3x+n -3x-n. n=-n 答案:y1
∴n=0.又f(2)=5,∴4m+2=5,得m=2. 16.解析:由原方程得lgx=-x+1,问题转化为求函数y=3 6 3 lgx的图像与函数y=-x+1的图像交点的个数.作出
∴实数m 的值为2,n的值为0. 相应函数的图像,如图.
专题四 指数函数与对数函数
x-2≥0,
1.C 由 得x≥2且x≠5.x-5≠0,
2.A 由log4(3a+4b)=log2 ab=log4ab,得3a+4b=ab,
∴3b+
4
a=1. 由图可知,有一个交点,故原方程有且仅有一个根.
2 1 1 7
3.C 由题意 a =a2-2-3=a6. 答案:1
3
a· a2 17.解:(1)函数f(x)=x+k(k>0)为奇函数,理由如下:
4.C 令x-1=0,得x=1,此时y=2+1=3,∴图像恒过 x
( () ( ,) (, ),定点 1,3). 由题意得fx 的定义域为 -∞ 0 ∪ 0 +∞ 它关于
原点对称,
5.D A中虽然是一个幂,但自变量出现在底数上,故不是
指数函数; 对于任意B中虽然是一个幂,且自变量出现在指数上,但 x∈
(-∞,0)∪(0,+∞),
-4<0,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指 ∵f(-x)=-x-kx =-f
(x),∴f(x)是奇函数.
数函数;C中虽然是一个幂,x也出现在指数上,但指数并 ∵f(-1)=-(k+1),f(1)=k+1,k>0,
不是自变量x,故不是指数函数;D中y=52x=25x 恰好 ∴f(-1)≠f(1),∴f(x)不是偶函数,
符合指数函数的三个特点,故是指数函数. ∴f(x)是奇函数,不是偶函数.
6.A f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,逐次验证得出初始区 4
间为A. (2)函数f(x)=x+ 在(,]内是减函数x 02 .
7.D 函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来 证明如下:任取x1,x2∈(0,2],且x1越慢,故对数型函数符合题设条件.
则f(, ( x1
)-f(x2)=x1+
4
x -x2-
4
x =
(x1-x2)+8.A 设现在的成本费为x 则3年后的成本费为x 1- 1 2
(
)3 a 4x2-x1
)
( ) 4 x1-xq% =a x=( )3. xx = x1-x2 1- = 2(xx -4).1-q% 1 21 2 x1x2 x1x2
1 a 1 b 1 0, ∵0b>0. 1 2 1 22 2 2 ∴x1x2-4<0.
10.A 因为00.
减,又因为函数y=loga(x-1)的图像是由y=logax 的 ∴f(x1)>f(x2),
图像向右平移一个单位得到,所以A对.
因此,函数f(x)=x+4在(0,2]内是减函数.
11.B f 1 =log 1=-3,f f 1 =f(-3)=2-3 x27 327 27 ∵f(2)=4,∴函数的值域为[4,+∞).
=1. 18.解:(1)因为f(x)=ax+b2 是定义在( ,8 -11
)上的奇函
x +1
12.C 当a>1时,log 4 ,此时a>1,当5 5 数,所 以 f(0)=0,得b=0.又 因 为 f 1 = 2,则2 5
0,即a< ,此时5 02 =
2
5 a=1
,所以f(x)= x .
综上可知01. 1 +1 x2+15 2
13.解析:由f(x)=5x 与g(x)=0.7x 的图像可知,当5a= (2)因为定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,由
0.3<1时,a<0,同理b>0.所以ab<0. f(t-1)+f(2t)<0得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t),
答案:ab<0 014.解析:由函数f(x)= log1x 可得函数的图像如图所 -1示,所以函数的单调增区间为[1,+∞). 所以有 -1<-2t<1,解得 2 2t-1<-2t,
t<
1,
3
即0:[, ) 故不等式f(答案 1 +∞ t-1
)+f(2t)<0的解集为 t0·67·
专题五 三角函数 14.解析:因为π2<α<π,所以tanα=-
1-cos2α 3
1.A 当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角;当k=1时, 1+cos2α
=-3.
α=225°,此时α是第三象限角. 答案:- 3
2.D cos600°=cos(360°+240°)=cos240°=cos(180°+ 3
) 15.解析
:将函数 =sinx 的图像向左平移 个单位长度
60°=-cos60°=-1 y φ2. π
3.C 由题意得cosα= m =-4
后,得y=sin(x+φ)的 图 像,而 y=sin x- =
,两边平方可解得 6
m2+9 5 sin x+11π ,所以 =11π6 φ 6 .
m=±4.又cosα=-4 ,则 的终边在第二或第三象5<0 α 11π
限, 答案:则点P 在第二或第三象限,所以m<0,则m=-4. 6
4.B 原式=cos70°cos(360°-25°)+sin(180°-70°)sin25°
解析: π π
=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45° 16. sin2x=cos 2-2x =cos 2 4-x
= 22. =1-2sin
2 π4-x =725.
7
5.B 3+tan75°=tan60°+tan75° ( ) 答案:
1- 3tan75° 1-tan60°tan75°
=tan60°+75° = 25
tan135°=-1. 17.解:因为π<α<π,0<β<
π,所以π<2α-β<π.
6.C ∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°= 4 2 4 4
sin80°,sin11°3π.
cos10°. 2 β 4
7.C 由 题 意 得(sinα-cosα)2=25,即16 sin
2α+cos2α- 因为π<α<π,4 2 0<
π
β< ,4
2sinαcosα=25.又16 sin
2α+cos2α=1,∴1-2sinαcosα= 所以-π4<α-2β<
π
2.
25,
16 ∴sinαcosα=-
9
32. 因为sin(α-2β)=
2,所以
2 α-2
π
β=4.
8.A ∵点 0,1 在函数图像上,2 ∴sinφ=12. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos 3π4-
又||<πφ ,2 ∴
π π
φ= ,6 ∴y=sin ωx+6 . π
4 =cosπ2=0.
又点(π,0)在y=sin ωx+π 上,且该点是“五点”中的6 18.解:(1)∵原式= 3sin 2 x-π12 +1-cos 2 x-π12
第五个点,∴sin πω+π6 =0,∴πω+π=2π,∴ω=116 6.
=2 30+φ π 2sin 2 x-π 112 -2cos 2x-π +19.C 因为f(x)是偶函数,所以 = +kπ,k∈Z,所以 12 3 2
3π , =2sin2x-
π -π +1=2sin2x-π +1,
φ=2+3kπk∈Z.
又φ∈[0,2π],所以
3π
φ=2. 12 6 3
()的最小正周期为 2π
10.C 令kπ-π2π
4π,
2 k∈Z
,得kπ-34π∴fx T=2=π.
π =1,
4 3
3 π πkπ-4π,kπ+π ,4 k∈Z. 有2x- =2kπ+ , ,3 2 k∈Z
11.D 因为y=sinx与y=cosx在 π,2 π 上都是减函数, 即x=kπ+5π, ,12 k∈Z
所以排除 A,B.因为π≤x≤π,所以 因为2 π≤2x≤2π. ∴所求x的集合为 x|x=kπ+5π,12k∈Z .
y=sin2x在2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除C. 专题六 平面向量及复数
12.C 由辅助角公式,函数y=4sinx+3cosx=5 sinx· 1.C 单位向量的模相等.
4 → →
5+cosx
·3
5 =5sin(x+φ),其中cos =4φ ,sinφ= 2.C 如图,AD与CD的夹角为∠ABC=120°.5
3,且φ角的终边过点(4,3),所以函数5 y=4sinx+3cosx
的最大值是5.
13.解析:cos α+7π =cos π+ α+π12 2 12 =-sin α+π12 3.A 设z=5+bi(b∈R),则|z|= 25+b2,
=-1. 又|4-3i|= 4
2+(-3)2=5,∴ 25+b2=5,∴b=0.
3 因为 →
1 4.C AO+O
→D=A→D,A→C+C→D=A→D,所以A→O+O→D=
答案:-3 A→C+C→D.
·68·
5.D ∵z1-z2=5-7i,∴z1-z2 在复平面内对应的点位 所以2n=2A→B+d.②
于第四象限.
, → 4
6.A b=a+b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 由①②消去d 得AB=3n-
2
3m.
7.D 如图,作菱形ABCD,则|A→B-B→C|=|A→B-A→D|= 18.解:(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2 5,
|D→B|= 3. 1·y-2·x=0, x=2, x=-2,可得 所以 或x2+y2=20, y=4 y=-4,
因为c与a 方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),
所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,
所以2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
8.D A→B=A→O+O→C+C→B=-a+b+12a=b-
1
2a. 所以2×5+3a·b-2×5=0,
9.B ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2 4
=22-8×2×1×cos60°+16×12=12, 所以a·
·
b=-5.所以2 cosθ=
a b
|a|·|b|=-1.
∴|a-4b|=2 3. 又因为θ∈[0,π],所以θ=π.
10.C 由a∥b,可得m=-4,所以b=(-2,-4),
所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=( , )
专题七 解三角形-4 -8 .
2+ai (2+ai)(1-i) a+2 a-2 1.A 在△ABC 中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,AB
2
11.D 1+i= (1+i)(1-i)= 2 + 2i=3+i
,
=BC2+AC2-2AC·BCcosC,可得13=9+AC2+3AC,
a+2 解得=3, AC=1或AC=-4
(舍去).
2
所以 解得a=4. 2.A 由余弦定理的推论得cos∠BAC=AB
2+AC2-BC2
a-2 2AB·AC
,2 =1 52+32-72 1
→ → → → → = =- ,又∠BAC∈(0,π),因 此2×5×3 2 ∠BAC12.D 由AB+CD=0,得AB=-CD=DC,∴四边形AB-
2π
CD 为平行四边形.又A→C·B→D=0知,对角线互相垂直, =3.
故四边形为菱形.
→ → → → → → → 3.B 依题意,由 a b ,得3 5 ,得 513.解析:(
=
AD-BM)+(BC-MC)=AD+(BC-BM)- sinA sinB 1
=sinB sinB=9.
M→C=A→D+M→C-M→C=A→
3
D.
→ 4.B 由正弦定理 a = b ,得 3 2 b答案:AD ,所以sinA sinB sin60°=sin45° b
( )
14.解析:原式=2i-1- 3i 2 3-2i 3 1 , 虚部 3 2 21+3 = 4 =2-2i∴ = ×2=2 3.3
为-1 22. 5.D 由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,
答案:-1 所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,故灯塔A 在灯塔B2
2 2 的南偏西: ( )· · , · 80°.15.解析 ∵ a+b a=a +a b=0 ∴a b=-a =-1.
, a·b -1 6.B ∵cosC=
4,C∈(0,π),∴sinC=3,
设a 与b 的 夹 角 为θ ∴cosθ=|a|· = =
5 5
|b| 1× 2
∴S 1 1 3
2 △ABC
=2absinC=, 2
×5×4×5=6.
-2 2 2 2
7.C 由余弦定理的推论及2acosB=c,得2a·a +c -b
[,], 3π 2ac又θ∈ 0π ∴θ=4. =c,∴a2-b2=0,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形.
答案:3π 8.D 在△ADC中,由正弦定理得AD=10sin135°4 (sin15° =10 3
16.解析:由已知易得λa+b= -λ,λ+1 ,则(-λ)2+ +1),在Rt△ABD 中,AB=ADsin30°=5(3+1)(m).2
1 2 13 3 9.A 因为S
1
△ABC= AB·ACsinA,所以
1· ·
2 2 2 ACsin60°λ+ = ,解得 或2 4 λ=1 λ=-2.
3
答案:1或-3 =2.
所以 AC=1.又BC2=AB2+AC2-2AB·AC·
2
cosA=4+1-2×2cos60°=3.
17.解:(1)M→N=A→N-A→M=(A→B+B→N)-(A→D+D→M)
所以BC= 3.
= b+1d - d+1b =1(2 2 2 b-d). 10.D 在△ABC 中,由已知可得BC=AC=4,C=180°-
→ → 1 → 30°×2=120°.所以由余弦定理得 AB
2=AC2+BC2-
(2)m=AD+DM=d+ ,2AB ① 2AC·BCcos120°=42+42-2×4×4× -1 =48,
n=A→
2
B+B→N=A→B+12d
,
所以AB=4 3(m).
·69·
11.C 由正弦定理可得sinB=bsinA=18sin30°=3,因 专题八 立体几何初步a 15 5
为b>a, ,
根据棱锥的定义和结构特征可以判断, 是棱锥,
所以B>A=30°所以角B 可能是锐角,也可能 1.C ①②
, ③不是棱锥,是钝角 所以此三角形有两解. ④是棱锥.
1 2.C 经过共线3个点的平面有无数个,比如:课本中每一12.D a2=b2+c2-2bccosA=82+32-2×8×3×2= 页都过共线的三点.
, a , R a 7 14, R 7, 3.B ∵A'B'∥x'
轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.又 AC=49 所以 =7 所以2 = = = 所以sinA =3 3 3 2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
2 4.D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥,因此
7
2
所以S=π =49π. 它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD 是它的3 3 一个截面而不是一个面.故D说法不正确.
13.解析:S 1△ABC=2absinC=15 3
,∴sinC= 32. 5.C 由题意知球的直径2R=
(2 3)2+(2 3)2+(2 3)2
c =6,∴R=3,∴S球=4πR
2=36π.
由正弦定理 =2R,得sinC c=2R
·sinC=3. 6.D 没有说明角的方向,故三种位置关系都有可能.
答案:3 7.D 由直线与平面平行的判定定理知,EF 与平面AB'、平
14.解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+12- 面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF 平行的平面
2×1×1× -12 =3,∴c= 3. 有4个.8.C 如图,∵α⊥β,α∩β=l,m α,m⊥l,∴m⊥β.
答案:3
15.解析:∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
∵ a b ,sinA=sinB
∴8=b,∴b=4 6. 9.D 如 图,连 接 AC,BD,∵E,F,G,H 分 别 为 各 边 的
2 3 中点,
2 2
答案:4 6
16.解析:依题意可得AD=20 10,AC=30 5,
又CD=50,所以在△ACD 中,
2
由余弦定理的推论得cos∠CAD=AC +AD
2-CD2
2AC·CD
(30 5)2= +
(20 10)2-502= 6000 = 2,
2×30 5×20 10 6000 2 2 ∴EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°, FG∥BD,EF=GH=1AC,
所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 2
答案:45° EH=FG=12BD.
17.解:(1)由正弦定理 b c ,sinB=sinC ∴四边形EFGH 是平行四边形,
∵AC⊥BD,且AC=BD,
得sinB=bsinCc =
1,
2 ∴EF⊥FG,且EF=FG,
因为在△ABC中,b(2)因为A+B+C=180°, 10.C 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
所以A=180°-120°-30°=30°,
所以S=12bcsinA=
3
4.
18.解:(1)因为C=45°,b=4 5,sinB=2 5,5
2
所以由正弦定理可得c=bsinC
4 5×
sinB=
2=5 2.
2 5
5 BC∥
平面A1C1,但平面A1C1与平面BC1相交,故A错
误;同理平面BC1 中有无数条直线与平面 A1C1 平行,
(2)因为sinB=2 5,B 为锐角,5 但平面A1C1与平面BC1相交,故B错误;又AD∥平面
A1C1,AD∥平面BC1但平面BC1与平面A1C1相交,故
所以cosB= 1-sin2B= 5,5 D错误.
2 5 11.B
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 5 BC⊥CC1,CD∩CC1=C,CD,CC1 平面D1C,
2 5 2 3 10 ∴BC⊥平面D1C.又D1C 平面D1C,∴BC⊥D1C,×2+5×2= 10 . ∴∠D1CD 是二面角D1-BC-D 的平面角.
·70·
在△D1CD 中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°, 18.证明:(1)因为△PDB 是正三角形,
即二面角D1-BC-D 的平面角的大小是45°. 所以∠BPD=60°,
12.C 三棱锥点P 到平面ABC 的距离即为以平面ABC 为 因为D 是AB 的中点,
底的三棱锥的高h,以平面PAB 为底,三棱锥的体积为 所以AD=BD=PD.
3 , ,
V=1×a ,同样以平面3 2 ABC
为底,三棱锥的体积为 又∠ADP=120°所以∠DPA=30°
所以∠DPA+∠BPD=90°,所以PA⊥PB.
V=1× 3(2a)2×h,由三棱锥的体积不变,得V=1 又PA⊥PC,PB∩PC=P,3 4 3 所以PA⊥平面PBC.
3
× 3(2a)2×h=1×a ,解得h= 3a. (2)因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.4 3 2 3 因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.
13.解析:由已知得圆锥的高h= 52-32=4, 又PA∩AC=A,
所以V =1圆锥 3π×3
2×4=12π. 所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面ABC,
答案:12π 所以平面PAC⊥平面ABC.
14.解析:①错,a与b也可能异面;②对,∵α∥β,∴α与β无 专题九 统计
公共点.
, , ; , 1.B 在放回简单随机抽样中,∵a αb ∴a b ③ a 每次抽取时各个个体被抽到又 β 与 无公共点 错 与β 也可能
平行. 的概率都相等,与第几次抽样无关.
答案:② 2.D 样本的平均数随着样本的变化而变化,我们只是用样
15.解析:如右图,连接BG,则BG∥AH, 本的平均数来估计总体的平均数.
所以∠BGF 为 异 面 直 线AH 与FG 3.B 由20 1,设抽取管理人员 人,则x 1,得160=8 x 32=8 x=4.
所成的角.因为四边形BCGF 为正方
, 4.C 因为折线统计图用于描述数据随时间的变化趋势
,所
形 所以∠BGF=45°.
: 以宜采用折线统计图答案 .45°
因为直径落在区间[
16.解析: PA=PC,O AC 5.B 5.43
,5.47]内的频率为0.02×
因 为 是 的 中
(6.25+5.00)=0.225,所以个数为, , 0.225×80=18.点 所以PO⊥AC 同理PO⊥BD,又AC∩BD=O,所以
PO⊥平面ABCD. 6.D 50%分位数即中位数,为
1(
2 4+7
)=5.5.
答案:垂直 7.A 把这组数据按从小到大排列为:10,12,12,14,14,14,
17.证明:(1)如图,设BC1与B1C的交点为O,连接OD, 17,18,19,23,27,则可知其众数为14,中位数为14.
8.C 第95的百分位数是指把数据从小到大排序,有至少
95%数据小于或等于这个数,至少有5%的数据大于或等
于这个值.
9.C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程
中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是
为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对
选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.
10.D 所给图是成绩分布图,平均分是75,在图1中,集中
在75分附近的数据最多,图3中从50分到100分均匀
∵四边形BCC1B1为平行四边形, 分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2介于
∴O 为B1C中点, 两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.
又D 是AB 的中点, 11.B 由题意知去掉的两个数是87,99,
∴OD 是△ABC1的中位线, 所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.
则OD∥AC1, 故s2=1[(7 87-91
)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+
又∵AC1 平面B1CD,
OD 平面B1CD, (94-91)2×2]=36.
∴AC 71∥平面B1CD. 、
(2)∵P 为线段A1B1的中点,点D 是AB 的中点,
12.B 因为可以用极差 方差或标准差来描述数据的离散
程度,, 所以要评估亩产量稳定程度
,应该用样本数据的
∴AD∥B1P 且AD=B1P 则四边形ADB1P 为平行四 极差、方差或标准差
, .边形
13.解析:由题意得,在1万元以上的项目中,不少于3万元
∴AP∥DB1, 13
又∵AP 平面B1CD,DB1 平面B1CD, 的项目投资额占 ,而 万元以上的项目的投资额占总21 1
∴AP∥平面B1CD. 投资的比例为1-46%-33%=21%,所以不少于3万
又AC1∥平面B1CD,AC1∩AP=P,
且AC 平面APC ,AP 平面APC , 元的项目共投资500×21%×
13
21=65
(万元).
1 1 1
∴平面APC1∥平面B1CD. 答案:65
·71·
14.解析:样本数据低于10的比例为(0.02+0.08)×4= (3)由(1)(2)知样本在[12,15)内的频数为3,在[15,18)
0.40,样 本 数 据 低 于14的 比 例 为0.40+0.09×4= 内的频数为8,样本容量为50.所以在[18,33]内的频数
0.76,所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内,估 为50-3-8=39,在[18,33]内的频率为3950=0.78.
计此样本数据的第50百分位数为10+0.1×4=1000.36 9 . 专题十 概率
答案:100 1.C A中事件为必然事件;B,D中事件为不可能事件;
9 C中事件为随机事件.
15.解析:因为分配比例为60=3, 2.D 从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取800 40
3件,则必然事件是至少有1件正品.
所以男生应抽360×340=27
(名), 3.C 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交
3 事件是不可能事件,所以它们互为互斥事件.女生应抽440×40=33
(名). 4.D “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨
27 33 的可能性为90%”.则总样本平均数为w=60×171+60×160 5.A 由于事件A 和B 是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+
=164.95(cm). P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+
答案:164.95cm P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9.
16.解析:∵ 方 程 x2-5x+4=0的 两 根 分 别 为1,4且 6.C 从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲,乙),(甲,丙),
a+3+5+7 , (乙,丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲
4 =b 2
∴a=1,
被选中的概率为
b=4. P=3.
∴该样本为1,3,5,7,平均数为4. 7.B 对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白
2 1[( )2 ( )2 ( )2 ( )2] 球
,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两
∴s =4 1-4 + 3-4 + 5-4 + 7-4 =5. 事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一
答案:5 个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,
17.解:设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20), 而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立
第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20), 事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,
: 1( … ) , 与“都是白球”显然是对立事件;对于 ,“至多有一个红依题意有 x=20x1+x2+ +x20 =90
D
球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
y=1(y +y +…+y )=80, 8.C 样本空间为{(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),20 1 2 20 (乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点,甲
故全班平均成绩为:
1 站在中间包含的样本点有2个,故P(甲站在中间)=
2
(x +x +…+x +y +y +…+y ) 640 1 2 20 1 2 20
=1.
=1( ) 34090×20+80×20 =85. 9.C 对于某地6月1日的天气,设事件A=“下雨”,事件
又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的 B=“阴天”,事件C=“晴天”,则事件A,B,C 两两互斥,
标准差为s 2 1 2 2 2 2 且 与 是对立事件,则 () ( )2,则s1= (20x1+x2+
…+x20-20x ), A∪B C P C =1-P A∪B =1-
P(A)-P(B)=1-0.45-0.20=0.35.
s2=1(y2+y2+…+y2 -20y22 1 2 20 )(此处x=90,y=80),20 10.B
易知20组 随 机 数 中 表 示 恰 有 两 次 命 中 的 数 据 有
,
s, z(z 191271
,932,812,393,所以该运动员三次投篮恰有两
又设全班40名学生的标准差为 平均成绩为 =
85),故有 次命中的概率约为
5
20=0.25.
s2=1(2 2 … 2 2 2 … 2 240x1+x2+ +x20+y1+y2+ +y20-40z
) 11.D 由题意知甲中靶的概率为4,乙中靶的概率为7,两5 10
=1(20s21+20x2+20s22+20y2-40z2) 人打靶相互独立,同时中靶的概率P=4×7 1440 5 10=25.
=1(62+42+902+802-2×852)=51. 12.C 满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2 2;x=4,y=1.所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)
s= 51.
+P(, x=2
,y=2)+P(x=4,=1)=1×1+1×1所以全班同学的平均成绩为85分 标准差为 51. y 4 4 4 4
18.解:(
1
1)由题图可知,[15,18)对应纵轴数字为4,且组距 +4×
1
4=
3
75 16
.
4 4 13.解析:由互斥事件的定义可知①④是互斥事件.为3,故[15,18)对应频率为75×3=25. 答案:①④
又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=8÷425=50. 14.解析
:设有n套次品,由概率的统计定义,知 n 2 ,2500=100
(2)[12,15)内小长方形面积为0.06,即[12,15)内频率 解得n=50,所以该厂所生产的2500套座椅中大约有
为0.06,且样本容量为50,故样本在[12,15)内的频数为 50套次品.
50×0.06=3. 答案:50
·72·
15.解析:由题意可知,该产品为正品是第一道工序和第二 4.A 因为α=45°,所以α是第一象限角.故选:A.
道工序都为正品,故该产品为正品的概率为P=(1-a) 5.B x-1>0,x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).故
(1-b). 选:B.
答案:(1-a)(1-b) 6.C 因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以 UA=
16.解析:设“击中6环”为事件A,“击中7环”为事件B,击 {3,4,5}.故选:C.
中8环为事件C,由题意得P(A)=P(B)=P(C)=0.1,
,
∴击中环数大于5的概率P=P(A)+P(B)+0.6=0.1 7.C 由扇形的弧长公式可知 l=|α|r=
π
2×2=π.
故
+0.1+0.6=0.8. 选:C.
答案:0.8 8.A 由于a>b,所以-a<-b,A选项正确.a=1,b=-1,
17.解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B, 2 2
样本空间为{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(
,
1,0),(1,1), a =b |a|=|b|
,BD选项错误.a=2,b=1,1<1,a b C
选
(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1), 项错误.故选:A.
(3,2),(3,3)},共16个样本点. 9.A 由题意知:函数y=f(x)的定义域为{1,2,3,4,5,6}.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3包含的样 故选:A.
本点有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0), 10.C 有图像可知,当x=9时,y=3,故f(9)=3.故选:C.
共7个, 11.A 当a>b:若a,b异号,即a>0>b,显然 a >b成
则中三等奖的概率为P(A)=7. 立;若a>b≥0或0≥a>b,均有 a >b成立;所以充分16 性成立;当 :若
() () a >b a=-2
,b=1,显然a>b不成立,
2 由 1 知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有
故必要性不成立
; .
所以“a>b”是“a >b”的充分不必要
7种
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,)
条件 故选:
2. . A.
1 1 1 1
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3). 12.A ∵x2-x-2= 5,∴ x2-x-2 2=5,则x-2+1x
则中奖概率为P(B)=7+2+1 516 =8. =5,即x+1=7.故选:A.
18.解:记“甲、乙、
x
丙三人100m跑成绩合格”分别为事件A,
13.B ∵角α的终边经过点P(-1,3),,, ∴tanα=-3.故BC 显然事件A,B,C相互独立,
选:B.
则P(A)=2,5 P
(B)=3,P(C)=14 3. 14.B 结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3). sinα=cosα×tanα= 2×1= 2.故选:B.
(1)三人都合格的概率: 2 2
P =P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=2×3×1 15.A 函数f(x)=3x- 1 x 的定义域为 R,且f(3 3 -x)5 4 3
1 =3-x- 1 -x x x= . =-3x 13 + 3 =- 3x- 13 =10
(2)三人都不合格的概率: x-f(x),即函数f(x)是奇函数,又y=3x,y=- 1
P =P(A B C )=P(A)·P(B)·P(C)=3×1×2
3
0 5 4 3 在R都是单调递增函数,故函数f(x)在R上是增函数.
1 故选:= A.10.
16.C 函数f(x)=1- 1() 的图像,是将函数
1先
3 恰有两人合格的概率: x+1 y=-x
P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到;又由于函
=2×3×2+2×1×1+3×35 4 3 5 4 3 5 4×
1 23
3=60. 数y=-
1图像关于原点中心对称,所以
x f
(x)=1-
恰有一人合格的概率: 1 图像关于(-1,1)中心对称,所以C正确.故选:
P 1
C.
1=1-P0-P2-P3=1-10-
23
60-
1=25=5. x+110 60 12 17.A 由题意知,x2-4x+3<0 (x-1)(x-3)<0所以
综合(1)(2)(3)可知P1最大. 原不等式的解集为{x|1所以出现恰有1人合格的概率最大. 18.C 对于A,y=f(x)=cosx,则f(-x)=cos(-x)=
,所以函数 (
第二部分 合格考模块达标卷 cosx y=fx
)=cosx 为偶函数,故A错误;
对于B,y=f(x)=|x|+1,则f(-x)=|-x|+1=|x|
+1,所以函数为y=f(x)=|x|+1为偶函数,故B错
模块达标检测卷一(必修第一册) 误;对于C,y=f(x)=x3,则f(-x)=-x3=-f(x),
1.B 因为A∩B={0,3},又全集U={0,1,2,3}, 所以函数y=f(x)=x3 为奇函数,故C正确;对于D,y
所以 U(A∩B)={1,2}.故选:B. =f(x)=log2x,定义域为(0,+∞),所以函数y=f(x)
2.A 解不等式1<1得:a<0或a>3,所以a>3是1< =log2x不具有奇偶性,故D错误.故选:C.a 3 a
1 19.D 因为正实 数x、y 满 足x+2y=2,所 以
1+2=
的充分不必要条件.故选:A. x y3
1 1 1 2 ( ) 1 2y 2x 13
3.B 23= 2.故选:B. 2 x+y x+2y = 2 5+x +y ≥ 2 5+
·73·
2 2y·2x =9,当且仅当2y=2x,即x=y=2时,等 据此有:f(x)=2cos2x-π ,f π =2cos2×π-x y 2 x y 3 6 2 2
号成立,故选:D. π =2cos5π=- 3.
20.B 对于乌龟,其运动过程分为两段:从起点到终点乌龟 6 6
没有停歇,一直以匀速前进,其路程不断增加;到终点 故答案为:- 3.
后,等待兔子那段时间路程不变;对于兔子,其运动过程 答案:- 3
分三段:开始跑的快,即速度大,所以路程增加的快;中 3v2+5v+30
间由于睡觉,速度为零,其路程不变;醒来时追赶乌龟, 28.解:(1)T=s+25+5=40 8 3v 30 5v v =40+v+8.
速度变大,所以路程增加的快;但是最终是乌龟到达终 (2)经过A 点的车流量最大,
点用的时间短.故选:B. 即每两辆车之间的时间间隔T 最小.
x-2,
21.B 函数f(x)= 3 x<2 ,f() , 3vlog(x2-1), a =3x≥2 ∵T=40+30+5≥2 3v·30+5 29,3 v 8 40 v 8=8
当a<2时,3a-2=3,解 得a=3,舍 去;当a≥2时, 当且仅当3v=30,即v=20时等号成立,
log 23(a -1)=3,解得a=±2 7,a=-2 7舍掉,所以
40 v
∴当v=20m/s时,经过观测点A 的车流量最大.
a=2 7,故选:B.
29.解:(1)f(0)=sin π +sin -π +cos0=1;
22.B 将函数f(x)=2sin 2x+2π -1向右平移π个单 6 6 3 6
π (2)因为f(x)=sinx+
π +sinx-π +cosx,
位长 度 得 到 函 数 g(x)=2sin 2x+3 -1,由 x∈ 6 6
所以 () π π π
-π,m ,得2x+π
fx =sinxcos +cosxsin +sinxcos -
4 3∈ -π,6 2m+π3 ,由g(x)∈ 6 6 6
cosxsinπ+cosx
[-2,1],得sin 2x+π ∈ -1,1 ,所以π3 2 2≤2m+ 6
=2sinxcosπ6+cosxπ 7π,所以
3≤6 m∈ π,5π ,故选:1212 B. = 3sinx+cosx
23.解析:由全称命题的否定是特称命题,所以命题p: x∈ π
R,x2≠x的否定形式为 p: x∈R,x2=x.故答案为: =2sin x+6
x∈R,x2=x. 所以函数f(x)的最小正周期为2π.
答案: x∈R,x2=x (3)当sin x+π =1时,f(x)取最大值6 2.
24.解析:因为a,b>0,所以2a+3b=4≥2 2a·3b,解得ab 30.解:(1)由题意,函数f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)有
≤2,当 且 仅 当 a=1,b= 2 时,等 号 成 立.故 答 案3 3 , 2-x>0意义 则满足 ,x+2>0
为:2
3. 解得-22 (2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-2,2),关于原点答案:
3 对称,
25.解析:因为f(x)=x2+2,所以f(1)=12+2=3.故答案 又由f(-x)=log2(2+x)-log2(-x+2)=-[log2(2-x)
为:3. -log2(x+2)]=-f(x),
答案:3 即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是定义域(-2,2)上
26.解析:由3-2x-x2>0得-3的奇函数.
义域为(-3,1),设t=3-2x-x2,则抛物线开口向下, (3)由f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)=log
2-x
2x+2
对称轴为x=-1,∵y=log2x 在定义域内单调递增,
() ( ) 1, ,
∴要求函数g(x)=log2(3-2x-x2)的单调递增区间,
由fx 等价求t=3-2x-x2 的递增区间,∵t=3-2x-x2 的 即log2-x2 1,1 上恒成立,
递增区间是(-3,-1),∴函数g(x)的单调递增区间为 x+2 2
(-3,-1),故答案为(-3,-1). 即2-x答案:(-3,-1](或(-3,-1)) 1
27.解析:由题意可得:3T=13π-π 3π
x-2>0在x∈ ,1 上恒成立,
= ,4 12 3 4 ∴T=π
,ω=2π 2 T
=2, 即函数h(x)=ax
2+(2a+1)x-2>0在x∈ 1,2 1 上
当x=13π时,12 ωx+φ=2×
13π , 13 恒成立,
12+φ=2kπ ∴φ=2kπ-6π
又因为a>0,则函数h(x)的对称轴x=-2a+1(k∈Z), 2a =-1-
令k=1可得:=-π, 1φ <0,6 2a
·74·
则只需h 1 =5a-3>0,解得a>6, 19.C 因为AB=1,AC=2,∠A=2π,所以 2 22 4 2 5 3 BC =AB +
即实数a的取值范围是 6,+∞ . AC2-2AB·BC·cosA=1+4-2×1×2× -15 2 =
模块达标检测卷二(必修第二册) 7,所以BC= 7.故选:C.
1.C 由题设z=2+3i,故其虚部为3.故选:C. 20.D 若α⊥γ,β⊥γ,则α不一定垂直β,故A错误;若α⊥
-1+i (-1+i)(3-i) -1+2i γ,⊥γ,则α不一定平行 ,故B错误;若α∩ =n,m∥n,2.A ,故选 β β β3+i= 10 = 5 A. 则m 可能在α或β内,故C错误;若α∥β,β∥γ,则α∥γ,
3.D 依题意得A→B=O→B-O→A=(1,-1)-(-1,2)=(2,-3). 又m⊥α,则m⊥γ正确;故D正确;故选:D.
故选:D. 21.B 由 表 格 数 据,x =72+86+87+89+92+94A ≈
4.D A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱,不合题意;B 6
6
中图形旋转得到两个相同底面的圆锥,不合题意;C中图 86.67,x =73+74+86+88+94+95B =85,S2A=
1∑
i=1
形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥,不合题意;D中图形 6 6
6
旋转得到一个圆台与一个圆锥,合题意.故选:D. (x -x )2≈50.6,S2 1i A B=6∑
(x 2i-xB)=76,∴xA>
i=1
5.C 由题意,可知A={1,3,5},B={5,6},A∩B={5},即 x ,S2事件A∩B=“点数为5”故选:C. B A B
6.B 依题意,10×(0.02+0.03+b)=1,解得b=0.05,所 22.A 连接 MQ,由 MP=2 3km,PQ=4km,MP⊥PQ
以直方图中b的值为0.05.故选:B. 得:MQ=2 7,
7.A 设北面有x 人,则 x 100,解得:x+7488+6912=300 x=
7200.故选:A.
( )
8.A i = i1-i =i+1=1+11+i (1+i)(1-i) i
,其对应点的坐
2 2 2
标为 1,1 位于第一象限.故选:2 2 A.
9.C C→A=C→B+B→A=b-A→B=b-a,故选:C.
21 2 7
10.A 因为A→B·B→C=0,所以A→B⊥B→C,则在△ABC 中, ∴sin∠MQP= ,7 cos∠MQP=
,又
7 cos∠MQN
AB⊥BC,∠B=90°,所 以△ABC 为 直 角 三 角 形.故 =cos(∠NQP-∠MQP)=cos∠NQPcos∠MQP+
选:A.
11.D 设正方体的棱长为a,因为正方体的体对角线的长 sin∠NQPsin∠MQP= 7,14 ∴MN
2=MQ2+NQ2-2MQ
度等于 其 外 接 球 的 直 径 所 以 3= 3a,解 得a=2,故 · ,可得 故选:2 NQcos∠MQN=28 MN=2 7. A.
选:D. 23.解 析
:因 数 据 x1,x2,x3,x4 的 平 均 数 为 4,则
12.C 由频率直方图得,体重在[56.5,64.5]的频率为0.03 x1+x2+x3+x4=4,
×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4,∴所求人数 4
所 以 数 据 , , , 的 平 均 数 为:
为100×0.4=40.故选:C. 2x1 2x2 2x3 2x4
13.D 由频率分布表可得,分数大于等于90分对应的频率 2x1+2x2+2x3+2x4 ·x1+x2+x +x=2 3 4=2×4
为0.125+0.250+0200+0.100+0.075+0.075= 4 4
0.825,则 全 年 级 此 次 数 学 测 试 及 格 率 的 估 计 值 是 =8.
故答案为:
82.5%.故选:D. 8.
答案:
14.C 随机投掷一枚质地均匀的骰子,点数向上的结果有6 8
种,其中向上的点数为奇数的有3种,所以出现向上的 24.解析:a+b+c+d=(A
→B+B→C)+(C→D+D→E)=A→C+C→E
点数为奇数的概率是3=1
→
,故选:
6 2 C.
=AE=e.
故答案为:e.
·
15.C ∵cosθ= a b = 4+4· =
4,故选:
|a| |b| C.
答案:e
5· 20 5 1+i (1+i)2
16.B 若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上,则 25.解析:由题,z= +m(1-i)1-i =( )( )+m
( )
1-i 1+i 1-i
球 的 直 径 等 于 正 方 体 的 体 对 角 线 长,即 2R =
=2i+m-mi=m+(1-m)i,
22+22+22=2 3,(其中R 是该球的半径),所以R= 2
4 因为 是纯虚数,所以 ,3,则球的体积V= πR3=4 3π.故选:
z m=0
3 B. 故答案为:0.
17.A 记“甲地下雨”为事件A,则P(A)=0.5,记“乙地下 答案:0
雨”为事件B,则P(B)=0.4,两地同时下雨的概率为
( ) ( ) () : 26.解析
:由余弦定理可得42=22+c2-2×2c×1,即c2-c
P AB =P A P B =0.5×0.4=0.2.故选 A. 4
18.B 因为(0.01+0.07+0.06+m+0.02)×5=1,所以 -12=0,(c-4)(c+3)=0,因为c>0故c=4
m=0.04,设第80百分位数为x,则(0.01+0.07+0.06) 故答案为:4.
×5+(x-90)×0.04=0.8,解得x=92.5,故选:B. 答案:4
·75·
27.解析:设球半径为r,根据题意可得:r=3, 共线,B不是;对于C,因1×4≠1×(-2),则向量(4,-2)
与 不共线, 不是;对于 ,因 ,则向量(,)
所以球的体积V=43πr
3=36π. a C D 1×2=1×2 22
与a共线,D是.故选:D.
故答案为:36π. 3.B 对于A,事件:“至少有一个白球”与事件:“都是红球”
答案:36π 不能同时发生,但是对立,故A错误;对于B,事件:“恰好
28.解:(1)由分层抽样的特征可得每个个体被抽到的频率 有一个白球”与事件:“都是红球”不能同时发生,但从口
是相等的,所以由B 小组抽取的情况可得抽取的比例为 袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球,所以两个
3=1,所以x=1×12=1,y=1×48=4, 事件互斥而不对立,故B正确;对于C,事件:“至少有一个36 12 12 12 白球”与事件:“都是白球”可以同时发生,所以这两个事
所以x=1,y=4. 件不是互斥的,故C错误;对于D,事件:“至少有一个白
(2)设A 组抽取的人记为a,B 组抽取的人记为b,c,d. 球”与事件:“至少一个红球”可以同时发生,即“一个白
从中选2人,可能的结果为a,b;a,c;a,d;b,c;b,d;c,d. 球,一个红球”,所以这两个事件不是互斥的,故D错误.
共6种. 故选:B.
其中这2人都来自B 组的结果为b,c;b,d;c,d.共3种.
1 4.C 由题意,
x-1<0等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2
所以:这2人都来自兴趣小组B 的概率为P= x+22. x-1
29.解:(1)由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC, ∴c2-(a-b)2=a2+b2-2abcosC-(a-b)2=2ab(1- 故选:C.
cosC), ( )(5.C 因为1-i= 1-i 2-3i
)
=-1-5i 1-i
∵C→A·C→B=abcosC=c2-(a-b)2, 2+3i (2+3i)(2-3i)
,故复数
13 2+3i
∴abcosC=2ab(1-cosC), 在复平面内对应的点的坐标为 -1, 5 ,它在第三13 -13
∴cosC=23. 象限,故选:C.
π 6.A 因为f(x)+2f(-x)=3x+1①,所以f(-x)+(2)在△ABC中,由∠A 是钝角得,A=π-B-C> ,2 2f(x)=-3x+1②,联立①②解得f(x)=-3x+13.
故
∴0π,
2 选:A.
∵y=sinx在 0,π 上为增函数, 7.C 由题意得sin2α=cos 2α-
π
2 =1-2sin2 α-π2 4
3
∴02 8.D 函数y=x2、y= x、y=2x 在(0,+∞)上均为增函∴sinB 的取值范围是0:() : , , y= 2 0,+∞)上为减函数.故选:D.30.解 1 证明 因为平面PAC⊥平面ABC AC⊥BC 平面
PAC∩平面ABC=AC,BC 平面ABC, 9.A 若a,b是空间中两条不同的直线,且a,b是异面直
所以BC⊥平面PAC,又PA 平面PAC, 线,则a,b没有公共点;若a,b是空间中两条不同的直线,
所以PA⊥BC. 且a,b没有公共点,则a,b是异面直线或a∥b,故“a,b是
(2)由(1)知BC⊥平面PAC,所以BC⊥AC, 异面直线”是“a,b没有公共点”的充分不必要条件.故
又BC=2,∠BAC=30°,所以AC=2 3, 选:A.
10.D 因 为 a2 2 22 2 2 +b 因为PA=PC=2,所以cos∠APC=2+2- 2 3 = a2+b2 22×2×2 -c <0,又由C∈(0,π),所以C∈ π,2ab 2 π ,所以
-1,2 △ABC是钝角三角形.故选
:D.
11.B 依题意,作圆锥的轴截面等腰直角三角形,截得其内
所以sin∠APC= 1-cos2∠APC= 3, 切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆,圆锥的底面2
半径为
1 3 2
,则其母线长为2 2.设圆锥的内切球半径为r,
所以S△APC= ×2×2× = 3,2 2 则1×2 2r+1×2 2r+1×4×r=1×4×2,所以2 2 2 2
所以三棱锥P-ABC 的体积V 1P-ABC=3S△APC×BC= r=2(2-1),所以球表面积为S=4πr2=16(3-2 2)π
1 2 3 =(48-32 2)π.故选:B.
3× 3×2= 3 .
第三部分 合格考仿真模拟卷
贵州省普通高中学业水平合格性考试
仿真模拟卷(一)
12.B 对A,平面α和γ 可以相交,对B,根据定理,一个平
1.C 由补集的定义可得CAB={0,2,6,10},故选:C. 面和另外两个平行平面相交,则交线平行,故B正确;对
2.D 对于A,因1×4≠1×0,则向量(4,0)与a不共线,A C,平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直,
不是;对于B,因1×(-1)≠1×2,则向量(-1,2)与a不 不能证明线面垂直,即不能证明面面垂直,故C错误,对
·76·
D,若两个面垂直,第三个平面和该两个面相交,交线并 函数g(x)=sin2x,只要把C 上所有的点向右平行移动
不一定垂直,故D错误.故选:B. π个单位长度 故选:
13.A 由于函数y=lg(
. A.
x+1)的图像可由函数y=lgx 的 6
图像左移一个单位而得到,函数y=lgx 的图像与x 轴 23.解析:由题意,该组数据的平均数为6+7+8+8+9+10
的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图像与x轴的交 6
点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|
,
的图像与x轴的公共 =8
点是(0,0),显然四个选项只有A选项满足.故选:A. 所以该组数据的方差是1[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)26
( ) log2x,x>014.A 因 为 函 数f x = ,则f f 12x,x≤0 8 = +(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.
f log 12 =f(8 -3)=2-3=1.故选:A. 答案:58 3
解析:由题意有函数 () 在(, )为
15.D 因 为y=x 在x∈[1,4]单 调 递 增,y=-4 在 24. fx =lgx+2x-5 0 +∞x 增函数,
x∈[1,4] () ,()单调递增,所以f(x)=x-4在x∈[1,4]单调
又f2 =lg2+2×2-5=lg2-1<0f3 =lg3+2×
x 3-5=lg3+1>0,
递增.所以f(x)max=f(4)=4-
4
4=3.
因为f(x)≤m 即f(2)·f(3)<0,则函数f(x)=lgx+2x-5的零点
在区间(2,3)上,
对任意x∈[1,4]恒成立,所以m≥f(x)max=3.故选:D. 即k=2,故答案为:2.
16.A 对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8月份 答案:2
明显高于12月份,故 A错;对于选项B,观察折线图的 25.解析:∵a=(3,1),b=(1,0),∴c=a+kb=(3+k,1),
变化趋势可知年接待游客量逐年增加,故B正确;对于 10
选项C, ,
, · ( ) ,解得 ,故
观察折线图 各年的月接待游客量高峰期大致在 ∵a⊥c ∴a c=33+k +1×1=0 k=-3
7,8月份,故C正确;对于D选项,观察折线图,各年1月 答案为:-10.
至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小, 3
变化比较平稳,故D正确.故选:A. 答案:-10
17.C 设矩形的长、宽分别为x,ycm,则有2(x+y)=12, 3
( )2 26.解析:∵tanα、tanβ是方程x2-3 3x+4=0的两根,并
即x+y=6,∵矩形的面积S=xy,∴S=xy≤ x+y4 且α、∈ π,3π ,
=9cm2,
β
当且仅当x=y=3时等号成立,故选:C. 2 2
18.A 从1,2,3,4,5中抽取两个数基本事件有:(1,2),(1, ∴tanα+tanβ=3 3,tanα·tanβ=4,α+β∈(π,3π).
3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4, ∴tanα、tanβ均大于零,故α、∈ π,
3π
β ,∴α+β∈(2π,
5)共10种,所取的两个数均为偶数的有(2,4),共1种, 2
3π).
所以所取两数均为偶数的概率为P=1,故选:10 A. ∵tan(α+ )= tanα+tanβ β
3 3 ,
x π 1-tanα·tan
=
β 1-4
=- 3 ∴α+β=
19.A 依题意,令f(x)=sin2cos6+cos
x
2sin
π
6= 2π+2π=8π,
sin x+π =0得,x+π 3 32 6 2 6=kπ,k∈Z,解得x=2kπ- 故答案为:8π.
π 3,
3 k∈Z.
故选:A.
答案:8π
3
20.C 因为A→M=2M→B,N→C=2A→N,所以M→N=A→N-A→M= 27.解析:根据f(x)=2 x 的图 像 可 知,若f(log2m)>
1 →
3AC-
2
3A
→B.故选:C. f(2),则log2m>2或log2m<-2.
21.A 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=100m,所以AC 故m>4或01.所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为4
=200m.在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从 0,1 ∪(4,+∞).
而∠AMC=45°,由正弦定理得,AC AM ,因此 4sin45°=sin60°
AM=100 6m.在Rt△MNA 中,∠MAN=45°,MN=
AMsin45°=100 6× 2=100 3(m),故选:2 A.
22.A 由图像可知周期T=4 7π12-π ,所以3 =π ω=2πT=
2π
π =2
,又 图 像 上 一 个 最 低 点 为 7π,-1 ,所 以12
sin 2×7π ,所以12+φ =-1 2×7π+ =2kπ+3πφ ,k∈Z,12 2
即φ=2kπ+
π,k∈Z,因为 <πφ ,所以
π
3 2 φ=
,所以
3
f(x)=sin 2x+π3 =sin 2 x+π ,所以为了得到6
·77·
故答案为: 0,1 ∪(4,+∞). 函数y=2cos 2x+π 的图像上所有的点向右平移π个4 3 2
答案: 0,1 (, ) 单 位 长 度 得 到 函 数4 ∪ 4 +∞ y =2cos 2 x-π +π2 3 =
28.解析:(1)依题意cosα=-4,5 α∈
(π,3π),2 2cos 2x-2π 的图像.故选:3 C.
3 5.C 因为用分层抽样的方法,所以应抽取的男生人数为所以sinα=- 1-cosα=-5.
9×25=5,故选:C.
(2)cos α+π =cosαcosπ 456 6-sinαsinπ=-4× 36 5 2 6.D 根据函数的定义,对于一个x,只能有唯一的y 与之
3 1 3-4 3 对应,只有D满足要求,故选: D.- -5 ×2= 10 . 7.A 根据向量加法的平行四边形法则可得A→B+A→D=
答案:(1)-3 A
→C,故选:5 A.
8.D 对于A,四棱锥共有八条棱,故A错误;对于B,五棱
(2)3-4 3 锥共有六个面,故B错误;对于C,六棱锥共有七个顶点,10
:() , , , 故C错误;对于D,根据棱锥的定义知,D正确 故选:29.解 1 由于D E 分别是PA PC的中点 . D.
所以DE∥AC, 9.D
因为平面α∥平面β,m α,n β,所以m,n无公共点,
, , 所以m,n是不相交直线,故选:由于DE 平面ABC AC 平面ABC D.
10.A 当a=1时,a2=1,充分性成立;反过来,当 2所以DE∥平面ABC. a =1
(2)
,
依题意PC⊥平面ABC,所以PC⊥AC. 时 则a=±1
,不一定有a=1,故必要性不成立,所以“a
2
由于AB 是圆O 的直径,所以AC⊥BC, =1”是“a =1”的充分而不必要条件.故选:A.
由于PC∩BC=C,所以AC⊥平面PBC, 11.D 易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个
由于DE∥AC,所以DE⊥平面PBC, 小扇形得到,设大、小扇形所在圆的半径分别为r1,r2,
由于DE 平面BDE,所以平面BDE⊥平面PBC. 相同的圆心角为θ,则θ=160=80,得r r r1=2r2
,又因为
1 1 2
h
30.解:(1)根 据 题 意,75-25= 1 (80-25),即10 r1-r2=40,所以r1=80,r2=40,该扇形玉雕壁画面积2 11
1 1
1 h S=2×160×r1-
1
2×80×r =
1
2 2×160×80-
1
2×80= 2 , ×40=4800(cm2).故选:D.
设茶水从80℃降至36℃大约用时t1 分钟,降至35℃ 12.D 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=12+22-
大约用时t2分钟, 1
t1 t2 2×1×2× =3,∴b= 3.故选:D.
则36-25= 12
h h 2
(80-25)①,35-25= 12 (80- 13.C 根据对数的换底公式得,log12=lg12=lg3+lg45
25)②, lg5 lg10-lg2
t1-t2 t -t t -t =lg3+2lg2=2a+b11 1 h 10 1 2 11 2 1 ,故选:由①÷②得 = = = , 1-lg2 1-a C.10 2 11 10
即t2-t1=1, 14.C 由
1<1<0,得b所以,茶水从36℃降至35℃大约用时1分钟. 0,∴a+
(2)设茶水从80℃降至55℃大约用时t分钟, bt
h
则55-25= 1 (80-25), 15.B 设事件A 为只用现金支付,事件B 为只用非现金支2 付,则P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(AB)=1因 为
t
6 1 h即 = = 10 t,两边同时取对数: P(A)=0.45,P(AB)=0.15,所以P(B)=0.4,故选B.11 2 11 16.B 由对数函数的性质,得函数f(x)=lnx在(0,+∞)
lg 6 =tlg 10 , 上为单调增函数,故 A错;由幂函数的性质,可得函数11 11 1
lg6-lg11 lg2+lg3-lg11 f(x)= 在(0,+∞)上为单调减函数,故B正确;由指解得t= 1-lg11 = 1-lg11 ≈6
, x
数函数性质,可得函数f(x)=2x 在(0,+∞)上为单调
所以,从泡茶开始大约需要等待6分钟. 增函数,故C错;由一次函数的性质,可得函数f(x)=x
贵州省普通高中学业水平合格性考试 +1在(0,+∞)上为单调增函数,故D错.
仿真模拟卷(二) 17.C 因为向量a与b 的夹角为60°,且 a =4,b =3,
1.B 在复平面内,复数z=-1+i对应的点为(-1,1),在 所以 a+b
2=a2+2a·b+b2= a 2+2a · b ·
第二象限.故选:B. cos60°+ b 2=42+2×4×3× 12+3
2=37,所 以
2.B 函数y=tanx的最小正周期是π;故选:B.
3.C 因为A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B= a+b = 37,故选:C.
{0,2},A∪B={-2,-1,0,1,2}, BA={-2,-1,1}, 18.A f(1)=1-4+6=3,当x≥0时,x
2-4x+6>3,所
B 不存在,故选:C. 以0≤x<1或x>3;当x<0时,x+6>3,所以A -32π π π <0,所以不等式f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,4.C y=2cos2x-3 =2cos 2x- + ,因此将2 3 +∞),故选:A.
·78·
19.A 因 为 ccosB =a,所 以 由 余 弦 定 理 可 得 c· 其中,摸 出 两 个 黑 球 的 方 法 有(a,b),(a,c),(b,c)共
a2+c2-b2=a,即a2+c2 2
种,
2ac -b =2a
2,所以c2=a2+b2, 3
故摸出 个黑球的概率为 3
所以三角形的形状为直角三角形,故选:A. 2 P=10.
20.B 该 组 数 据 的 众 数 是 4,A 选 项 错 误;平 均 数 是 答案:3
-1+1+4+4+2+8 10=3,B选项正确;该组数据从小到6 27.解析:因为sin(α+β)·cosα-cos(α+ )·sinα=
4,所
大排列为-1,1,2,4,4,
β
8,6×0.5=3,所以该组数据第 5
4
50 百 分 位 数 是2+4=3,C 选 项 错 误;方 差 是 以sin (α+β)-α = ,2 5
-1-3 2+ 1-3 2 2
2
+ 4-3 + 4-3 2+ 2-3 2+ 8-3 2 即sinβ=
4,所以
6 5 cos2β=1-2sin
2β=1-2× 45 =
=486=8
,D选项错误.故选:B. -725.
21.A 根据图像知:T2=
π,故
2 T=π
,ω=2,排除C.当x= 故答案为:-725.
0时y=3,排除B,当x=π时,2 y=-1
,排除D.故选:A. 答案:-725
22.D 连接BC1,A1C1,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,易 28.解:(1)因为 m=3,所以 集 合 B={x|-5≤x≤7}=
知AD1∥BC1,所以∠A1BC1 为异面直线 A1B 与AD1 [-5,7]
所成 角 或 其 补 角,又 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中, 集合A={x|x2-3x-18≤0}={x|-3≤x≤6}=[-3,6],
AA1=2AB=2BC=2,所以A1B=BC1= 5,A1C1= 2, 所以 RA=(-∞,-3)∪(6,+∞),所以( RA)∩B=
5+5-2 [-5,-3) (,]在△A1BC1中,
∪ 67 .
由余弦定理得cos∠A1BC1=
2× 5× 5 (2)因为A∩B=A,
m-8≤-3
所以A B,所以 ,解得
4 ,π , m+4≥6= .因为异面直线所成的角的取值范围是 所5 0 2 2≤m≤5.
以异 面 直 线 A1B 与 AD1 所 成 角 的 余 弦 值 为
4
5.
故 29.解:(1)8+9+7+9+7=8,5
选:D. (8-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2
5
=2 5,所以甲的平均数为8,标准差为2 5;5 5
10+9+8+6+7=8,5
(10-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(7-8)2
5 =
2,所以乙的平均数为8,标准差为 2.
(2)由(1)可知,甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数
, ,
23.解析:原不等式可化为(x+2)(x-3)≤0,
相等 但甲的标准差小于乙的标准差 这表明甲的成绩
-2≤x≤3.故
:[ 比乙更稳定一些.故选择甲参赛更合适.答案为 -2,3].
30.解:(1)在ΔABC中,
答案:[-2,3]
24.解析:由于命题“ x∈R,x2
a b
+2x+a≤0”是假命题, 由正弦定理 ,得sinA=sinB 3sinBsinA=sinAcosB.
则该命题的否定“ x∈R,x2+2x+a>0”是真命题, 又因为在ΔABC中sinA≠0.
∴Δ=4-4a<0,解得a>1.
所以
因此,实数a的取值范围是(1, )
3sinB=cosB.
+∞ .
法一:因为
:(, ) 0,所以sinB≠0,因而cosB≠0.
故答案为 1 +∞ .
答案:(1,+∞) 所以tanB=sinB 3,所以cosB=3 B=
π
6.
25.解析:根据斜二测画法的原则,由直观图知,原平面图形
为直角三角形,且AC=A'C'=3,
π
BC=2B'C'=4,所以 法二:3sinB-cosB=0即2sin B-6 =0,
AB2=AC2+BC2=9+16=25,所以AB=5,
所以B-π=kπ(k∈Z),因为0故AB 边上中线长为AB=5=2.5.故答案为: 62 2 2.5.
答案: 所以
π
2.5 B=6.
26.解析:白球编号为1,2,黑球记为a,b,c, (2)由正弦定理得 a = c ,
共有10种 摸 法:(1,2),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a), sinA sinC
(2,b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c). 而sinC= 3sinA,
·79·
所以c= 3a,① -1 +1=-b
由余 弦 定 理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2- 1, , 2 3 a且a<0 所以 ,解得:a=-12,
π 3 -1 1 22accos , ×6 2 3=a
b=-2,所以a+b=-14,故选:D.
即a2+c2- 3ac=9,②
14.C 函数y= x的定义域为[0,+∞),函数y=log2x的
把①代入②得a=3,c=3 3. 定义域为(0,+∞),函数y=x3的定义域为R,函数y=
贵州省普通高中学业水平合格性考试 1的定义域为{ }故选:
仿真模拟卷(三) x x x≠0 . C.
15.B f(x)=x 在(0,+∞)上单调递增,故 A不符题意;
1.A 由已知,集合A={0,1,2,3},B={2,4},所以A∩B 1
={2}.故选:A. f(x)= 在(0,+∞)上单调递减,故B符合题意;f(x)x
2.B 因为x∈(-π,0),所以当sinx=-3时,x的终边可 =log2x在
(0,+∞)上单调递增,故C不符题意;f(x)=
5 sinx在(0,+∞)上不单调,故D不符题意.故选:B.
能在第三象限,也可能在第四象限,所以cosx=±4,不 16.A 偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则由偶5 函数的图像关于y轴对称,则有f(x)在[1,2]上单调递
满足充分性;当cosx=4时,x的终边在第四象限,所以 增,即有最小值为f(1),最大值f(2).对照选项,A正5 确.故选:A.
sinx=-3成立,满足必要性 故选: 因为向量 , 满足 , ,, 的夹角为5 . B. 17.B ab |a|=1|b|=2ab
3.B 根据全称命题的否定是特称命题可得,命题“ x∈ 90°,所 以|a+b|= (a+b)2= a2+2a·b+b2=
R,x2-1<0”的否定是“ x∈R,x2-1≥0”.故选:B. 1+4= 5,故选:B.
4.B 由题意知,2π=360°,所以π=180°.故选:B. 18.D ∵a=2,b=2 3,A=30°,由正弦定理得:asinA=
5.D A.y= x4定 义 域 为 R,y=(x)4 定 义 域 为[0,
2 3×13
+∞),定义域不同,不是同一函数;B.y= x3定义域为 b ,即 2 =2 3,∴sinB= 2= 3,又sinB sin30° sinB 2 2 A
R,y=x
2
定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不x =30°,b>a,∴30°2 19.D 对 A,b可能在平面α,故 A错误;对B,a,b可能相是同一函数;C.y= x +x 定义域为(-∞,-1]∪[0, 交,故B错误;对C,b可能在平面α,故C错误;利用排除
+∞),y= x· x+1定义域为[0,+∞),定义域不同, 法,故D正确;故选:D.
不是同一函数;D.y= 1 与y= 1 定义域为(-∞,0) 20.D 由图可知函数的定义域中不含0,且函数图像关于原x x2 点对称,f(x)=x+cosx与f(x)=x-cosx 的定义域
∪(0,+∞),且 = 1 = 1 ,故两函数为同一函数.故 均为 R,不 符 合 题 意,故 A、B错 误;对 于 C:f(y x
)=
x2 x x ,则f(0)= 0 =0,故C错误;对于 D:f(x)
选:D. cosx cos0
=
→ → → → cosx ( )6.A AC-BD+CD-AB=A→C+D→B+C→D+B→A=A→C+ 定义 域 为{x x|x≠0
},且 f(-x)=cos-x-x =
C→D+D→B+B→A=0.故选:A. -cosx=-f(x),符合题意;故选:D.
i i(1-3i)7.B 因为复数 = i+3 3 1
x
故
1+3i (1+3i)(1-3i)=10=10+10i. 21.C 因为a,b都是正数,所以 1+b 1+4a b选:B. a b =5+a
8.C 由于98>55,所以98不能作为编号.故选:C. +4a≥5+2 b·4a=9,当且仅当b=2a>0时取等
9.A 因为a,b∈R,且a号.故选:C.
3, :A. 面A1B1C1D1,A1C1 平面A1B1C1D1,所以B正确, 、错误 故选 A
() 2 , ( ) C错误;因为A1C1∩平面BCC1B1=C1,所以 与平10.B 由题意可知f2 =a =4 解得a=2或a=-2 舍 A1C1
故选: 面 不平行
,故
B. BCC1B1 D
错误.故选:B.
“ ” 23.解析
:由于是任意取一球,所以是随机事件,故答案为:
11.C 棉花的纤维长度大于275mm 的概率为50×0.0040
随机
: .+50×0.0064=0.52.故选 C. 答案:随机
12.D 从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人的基本事件有 解析:当 时,()
( 、 ),( 、 ),( 、 ),( 、 ),( 、 ),( 、 24. x≥0 fx =e
x-1=1,得x=1;当x<0时,
甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙
f(x)=x2=1,得x=-1,综上,x=±1,故答案为:±1.
丁),共6种,甲被选中的基本事件有(甲、乙),(甲、丙), 答案:±1
(甲、丁),共3种,所以甲被选中的概率为p=3=1, (25.解析:∵1+bi= a = a1-i
) a a
6 2 1+i (
,则
1+i)(1-i)= 2 - 2i
故选:D. a
13.D 因 为 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx+2>0的 解 集 是 2=1 , a=2 解得 ,
-1,1 ,所以方程ax2+bx+2=0的两根为-1和 b=-a b=-12 3 2 2
·80·
因此,a+bi = 2-i = 22+(-1)2= 5. 所以a=2故f(x)的解析式f(x)=x
2.
(2)由(1)知g(x)=x2 ( )故答案为:5. + 2m-1x-3
,
当1-2m≤1即m≥-1答案:5 时,g(2 2 x
)max=g(3)=3+6m=
26.解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以5=2+ 1
c2-2c,
,即 ;
所 以c=3或c=-1(舍 去),所 以 S 1 m=-△ABC = 3
1
2bcsinA=
3.故答案为:3. 当1-2m 即2 2 2 >1 m<-
1时,() ( )
2 g x max=g -1 =-1-
:3 2m=1即答案 m=-1.
2
综上所述:
π 9π π 9π π 9π m=-
1或
3 m=-1.27.解析:①取x1= ,x2= , < ,但4 4 4 4 tan4=tan
,
4 贵州省普通高中学业水平合格性考试
故错误. 仿真模拟卷(四)
1+cos π-2x
②y=cos2 π-x = 2 =1+sin2x,当 1.B 集合A={x∈N|- 3≤x≤ 3}={0,1}.对于A:-14 2 2
∈A 不对.对于B:0∈A 对;对于 :π π C 3∈A
不对;对于D:
x= ,4 y=1
,x=- , ,故错误;4 y=0 2∈A 不对.故选:B.
π π 2.B ∵z=( 2+i
)i=2i+i2=-1+2i,∴z对应的复平面内
③4sin2×6-3 =4sin0=0
,故正确. 的点为(-1,2),位于第二象限.故选:B.
π π 2 3.A 若x=4,则2
4=42=16,即2x=x2 成立,故充分性成
④当x= 时,y=1,当x= 时, ,所以函数4 2 y=2 y= 立;显然x=2时22=22=4,即2x=x2,故由2x=x2推不
π 出 π,π , x=4
,故必要性不成立;故“x=4”是“2x=x2”的充分不
sinx+ 在闭区间 - 上不是增函数 故 错4 2 2 必要条件;故选:A.
误;正确的命题的题号是③. x-1≥04.D 由解析式有意义可得 ,故x>1,故函数的定故答案为:③. x-1≠0
答案:③ 义域为(1,+∞),故选:D.
28.解:(1)由频率分布直方图得样本平均分 5.C 不等式ax2-5x+c<0的解集为{x|2x=55×0.15+65×0.25+75×0.4+85×0.15+95× 2,3是方程ax2-5x+c=0的两个实数根所以2+3=
0.05=72. 5,2×3=c,则a=1,c=6,故选:C.
因此,初赛平均分的估计值为72分. a a
(2)根据频率分布直方图,设40名选手进入复赛的最低 6.C 对命题“任意x∈R,都有x
2+3x+2>0”的否定为:
2
分数为x,依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05, 存在x∈R,使得x +3x+2≤0.故选:C.
2 2
成绩落入区间[80,90)的频率是0.15,按初赛成绩由高 7.B 由题意,x∈R,f(-x)=(-x)=x =f(x),即函数
到低进行排序,前12.5%的初赛选手进入复赛,可判断 为偶函数.故选:B.
x在[80,90)内, 8.C 因为y=1,即 () -1,定义域为{ },且
则(90-x)×0.015+0.05=0.125,解得x=85. x
f x =x x|x≠0
f(-x)=(-x)-1 -1 (),即 () -1, 为因此 估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分. =-x =-f x f x =x
奇函数,又由幂函数的性质可知f(x)=x-1在(0,+∞)
29.解:(1)在 △ADC 中,由 正 弦 定 理 得 ACsin∠ADC 上单调递减,所以f(x)=x
-1在(-∞,0)上单调递减,故
DC 符合题意的只有C;故选:C.= ,sin∠DAC 9.A 由2x-x2>0,得02
AC·sin∠DAC 1 3 log2t,t=2x-x 在(0,1)上递增,在(1,2)上递减,所以,sin∠ADC= DC = 3×2=2 因为y=log2t在定义域内为增函数,
又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60° 所以y=log2(2x-x2)的单调递减区间为(1,2),故选:A.
>60° 10.B cos76°sin59°-cos121°sin104°=cos76°sin59°-
所以,∠ADC=120°. cos(180°-59°)sin(180°-76°)=cos76°sin59°+cos59°
(2)由BD=2DC,且DC=1知:BC=3,AC= 3 sin76°=sin(76°+59°)=sin135°= 2 故选:
AC 3 2
. B.
所以,直角三角形ABC中,cosC=BC=3 11.A 由A(1,3),B(4,-1),所以A→B=(3,-4),所以向量
在△ADC中,由余弦定理得 A→→ B 3 4
AD2=AC2 DC2 AC·DC C ( )2 的方向相反的单位向量为
, 故
+ -2 cos = 3 +1-2 3 AB - → = - .AB 5 5
×1× 33=2
, 选:A.
12.C 这两个班学生的数学总分为ma+nb,故这两个班学
所以,AD= 2. ma+nb
解析:() () 生的数学平均分为 .故选:30. 1 因为fx 为幂函数 m+n C.
所以a2-3a+3=1,得a=1或a=2 13.C 对于A,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m 与α 相交或
因为f(x)为偶函数 m⊥α,故A错误;对于B,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m
·81·
与α相交或m α,故B错误;对于C,由m⊥β,n⊥β可得 22.D 作出分段函数f(x)的图像,如图
m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故C正确;对于D,由m⊥n,
n⊥β,β⊥α可得m∥α或m 与α相交或m α,故D错误.
故选:C.
14.C 因为y=3sin x-π5 =3sin x-2π +π ,所以5 5
只要把函数y=3sin x+π 图像上所有的点向右平行5
移动2π个单位长度,即可得到函数
5 y=3sin x-π 的5
图像.故选:C.
15.B 2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多,
A错;2013—2018年,空气中细颗粒物的年日均值逐年
下降,B正确;2007年(含2007年)之前空气中二氧化氮 方程f(x)-m=0有4个互不相等的实根,则函数y=
的年日均值都高于40微克/立方米,C错;2000—2018 f(x)与直线y=m 有4个交点,当m∈(-1,1)时,符合
年,空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年, 题意,但f(x)是R上的奇函数,有f(0)=0,故m≠0,所
D错.故选:B. 以m 的取值范围是:m∈(-1,0)∪(0,1).故选:D.
-1.5 4 1
16.D y1=40.9=21.8,y =80.48=21.442 ,y
1
3= 2 = 23.解析:由果蔬类抽取4种可知,抽样比为 = ,故20 5 n=
21.5,根据y=2x 在 R 上是增函数,所以21.8>21.5> (20+15+10)×1=9.
21.44,即 5y1>y3>y2.故选:D.
答案:9
17.B ∵f(x)=2sin2x+ 5cos2x=3sin(2x+φ),其中
24.解析:第一次为黑色的概率为2,第二次为黑色的概率
tan = 5φ ,∴f(x)最小正周期T=
2π=π.故选:2 2 B.
3
为2两次都是黑色的概率为2 2 4,故答案为4
18.D ∵ a = b =1,向量a与b 的夹角为60°,∴a·b 3 3×3=9 9.
= a · bcos60°=1,2 ∴ 3a-4b =
(3a-4b)2 答案:49
= 9a 2-24a·b+16b 2= 9-12+16= 13. 25.解析:在△ABC中,B=45°,C=60°,则A=180°-B-C
故选:D. =75°,因此,角B 是最小角,边b是最短边,由正弦定理
19.B 因为∠C=90°,BC=2AC=2,所以△ABC是直角三 得:b = c ,又 ,即sinB sinC c=1 b=
csinB=sin45°= 6,
角形,两条直角边分别是BC=2,AC=1,由圆锥的定义 sinC sin60° 3
可得:将三角形绕AC 旋转一周得到的圆锥的底面半径 所以最短边的边长等于 6.
为2,高为1,其体积为V =1
3
1 3π×2
2×1=43π
;将三角形
故答案为:6.
绕BC旋转一周得到的圆锥的底面半径为1,高为2,其 3
4π 答案:6
V 3
体积为V 11=3π×1
2×2=2π;1=3=2,即3 V 2π V1∶V22 x>0
3 26.解析:由题设, x≤0 或 ,解得 或2-x 1 x<-1-1>1 x2>1
=2∶1,故选:B.
x>1.
20.D ∵sin2C 1-cosC a-b, ,由正弦定2= 2 = 2a ∴b=acosC ∴f(x)>1的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
, , :( ,理可得sinB=sinAcosC 所以 sinAcosC=sin(A+C) 故答案为 -∞ -1
)∪(1,+∞).
答案:( , ) (, )
=sinAcosC+cosAsinC,则cosAsinC=0, -∞ -1 ∪ 1 +∞
∵00,∴cosA=0, 27.解析:由条件x+3y=5xy,两边同时除以xy,得到3x+
∵0,
故选:D. 1 3 1 1 12y
21.B 设其中做过测试的3只兔子为a,b,c,剩余的2只为 那么3x+4y= (5 3x+4y
) x+y =5 13+ x +
A,B,则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a, 3x 1 12y 3x
b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A}, y ≥5 13+2 × =5x y
{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种.其中恰有2只做
等号成立的条件是12y 3x,即 ,即 , 1
过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}, x
=y x=2y x=1y=2.
{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只做过测试的概 所以3x+4y的最小值是5,
6 3 故答案为:5.率为 = ,选10 5 B. 答案:5
·82·
3
28.解:(1) (x)=sinx+ 3cosx-1sinx=1sinx 当-2+ 3
3
cosx=sin x+π , 当-22
所以函数f(x)
( )
的最小正周期为2π. 2m+1 =m +4m+3.
π π π 5π 贵州省普通高中学业水平合格性考试(2)由已知0≤x≤ ,得 ,2 3≤x+3≤6 仿真模拟卷(五)
所以,当x=π时,函数f(x)=sin x+π 的最小值2 3 1.D 命题“ x∈R,x2-2x+1>0”的否定为“ x0∈R,
2
1 x0-2x0+1≤0”故选:D.为
2. 2.A 因为 M={1,2,3},N={1,3,4},所以 M∩N={1,
29.解:(1)证明:设AC与BD 的交点为O, 3};故选:A.
因为底面ABCD 是边长为2的菱形,所以AC⊥BD,且 3.C 因为3+4i=3+bi,所以b=4.故选:C.
OB=OD=1BD, 4.A 因为α 是第一象限角,且cosα=4,所以2 5 sinα=
因为AC=2,所以OA=OC=12AC=1
, 1-cos2α= 1-16=3,故选:25 5 A.
在Rt△AOB 中,OB= AB2-OA2= 3,故BD=2OB x+3≥05.C 根据题意可得 ,所以x∈[-3,-2)∪(-2,=2 3, x+2≠0
1 1 +∞).故选:C.所以S△ABD=2BD
·OA=2×2 3×1= 3. 6.D x2-4=(x+2)(x-2)>0,解得x<-2或x>2,所
因为PA⊥平面ABC,所以PA 为三棱锥P-ABD 的高, 以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选:D.
1 · 1 7.A
因为x=3 |x|=3,但是|x|=3 x=±3,所以“x=
所以 三 棱 锥 的 体 积V= 3S△ABD h= 3 × 3×2 3”是“|x|=3”的充分不必要条件.故选:A.
2 3 8.A ∵a与b 共线,∴1×3-2x×(-2)=0,解得x== 3 . -3.故选:A.
(2)取PA 的中点G,连接GE、GB, 4
9.B a3·a3=a6,选项A错误;28-27=2×27-27=27,选
项B正确;(a2)3=a6,选项C错误;b ·aa b -1=0
,选项
D错误.故选:B.
() x+1,x≤110.A 由fx = ,则f(f(4))=-x+3,x>1 f(-1)=
-1+1=0.故选:A.
11.C 对A,当a>b>0,c>d>0 ac>bd,故 A错误;对
B,当c>0时,ac>bc,故B错误;对C,同向不等式的可
加性,故C正确;对D,若a=2,b=1,c=0,d=-3 a-
c=1,b-d=4,不等式显然不成立,故D错误;故选:C.
因为E 为PD 的中点,所以GE∥AD 且GE=1AD, 12.A 对于 A:y=cosx 的定义域为 R.因为f(2 -x
)=
( )
又因为F 为BC 的 中 点,四 边 形 ABCD 为 菱 形,所 以 cos-x =cosx=f
(x),所以y=cosx为偶函数.故A
BF∥AD且BF=1
正确;对 于 :对 于
AD. B y=sinx
,f π π2 =sin 2 =1,2
所以BF∥GE 且BF=GE. f -π =sin -π =-1,不满足2 2 f(-x)=f(x),故
故四边形BFEG 为平行四边形,所以BG∥EF. y=sinx 不是偶函数.故B错误;对于C:对于y=x3,
因为 BG 平 面 PAB,EF 平 面 PAB,所 以 EF∥ f(1)=13=1,f(-1)=(-1)3=-1,不满足f(-x)=
平面PAB. f(x),故y=x3不是偶函数.故C错误;对于 :对于:() () 2 , D y=30.解 1 由fx =x +bx+c有两个零点0和-2
f(0)=0
2+b×0+c=0 2x,f(1)=21=2,f(-1)=2-1=
1,不满足
2 f
(-x)=
即有 ,
f(-2)=(-2)2-2b+c=0 f(x),故y=2x 不是偶函数.故D错误;故选:A.
解得b=2,c=0, 2
13.D f(x)=x -1(x)=x2+2x, 的定义域是
{x|x≠0},关于原点对称,即f |x|
由f(x)和g(x)的图像关于原点对称, ( )2 2f(-x)= -x -1 x -1 (),所以 ()是偶函
所以g(x)=-x2+2x. |-x|
= |x| =f x f x
(2)f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 2数,排除B,C;当x>0时,f(x)=x -1=x-1,易知
当m+1≤-1,即m≤-2时,f(x)的最大值g(m)=m2 x x
+2m, f(x)在(0,+∞)上是增函数,排除A.故选:D.
,() ( ) ( )2 ( 14.B 在长方体中,BD2=AB2+AD2 2当m>-1时 fx 的最大值g m = m+1 +2m+ 1 +AA1,则2
2=12+
1)=m2+4m+3, 12+AA21,解得AA1= 2.故选B.
·83·
15.D 在平行四边形ABCD 中,依题意,O→C=-O→A=-a, 故答案为:17
25.
而O→B=b,所以B→C=O→C-O→B=-a-b.故选:D 17
16.C 由 题 意 得,自 习 时 间 不 少 于22.5小 时 的 频 率 为 答案:25
(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故自习时间不少于 27.解析:设向量a,b的夹角为θ,
22.5小时的人数为0.7×200=140,故选C. 1
17.A 因为y=0.3x 在定义域上单调递减,所以0.32> 因为向量b在向量a 上的投影向量为-2a
,所以 b ·
0.33,又y=x3在定义域上单调递增,所以0.33>0.23, a 1
所以0.32>0.33>0.23,即b>c>a,故选:A. cosθ· a =-2a
,
18.A 由已知甲乙的方差知:10.2<14.3,即甲比乙的成绩 1
稳定,甲比乙的成绩的标准差小,所以A正确,B、C、D错 又 a =2,b =4,解得:cosθ=- ,4
误.故选:A. 因为 a+2b 2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=68+
19.B 从3,5,7,11,13这5个素数中,随机选取两个不同 4a · bcosθ=60,
的数共有(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11), 所以 a+2b =2 15.
(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)10种可能,其和等于16
的结果(3,13),(5,11)2种等可能的结果,所以概率P= 故答案为:2 15.
2 1 答案:2 15
10=5.
故选:B.
28.解:(1)当x=π时, ( ,), ( ,),
20.D 函数 =cos 1x+π ,T=2π=4π.故选:D. 4
a= 21 b= 21
y 2 3 1 ∴a+b=(2 2,2)2 .(2)∵a=(2sinx,1),b=(2cosx,1),
21.D 如图,连接A1B,则A1B= 12+(2)2= 3,由题知 ∴f(x)=a·b=4sinxcosx+1=2sin2x+1,
AC=1,AB= 2,BC=2,∵B1C1∥BC,所以∠A1CB 即 π
为 所 求 角 或 其 补 角, ∵函数f(x)图像上所有点向左平移 个单位长度得到所 以 cos ∠A1CB = 4
A1C2+BC2-A1B2 2+4-3 3 3 2 g(x)的图像,
2AC·BC = = = .1 2× 2×2 4 2 8 ∴g(x)=2sin2(x+π)4 +1=2cos2x+1
,
∵x∈ 0,π ,2 ∴2x∈ 0,π ,∴cos2x∈[-1,1],
∴g(x)∈[-1,3],
∴g(x)的最小值为-1.
29.解:(1)∵AB 是底面圆的直径,
∴AC⊥BC
故选:D. ∵弧BC的中点为D,
22.A 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2- ∴OD⊥BC
3bc=4≥2bc- 3bc(当且仅当b=c时取等号),∴bc≤ 又AC,OD 共面,
4 ∴AC∥OD=4(2+ 3)=8+4 3,∴S 1△ABC = bcsinA=
2- 3 2 又AC 平面POD,OD 平面POD,
1 , ∴AC∥
平面POD.
bc≤2+ 3 ∴△ABC 面 积 的 最 大 值 为4 2+ 3.
故 (2)设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,
选:A. ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形,
23.解析:因为0≤x≤4,故4-x≥0,则x(4-x)≤1(x+4 ∴h=r,l= 2r4
-x)2=4, 由S 1 2△PAB=2×2rh=r =9
,得r=3
当且仅当x=4-x,即x=2时,取得最大值4.故答案
为:4. ∴圆锥的表面积S=πrl+πr
2=πr× 2r+πr2=9(1+
答案:4. 2)π.
24.解析:由正弦定理:a = b ,可得: bsinA
解:()因为 () ( ) ( ),
sinA sinB sinB= a =
30. 1 fx =loga x+1 -loga1-x
x+1>0
所以 ,解得-1b可得A>B ,则:∠B=45°. 1-x>02 (2)f(x)的定义域为(-1,1),
答案:45° f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-loga(1+x)-
25.解析:令x-1=0,则x=1,f(1)=a1-1+1=2, loga(-x+1)=-f(x),
所以函数图像恒过定点为(1,2).故答案为:(1,2). 故 (x)是奇函数.
答案:(1,)
f
2 (3)因为当a>1时,y=loga(x+1)是增函数,y=loga(1
26.解析:因sinα=-2,则5 cos2α=1-2sin
2α=1-2× -x)是减函数,
2 2 17 所以当a>1时f(x)在定义域( -1
,1)内是增函数,
-5 =25. f(x)>0即loga(x+1)-loga(1-x)>0,
·84·
(x+1) ,x+1 ,2x , ( ) , 示“出现5点或6点”的事件,A 表示“出现小于5的偶数loga(1-x)>01-x>11-x>02x1-x >0
解得
点”,所以A 与B 互斥,故P(A+B)=P(A)+P(B)=
0故使f(x)>0的x的解集为(0,1). .故选:3 C.
贵州省普通高中学业水平合格性考试 14.B 因为sin2A+sin2B-sin2C=0,所以a2+b2-c2=
仿真模拟卷(六) 0,C 为直角,因为a2+c2-b2-ac=0,所以cosB=
a2+c2-b2 1
1.D 若a=1,b=-1,满足a<1,此时a>b,排除充分性, ,2ac =2 B=
π,因此
3 a=ccos
π
3=1
,故选:B.
b
π 2π
若a=-2,b=-1,满足a1,排除必要性,故 15.D y=sin 2x+ =cos2x,T= =π.设f(x)b 2 2 =
选:D. cos2x,定义域为 R,f(-x)=cos(-2x)=cos2x=
2.C 因为命题p: x∈R,x2+2x+3>0,所以 p是 x0 f(x),所以y=cos2x为偶函数.故选:D.
∈R,x20+2x0+3≤0故选:C. 16.B 连接BD,BD1,几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,
3.D ∵a0,∵1 1 b-a,
则DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,故- = 当 DD1⊥AC.a b ab ∴ 又BD⊥AC,故AC⊥平面BDD1,D1B 平面BDD1,故
a<0C⊥D1B,AC∩CB1=C,故BD1
|b|时 B错误 ∵ac-bc=(a-b)c,∴当c<0 ⊥平面AB1C.
时,C错误;∵c≠0,∴c2>0,则由ab=a-b 设两个球的半径分别为 , ,根据球的表面积公式
c c2 c2 17.C r1r2
2
<0,则aS r
2 2,D正确,故选:D. S=4πr
2,因为两个球的表面积之比为3∶2,∴ 1= 1
c c S2 r22
( )·3 ( )·( )
4.B 1+i i= 1+i -i -i+1 ,故选: r V1-i 1-i = 1-i=1 B. =
3,即 1= 3,根据球的表面积公式V=42 r 3πr
3,∴ 1
2 2 V2
5.C 由易知B={x|x2-x-6=0}={-2,3},A={x|0< r3 3 3
x<5,x∈N 1 r1 3 3 3+}={1,2,3,4},所以A∩B={1,2,3,4}∩ = 3= r = = .故选:C.{ r-2,3}={3}.选C. 2 2 2 2 2
1 18.C 因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的
6.C y=x2= x在[0,+∞)上是增函数故选:C.
高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体
7.D 对于A,A→B,A→C大小不相等,方向不相同,故不是相
→ → 的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万等向量,故A错误;对于B,BD,CD大小相等,方向相反, 元的农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%,故
是相反向量,故B错误;对于C,利用三角形法则知A→B+ A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户
A→C=2A→D,故C错误;对于D,利用三角形法则知A→B+ 比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%,故B正确;
B→D=A→D,故D正确;故选:D. 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比
1 例估计值为, , 0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>8.D 因为a=ln2log22=101
1 3 1 0 , : 值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20< =1 所以2 2 a2
9.B 因为函数f(x)=x -1的定义域为 R,且f(x)= +13×0.02+14×0.02=7.68(万元),超过6.5万元,故ex C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.
x2-1
x 不是偶函数,所以排除C、D;又f(2)=
3
2<1,排除e e 19.B ∵A
→B、A→C是非零向量 且 满 足(A→B-2A→C)⊥A→B,
A,即确定答案为B.故选:B. (A→C-2A→B)⊥A→C,
10.B 由题意,函数f(x)=3x-x-3,可得f(0)=-2, ∴(A→B-2A→C)·A→B=(A→C-2A→() B
)·A→C=0,
f1 =-1,f(2)=4,f(3)=21,f(4)=74,所以f(1)·
∴|A→B|2=|A→ →f(2)<0,
2
结合零点的存在定理,可得函数f(x)的一个 C|=2|AB||A
→C|cos∠BAC,
零点所在的区间为(1,2).故选:B. ∴|A→B|=|A→C|,∠BAC=60°.
11.C 因为扇形的弧长为4,面积为2,设扇形的半径为r, ∴△ABC是等边三角形,故选:B.
则1×4×r=2,解得r=1,则扇形的圆心角的弧度数为 20.B 因为BD∥EG,AC∥EF,所以异面直线BD 与AC2 所成角即∠GEF 或其补角,因为异面直线所成角的范围
4
1=4.
故选:C. 为(0°,90°],所以异面直线BD 与AC 所成角的大小为
1 1 2 1 2 60°.故选:B.12.D f = -1=- ,3 3 3 ∴f f 3 =f -3 = 21.C 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-
sin -2π =-sin2π=- 3,故选:D. 2AC×BCcosC=7,所以AB= 7≈2.646km,故选:C.3 3 2 22.C 根 据 正 三 棱 柱 的 性 质 可 知 AB∥A1B1,所 以
13.C 掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意P(A)= ∠B
2 1 4 2 2 1 1
A1M 是异面直线AB 与A1M 所成角,设∠B1A1M
,()
6=3 P B =6=
,P(3 B
)=1-3=
,因为
3 B
表 =α,在三角形A1B1M 中,A1B1=1,A1M=B1M= 2,
·85·
由余弦定理得cosα=1+2-2= 2 故选: 31 2
2×1× 2 4
. C. = 50 .
故答案为:31 2
50 .
答案:31 2
50
28.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能
的结果的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),
(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,
因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,
C),(B,C),共3个,因此选到的2人身高都在1.78以下
的概率为P =3=11 ;
23.解析:设方程的两相异同号实根为x 6 21,x2, (2)2 从该小组同学中任选( ) , 2
人其一切可能的结果的基本
Δ= -10 -4×3×k>0
事件:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),则 xx k1 2= >0, (B,E),(3 C,D),(C,E),(D,E)共10个.由于每个人被
选到的 机 会 均 等,因 此 这 些 基 本 事 件 的 出 现 是 等 可
∴025 选到的2人 的 身 高 都 在1.70以 上 且 体 重 指 标 都 在答案:024.解析:由于PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC, 3个.
PA⊥BC, 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在
所以三角形PAB 和三角形PAC 是直角三角形. [18.5,23.9)中的概率为P2=
3.
由于∠ACB=90°,所以BC⊥AC,三角形ABC是直角三 10()
角形. x =A+B=329.解:(1) :f A=2由图可知 max
由于AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC, f(x)min=-A+B=-1 B=1
所以BC⊥PC,所以三角形PBC是直角三角形. T=2 2π-π =π 2π=π ω=2
所以三棱锥四个面中,是直角三角形的个数有4个. 3 6 ω
故答案为:4. f π6 =2sin 2×π ,则 π ,: 6+φ +1=3 sin 3+φ =1答案 4
25.解析:f(a)=a4+ab+1=8,f(-a) 4
π π
=-a -ab+1,所 +φ=2kπ+ ,3 2 k∈Z
, φ=2kπ+
π,
6 k∈Z
以f(-a)+8=2,f(-a)=-6. π π
答案:-6 0<φ< φ= f()2 6 x =2sin 2x+π6 +1.
26.解析:在等式ab=2a+b 两 边 同 时 除 以ab 得1 2a +b (2)由f α2 =2sin α+π 7 π6 +1=3 sin α+6
=1, 2,
∵a>1,b>2,∴a+b=(a+b) 1 2 2a b
=3
a+b =3+b +a
则
2a b cos α+π6 =± 5,≥3+2 · =3+2 2, 3b a
又α∈ 0,π2 α+π6∈ π,2π ,又6 3 sin α+π =2当且仅当b= 2a时,等号成立, 6 3
因此,a+b的最小值为3+2 2. 故答案为:3+2 2. 3 2
答案:2 2+3 故α+π∈ π,π π 5,6 6 2 cos α+6 =3
27.解析:∵sinα-cosα=1,sin25 α+cos
2α=1
cosα=cos α+π π 5 3 2 1又∵0≤α≤π,∴sinα≥0, 6 -6 = 3 × 2 + 3 × 2
sinα=4 =
15+2
6 .5
故解得 ,3 30.解:(1)要使原函数有意义,则x-1>0,即x>1.故所求
cosα=5 函数的定义域为{x|x>1}.
(2)(x)= (x)+m=log(x-1)+m,
∴sin2α=2sinαcosα=24, g f 225 由复合函数的单调性可知,g(x)=log2(x-1)+m 在其
2 2 7, 定义域内为增函数cos2α=cosα-sinα=- .25 要使g(x)=log2(x-1)+m 在(2,3)内有且仅有一个零
π 2 2 点,则g(2)· () ,∴sin2α-4 =2sin2α-2cos2α g3 <0即m(m+1)<0,得-12 24 7 所以,函数y=g(x)在(2,3)内有且仅有一个零点的实数=2 25+25 m 的取值范围是(-1,0).
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(3)当3≤x≤9时,2≤x-1≤8,所以log22≤log2(x- 9.C 选3人,总共只有2名女生,因此3人中最多只有2名
1)≤log28, 女生,因此可分为恰有1名男生,恰有2名男生,恰有3名
即1≤f(x)≤3,令f(x)=t,则1≤t≤3. 男生,从而与事件 M 互斥但不对