上海市长宁区2024-2025学年高三上学期学习能力监测练习数学试卷 （图片版，无答案）

2024学年第一学期学习能力质量监测练习数学试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一
律不予评分．
3．本试卷共有 21道试题，满分 150分，考试时间 120分钟．
一、填空题（本大题共有 12题，满分 54分，第 1～6题每题 4分，第 7～12题每题 5分）考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果．
1．设全集U 1,0,1,2,4 ，若集合 A 1,2,4 ，则 A .
2. 若抛物线的准线方程为 y 1，则该抛物线的标准方程为________.
3. 设 i为虚数单位，若复数 z满足 z z z z 4 2i，则 z .
4．已知复数 z 2 i，其中 i为虚数单位，则 | iz |的值为_________．
5． (3x 1)6 2的二项展开式中， x 项的系数为_________．
6．以C(3, 4)为圆心且过点（1， 3）的圆的标准方程是______________________
7. 某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到
样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的第75百分位数是 .
8. 已知复数 z1和复数 z2 满足 z1 z2 3 4i, z1 z2 2 i（ i为虚数单位），
| z 2则 1 z
2
2 | ________.
9. 设a R，f (x) x
2 ax ln x，若函数 y f (x)存在两个不同的极值点，
则a的取值范围为__________.
10．已知函数 y f (x) 的定义域为 2, 1,1,2 ，值域为 2,2 ，则满足条件的函数 y f (x) 最多有
个．
11 3．若函数 y log 1 (ax 8x 15)在区间 (1, 2)上严格增，则实数 a的取值范围是 ．
2

12．已知 A,B,C AB AC是单位圆上任意不同三点，则 的取值范围是 ．
| AB |
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二、选择题（本大题共有 4题，满分 18分，第 13、14题每题 4分，第 15、16题每题 5分）每题有且
只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设 R，则“ cos2 1 3 ”是“ sin ”的 （ ）
3 3
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
14．若点 P a ,b ,c abc 0 关于平面 xOy的对称点为 A，关于 z轴的对称点为 B，则 A、 B
两点（ ）．
A．关于坐标原点O对称 B．关于 x轴对称
C．关于 y轴对称 D．关于平面 xOz对称
15. 已知函数 y f x 与它的导函数 y f x 的定义域均为R . 若函数 y f (x)是偶函数且 y f x
在 , 0 上是严格增函数，则下列各表中，可能成为 y f x 取值的是（ ）
A. B. C. D.
x f x x f x x f x x f x
1 2.8188 1 0.7580 1 2.4132 1 0.8664
2 1.0000 2 1.0000 2 1.0000 2 1.0000
3 0.3644 3 1.3188 3 1.5885 3 1.1188
4 0.2468 4 1.7979 4 4.1116 4 1.2240
16．已知三棱锥 A1 A2A3A4的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设 P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶
点 A1 A2 A3 A4 的点，记D d | d PAi , i 1,2,3,4 ．若集合D中有且只有 2个元素，、 、 、
则符合条件的点P有（ ）个．
A.3 B.6 C.7 D.10
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三、解答题（本大题共有 5题，满分 78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分 14分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）.
图1所示的平行四边形 ABCD中，CA CB 1，CD 2，现将 DAC 沿 AC折起，得到如图 2所
示的三棱锥 P ABC ，记棱PC的中点为M ，且 PB 3 .
（1）求证： AM BC；
（2）记棱 AB的中点为 E，在直线CE上作出点 N ，使得 PN //平面MAB，请说明理由，并求出二
面角 P NB A的大小.
第 17题图 1
第 17题图 2
18．（本题满分 14分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）.
已知常数 a 1，函数 y f (x)的表达式为 f (x) log a(x 2) log a(2 x) ．
（1）证明：函数 y f (x)是奇函数；
（2）若函数 y f (x)在区间[0,1]的最大值为 2，求实数 a的值．
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19．（本题满分 14分，第 1小题满分 4分，第 2小题第①问满分 4分，第 2小题第②问满分 6分）.
2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于 11
月 5日至 10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者
的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 15-75岁之间的 200名
参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间
为 15,25 ， 25,35 ， 35,45 ， 45,55 ， 55,65 ， 65,75 .
把年龄落在区间 15,35 内的人称为“青年人”，把年龄落在区
间 35,65 内的人称为“中年人”，把年龄落在 65,75 内的人称
为“老年人”.
（1）求所抽取的“青年人”的人数；
（2）以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取 10名参会者做进一步访谈，发现其中
女性共 4人，这 4人中有 3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的 10名参会者中任选 2人.
①简述如何采用抽签法任选 2人；
②设事件 A：2人均为“中年人”，事件 B：2人中至少有 1人为男性，判断事件 A与事件 B是否独
立，并说明理由.
20．（本题满分 18分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分）.
已知过点 P (3, 2)的双曲线C的渐近线方程
为 x 3y 0 .如图所示，过双曲线C的右焦点 F
作与坐标轴都不垂直的直线 l交C的右支于 A，B
两点.
（1）求双曲线C的标准方程；
3
（2）已知点Q( ,0)，求证： AQF BQF ；
2
AB 3（3）若以 为直径的圆被直线 x 截得的劣弧为M N ，则M N 所对圆心角的大小是否为定值？若
2
是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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21．（本题满分 18分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分）.
已知函数 y f (x)，其中 f (x) e x 1 2ln x x．
（1）求函数 y f (x)的单调区间；
（2）设函数 g(x) f (x) 2ln x，问：函数 y g(x)的图像上是否存在三点 A,B,C，使得它们
的横坐标成等差数列，且直线 AC的斜率等于 y g(x)在点 B处的切线的斜率？若存在，求出所有满
足条件的点 B的坐标；若不存在，说明理由；
（3）证明：函数 y f (x) 3图像上任意一点都不落在函数 y (x 2) 3(x 2)图像的下方．
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