湘教版九年级下册 第1章 二次函数 单元测试（含答案）

湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=-（x+m）2+3的顶点坐标是（1，3），则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．-1
2．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　）
A．1 B．-2 C．2 D．2或-2
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＜0 C．b2-4ac＜0 D．a+b+c＞0
4．二次函数y=-2x2的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．下表示用计算器探索函数y=x2+5x-3时所得的数值：
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y -3 -1.69 -0.25 1.31 3
则方程x2+5x-3=0的一个解x的取值范围为（　　）
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5 C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
6．若关于x的函数y=（a+3）x2-a+1是二次函数，则a应满足（　　）
A．a≠-3 B．a≠0 C．a=-3 D．a≠1
7．二次函数y=2x2-4x+3的图象先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度后的抛物线解析式为（　　）
A．y=2（x-4）2-4x+1 B．y=2（x+4）2+1
C．y=2x2+12x+17 D．y=2x2-10x-17
8．已知，二次函数y=-ax2+2a2x的图象经过点和点（a+2，y2），且y1y2＞0，则a的取值范围是（　　）
A．-2＜a＜0 B．a＜-2或0＜a＜2
C．-2＜a＜0或a＞2 D．a＜-2或a＞2
9．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（　　）米．
A．8 B．9 C．10 D．11
10．在平面直角坐标系中，二次函数y1，y2的图象如图所示，则函数y=y1-y2的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（m,0），0＜m＜1，下列结论中：①abc＞0；②3a+c＞0；③若t为任意实数，则有a-bt≤at2+b；④当此抛物线经过点时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1＜x2），可求得x1+2x2=-2．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
12．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②bc＞0；③；④若m的取值范围是1＜m≤3，则直线y=x+m与y=|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，则正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．如果抛物线y=（2-a）x2+x-1的开口向下，那么a的取值范围是 ______．
14．将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到的函数图象的表达式是 ______．
15．已知二次函数y=（a-3）x2-4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 ______．
16．把函数y=x2-4x-5的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数y=|x2-4x-5|的图象．
（1）函数y=x2-4x-5的顶点为______．
（2）若函数y=-x+b与函数y=|x2-4x-5|有3个交点，则b的值为______．
17．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限内抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m,连接OD，交直线BC于点E．则的最大值为______．
三．解答题（共5小题）
18．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
（1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
（3）若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
19．在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b,c是常数）．
（1）若c=2，当x=-1时，y=4，求y的函数表达式．
（2）当c=b-2时，判断函数y=x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由．
（3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值．
20．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在（2）的条件下，在线段AP上是否存在一点M，使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出△MBC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
21．2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距离水面CD的高BC为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）当k=时，求这条抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米，CF=6米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2的函数图象与x轴交于A（-4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一动点P，连接AP，CP，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线l∥x轴，点M为直线l上一动点，MN⊥x轴，垂足为N，连接PN，MB，当△APC的面积取得最大值时，求PN+MN+MB的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx-2沿射线AC方向平移个单位长度得到新的抛物线y′，D为BC的中点，在新抛物线y′上存在一点Q使得∠CDQ=∠ACB，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、D 4、D 5、C 6、A 7、C 8、D 9、C 10、A 11、B 12、C
二．填空题（共5小题）
13、a＞2； 14、y=2（x-2）2-3； 15、5； 16、（2，-9）；5或； 17、1；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）根据题意，得y=80-2（x-40）=-2x+160，
∴y与x之间的函数关系式：y=-2x+160；
（2）根据题意，得（x-30）（-2x+160）=1200，
解得x1=60，x2=50，
∵尽可能让利于顾客，
∴x=50，
答：每个毛绒玩具售价应定为50元；
（3）∵W=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵获利不得高于进价的80%，30×（1+80%）=54，
∴30≤x≤54，
∵-2＜0，
∴当x＜55时，W随着x的增大而增大，
∴当x=54时，W最大，此时W=-2（54-55）2+1250=1248．
答：每个售价定为54元时，每天销售毛绒玩具所获利润W最大，最大利润是1248元．
19、解：（1）把c=2代入得，y=x2+bx+2，
∵当x=-1时，y=4，
∴4=1-b+2，
∴b=-1，
∴二次函数的关系式为y=x2-x+2；
（2）∵c=b-2，
∴Δ=b2-4c
=b2-4（b-2）
=b2-4b+8=（b-2）2+4＞0，
∴函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）∵的对称轴为直线：，
当时，
∴函数最大值为：y=22+2+2=8，
函数最小值为y=m2+m+2，
∴8-m2-m-2=5，即m2+m-1=0，
解得：（舍去），
∴；
当时，
∴函数最大值为：y=22+2+2=8，
函数最小值为，
∴，不符合题意；
当m≤-3时，
∴函数最大值为：y=m2+m+2，
函数最小值为，
∴，即，
∴（两个都不符合题意，舍去）；
∴m的值为．
20、解：（1）当y=0时，，
解得x1=2，x2=-2，
∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（2，0），
当x=0时，，
∴C点坐标为（0，-2）；
（2）∵B（2，0），C（0，-2），
∴设直线BC的解析式为：y=kx-2，把B（2，0）代入，得：k=1，
∴直线BC解析式：y=x-2，
∵AP∥CB，设直线AP的解析式为：y=x+h,把A（-2，0）代入得：
-2+h=0，h=2，
则直线AP解析式为：y=x+2，
联立解析式有：，
解得，，
∴P点坐标为（4，6），
；
（3）存在．
延长CA到点C′，使AC′=AC，过点C′作C′D⊥x轴于点D，连接BC′，
∵A（-2，0），B（2，0），C（0，-2），
∴OA=OB=OC=2，
∴∠OAC=∠OBC=45°，
∵AP∥BC，
∴∠PAB=∠OBC=45°，
∴∠PAC=90°，
∴C与C′关于AP对称，且A为CC′的中点，
∴C′点坐标为（-4，2），MC=MC′，
∴△BMC的周长为：BC+BM+CM=BC+BM+C′M≥BC+BC′，
∴当M在线段BC′上时，△BMC的周长最小，
同（2）法可得：直线BC′的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴点M的坐标为（-1，1），
∴在线段AP上存在一点M（-1，1），使△MBC的周长最小．
21、解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，k），A（2，3），
又∵k=，
∴可设抛物线解析为：y=a（x-3）2+，
则3=a（2-3）2+，
解得：a=-，
故抛物线解析式为：y=-（x-3）2+；
（2）根据题意，抛物线解析式为：y=-（x-3）2+，
令y=0，则0=-（x-3）2+，
解得：x1=3+，x2=3-（舍去）．
∴运动员落水点与点C的距离为（3+）米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y=a（x-3）2+k,
将点A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3-k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x=时，y=a+k≥0，即（3-k）+k≥0，
解得：k≤，
当x=6时，y=9a+k≤0，即9（3-k）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
22、解：（1）抛物线y=ax2+bx-2的函数图象与x轴交于A（-4，0），B（2，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的函数图象与y轴交于点C，
当x=0时，得：y=-2，
∴C（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b,把点A，点C的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线AC的解析式为，
设点，过点P作PP′⊥x轴，交直线AC于点G，如图，则点，
∴GP==，
∴S△APC=S△APG+S△CPG=GP OA=×4=，
∵S△APC==-，
∴当m=-2时，△APC的面积取最大值，
∴P（-2，-2），
∴P′（-2，0），
作点B关于直线l的对称点B′，连接B′P′交直线l于点M，则B′M=BM，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴OD=OC=2，
∵点M为直线l上一动点，MN⊥x轴，
∴MN=OD=2，
∴PP′=MN=2，
∵PP′∥MN，
∴四边形PP′MN是平行四边形，
∴P′M=PN，
∴PN+MN+MB=P′M+B′M+MN=P′B′+MN，
由两点之间线段最短，可知此时PN+MN+MB的值最小，
∵点B与点B′关于直线l的对称点，
∴BB′=4，
又∵BP′=2-（-2）=4，
∴P′B′==4，
∴PN+MN+MB的最小值=P′B′+MN=4；
（3）Q点的坐标为或．理由如下：
∵直线AC的解析式为，
∴可设抛物线y=沿射线AC向下平移t的单位长度，再向右平移2t的单位长度得到新的抛物线y′，
∵t2+（2t）2=，
∴t=2，
∴抛物线y=沿射线AC向下平移2的单位长度，再向右平移4的单位长度得到新的抛物线y′，
∵y==，
∴y′==，
∵点D为BC中点，
∴D（1，-1），
如图2，当AC∥DQ时，∠CDQ=∠ACB，
设直线DQ的解析式为，把D（1，-1）代入得，
，
∴，
∴直线DQ的解析式为，
由，
解得（不合，舍去）或，
∴；
当∠CDQ=∠ACB，DQ与y轴的交点为点E时，如图3，
∵OB=OC=2，
∴∠ABC=∠ECD，
又∵∠ACB=∠EDC，
∴△ABC∽△ECD，
∴=，
∵AB=2-（-4）=6，BC=2CD，
∴，
∴E（0，1），
设直线DQ的解析式为y=nx+c,把D（1，-1）、E（0，1）代入得，
，
解得，
∴直线DQ的解析式为y=-2x+1，
由，
解得（不合，舍去）或，
∴．
综上所述，当∠CDQ=∠ACB时，Q点的坐标为或．