广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）数学试题（含答案）

广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）
数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A. 0.5，0.5 B. 0.51，0.51 C. 0.49，0.49 D. 0.5，0.49
2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　）
A. B.
C. D.
3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件
C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件
4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
6. 在三棱锥中，若，，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 0
7. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ）
A. 身高在A层次中的女生人数比男生多
B. 身高在B层次中的人数最多
C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%
D. 身高在E层次中的男生有3人
10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A. B.
C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知事件，若，，且，则
B. 已知事件，若，且与相互独立，则
C. 已知事件，若，，且，则与相互独立
D. 某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
13. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______．
14. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.
15. 已知，，，，，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
16. 在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．
18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：
（1）的长；
（2）直线和所成角的余弦值.
19. 甲 乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率；
（2）为使乙获胜额的概率更大，应该由谁首次投篮？
20. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.
21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面 平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ， 上，且 ．
（1）证明： 四点共面；
（2）证明： 平面 ；
（3）设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 704 13. . 14. .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.
15. （1）0 （2）
16. （1）； （2）或.
17. （1），平均数为分，中位数为分； （2）
18. （1） （2）
19. （1） （2）乙
20. (1)证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，，
则、、、、，
是的中点，则，，，
，，即.
（2）假设存在使得平面，
由（1）得，，
设，其中，
则，，
因为平面，平面，
故，平面，
若平面，则只需，解得，，
故存在点，使得平面，此时.
（3）证明：因为为的重心，则，
即，可得，
因为为上一点，且，则，
因为、、、四点共面，则存在，使得，
即，
所以，
又因为，且、、不共面，
由空间向量基本定理可得，
因此为定值.
21. （1），分别是棱，的中点，，
，，
，，，，四点共面．
（2）底面ABCD是菱形，，
，是等边三角形，
取AB中点为I，连接CI，则，
又平面平面，且平面平面，
平面PAB，又PA平面PAB，，
又，且，平面，
平面．
（3）平面PBC，平面PAC，又平面PBC平面PAC，
，即直线MC就是直线PC．
取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和
AP所在直线为轴，轴和轴建立如图6所示的空间直角
坐标系：
则，，，，
，，
设，则，，
由可得：
，，
设平面EFGH的一个法向量为，
则取，则，，
，
设直线MC与平面EFGH所成角为，
则，
化简得：，解得：或，
又，．