上海市松江区2024-2025学年高三上学期期终教学质量诊断数学试卷（图片版，无答案）

松江区 2024学年度第一学期期终教学能力诊断卷
高三数学
（满分 150分，完卷时间 120分钟） 2025.1
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择
题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1～6题每题 4分，第 7～12题每题 5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集U 1,0,1,2 ，集合 A x 1 x 1, x N ，则 A _________．

2．已知向量 a (1, 2)，b (3,k)，若 a / /b，则实数 k ___________．
2x , x 2,
3．已知函数 y f (x)的表达式为 f (x) 则 f (4)的值为_________．
log2 x, x 2,
4. 2 5若 (x x ) a0x
5 a1x
6 a 72x a3x
8 a4x
9 a 105x ，则 a3的值为________.
5. 设 n 1，m 1，m、 n N，等差数列 an 的首项 a1 0，公差 d 0，若
11
am ai ，则m的值为 .
i 1
π
6. 设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若b 4，sin A 0，
3
ABC的面积为 3，则 a的值为________.
7．在△ ABC 中，已知 ACB 120°， AB 2 7 ，若 BC 2AC ，则△ ABC 的面积
为 ．
8．已知圆柱M 的底面半径为3，高为 3，圆锥 N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和
圆锥 N 的体积相同，则圆锥 N 的底面半径为 ．
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9． x y (x y)6的展开式中， x4 y3项的系数为 ．
x2 y2
10. 已知椭圆 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F ， P 为椭圆上一点，且a b2 1 2
PF2F

1 ，若此椭圆的离心率为 3 1，则 PF F 的大小为________.3 1 2
11.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台
的上、下底面直径分别为30cm和26cm，下面圆台的上、下底面直径分别为
24cm和18cm，且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等．若上面圆
台的高为8cm，则该花盆上、下两部分母线长的总和为__________ cm．
12. 已知定义域为 A {1,2,3}的函数 y f (x)的值域也是 A ,所有这样的函数 y f (x)形
成全集 B .设非空集合C B且C中的每一个函数都是C中的两个函数(可以相同)的复合函
数,则集合C的元素个数的最小值为__________.
二、选择题(本大题共有 4题，满分 18分，第 13-14题每题 4分，第 15-16题每题 5分)
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13．函数 y 1 2sin 2 x是（ ）．
A.最小正周期为 π的奇函数 B.最小正周期为 π的偶函数
π π
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
2 2
14. 某机构对 2014年至 2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示
（单位：万辆），
则下列结论中正确的是
A.这十年中国新能源汽车年销售量
的中位数为123
B.这十年中国新能源汽车年销售量
的极差为 721
C.这十年中国新能源汽车年销售量
的第 70百分位数为136.6
D.这十年中的前五年的年销售量的 第 14题图
方差小于后五年的年销售量的方差
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15 ． 已 知 函 数 y f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ，
f x x 1 x 3 0.01，则关于函数 y f x 在 R 上的零点的说法正确的是
（ ）．
A．有 4个零点，其中只有一个零点在区间 3, 1 上
B．有 4个零点，其中两个零点在区间 3, 1 上，另外两个零点在区间 1,3 上
C．有 5个零点，两个正零点中一个在区间 0,1 上，一个在区间 3,+ 上
D．有 5个零点，都不在区间 0,1 上
S
16.已知数列{an}的前 n项和为 Sn，设 tn n （ n为正整数）.若存在常数c，使得任意两两n
不相等的正整数 i, j,k，都有 (i j)tk ( j k)ti (k i)t j c，则称数列{an}为“轮换均值
数列”. 现有下列两个命题：
①任意等差数列{an}都是“轮换均值数列”.
②存在公比不为 1的等比数列{bn}是“轮换均值数列”.
则下列说法正确的是（ ）
A.①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题
三、解答题（本大题满分 78分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，
BAD CDA 90 ， PA 平面 ABCD ， Q 是 PB 的中点，
PA AD DC 1， AB 2．
（1）证明：CQ / /平面PAD；
（2）求点D到平面 PAC的距离． 第 17 题图
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18．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
设函数 y f x 的表达式为 f x sin x ，其中 0 .
1 1 m R x 0,m y f π （ ）设 ， ，若有且只有一个 0 ，使得函数 x 取得最小值，
4
求m的取值范围；
2π
（2）若对任意的 x R ，皆有 f x f x

0成立，且函数 y f x 在区间
3
π
,0

上是严格增函数，求函数 y f x 的最小正周期.
8
19．（本题满分 14分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，
长方形的边 AB为半圆的直径，O为半圆的圆心， AB 2AD 200m，现要将此空地规划出
一个等腰三角形区域 PMN（底边MN CD）种植观赏树木，其余区 域
种植花卉．设 MOB ,
π
0,

．
2

(1) 当 时，求 PMN 的面积；
3
(2) 求三角形区域 PMN面积的最大值．
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20．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3
小题满分 8分．
2 2
已知椭圆C : x y 1，F为椭圆C的右焦点，过点 F
4 3
的直线 l交椭圆C于 A、 B两点．
（1）若直线 l垂直于 x轴，求椭圆C的弦 AB的长度；
（2）设点 P 3,0 ，当 PAB 90 时，求点 A的坐
标；
（3）设点M 3,0 ，记MA、MB的斜率分别为 k1和 k2，
求 k1 k2 的取值范围．
21．（本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3
小题满分 8分．
已知定义域为 D的函数 y f (x) ，其导函数为 y f (x)，若点 (x0 , y0 )在导函数
y f (x)图像上，且满足 f (x0 ) f (y0 ) 0，则称 x0为函数 y f (x)的一个“T 类数”，
函数 y f (x)的所有“T 类数”构成的集合称为“T 类集”.
3
（1）若 f (x) sin x，分别判断 和 是否为函数 y f (x)的“T 类数”，并说明理由；
2 4
（2）设 y f (x)的图像在R 上连续不断，集合M x | f (x) 0 .记函数 y f (x)的“T
类集”为集合 S，若 S R，求证：M ；
1
（3）已知 f (x) cos( x )( 0)，若函数 y f (x)的“T 类集”为R 时 的取值构

成集合 A，求当 A时 的最大值.
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