《2025 年 10 月 2 日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A A C A C ACD BCD
题号 11
答案 ACD
1．C
1,2 3,0 k 0 - 2【详解】由题过点 和点 的直线的斜率为 = = -1，
3-1
设过点 1,2 和点 3,0 的直线的倾斜角为a ，则 k = tana = -1，且0 a < π ，
所以a =135° .
故选：C.
2．C
r r r r r r r r r r r r
【详解】由 a = (1,2,3),b = (2,4,6) ，易知 2a = b，则 a / /b，显然 a ^ b、a = b、 | a |=| b |
不成立.
故选：C
3．A
【详解】如图所示，设点P '为点P 1,-2,3 关于 xOz平面的对称点，设点P x1, y1, z1 ，
根据对称性质可得， x1 =1, y1 = 2, z1 = 3，即点P 1,2,3 ．
故选：A．
4．A
r r r
【详解】假定向量 a ， 2b b r， - c 共面，则存在不全为 0 的实数l, m ，
r r r r
使得b - c = l a + 2mb，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故 A 正确；
r r r r r r r r由于 2b = b - 2a + b + 2a ，则 2b ，b 2ar- ，b + 2ar 共面，故 B 错误；
r r r r r3a = 2 a - b ar+ + 2b 3ar ar b ar r由于 ，则 ， - ， + 2b 共面，故 C 错误；
r 1
由于 c = ar + cr 1 r r- a - c r r r r r，则 c ， a + c ， a - c 共面，故 D 错误；
2 2
故选：A.
5．A
uuur uuur
【详解】由题意得 AB = -2,0,-1 ，BC = 3, -2, -1 ，
uuur uuur 2
uuur 2 AB × BC 2
所以点 A 到直线BC 的距离 d = AB - uuur ÷ = 5 5 3 70- = .
è BC
÷ 14 ÷
è
14
故选：A.
6．C
【详解】长方体中 AD ^ 平面CDD1C1 ，DP 平面CDD1C1 ，所以 AD ^ DP，
uuur uuur uuur uuuur
则DP × AD = 0，又 AD = A1D1 ，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
所以 AP × A1D1 = AD + DP × AD = AD × AD + DP × AD = AD = 4 ，
故选：C.
7．A
【详解】
建立如图所求的直角坐标系，得B(3,0) ，C(0,3)，
则直线BC 方程为 x + y = 3，
G 0 + 0 + 3 , 0 + 0 + 3 且VABC 的重心为 G(1,1)
è 3 3 ÷
，即 ，
设P(a,0) ， P关于直线BC 的对称点为 P1(x, y) ，
ìa + x y + 0
+ = 3 2 2 ìx = 3
则 í ，解得 í P (3,3 - a)
y - 0 ( 1) 1 y = 3- a
，则 1 ，
× - = -
x - a
易知 P关于 y 轴的对称点为P2 (-a,0)，
根据光线反射原理知P1,Q, R, P2四点共线，且 PQ = P1Q ， PR = P2R ，
y 3- a - 0 3 - a所以直线QR 的方程为 = x - (-a) y = (x + a)3- (-a) ，即 3 + a ，
又直线QR 过G(1,1)，
所以1
3- a
= (1+ a)，解得 a =1或 a = 0（舍去），
3+ a
所以P(1,0)，P1(3, 2)，P2 (-1,0) ,
所以 P1P2 = (3 +1)
2 + (2 - 0)2 = 2 5 ，
所以VPQR的周长为 PQ + QR + RP = P1Q + QR + RP2 = P1P2 = 2 5 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把VPQR的三边转化到同一条直
线上，利用直线方程求得点 P的坐标.
8．C
【详解】因为 AD ^ CD，平面 ABD ^平面 ACD ，平面 ABD 平面 ACD = AD，CD
平面 ACD ，
所以CD ^平面 ABD，
且BD 平面 ABD，可得CD ^ BD ，
uuur uuur uuur
又因为 N 在侧面BCD上（包含边界），设BN = lBC + mBD，且l,m 0,1 ,l + m 1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
可得MN = MB
1
+ BN = AB + lBC + m BD 1= AB + l AC - AB + m AD - AB2 2
1 uuur uuur uuur= - l - m AB + l AC + m AD
è 2 ÷
，
ì
x
1
= - l - m
uuuur uuur uuur uuur 2
又因为MN = x AB + y AC + z AD ，可得 íy = l ，且l,m 0,1 ,l + m 1 .
z = m
x 1 l m 1对于选项 A：若 = - - = ，则l = m = 0，可得点N 即为点 B，
2 2
显然MN I平面 ACD = A，故 A 错误；
uuur uuur
对于选项 B：若 z = m = 0，则BN = lBC ，可得点N 在线段BC 上（包括端点），
由CD ^平面 ABD，可知当且仅当点N 为点 B，MN ^ CD ，故 B 错误；
过M 作ME ^ BD ，垂足为 E ，可得 BE = BM ×cos ABD
1
= BD ，
4
ME = BM ×sin 3 ABD = BD ，
4
因为CD ^平面 ABD，ME 平面 ABD，则ME ^ CD ，
且BD CD = D，BD,CD 平面BCD，所以ME ^ 平面BCD，
MN = ME 2 2 3可得 + EN = BD 2 + EN 2 ，
4
对于选项 C：显然当点N 即为点 E 时， MN 最小，此时l 0, m
1
= = ，
4
可得 y = 0, z
1
= , x 1 1 1= - 0 - = ，故 C 正确；
4 2 4 4
对于选项 D：显然当点N 即为点C 时， NE 最大，则 MN 最大，此时l =1, m = 0，
可得 y =1, z = 0, x
1
= -1- 0 1= - ，故 D 错误；
2 2
故选：C.
uuur uuur uuur
【点睛】关键点睛：1. 设BN = lBC + mBD，且l,m 0,1 ,l + m 1，根据空间向量基
ì 1
x = - l - m
2
本定理分析可得 íy = l ，方便建立关系；
z = m
2. 3 2 2分析可得ME ^ 平面BCD，则 MN = BD + EN ，将 MN 的大小转化为 EN 的大
4
小.
9．ACD
r r r r r r
【详解】A .向量 ta + 2b 与向量 a + 3b共线，若a与b共线，则 t R ，A 错误；
B．在平行六面体中显然成立，B 正确；
ur uur ur uur r r ur uur ur uur
C.当e1 ^ e2 时， e1 ×e2 = 0，此时 a ×b = (x1e1 + y1e2 ) × (x2 e1 + y2 e2 ) = x1x2 + y1 y2 ，C 错误；
r y r z r r r r
D. 若 x 0，则 a = - b - c,则
x x a,b,c 共面.错误
故选：ACD
10．BCD
【详解】对于 A：不存在 a 使得 l2 和两定点连线垂直.，故 A 错误.
2 1
对于 B：由 l1∥ l2，得 -1 = - ，解得a =3，经检验，当 a = 3时， l1与 l2不重合，故 Ba 3
正确；
对于 C：由 l1 ^ l2，得 a - 2 + 3a = 0
1
，解得 a = ，故 C 正确；
2
l k 2 - a 2对于 D：当 a > 0时，直线 2的斜率 = = -1 (-1,0) ，当-1 < k < 0时， la a 2
的倾
a 3π斜角 , π
÷，故 D 正确.
è 4
故选：BCD
11．ACD
【详解】由题意，
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，棱长为 4，
动点 P在正方体表面 A1B1C1D1上（不包括边界），
连接BD，设BD的中点为 E ，连接 A1C1, B1D1，设两线段交点为F ，连接 A1E,CF ，
建立空间直角坐标系如下图所示，
A 4,0,0 , B 4,4,0 ,C 0,4,0 , D 0,0,0 , E 2,2,0 , F 2,2,4 ，
A1 4,0,4 , B1 4,4,4 ,C1 0,4,4 , D1 0,0,4
uuur uuur
∴ A1E = -2,2,-4 , FC = -2,2, -4 ，
∴CF ∥ A1E ，
∵ CF 面 A1BD ， A1E 面 A1BD ，
∴CF ∥面 A1BD ，
∴当点 P在F 2,2,4 处时，CP / / 面 A1BD ，
∴存在点 P，使得CP∥面 A1BD ，故 A 正确；
uuuur uuur
B 项，在面 A1BD 中，DA1 = 4,0,4 , DB = 4,4,0 ，
ur
设面 A1BD 的法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，
uuuur ur
ìDA1 × n1 = 0 ì4x + 4z = 0 ìx + z = 0
íuuur ur 1 1 1 1即 í4x ，解得+ 4y í DB × n = 0 1 1 = 0 x1 + y1 = 0
，
1
ur
当 x1 = -1时， n1 = -1,1,1 ，
uuur ur ur
若 AP ^ 面 A1BD ，则 AP = tn1 = -t, t, t ，P = tn1 = 4 - t, t, t ，
∵动点 P在正方体表面 A1B1C1D1上，
∴ t = 4，此时P = 0,4,4 ，与C1重合，
∵点 P不在边界上，故不存在点 P，使得 AP ^ 面 A1BD ，B 错误；
C 项，因为 AA1 / /CC
π
1， AP与CC1的夹角为 ，6
AA π所以 AP 与 1所成的角为 ，6
π
则 A1AP = 6
由几何知识得，点 P的轨迹是以点 A1为圆心， A1P 为半径的圆的四分之一（即 P 1P2 ），
在VAA1P 中， AA1 = 4
π π
， A1AP = ， AA P = ，6 1 2
∴ A π 3 4 31P = AA1 × tan = 4 = ，6 3 3
∴ P 1 2πA P 1 2π 4 3 2 3点 的轨迹长度为： × 1 = = π，C 正确；4 4 3 3
D 项，M 为面C1CDD1的中心，作点 A 关于平面 A1B1C1D1的对称点 A2，
连接 A2M ，当 AP＋PM 最小时， A2P = AP, AA1 = A1A2 = 4，
∴ A2 4,0,8 ，M 0,2,2 ，
∴ AP＋PM = A2P＋PM = A2M = 4 - 0
2 + 0 - 2 2 + 8 - 2 2 = 2 14 ，D 正确.
故选：ACD.
12．16
r r r
【详解】 a - b = 4,2 - x, 4 r r，因为 (a - b ) ^ a ，所以6 4+ 2 2- x + 4 = 0，
所以 x =16 .
故答案为：16
13 2．
2
【详解】分别取线段 A1D1, A1B1的中点 Q，P，连接 MQ，MP，PQ，如图所示．
连接 AB1，易知 AB1 / /DC1, AB1 / /MP，所以MP / /DC1．
因为MP 平面 BDC1, DC1 平面BDC1 ，所以MP / / 平面BDC1 ，
同理可得MQ / / 平面BDC1 ，
又MP MQ = M , MP, MQ 平面 MPQ，故平面MPQ / / 平面BDC1 ，
故点N 在线段 PQ 上，且不与 P，Q 重合．
uuur uuur uuur
以点 B为坐标原点，BA, BC, BB1 的方向分别为 x轴、 y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直
角坐标系．
uuur uuur
令正方体棱长为 2，设 PN = l PQ ，则M (2,0,1), P(1,0, 2) ，Q(2,1, 2),C(0, 2,0),
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
C1(0, 2, 2), MN = MP + PN = MP + lPQ = (-1,0,1) + (l,l,0) = (l -1,l,1),CC1 = (0,0, 2)，
uuuur uuuur 1
cosa cos MN ,CC 2所以 = 1 = = 22 (l -1)2 + l 2 +1 2 l 1 3
．
-
÷ +
è 2 2
1
当l = 时， cosa 6 2取得最大值，为 ，此时 tan a
1
= 12 -1取得最小值 ，故 tana2 3 cos a 2
2
的最小值为 ．
2
2
故答案为： .
2
4
14． - ，20
3
方法一：
π
设∠ = θ，(θ ∈ 0, 2 )
4 4 2
= 2 + ， = 4 + 2 tan θ ， = +tan θ sin θ cos θ
4 4 2
∴ △ = 6 + + 2 tan θ + +tan θ sin θ cos θ
2(sin θ + 1) 4(cos θ + 1)
= 6 + +
cos θ sin θ
2 1 + tan 4
= 6 + 2 +1 ― tan 2 tan
2
令 tan 2 = ∈ (0,1)
2(1 + ) 4
∴ △ = 6 + 1 ― +
4 4
= 4 + 1 ― +
4 3
= 4 + 1 ― + [(1 ― ) + ]
4 4(1 ― )
= 4 + 4 + 1 ― + + 4
4 4(1 ― )
≥ 12 + 2 1 ― = 20
4 4(1 ― ) 1
当且仅当 1 ― = = 2 = tan 2 ，
2 tan 4
即 tan θ = 2 θ = 3 时等号成立1 ― tan2 2
4
= ― tan θ = ― 3
方法二：
设直线 + =1， >0， >0
2 4
则 + =
1
则 △ = + + 2 + 2
3 2 4 2
= + + 2 + 2 5 + 5
3 4
≥ + + 5 + 5
8 9
= 5 + 5
8 9 2 4
= 5 + 5 +
16 32a 18b 36
= 5 + 5b + 5a + 5
52 32a 18b
≥ 5 +2 5b 5a
52 48
= 5 + 5
= 20
3 = 4
5 5
32 = 18 当且仅当 时，等号成立.
5 5
2 + 4 = 1
= 5
解得 = 20 此时 = ―
= ― 4
3 3
15．(1) 2x - 3y +11 = 0
1
(2) y = x或 x - y -1 = 0
2
3 3
【详解】（1）由直线 l2 : 3x + 2y -8 = 0 y = - x + 4可得斜率为- ，2 2
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 y
2
= x+b，
3
2
则依题意有5 = 2+b b
11
，解得 = ，
3 3
y 2 x+11所以所求直线方程为 = ，整理得 2x - 3y +11 = 0；
3 3
ì2x - y - 3 = 0 ìx = 2
（2）联立 í ，解得 ，即直线 l 与 l 的交点为 (2,1)，
3x + 2y -8 = 0
í 1 2
y =1
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为 y = kx ，
代入 (2,1) k
1 1
得 = ，此时 y = x；
2 2
x y
当直线的截距都不为 0 时，设直线方程为 + =1(a,b 0)，
a b
ì a = -b
依题意 í 2 1 ，解得 a =1,b = -1，此时直线方程为 x - y -1 = 0，
+ =1 a b
1
综上所述：所求直线方程为 y = x或 x - y -1 = 0 .
2
1 r 1 r r
16．(1) - a + b - c
2 2
(2) 6
2
uuuur uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 r【详解】（1）B1M = AM - AB1 = AB r+ AD - AB + BB2 1 = a + b2
r
- a + cr
1 r 1 r r
= - a + b - c .
2 2
r r r r r r r r r
（2）由题意： a = b = c =1， a ×b = 0 ， a ×c = b ×c
1
=1 1 cos 60° = ，
2
uuuur 2 1 r 1 r r
2
1 r 2 1 r2 r2 1 r r r r r rB1M = - a + b - c ÷ = a + b + c - a ×b + a ×c - b ×c
1 1
= + +1 0 1 1 3- + - = ，
è 2 2 4 4 2 4 4 2 2 2
uuuur 6
所以 B1M = .2
17．(1) 2x - 3y - 2 = 0；
(2) 2x - 3y -12 = 0或 2x - 3y + 8 = 0．
【详解】（1）如图，由点 B在直线 y = x 上，设B m,m ，又 A 2,4 ，
M m + 2 , m + 4 则 AB 的中点 2 2 ÷在直线
x + 4y - 4 = 0上，
è
m + 2 4 m + 4所以 + - 4 = 0，解得m = -2，所以B -2,-2 ．
2 2
设点 A 2,4 关于直线 y = x 对称的点为 A x0, y0 ，
ì y0 - 4
= -1 x - 2 ìx0 = 4
则有 í 0 ，解得 í ，即 A 4,2 ．
y0 + 4 x + 2 y = 2
=
0 0
2 2
2 - -2
显然 A 4,2 2在直线BC 上，则直线BC 的斜率 k = =4 - -2 3 ，
2
则直线BC 的方程为 y + 2 = x + 2 ，整理得 2x - 3y - 2 = 0．
3
2 2 - 3 4 - 2
（2）点 A 到直线BC 10 13的距离 d = = ．
4 + 9 13
因为点 P满足 S△PBC = S△ABC ，所以点P, A到直线BC 的距离相等，
所以直线 l与直线BC 平行，且直线 l到直线BC 的距离等于点 A 到直线BC 的距离．
设 l : 2x -3y + n = 0 n n + 2 -2 10 13，则 = ，解得 n = -12或 8，
13 13
所以直线 l的方程为 2x - 3y -12 = 0或 2x - 3y + 8 = 0．
18．(1)证明见解析；
4
(2) ；
5
(3) 8 5 .
5
【详解】（1）（1）法一、在正方形BCC1B1中，
由条件易知 tan C FG
C G 1 FB
1 =
1 = = 1 = tan B BF C FG = B BF
C1F 2 BB
1 ，所以 1 1 ，
1
则 B FB
π
1 + B1BF = = C1FG + B FB，2 1
π
故 BFG = π - C1FG + B1FB = ，即FG ^ BF ，2
在正方体中，易知D1C1 ^平面BCC1B1，且 EF / /D1C1，
所以EF ^ 平面BCC1B1，
又 FG 平面BCC1B1，∴ EF ^ FG，
∵ EF I BF = F ，EF , BF 平面EBF ，∴GF ^平面EBF ；
法二、如图以 D 为原点建立空间直角坐标系，
则B 4,4,0 , E 2,0,4 , F 2,4,4 ,G 0,4,3 ，
uuur uuur uuur
所以EF = 0,4,0 , EB = 2,4, -4 , FG = -2,0,-1 ，
mr设 = a,b,c 是平面EBF 的法向量，
ìmr
uuur
× EF = 4b = 0
则 í r uuur ，令 a = 2，则b = 0,c = 1，
m × EB = 2a + 4b - 4c = 0
r
所以m = 2,0,1 是平面EBF 的一个法向量，
uuur
FG mr
uuur
易知 = - ，则 F G 也是平面EBF 的一个法向量，∴GF ^平面EBF ；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
uuur uuur
所以EG = -2,4,-1 , BG = -4,0,3 ，
r
由（1）知m = 2,0,1 是平面EBF 的一个法向量，
r uuur
r ìn × EG = -2x + 4y - z = 0
设平面EBG 的一个法向量为n = x, y, z ，所以 í r uuur ，
n × BG = -4x + 3z = 0
令 x = 6，则 z = 8, y = 5，
r
所以n = 6,5,8 平面EBG 的一个法向量，
设平面EBF 与平面EBG 的夹角为a ，
r r
cosa cosmr , nr
m × n 20 4
则 = = r r = =m × n 5 ，5 125
4
所以平面 EBF 与平面 EBG 的夹角的余弦值为 ；
5
uuur
（3）因为D 0,0,0 , E 2,0,4 ，所以DE = 2,0,4 ，
mr又 = 2,0,1 是平面EBF 的一个法向量，
uuur
DE mr×
则 D 到平面EBF 8 8 5的距离为 d = r = = .m 5 5
8 5
所以点 D 到平面 EBF 的距离为 .
5
19．(1)证明见解析
(2)（i） 5 ；（ii 3- 5）
2
【详解】（1）取 AC 的中点M ，连接 BM，DM.
因为 AB = BC,CD = AD, M 为 AC 的中点，所以BM ^ AC, DM ^ AC，
又因为BM I DM = M , BM , DM 平面BDM ，所以 AC ^平面BDM .
又因为BD 平面BDM ，所以 AC ^ BD .
（2）（i）连接 EM，因为EA = EC ，所以EM ^ AC ，由（1）知 AC ^平面BDM ，
则 E, B, D, M 四点共面.
结合题意知△ABC @△ADC ，可得MB = MD，
在四边形 EBMD 中，EB = ED, MB = MD，根据对称性，可知 EM 垂直平分BD .
因为 AC / /a , BD / /a ，所以在平面a 内存在点 F，G，使得EF / / AC, EG / /BD ，
则EM ^ EF , EM ^ EG ，EG EF = E, EG, EF 平面a ，即得EM ^平面a
uuur uuur uuuur
如图，以 E 为坐标原点，EF , EG, EM 的方向分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐
标系，
设 AC = BD = 2r ，直线 AC 到平面a 的距离为h1, BD 到平面a 的距离为h2 ，
则 A r,0,h1 , B 0,r,h2 .
ìr 2 + h21 = 2,
因为EA = 2, EB = AB 2= 1，所以 ír + h22 =1,
2r 2 + h1 - h
2
2 =1,
解得h2 5 +1 2 5 -1 2 3 - 51 = ,h2 2
= , r = ，
2 2
故 AC 到平面a 的距离与 BD 到平面a 的距离的平方和为h21 + h
2
2 = 5 .
ur uuur uuur
（ii）设平面 AEB的法向量为m = (x, y, z)，而EA = r,0, h1 , EB = 0, r, h2 ，
r uuur
ìm × EA = 0 ìrx + h1z = 0 r
则 í r uuur ，即 íry h z 0，取
m = h1,h2,-r .
m × EB = 0 + 2 =
r
设平面 AEB 与平面a 的夹角为q，取平面a 的一个法向量为 n = (0, 0,1)，
3 - 5
ur r
| cos m,n | r 3 - 5则 á = = 2 =
h2 + h2
，
1 2 + r
2 3 + 5 2
2
3- 5
故平面 AEB 与平面a 夹角的余弦值为 2高 2024 级高二上期 10 月月考数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
（命题人：张权 审题人：杨柳）
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．过点 (1,2)和点 (3,0)的直线的倾斜角为（ ）
A． 45 B． 60 C．135 D．150
2．已知 a = (1,2,3),b = (2,4,6)，则下列结论正．确．的．是（ ）
A．a ⊥ b B．a = b C．a∥b D． | a |=| b |
3．在空间直角坐标系中，点 P(1, 2,3)关于 xOz平面对称的点的坐标是（ ）
A． (1, 2,3) B． ( 1, 2,3) C． (1, 2, 3) D． ( 1, 2, 3)
4．已知a,b,c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．a,2b,b c B． 2b,b 2a,b + 2a
C．3a,a b,a + 2b D． c,a + c,a c
5．已知空间中有 A(1, 2,3)， B ( 1,2,2)，C (2,0,1)三点，则点 A到直线BC的距离为（ ）
3 70 3 21 2 14 8
A． B． C． D．
14 7 7 7
6．在长方体 ABCD A1B1C1D1中， P是棱CC1上一动点， AD = 2，则 AP A1D1 等于（ ）
A．1 B． 1 C．4 D． 4
7．如图，在等腰直角△ABC中，AB = AC = 3，点 P是边 AB上异于端点的一点，
光线从点 P出发经BC，CA边反射后又回到点 P，若光线QR经过△ABC的重心，
则△PQR的周长等于（ ）
A． 2 5 B．2 7 C．3 2 D．4 2
8．在四面体 ABCD中（如图），平面 ABD ⊥平面 ACD，△ABD是等边三角形，AD =CD，AD⊥CD，
M为 AB的中点，N在侧面△BCD内（包含边界），若MN = xAB + yAC + zAD， ( x, y, z R )则下列
正．确．的．是（ ）
1
A．若 x = ，则MN∥平面 ACD B．若 z = 0，则MN ⊥CD
2
1
C．当 MN 最小时， x = D．当 MN 最大时， x = 0
4
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二、多选题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的 4个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．下列说法错．误．的．是（ ）
2
A．若向量 ta + 2b与向量 a + 3b共线，则 t =
3
B．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，向量 AB与向量 A1B1 相等
C．e1,e2 为空间中两个不共线的单位向量，若a = x1e1 + y1e2 ,b = x2e1 + y2e2 ，则a b = x1x2 + y1y2
D．若a,b,c为空间中不共面的三个向量，则存在不全为 0 的有序实数组 (x, y, z) ，使得
xa + yb + zc = 0
10．已知直线 l1 : x + 3y + 9 = 0, l2 : (a 2) x + ay + 7 a = 0，则（ ）
11 1
A．点 P( , )到 l2 距离的最大值为 2 2
2 2
B．若 l1∥ l2 ，则a =3
1
C．若 l1 ⊥ l2，则a =
2
3
D．若 a 2，则 l 倾斜角的取值范围为 , 2
4
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，动点 P在正方体表面 A1B1C1D1上（不包括边界），则
下列说法正．确．的．是（ ）
A．存在点 P，使得CP∥面 A1BD
B．存在点 P，使得 AP ⊥面 A1BD
π 2 3
C．若 AP与CC1 的夹角为 ，则点 P的轨迹长度为 π
6 3
D．若M 为面C1CDD1的中心，则 AP＋PM的最小值为 2 14
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知空间向量a = (6,2,1)，b = (2,x, 3)，若 (a b) ⊥ a，则 x = ．
13．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点M 为棱 AA1的中点，
若 N为底面 A1B1C1D1内一点（不包含边界），且满足MN∥平面BDC1．
设直线MN与直线CC1所成的角为 ，则 tan 的最小值为 ．
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14．在平面直角坐标系中过点 P(2,4)作直线 AB，分别与 x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点 A,B．当
直线 AB的斜率为 时,△AOB的周长最小，其最小周长是 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知直线 l1 : 2x y 3 = 0,l2 : 3x + 2y 8 = 0 ．
(1)求经过点 A(2,5) 且与直线 l2垂直的直线方程；
(2)求经过直线 l1与 l2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
16．（15 分）
如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AC与 BD相交于M ，设 AB = a， AD = b， AA1 = c .
(1)用 a、b、c表示 B 1M ；
(2)若该平行六面体所有棱长均为 1，且 A1AB = A1AD = 60 , DAB = 90 ，求 B1M ．
17．（15 分）
已知△ABC的顶点 A(2,4) , AB边上的中线CM所在直线的方程为 x + 4y 4 = 0, ABC的平分
线 BH 所在直线的方程为 y = x．
(1)求直线BC的方程；
(2)若直线 l上任意一点 P，都满足 S△PBC = S△ABC，求直线 l的方程．
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18．（17 分）
已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，E，F分别为 A1D1,B1C1的中点，G在线段CC1上，且
CG = 3GC1．
(1)求证∶GF ⊥面EBF；
(2)求平面 EBF与平面 EBG夹角的余弦值；
(3)求点 D到平面 EBF的距离．
19．（17 分）
如图，将△EAB,△ECB,△ECD,△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ABCDE，其中
EA = EC,EB = ED,AB = BC =CD = DA .连接 AC,BD，过点E作平面 ，满足 AC / / ,BD / / ．
(1)证明： AC ⊥ BD．
(2)若 EA= 2,EB = AB =1，且 AC = BD．
（i）求 AC到平面 的距离与 BD到平面 的距离的平方和；
（ii）求平面 AEB与平面 夹角的余弦值．
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