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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第三课时《4.2.3 定理，推论》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《定理，推论》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第二节第三课时的内容。本节课内容是位于“定义—命题—证明”链条的顶端，是学生首次系统接触“定理”与“推论”概念的核心课时。教材以三角形内角和定理为例，先回顾其证明过程，明确“经过证明的真命题才叫定理”，再顺势引出“三角形外角等于不相邻两内角之和”等典型推论，并给出“由定理直接推得、无需再证”的书写习惯。
学习者分析 八年级学生已具备初步的逻辑推理能力，能通过观察归纳简单规律，但对抽象定理的严谨性理解不足。知识层面，学生能区分命题的真假，但易混淆定理与推论的层次关系；能力层面，学生能通过实例感知定理的应用，但在推导过程中易忽略隐含条件，且对反例的构造缺乏系统性；素质层面，学生习惯通过直观操作理解知识，对纯逻辑推理的接受度较低，需通过多样化活动激发兴趣。此外，部分学生存在“重结果轻过程”倾向，需强化推理过程的规范性训练。
教学目标 1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。 3.经历“回顾证明→命名定理→生成推论”的再创造过程，体会数学知识的系统化。 4.激发对数学证明的兴趣，感受数学的严谨性和逻辑性，培养实事求是的科学态度。
教学重点 理解“定理”与“推论”的逻辑关系，能用符号语言规范表述并应用。
教学难点 1.区分哪些结论可直接作为推论使用，哪些仍需重新证明。 2.在具体问题中迅速识别可用的定理或推论，形成“条件—结论”快速匹配能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：你是怎么判断“三角形的内角和等于180°”为真命题的？学生活动1： 回顾证明过程 认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：新知探究教师活动2： 探究一：定理和推论 【定义】定理：经过证明为真的命题叫作定理. 回顾：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是如何证明的？ 【定义】推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 【探究】如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 教师讲授： 解：因为∠ACE = 180°40° = 140°， ∠CBD = 180° 60° = 120°， ∠BAF = 180° 80° = 100°， 所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°. 猜测：三角形的三个外角之和等于 360°. 思考：三个内角度数未知时，外角和是多少？ 已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 证明：如图： ∵∠BAF = 180° ∠BAC, ∠CBD = 180° ∠ABC, ∠ACE = 180° ∠ACB， ∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = (180°∠BAC) + (180°∠ABC) + (180°∠ACB) = 540° (∠BAC +∠ABC +∠ACB) = 540° 180° = 360°. 推论：三角形的外角和等于 360°. 探究二：逆定理和互逆定理 【思考】问题1：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？ 问题2：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是什么？ 问题3：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题吗？ 解： “两直线平行，同位角相等”是真命题 它的逆命题是“同位角相等，两直线平行” 它的逆命题是真命题. 【定义】如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 判断方法： 判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．学生活动2： 认真听讲，了解什么是定理 回顾证明过程 认真听讲 认真思考，完成计算，进行猜测 认真听讲 认真思考，独立进行证明 认真听讲 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲，了解什么是逆定理和互逆定理活动意图说明：通过实例串联定理、推论、互逆定理概念，以“特殊到一般”“双向思考”培养逻辑思维，实现旧知迁移，落实素养。环节三：例题精讲教师活动3： 例5证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线. 求证：AE∥ BC. 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得， ∠CAD =∠B +∠C. 又∠B =∠C， 于是∠CAD = 2∠B. 由于 AE 是∠CAD 的平分线， 因此∠CAD = 2∠DAE， 从而 2∠B = 2∠DAE， 即∠B =∠DAE. 所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明.学生活动3： 认真思考 认真听讲，作图、再写出已知、求证 认真思考，进行证明 认真听讲 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 定理：经过证明为真的命题叫作定理. 推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （ ） A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实 2.下列说法正确的是（ ） A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理一定是真命题 D．基本事实不一定是真命题 3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ） A．有两个角相等的三角形是等腰三角形 B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形 D．不是等腰三角形的两个角不相等 选做题： 4.有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是 ，定理的序号是 . 5.有下列语句：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图． 其中属于定义的是 ，属于定理的是 ． 6.有下列说法： ①“三角形的内角和等于”是命题，也是定理. ②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实. ③“相等的角是对顶角”是假命题. ④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义. 其中正确的说法是 （填写序号）. 【综合拓展类作业】 7.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，写出它的逆定理。 （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）三角形的两边之和大于第三边。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法中不正确的是（ ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．假命题的逆命题可能是真命题 C．每个定理都有逆定理 D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 2.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 3.下列各命题中，是假命题的是（ ） A．推论都是定理 B．定理都是命题 C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题 【综合拓展类作业】 4.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理。 （1）内错角相等，两直线平行； （2）等边三角形的三个角都是60°； （3）对顶角相等。
教学反思 本节课需改进之处在于：其一，小组合作学习中，部分学生参与度不均衡，需加强任务分工的明确性（如指定记录员、汇报员）；其二，对隐含条件命题的剖析不够深入，可增加“命题条件补全”练习（如补充“等角对等边”的条件“在同一三角形内”）；其三，课堂时间分配需优化，可将“公理与定理的对比”调整为课后拓展任务，为定理证明与推论构造预留更多练习时间。此外，可拓展生活应用场景（如分析广告语“所有学生都爱学习”的真假），进一步凸显数学逻辑的现实价值。
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第4章 三角形
4.2.3 定理，推论
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。
2.初步认识定理、互逆定理的概念。
3.经历“回顾证明→命名定理→生成推论”的再创造过程，体会数学知识的系统化。
学习重点：
理解“定理”与“推论”的逻辑关系，能用符号语言规范表述并应用。
学习难点：
1.区分哪些结论可直接作为推论使用，哪些仍需重新证明。
2.在具体问题中迅速识别可用的定理或推论，形成“条件—结论”快速匹配能力。
学习过程
一、复习回顾
回顾：你是怎么判断“三角形的内角和等于180°”为真命题的？
二、探究新知
探究一：定理和推论
教材第100页
【定义】定理：______________________________________________________________________
回顾：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是如何证明的？
【定义】推论：__________________________________________________________________________
【探究】如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
思考：三个内角度数未知时，外角和是多少？
探究二：逆定理和互逆定理
【思考】问题1：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？
问题2：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是什么？
问题3：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题吗？
【定义】互逆定理：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三、例题精讲
例5证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
已知：
求证：
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （ ）
A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实
2.下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．定理一定是真命题 D．基本事实不一定是真命题
3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
选做题
4.有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是 ，定理的序号是 .
5.有下列语句：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图．
其中属于定义的是 ，属于定理的是 ．
6.有下列说法：
①“三角形的内角和等于”是命题，也是定理.
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实.
③“相等的角是对顶角”是假命题.
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义.
其中正确的说法是 （填写序号）.
【综合拓展类作业】
7.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，写出它的逆定理。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的两边之和大于第三边。
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在证明过程中须注意什么
六、作业布置
1.下列说法中不正确的是（ ）
A．真命题的逆命题不一定是真命题
B．假命题的逆命题可能是真命题
C．每个定理都有逆定理
D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题
2.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
3.下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．推论都是定理 B．定理都是命题
C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题
4.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理。
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）等边三角形的三个角都是60°；
（3）对顶角相等。
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解：命题“三角形三个内角的和等于180°”是定理.
故答案为：C.
2.【答案】C
【解析】解：A、命题有真命题和假命题，则本项不符合题意；
B、不正确的判断为假命题，则本项不符合题意；
C、定理一定为真命题，则本项符合题意；
D、基本事实为真命题，则本项不符合题意；
故答案为：C.
3.【答案】A
【解析】解：∵等腰三角形的两个底角相等这个定理的题设为：如果一个三角形是等腰三角形，结论是：那么这个三角形的两个底角相等，
∴该定理的逆定理为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .
故答案为：A.
4.【答案】②③；①⑤.
【解析】解：①对顶角相等，属于定理；
②两点之间线段最短，属于基本事实；
③同位角相等，两直线平行，属于基本事实﹔
④锐角都相等，是命题；
⑤两直线平行，内错角相等，属于定理.
则基本事实的序号是②③，定理的序号是①⑤.
故答案为：②③；①⑤.
5.【答案】③ ； ①② .
【解析】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等——这是平行线的性质定理；②三角形任意两边的和大于第三边——这是三角形的三边的性质定理；③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图——这是定义．
故答案为： ③ ； ①② .
6.【答案】①②③④.
【解析】解：①“三角形的内角和等于180°”是命题，也是定理，正确；
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实，正确；
③“相等的角是对顶角”是假命题，正确；
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义，正确.
故答案为：①②③④.
7.【答案】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：A、如“对顶角相等”这个命题是真命题，其逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故“ 真命题的逆命题不一定是真命题 ”说法正确，不符合题意；
B、如“相等的角是对顶角”这个命题是假命题，其逆命题为：对顶角相等，是真命题，故“ 假命题的逆命题可能是真命题 ”说法正确，不符合题意；
C、定理一定是真命题，每一个命题都有逆命题，但每一个命题的逆命题不一定是真命题，故“ 每个定理都有逆定理 ”说法错误，符合题意；
D、一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，故“ 把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
2.【答案】B
【解析】解：如图.
根据两个三角板相同可知，∠ABD=∠BAC.
∴m∥n.
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：A、推论都是命题，正确，是真命题；
B、定理都是命题，正确，是真命题；
C、命题不一定是基本事实，故错误，是假命题；
D、基本事实都是真命题，正确，是真命题.
故答案为：C.
4．【答案】（1）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理
（2）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（3）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理
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第4章 三角形
4.2.3 定理，推论
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。
01
经历“回顾证明→命名定理→生成推论”的再创造过程，体会数学知识的系统化。
02
初步认识定理、互逆定理的概念。
03
02
新知导入
回顾：你是怎么判断“三角形的内角和等于180°”为真命题的？
命题
举反例
假命题
证明
真命题
03
新知探究
定理：经过证明为真的命题叫作定理.
例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
03
新知探究
推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
回顾： “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是如何证明的？
“三角形的内角和等于180°”
“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”
三角形外角定理
03
新知探究
探究
如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
解：因为∠ACE = 180°40° = 140°，
∠CBD = 180° 60° = 120°，
∠BAF = 180° 80° = 100°，
所以∠ACE +∠CBD +∠BAF = 140° + 120° + 100° = 360°.
03
新知探究
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
三个内角度数未知时，外角和是多少？
03
新知探究
证明：如图：
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE
= (180° ∠BAC) + (180° ∠ABC) + (180° ∠ACB)
= 540° (∠BAC +∠ABC +∠ACB)
= 540° 180°
= 360°.
∵∠BAF = 180° ∠BAC,∠CBD = 180° ∠ABC,
∠ACE = 180° ∠ACB，
推论：三角形的外角和等于 360°.
03
新知探究
问题1：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？
问题2：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是什么？
问题3：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是真命题吗？
解： “两直线平行，同位角相等”是真命题
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
它的逆命题是真命题.
平行线的性质定理1
平行线的判定定理1
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
03
新知探究
判断方法：
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
03
新知探究
证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
例5
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥ BC.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
03
新知探究
例5
已知：如图，在△ABC 中,∠B =∠C,AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥ BC.
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD =∠B +∠C.
又∠B =∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于 AE 是∠CAD 的平分线，
因此∠CAD = 2∠DAE，
从而 2∠B = 2∠DAE，
即∠B =∠DAE.
所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
03
新知探究
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件；
第二步，根据命题的结论写出求证；
第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （ ）
A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实
2.下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．定理一定是真命题 D．基本事实不一定是真命题
C
C
04
课堂练习
3.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是 ，定理的序号是 .
5.有下列语句：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图．
其中属于定义的是 ，属于定理的是 ．
③
①②
04
课堂练习
6.有下列说法：
①“三角形的内角和等于180^°”是命题，也是定理.
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实.
③“相等的角是对顶角”是假命题.
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义.
其中正确的说法是 （填写序号）.
①②③④
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，写出它的逆定理。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的两边之和大于第三边。
（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补
04
课堂练习
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
05
课堂小结
定理：经过证明为真的命题叫作定理.
推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列说法中不正确的是（ ）
A．真命题的逆命题不一定是真命题
B．假命题的逆命题可能是真命题
C．每个定理都有逆定理
D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等，两直线平行
B
06
作业布置
3.下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．推论都是定理
B．定理都是命题
C．命题都是基本事实
D．基本事实都是命题
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理。
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）等边三角形的三个角都是60°；
（3）对顶角相等。
（1）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理
06
作业布置
（2）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（3）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理
07
板书设计
定理：
推论：
互逆定理：
4.2.3 定理，推论
习题讲解书写部分
Thanks!
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