5.3【函数的单调性】教学设计（表格式）

【函数的单调性】教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期
课题 函数的单调性
教学目标
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解单调性的作用和实际意义； 会用定义证明函数的单调性； 通过单调性概念教学，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.
教学重难点
教学重点： 函数单调性的概念、判断及证明．
教学难点： 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．
教学过程
一、创设情境，引出概念 下图是某地一天24小时气温变化曲线图，观察图形，回答问题。 问题一：你能用语言描述这一天气温的变化吗？ 问题二：气温随时间变化可以作为一个函数图像吗？定义域是多少？ 问题三：如何用数学语言刻画温度随时间变化的趋势呢？ 老师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的，各位同学还能举出生活中其他数据的变化情况吗？ 学生：水位高低、燃油价格、股票价格等． 小结：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小 归纳：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律.这节课然我们一起探究函数的这种变化---函数的单调性。 抽象特征，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，同学们已经有所了解。今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义.就从我们熟悉的二次函数开始吧！ 1.观察二次函数f(x)=x2的图象 思考：（1）从左至右，函数f(x)=x2的图象是上升还是下降？ 生：图象在y轴左侧“下降”，在右侧“上升”. (2) 用文字语言如何描述函数的这种变化趋势呢？ 生：在区间（-∞,0）上，y随x的增大而减小；在区间（0，+∞）上，y随x的增大而增大. （3）如何用数学符号语言来刻画函数的这种变化趋势呢？ 当时，都有，那么就说函数在区间（0，+∞）上是单调增函数，（0，+∞）称为函数的单调增区间 （4）你能说明为什么f(x1)> f (x2)吗？ 师：作差法：比较两个二次函数值的大小，可以比较它们的差值
师结：我们定义f(x)在区间（-∞,0）上是单调递减，那么就可以定义它在（0，+∞）上是单调递增. （5）你能仿f(x)=x2在（-∞,0）上单调性的描述，刻画它在x∈（0，+∞）上具有的单调性吗？ 任意取x1,x2∈（0，+∞） ,得到f(x1)=x12, f (x2)=x22 ,那么当X1=2时，都有f(x1)< f (x2), 这时我们就说函数f(x)=x2在区间（0，+∞）上是单调递增的. 同样，你能说明为什么f(x1)< f (x2)吗？ （6）f(x)=x2在x=0处是增还是减？ 函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减性的变化，不存在单调性问题。说明单调性是针对区间而言的. （7）那么能否将区间（-∞,0）改为（-∞,0]，函数f(x)=x2在该区间上仍是单调递减吗？ 都可以，不影响单调性，单调区间只要在端点有意义，开闭都可以. （8）函数f(x)=|x|，f(x)=-x2+4x的单调性如何？你能仿照上述过程，用严格的符号语言进行刻画吗？ 生：f(x)=|x|在区间（-∞,0] 上单调递减，在区间[0，+∞）上单调递增； f(x)=-x2+4x在区间（-∞,2]上单调递增，在区间[2，+∞）上是单调递减. 师：同学们从图像是否能判断？ 生：可以，图像，上升说明递增，下降说明递减. 师：图象法是判断单调性的一种方法. 那如何刻画y=f(x)在区间D上的单调性呢？请先归纳上述关于函数的单调性的刻画方法. 表述函数的单调性小结： 第1步：将两个“增大”符号化，即当时,. 第2步：再将“随”符号化，即当时，都有. 第3步：再将隐含语言“任意”符号化，即对任意时，都有. 第4步：再将隐含语言“区间”符号化，即对于区间I内的任意两个值，当时，都有. 形成单调增函数定义：一般地，设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调增函数，称为函数的单调增区间. 设计意图：通过问题连串，启发学生思维.经历研究函数单调性的过程是:引导学生从具体函数出发，先观察图象特征到用自然语言描述，再到能用数学符号语言刻画，从而抽象出函数单调性的定义，最后会进行单调性判定 .在这一过程中，引导学生进行数学表达，抽象函数单调性的概念，经历从特殊到一般，具体到抽象的过程，提升数学抽象的素养. 2. 函数单调性的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I: 如果 x1,x2∈D, 当x12时，都有f(x1)< f (x2), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果 x1,x2∈D, 当X1=2，都有f(x1)> f (x2), 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 思考： （1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 x1,x2∈A，当x12时，都有f(x1)< f (x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？ （2） 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 师小结：单调递增函数是指函数在自变量增加时，函数值也随之增加，且增加的速度越来越快。也就是说，对于函数f(x)，如果对于任意的x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是单调递增函数。
增函数是指函数在自变量增加时，函数值也随之增加，但是不一定增加的速度越来越快。也就是说，对于函数f(x)，如果对于任意的x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，但是不一定对于任意的x1 < x2 < x3，都有f(x1) < f(x2) < f(x3)，那么这个函数就是增函数。
同样的，单调递减函数和减函数也是两个不同的概念。
单调递减函数是指函数在自变量减少时，函数值也随之减少，且减少的速度越来越快。也就是说，对于函数f(x)，如果对于任意的x1 > x2，都有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是单调递减函数。
减函数是指函数在自变量减少时，函数值也随之减少，但是不一定减少的速度越来越快。也就是说，对于函数f(x)，如果对于任意的x1 > x2，都有f(x1) < f(x2)，但是不一定对于任意的x2 < x3 < x4，都有f(x2) < f(x3) < f(x4)，那么这个函数就是减函数。 设计意图： 问题（1）辨析定义中的“ x1,x2∈D……都有…”，加深对单调性定义的理解，尝试突破教学难点. 问题（2）是为了区别概念“单调递增”与“增函数”，“单调递减”与“减函数”，加深对单调函数这一概念的理解，注意“定义域上”这一关键词. （三）概念应用,加深理解 例1 根据定义证明函数f(x)＝3x+2 是增函数. 分析：什么函数叫增函数？——函数在它的定义域上单调递增.那么这个函数f(x)＝3x+2的定义域是什么？——R，故只需证明在R上单调递增即可.那如何证明函数单调递增呢？只要在定义域R上任意取两个大小不相等的自变量的值，证明较大的值对应的函数值也较大，即设X1=2，,去证明f(x1)< f (x2)，也就是要证明f(x1) - f (x2) <0. 归纳用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤： 第一步，取值:在区间D上任取两个自变量的值x1,x2∈D，并规定X1=2。 第二步，作差变形: 作差f(x1)－f(x2)，并进行变形,到能判断整个差式符号为止，特别要注意因式分解； 第三步，定号：判断f(x1)－f(x2)的正负,要注意说理的充分性,必要时要讨论； 第四步，下结论：根据定义得出其单调性. 变式：请判断函数f(x)＝kx+b(k≠0) 的单调性. 设计意图：让学生熟悉利用定义对函数单调性进行严格证明的过程，利用作差后与“0”比较大小来比较两个函数值的大小，体会“化难为易”的数学思想，让学生掌握用定义证明函数单调性的基本方法，培养学生数学表达的严谨性以及书写过程的规范性. 例2 物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明. 分析：怎样来证明“当其体积V减小时，压强p将增大”呢？根据函数单调性的定义，只要证明函数 （V∈（0，+∞））是减函数即可. 教师巡视，对学生证明中出现的问题进行点拔，再次强调四个步骤.依据学生的问题，给出下面的提示： （1）处理分式问题一般是进行通分，判断好这几个k,V1V2,V2-V1 式子的符号； （2）除了作差比较大小，还可以用作商的方法，比较 与1的大小即可. 师：我们可以用数学知识去解决物理问题. 设计意图：例2是物理学中的一个公式，建立物理意义与函数单调性的联系，让学生体会到函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，通过研究函数的性质可以获得事物的变化规律，从而认识到学习数学知识的重要性，再次强化代数证明单调性的一般方法，培养学生的数学运算、逻辑推理等素养. 探究：画出反比例函数 的图象． （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它是减函数吗？ 生甲：函数的定义域是（-∞,0）U（0，+∞）.因为 在（-∞,0）以及（0，+∞）上都是单调递减，所以它在定义域（-∞,0）∪（0，+∞）上单调递减. 生乙：如果取x1∈（-∞,0），x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，但是f(x1)＜0，f(x2)>0，显然有f(x1）f(x2)，所以这个函数不在整个定义域内单调递减，不是减函数. 师: 在区间（-∞,0）和（0，+∞）内都是单调递减，因此在函数的几个单调增(减)区间之间不能用符号“U”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，不能写成闭区间. 思考：如果函数f(x)在区间(1,3) 和[3,5]上都单调递增，则函数在区间 (1,5]上一定也单调递增吗？ 设计意图：通过这道探究题，可以知道函数的单调区间不能简单合并，以后的应用中要避免这种错误的操作,从而进一步加深对概念的理解，区别“单调递减”与“减函数”，再次突破难点“ x1,x2∈D……都有…”.同时又可以调动学生参与讨论，让学习氛围更加浓厚，从而培养学生的发散思维，使学生形成优良的学习习惯. （四）课堂总结，提炼升华 通过本节课的学习，你有什么收获？ （1）什么叫函数的单调性？判断单调性的方法有哪些？证明单调性的步骤有哪些？ （2）通过本节课的学习，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？ 设计意图：让学生再次把握函数单调性定义的要点，理解“任意”、“都有”的含义.体会从定性到定量的研究思路，经历数学抽象的过程，认识，表达，理解函数的单调性的概念，体会从特殊到一般，具体到抽象的思想. 教学反思 本节课先从一个温度变化入手，再通过分析熟悉的二次函数的变化趋势，让学生直观感受函数的单调性。再通过多媒体演示动画，结合一个个的问题铺垫，引导学生积极思考，总结归纳，逐步形成单调性的概念。然后通过具体的例题与练习分析让学生总结单调性的判断方法与书写步骤，以达到巩固函数单调性的目的。通过目标检测环节， 反馈教学效果，方便查漏补缺。但是在教学中，还是有些学生对于定义中的“任意……都有” 的理解有些困难，在概念辨析过程中，第一个思考小题设计太过抽象，学生理解不到位，需要改进。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。