2025年北京八十中高三9月月考数学（教师版）（图片版，含答案）

参考答案
一、选择题（共 10 小题，每题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A C B C C D
二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）
题号 11 12 13 14 15
1
答案 1,2,3(答案不唯一) -1；122 [ , )；2 三 ②④
4 6 2
三、解答题（共 6 题，共 85 分）
16.（本小题 13 分）

（1）化简得 ( ) = 2 ( + ) √3
3
所以 ( )的最小正周期为2
3
令2 + ≤ ≤ 2 + ( ∈ )
2 2
7
得2 + ≤ ≤ 2 + ( ∈ )
6 6
7
所以 ( )的单调递减区间为[2 + , 2 + ] ( ∈ )
6 6
2 2
（2） ( )在区间[0, ]上的最小值为 ( ) = √3
3 3
17.（本小题 14 分）
（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5 共 6 个，
6 3
所以从甲同学的样本中随机抽取 1 个，求“得分达到良好”的概率为 = .
10 5
（2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9 共 4 个，
4 2
所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为 = ，
10 5
从中随机抽取 3 份，随机变量 X服从二项分布，
2 0 3 3 27 2 1 2
( = 0) = 0
3 54
C3 ( ) ( ) = ， ( = 1) =
1
C
5 5 125 3
( ) ( ) = ，
5 5 125
2 2 3 1 36 2 3 3 0 8
( = 2) = 2 3C3 ( ) ( ) = ， ( = 3) = C3 ( ) ( ) = ， 5 5 125 5 5 125
所以分布列为
X 0 1 2 3
1 / 5
27 54 36 8
P
125 125 125 125
27 54 36 8 150 6
期望 ( ) = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = = .
125 125 125 125 125 5
8+6.5+6+6+7.5+8+8+5.5+9+7.5
（3）根据题意，样本中甲同学成绩的均值 1 = = 7.2， 10
6+7+7+7.5+7.5+8.5+9+7+9.5+9
乙同学成绩的均值 2 = = 7.8， 10
0.82+0.72 22 +1.2 +1.2
2+0.32+0.82+0.82+1.72+1.82+0.32
所以甲同学成绩的方差 1 = = 1.16， 10
1.82+0.82+0.82+0.32+0.32+0.72+1.22+0.82+1.722 +1.2
2
乙同学成绩的方差 2 = = 1.16， 10
所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.
18.（本小题 13 分）
（1）由 2 + 2 + = 2,可得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理可得：cos = = = ，
2 2 2
2π
因为 ∈ (0,π)，所以 = ，又因为sin = √3sin ，
3
√3 √3
所以sin = , = √3sin ，
2 2
1 π π
所以sin = ，因为 ∈ (0, )，所以 = .
2 3 6
2π π π 2π π
（2）若选择①：因为 = ， = ，所以 = π = ，所以 = ，
3 6 6 3 6
则 = ，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.
π 1 1 √3 3√3
若选择②：由（1）可得 = ，即 = ，则 △ = sin =
2 × = ，解得 =
6 2 2 2 4
√3，
再代入 2 + 2 + = 2可得： = 3，所以△ABC的周长为： + + = 2√3 + 3.
π
若选择③：由（1）可得 = ，即 = ，由 2 + 2 + = 2可得： = √3 ，
6
1 1 √3 √3 3 1 3
所以 2 2△ = sin = × = ，又因为 AC边上的高等于 ， = =2 2 2 4 2 △ 2 2
3
，
4
3 √3
所以 = 2，解得： = √3，所以 = √3， = 3，所以△ABC的周长为： + + =
4 4
2√3 + 3.
19.（本小题 15 分）
2 / 5
′
1 1 (1) = 3 = 0
（1） ′( ) = 2 + 2 = 2 + ，则{ ，
2 (1) = 1 + ln2 = 2 + ln2
解得 = 3；
1 (2 1)( 1) 1
（2） ′( ) = 2 3 + = , ∈ (0, +∞)，令 ′( ) = 0，得 = 或 = 1，
2
1 1
当 ∈ (0, ) ∪ (1, +∞)时， ′( ) > 0，所以函数 （ ）在(0, )和(1, +∞)上单调递增，
2 2
1 1
当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0，所以函数 （ ）在( , 1)上单调递减，
2 2
1 1
所以函数 （ ）单调递增区间为(0, )和(1, +∞)，单调递减区间为( , 1)；
2 2
1 1
（3）因为 ′( ) = 2 3 + ，所以 ′( ) = 2 3 + ， ( ) = 2 3 + ln2 ，

1
所以 = 处切线方程为 2 + 3 ln2 = (2 3 + ) ( )( > 0)，

1
整理得： ( ) = (2 3 + ) + ln2 2 1，

设 ( ) = ( ) ( )，
1
则 ( ) = ( ) ( ) = 2 3 + ln2 ((2 3 + ) + ln2 2 1) = 2

1
(2 + ) + ln + 2 + 1，

1
1 1 (2 )( )
所以 ′( ) = + 2 ( + 2 ) = ，

若 ( )在(0, +∞)单调，则 ′（ ） ≥ 0恒成立，
2
√2
1 √2 √2 2( )
所以只有 = 即 = 或 = （舍）时， ′(
2
) = ≥ 0恒成立，
2 2 2
√2
即 （ ）在(0, +∞)单调递增，所以 = .
2
20.（本小题 15 分）

（I）因为在区间(0, )上，所以 ′( ) = 1 cos2 + sin2 = 2sin2 > 0.
2

即 ( )在[0, ]上递增，所以 ( ) ≥ (0) = 0.
2
cos sin cos ( )
（II）（i）因为 ∈ (0, )， ( ) = = ，所以 ′( ) = = .
2 tan sin sin2 sin2

由（I）知，当 ∈ (0, )时 ( ) > 0，所以 ′( ) < 0.所以 ( )在(0, )上递减.
2 2

（ii）依题意， > 0. ( ) < 恒成立，即 tan ＞0， ∈ [0, )恒成立，
2
cos2
令 ( ) = tan ， ∈ [0, )，则 ′( ) = 2 1 = 2 . 2 cos cos
3 / 5

（1）若 ≥ 1，则当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，则 ( )在[0, )上递增.即 ∈ (0, )时， ( ) >
2 2 2
(0) = 0.

则 ∈ (0, )时， < tan .即当 ∈ (0, )时， < 恒成立.
2 2 tan
（2）若0 < < 1，令 ′( ) = 0得 = cos2 .

因为 = cos2 在(0, )上减，且cos2 ∈ (0,1)，
2

所以方程 = cos2 在(0, )上恰有一个根，记为 0， 2
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0；

当 ∈ ( 0, )时， ′( ) > 0. 2

所以 ( )在(0, 0)上递减，在( 0, )上递增. 2
所以 ( )min = ( 0) < (0) = 0.
此时 ( ) < 不恒成立.
综上， 的最小值为 1.
21. （本小题 15 分）
+1 = ± 3 +1 = ± 4（1）根据定义，{ 或{ ，
+1 = ± 4 +1 = ± 3
若第一项为(3,3)，显然 2 = 0或 1不符合题意（不在集合 中），所以下一项是(6,7)或
(7,6)；
（2）假设二者同时出现在Γ中，由于 K 列取反序后仍是 K 列，故不妨设(3,2)在(4,4)之前.
显然，在 K 列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定
要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在Γ中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶
数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.
（3）法 1：若 中的所有元素构成 K 列，考虑 K 列中形如( , )( , ∈ {1,2,7,8})的项，
这样的项共有16个，由题知其下一项为( +1, +1), +1, +1 ∈ {3,4,5,6}，共计 16 个，
而( +1, +1) ≠ (3,3), (6,3), (3,6), (6,6)，因为只能 6 由 2 来，3 只能由 7 来，
横、纵坐标不能同时相差 4，这样下一项只能有 12 个点，
即对于 16 个( , )，有 12 个( +1, +1)与之相对应，矛盾．
4 / 5
综上，由 M的全部元素组成的序列都不是 K 列．
法 2：假设全体元素构成一个 K 列，则 = 64.
设 1 = {( , )| ∈ {1,2,7,8}, ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8}}， 2 = {( , )| ∈ {3,4,5,6}, ∈
{1,2,3,4,5,6,7,8}}.
则 1和 2都包含32个元素，且 1中元素的相邻项必定在 2中.
如果存在至少两对相邻的项属于 2，那么属于 2的项的数目一定多于属于 1的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于 2.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2 和2 + 1，
否则将导致属于 2的项的个数比属于 1的项的个数多 2，此时 = 1,2,3, ,31.
从而这个序列的前2 项中，第奇数项属于 1，第偶数项属于 2；
这个序列的后64 2 项中，第奇数项属于 2，第偶数项属于 1.
如果不存在相邻的属于 2的项，那么也可以看作上述表示在 = 0或 = 32的特殊情况.
这意味着必定存在 ∈ {0,1,2, . . . ,32}，使得
( 2 1, { 2 1
) ∈ 1, ( 2 , 2 ) ∈ 2, 1 ≤ ≤ .
( 2 1, 2 1) ∈ 2, ( 2 , 2 ) ∈ 1, + 1 ≤ ≤ 32
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故 1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵
坐标之和为偶数的点的数量一定分别是 和32 （不一定对应）.
但容易验证， 1和 2都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的
点，所以 = 32 = 16，得 = 16.
(
从而有{ 2 1
, 2 1) ∈ 1, ( 2 , 2 ) ∈ 2, 1 ≤ ≤ 16 .
( 2 1, 2 1) ∈ 2, ( 2 , 2 ) ∈ 1, 17 ≤ ≤ 32
这就得到 1 = {( , )| = 1,3,5, . . . ,29,31,34,36, . . . ,62,64}.
再设 3 = {( , )| ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8}, ∈ {1,2,7,8}}， 4 = {( , )| ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8}, ∈
{3,4,5,6}}.
( , ) ∈ , ( , ) ∈ , 1 ≤ ≤ 16
则同理有{ 2 1 2 1 3 2 2 4 .
( 2 1, 2 1) ∈ 4, ( 2 , 2 ) ∈ 3, 17 ≤ ≤ 32
这意味着 3 = {( , )| = 1,3,5, . . . ,29,31,34,36, . . . ,62,64}.
从而得到 3 = 1，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由 M的全部元素组成的序列都不是 K 列．
5 / 5