贵州省遵义市遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含解析）

遵义航天高级中学2025-2026学年高二上学期10月检测 数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．在中，已知，，，则边（ ）
A． B．2 C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．在正四棱台中，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若直线l经过点P(2，3)，且在x轴上的截距的取值范围是(－1，3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－1，)
C．(－3，1)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
8．已知的直角顶点在平面 外， ,,与平面 所成的角分别为 , ,，则点到平面 的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，分别为的对边，（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，则为钝角三角形
10．若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．
C．，使得
D．设与的夹角为，则
11．已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（ ）
A．该三棱柱既有外接球，又有内切球
B．三棱锥的体积是
C．直线与直线恒不垂直
D．直线与平面所成角的正弦值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，，，，则 .
13．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°，且两条船与炮台底部的连线成30°角，则两条船之间的距离为 m.
14．点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
16．已知平面内两点A(6,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线l的方程;
(2)求过点P(2,-3)且与直线AB垂直的直线m的方程.
17．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
18．如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 是底面的内接正三角形， 为 上一点， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】在中，，
由正弦定理，得.
故选D
2．【答案】D
【详解】直线的斜率为，
对应倾斜角为.
故选D.
3．【答案】C
【详解】根据，，，得到， 的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解.
【详解】如图所示：
因为，，，
所以的中点 ，分别为 ， 的外接圆的圆心，
所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，
所以，
所以球O的表面积为，
故选C
4．【答案】D
【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；
对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误；
对于C，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；
对于D，由正弦定理可得：，所以，
因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确.
故选D.
5．【答案】C
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设，
则，，，，，0，，
则，，，，.
设平面的法向量为，
则，，
可取.
设直线与平面的夹角为 ，
则,，
又 ， .故选C.
6．【答案】A
【详解】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接，，
取，，的中点，连接，
所以，，
所以，

所以，
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，
因为，所以，
对上式两边同时平方可得：
（舍去）或，
解得，符合题意，
所以球的表面积为．
故选：A.
7．【答案】A
【详解】取x轴上的点M(－1，0)，N(3，0)，则kPM＝＝1，kPN＝＝－3.
∵直线l与线段MN相交(不包含端点)，∴k＜－3或k＞1.
8．【答案】C
【解析】过点C作 于点，连接,，则 ， .
在和中，，.
又在中,有，即，得.
即点C到平面 的距离为1.故选C.
9．【答案】ACD
【详解】
A选项，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，故为等腰三角形，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得：，即，
所以或，故或，
则为等腰三角形或直角三角形，B错误；
，由正弦定理得：，
又因为，所以，
因为，所以，所以，故，
因为，所以，C正确；
因为，
所以，即，
因为，所以，
结合，所以一负二正，所以为钝角三角形，
D正确.
故选：ACD
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当且平面时，才满足，故A错误；
对于B，若，则，若，则，即可得到，故B正确；
对于C，若，则，则，使得，若，使得则，所以，故C正确；
对于D，设与的夹角为，则，所以，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BD
【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为，
则，
，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误.
B选项，设是的中点，则，，
根据正三棱柱的性质可知，，
由于平面，所以平面，
所以，B选项正确.
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，
则，设，
，
，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
，
，
即，
所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确.
故选：BD
12．【答案】
【详解】由正弦定理得：，则，
又因为，则，所以.
13．【答案】
【详解】如图所示，设炮台顶部为，两条船分别为，炮台底部为，
则，
在直角与直角中，可得，，
则，
在中，由余弦定理得 ，
即，
所以.
故答案为：
14．【答案】
【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
16．【答案】见详解
【详解】(1)因为A(6,-6),B(2,2),所以kAB==-2,因为直线l与直线AB平行,所以kl=kAB=-2,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为y+3=-2(x-2),即2x+y-1=0.
(2)由(1)知kAB=-2.
因为直线m与直线AB垂直,所以km=-,
又直线m过点P(2,-3),
所以直线m的方程为y+3=(x-2),即x-2y-8=0.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，又，则，
所以，则.
（2）由题意，可得，又，则，
由余弦定理，有，则，
综上，的周长为.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在四棱柱中，，故四边形是平行四边形
所以，
因为平面，平面，
所以平面
（2）因为平面，平面，
所以，
因为，所以，
所以，
故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面的法向量为
即 令，则，
设直线与平面所成角为，
.
所以直线与平面所成角的正弦值是.
19．【答案】见解析
【详解】（1）设 ,由题设可得 , , , .
因此 ，从而 .
又 ,故 .
所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
由题设可得 , ,
, .
所以 , .
设 是平面 的法向量，则
即
可取 .
由（1）知 是平面 的一个法向量，记 .则 .
所以二面角 的余弦值为 .