北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-30 20:38:38 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2+4x-4的对称轴为直线（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=-4 D．x=4
2．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y=-x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
3．在直角坐标平面内，把二次函数y=（x+1）2的图象向下平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（ ）
A．y=（x+1）2-2 B．y=（x-1）2 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+3）2
4．已知二次函数y=3（x-2）2-3，其图象的对称轴是（ ）
A．直线x=3 B．直线x=-2 C．直线x=2 D．直线x=-3
5．已知二次函数y=ax2-4ax+1-a的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C． D．
6．若A（-4，y1），B（-6，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
7．已知，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的点，且|x1|＞|x2|，则y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
9．记实数x1、x2，中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，-1}=-1，当x取任意实数时，则min{-x2+4，-3x}的最大值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，且过点，有下列结论：①abc＞0；②4ac-4a2＜0；③4a-2b+c＞0；④m（am-b）≥a-b；其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=-3（x-h）2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则h的值可以是 ______（写出一个符合要求的值即可）．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为x=-1，下列结论：①a+b+c=0；②abc＞0；③当x＜-4时，y＞0；④3a+b＞0，正确的有 ______．
13．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
14．如图，等边三角形ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为.若抛物线y=2x2+c与等边三角形ABC的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是______．
15．如图，矩形ABCD中，AB=2cm,AD=7cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小值为______．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y=x2-6x+5．
（1）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当1≤t≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3，求t的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点．
（1）当m=-1时，有y1=y2，求a的值；
（2）若a＞0，当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，求n的取值范围．
18．已知抛物线G：y=ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，-3a+c）．直线l：y=kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1=S2+4．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求直线l：y=kx+n的解析式；
（3）当x1＜x2，c=3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围．
19．已知抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
（1）求抛物线L的对称轴；
（2）若点（2，m），（4，n），（5，p）均在抛物线上，m、n、p只有一个为正数．
①求a的取值范围；
②直接写出符合①条件的一个x的取值范围，使得y随x的增大而减小；
（3）若a=1，将抛物线L向左平移m个单位（m＞0），得到抛物线L1，点P为抛物线L1上一点，且P横坐标为0，过点P作PE∥x轴交抛物线L与点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE=4，求m的值．
20．在正方形ABCD中，AB=2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x,△AEF的面积为y.
（1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式．
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值．
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、A 3、A 4、C 5、B 6、D 7、B 8、B 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、1（答案不唯一）； 12、①③④； 13、＜k≤1或k=； 14、0＜c＜或c=-2； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-4）；
（2）∵顶点坐标为（3，-4），
∴当x=3时，y最小值=-4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∴当x=1时，y最大值=0，
∵当3＜x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴当x=6时，y最大值=5．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为5，最小值为-4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x=t+3时，n=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
当x=t时，m=t2-6t+5，
∴m-n=（t2-6t+5）-（t2-4）=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴n=-4，
i）当0≤t≤时，在x=t时，m=t2-6t+5，
∴m-n=（t2-6t+5）+4=t2-6t+9，
∴t2-6t+9=3，解得t1=3-，t2=3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x=t+3时，m=t2-4，
∴m-n=（t2-4）+4=t2，
∴t2=3，解得t1=，t2=-（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而增大，
当x=t时，n=t2-6t+5，
当x=t+3时，m=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
∴m-n=t2-6t+5-（t2-4）=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去），
综上所述，t=3-或．
17、解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-2a2x+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x==a.
∵点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点，且当m=-1时，有y1=y2，
∴=a,
解得：a=-，
∴a的值为-；
（2）∵a＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大．
又∵当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，
∴若n＞0，则na≥-a+2[a-（-a）]，
解得：n≥3；
若n＜0，则（n+1）a≤-a,
解得：n≤-2．
∴n的取值范围为n≤-2或n≥3．
18、解：（1）令x=1，则y=a+b+c=-3a+c,
∴b=-4a；
（2）∵直线l：y=kx+n过点D（2，0），
∴0=2k+n,
∴n=-2k,
∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，A，B的纵坐标相等，
∴x1+x2=4，
对于直线l：y=kx-2k,令y=2，则x=，
∴E（，2），
∵D（2，0），AB所在直线为：y=2，
∴D到AB的距离为2，
∴S1-S2=×2×AE-×2×BE=AE-BE=4，
∴-x1-（x2-）=4，
解得：k=1，
∴直线l的解析式为：y=x-2；
（3）∵c=3a,
∴C（1，0），y=ax2-4ax+3a,
∵F在直线l上，
∴F（5，3），
∵对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
∴当抛物线G与线段DF有且只有一个交点时，F在抛物线下方，
∴25a-20a+3a≥3，
∴a≥．
19、解：（1）∵抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
∴对称轴为直线，
∴对称轴为直线x=3；
（2）①∵对称轴为直线x=3，
∴（2，m），（4，n）是对称点，
∴m=n,
∴m=4a-12a+5=-8a+5，
把（5，p）代入L得，
p=25a-30a+5=-5a+5，
∴m=n=-8a+5≤0，
p=-5a+5＞0，
∴；
②∵对称轴为直线x=3，
∴当x≤3时y随x的增大而减小，可以是x=2（答案不唯一）；
（3）解：若a=1，则L：y=x2-6x+5，
①如图
设L1与PE交于点Q，
∵L1的对称轴为x=3-m,
∴PQ=2（3-m），PE=2（3-m）+m=6-m,
∵6-m=4，
∴m=2；
②如图
PE=m=4，
∴m=4；
综上所述，m=2或4．
20、解：（1）由题意，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴∠ABC=∠C=∠ADC=∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°，
∴EF∥∥BD，
∴∠CEF=∠CBD=45°，∠CFE=∠CDB=45°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=x,
∴BE=DF=2-x,
∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF
=
=
=．
∴．
（2）∵EF∥BD，
∴∠CEF=∠CBD=45°，∠EFB=∠ABD=45°．
∴∠BEF=∠EFB，
∵BE=BF，
∴BE=BF=x-2，
∴AF=AB-BF=4-x,
∵点F落在边AB上时，且不与A，B两点重合，
∴
∴2＜x＜4．
∵==，
且，
∴当x=3时，y最大，且△AEF面积最大值为0.5．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=x2+4x-4的对称轴为直线（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=-4 D．x=4
2．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y=-x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
3．在直角坐标平面内，把二次函数y=（x+1）2的图象向下平移2个单位，那么图象平移后的函数解析式是（ ）
A．y=（x+1）2-2 B．y=（x-1）2 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x+3）2
4．已知二次函数y=3（x-2）2-3，其图象的对称轴是（ ）
A．直线x=3 B．直线x=-2 C．直线x=2 D．直线x=-3
5．已知二次函数y=ax2-4ax+1-a的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥1 B．0＜a≤1 C． D．
6．若A（-4，y1），B（-6，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
7．已知，则y关于x的二次函数y=mx2+n的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的点，且|x1|＞|x2|，则y1与y2大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
9．记实数x1、x2，中的最小值为min{x1，x2}，例如min{0，-1}=-1，当x取任意实数时，则min{-x2+4，-3x}的最大值为（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1，且过点，有下列结论：①abc＞0；②4ac-4a2＜0；③4a-2b+c＞0；④m（am-b）≥a-b；其中正确的结论为（ ）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
二．填空题（共5小题）
11．已知二次函数y=-3（x-h）2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则h的值可以是 ______（写出一个符合要求的值即可）．
12．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为x=-1，下列结论：①a+b+c=0；②abc＞0；③当x＜-4时，y＞0；④3a+b＞0，正确的有 ______．
13．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
14．如图，等边三角形ABC的边AB在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为.若抛物线y=2x2+c与等边三角形ABC的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是______．
15．如图，矩形ABCD中，AB=2cm,AD=7cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF的面积最小值为______．
三．解答题（共5小题）
16．已知二次函数y=x2-6x+5．
（1）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当1≤t≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3，求t的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点．
（1）当m=-1时，有y1=y2，求a的值；
（2）若a＞0，当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，求n的取值范围．
18．已知抛物线G：y=ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，2），点B（x2，2），点C（1，-3a+c）．直线l：y=kx+n过点D（2，0），交线段AB于点E，记△ADE的面积为S1，△BDE的面积为S2，且S1=S2+4．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求直线l：y=kx+n的解析式；
（3）当x1＜x2，c=3a时，已知点F（5，m）在直线l上，若抛物线G与线段DF有且只有一个交点，求a的取值范围．
19．已知抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
（1）求抛物线L的对称轴；
（2）若点（2，m），（4，n），（5，p）均在抛物线上，m、n、p只有一个为正数．
①求a的取值范围；
②直接写出符合①条件的一个x的取值范围，使得y随x的增大而减小；
（3）若a=1，将抛物线L向左平移m个单位（m＞0），得到抛物线L1，点P为抛物线L1上一点，且P横坐标为0，过点P作PE∥x轴交抛物线L与点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE=4，求m的值．
20．在正方形ABCD中，AB=2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x,△AEF的面积为y.
（1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式．
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值．
北师大版九年级下 2.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、A 3、A 4、C 5、B 6、D 7、B 8、B 9、D 10、C
二．填空题（共5小题）
11、1（答案不唯一）； 12、①③④； 13、＜k≤1或k=； 14、0＜c＜或c=-2； 15、；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）∵y=x2-6x+5=（x-3）2-4，
∴对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-4）；
（2）∵顶点坐标为（3，-4），
∴当x=3时，y最小值=-4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∴当x=1时，y最大值=0，
∵当3＜x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴当x=6时，y最大值=5．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为5，最小值为-4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x=t+3时，n=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
当x=t时，m=t2-6t+5，
∴m-n=（t2-6t+5）-（t2-4）=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴n=-4，
i）当0≤t≤时，在x=t时，m=t2-6t+5，
∴m-n=（t2-6t+5）+4=t2-6t+9，
∴t2-6t+9=3，解得t1=3-，t2=3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x=t+3时，m=t2-4，
∴m-n=（t2-4）+4=t2，
∴t2=3，解得t1=，t2=-（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而增大，
当x=t时，n=t2-6t+5，
当x=t+3时，m=（t+3）2-6（t+3）+5=t2-4，
∴m-n=t2-6t+5-（t2-4）=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去），
综上所述，t=3-或．
17、解：（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-2a2x+c（a≠0），
∴抛物线的对称轴为直线x==a.
∵点A（-a,y1），B（m,y2）是抛物线y=ax2-2a2x+c（a≠0）上的两个不同点，且当m=-1时，有y1=y2，
∴=a,
解得：a=-，
∴a的值为-；
（2）∵a＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大．
又∵当na＜m＜（n+1）a时，都有y1＜y2，
∴若n＞0，则na≥-a+2[a-（-a）]，
解得：n≥3；
若n＜0，则（n+1）a≤-a,
解得：n≤-2．
∴n的取值范围为n≤-2或n≥3．
18、解：（1）令x=1，则y=a+b+c=-3a+c,
∴b=-4a；
（2）∵直线l：y=kx+n过点D（2，0），
∴0=2k+n,
∴n=-2k,
∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，A，B的纵坐标相等，
∴x1+x2=4，
对于直线l：y=kx-2k,令y=2，则x=，
∴E（，2），
∵D（2，0），AB所在直线为：y=2，
∴D到AB的距离为2，
∴S1-S2=×2×AE-×2×BE=AE-BE=4，
∴-x1-（x2-）=4，
解得：k=1，
∴直线l的解析式为：y=x-2；
（3）∵c=3a,
∴C（1，0），y=ax2-4ax+3a,
∵F在直线l上，
∴F（5，3），
∵对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
∴当抛物线G与线段DF有且只有一个交点时，F在抛物线下方，
∴25a-20a+3a≥3，
∴a≥．
19、解：（1）∵抛物线L：y=ax2-6ax+5（ay=0）．
∴对称轴为直线，
∴对称轴为直线x=3；
（2）①∵对称轴为直线x=3，
∴（2，m），（4，n）是对称点，
∴m=n,
∴m=4a-12a+5=-8a+5，
把（5，p）代入L得，
p=25a-30a+5=-5a+5，
∴m=n=-8a+5≤0，
p=-5a+5＞0，
∴；
②∵对称轴为直线x=3，
∴当x≤3时y随x的增大而减小，可以是x=2（答案不唯一）；
（3）解：若a=1，则L：y=x2-6x+5，
①如图
设L1与PE交于点Q，
∵L1的对称轴为x=3-m,
∴PQ=2（3-m），PE=2（3-m）+m=6-m,
∵6-m=4，
∴m=2；
②如图
PE=m=4，
∴m=4；
综上所述，m=2或4．
20、解：（1）由题意，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴∠ABC=∠C=∠ADC=∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°，
∴EF∥∥BD，
∴∠CEF=∠CBD=45°，∠CFE=∠CDB=45°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=x,
∴BE=DF=2-x,
∴S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF
=
=
=．
∴．
（2）∵EF∥BD，
∴∠CEF=∠CBD=45°，∠EFB=∠ABD=45°．
∴∠BEF=∠EFB，
∵BE=BF，
∴BE=BF=x-2，
∴AF=AB-BF=4-x,
∵点F落在边AB上时，且不与A，B两点重合，
∴
∴2＜x＜4．
∵==，
且，
∴当x=3时，y最大，且△AEF面积最大值为0.5．