2025-2026学年度第一学期南开学校第一次质量检测
高二数学试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 120分,考试时间 100分钟.考试结束后，
上交答题卡.
第 I 卷（选择题，共 40分）
一．选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．
1.图中的直线 1, 2, 3的斜率分别为 1, 2, 3，则( )
A. 1 < 2 < 3 B. 3 < 1 < 2
C. 1 < 3 < 2 D. 3 < 2 < 1
2.如果 < 0， > 0，那么直线 + + = 0 不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知直线 过点(2,0)，且一个方向向量为 4,2 ，则直线 的方程为( )
A. + 2 + 4 = 0 B. + 2 2 = 0 C. + 2 4 = 0 D. 2 2 = 0
4.已知向量 = 2, 1,3 ， = 4,2, ，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. = 103 B. =
1
2 C. =
10
3 D. = 1
5.对任意实数 ，直线 = 2 + 3 所经过的定点是( )
A. (2,3) B. (3,2) C. ( 2,3) D. (3, 2)
6.空间向量 = (1,0,1)在 = (0,1,1)上的投影向量为( )
A. ( 1 , 0, 1 ) B. ( 2 , 0, 22 2 2 2 ) C. (0,
2
2 ,
2
2 ) D. (0,
1 , 12 2 )
7 1.“ = 6”是“直线 + 2 1 = 0 与直线 3 1 1 = 0 平行”的( )
A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图所示的正方体中， ， 分别为棱 和 1的中点，
则异面直线 和 所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
第 1页，共 4页
{#{QQABbQQUggioAJJAAQhCEQXSCECYkBAAACgGhBAcMAABQQNABAA=}#}
9.经过点 (2,2)且在两轴上截距相等的直线是( ) 在
A. + = 4 B. + = 2 C. + = 4 或 = D. = 4 或 =
10.直线 过点 (3,2)，与 轴、 轴的正半轴分别交于 . 两点，则△ 的面积取得最小值时直线 方程为( )
A. 2 + 3 6 = 0 B. 2 + 3 + 12 = 0 C. + 2 6 = 0 D. 2 + 3 12 = 0
第Ⅱ卷 (非选择题，共 80 分)
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．请将正确的答案填写到答题纸上．
11 .若直线的倾斜角为 60 ，则该直线的斜率为_________________．
12.直线 1： + 11 = 0 与直线 2：2 + 2 = 0 的交点坐标为_________________．
13.已知 (1,1)， (4,0)， (0, + 1)三点共线，则 = _________________．
14.在空间直角坐标系 中，点 , , , 的坐标分别是 2,0,2 ， 2,1,0 ， 0,4, 1 ， 0,6, ，
若 , , , 四点共面，则 = _________________．
15.如图，直三棱柱 一 1 1 1中，侧棱长为 4， = = 2，∠ = 90°， 是 1 1的中点， 是 1
上的动点， 1， 交于点 ，要使 1 ⊥平面 1 ，则线段 1 的长为_________________．
第 2页，共 4页
{#{QQABbQQUggioAJJAAQhCEQXSCECYkBAAACgGhBAcMAABQQNABAA=}#}
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1) 1斜率是 2，经过点 (8, 2)
2 在 轴和 3轴上的截距分别是2， 3
(3)经过两点 1(3, 2)、 2(5, 4)
17.(本小题 12 分)
已知直角△ 中 ∠ = 90°，点 ( 3,1)， (2, 2)， 在 轴上．
(1)求点 的坐标； (2)求△ 斜边中线所在直线的方程．
18. (本小题 12 分)
如图，在正方体 ABCD 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
第 3页，共 4页
{#{QQABbQQUggioAJJAAQhCEQXSCECYkBAAACgGhBAcMAABQQNABAA=}#}
19. (本小题 12 分)
已知直线 的方程为 + 2 6 = 0．
(1)直线 1与 垂直，且过点(1, 3)，求直线 1的方程；
(2)直线 2与 平行，且直线 2与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，求直线 2的方程．
20. (本小题 12 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 2， ⊥ ， ， ， 分别为 1， ， 的中
点，点 在线段 1 1上运动．
(1)判断直线 是否垂直于平面 ，请说明理由；
(2) 6是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角余弦值为 6 若存在，试确定点 的位置：
若不存在，请说明理由．
第 4页，共 4页
{#{QQABbQQUggioAJJAAQhCEQXSCECYkBAAACgGhBAcMAABQQNABAA=}#}天津市南开大学附属中学津南学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学答案
一、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
8
C
A
0
B
C
二、填空题
11
12
13
14
15
3
(（3,8)
1
3x-4y+8=0
1
2
三、解答题
16、
(1)由点斜式可得，y-(-2)=-之(x-8),整理得一般
式为x+2y-4=0。
(2)由截距式可得：
3=1。
Y
+
2
整理得一般式为2x-y-3=0。
（)由两点式可得号整理得一银式为+
y-1=0。
17、
解：(1)设顶点C的坐标为(0，a),
由题可得。·kc=2.a-1,解得a=6,故
2+33
点C的坐标为(0,6).
(2)由(1)可知斜边BC的中点为D(1,2),
则斜边BC的中线AD的斜率为km-(-3)4,
2-11
代人点斜式方程得y2=(x-1)。
18、
(1)证明：在正方体ABCD-A1B1CD1中，ABL
DC,DC1LDC,∴.ABLD1C,.四边形
ABC1D1为平行四边形，BC1∥AD1.又AD1C
平面AD1E,BC1寸平面AD1E,∴.BC1∥平
A
面AD1E.
(2)解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
D
2,以A为原点，AD,AB,AA1所在直线分别为x
轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
A
y
A0,0,0),A1(0,0,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),AA1
=(0,0,2),Ad=(2,0,2),AE=(0,2,1).
设平面AD1E的法向量为n=(x,y,之)，由
1n·AD1=0,n2.x+2z=0,
得
n.AE=0,
（2y+x=0,
令之=-2，则x=2,y=1,
n=(2,1,-2).
设直线AA1与平面AD1E所成的角为0，
则m=m试nl=文2=导
19、
试题解析：(1)设直线1，的方程为：2x-y+c=0
直线1过点(1，-3)，∴2×1-（-3)+c=0
解得c=-5
.直线1的方程为：2x-y-5=0
(2)设直线L,的方程为：x+2y+c=0
令x=0,得y=-号：令y=0.得x=-心
.直线1，的方程为：x+2y+4=0或x+2y-4=0.
20、
(1)
连接A,Q.因为AA1=AC=1,M,Q分别是CC1,AC的中点，
所以Rt△AA,Q≌R△CAM,
所以∠MAC=∠QA,A,所以∠MAC+∠AQA:=∠QA:A+
◆
∠AQA1=90°，所以AM⊥A,Q.
B
因为N,Q分别是BC,AC的中点，所以NQ∥AB.
又AB⊥AC,所以NQ⊥AC.
在直三棱柱ABC一A:B:C,中，AA:⊥底面ABC,所以VQ
LAA:.
又AC∩AA,=A,AC,AA,C平面ACC1A1·
所以NQ⊥平面ACCA:,所以NQLAM.
由NQ∥AB和AB∥A,B,可得NQ∥A,B:,
B
所以N,Q,A,P四点共面，所以A:QC平面PNQ,
因为NQ∩AQ=Q,NQ,A,QC平面PNQ,所以AM⊥平
面PNQ,
所以无论A取何值，总有AM⊥平面PNQ,
