江苏省南京市第一中学2026届高三上学期10月月考数学试题（PDF版，含答案）

江苏省南京市第一中学 2026 届高三上学期 10 月月考
数学试题
一、单选题
1 i 2 z 1 i z
1. 复数 z 满足 ，（i为虚数单位），则 （ ）
1 1 2
A B. 2 C. D. 14 2
2. 设全集M 1, 2,3, 4 ， A 1,3 ，B 2 ，则 A M B 等于（ ）
A. 1, 2,3, 4 B. 1,3,4 C. 1,3,5 D. 1,3
3. 在 (1 2x y)4 的展开式中， x2 y的系数为（ ）
A. 48 B. 24 C. 24 D. 48
4. 函数 f (x) loga (2x 3) 5（a 0，a 1）的图象过定点 A，则 A的坐标为（ ）
A. (1,0) B. (1,5) C. (2,5) D. (2,6)
5. 已知函数 f x x x的定义域为R ， y f x e 是偶函数， y f x 3e 是奇函数，则 f x 的最小值
为（ ）
A. e B. 2 2 C. 2 3 D. 2e
log2 x 1 , 1 x 3
6. 若函数 f x ，在 1, 上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
x
a
, x 3
x
A. 3,9 B. 3,
C. 0,9 D. ,9
7. 已知函数 f (x) ex e x x3，若m满足 f log2 m f log0.5 m 2 e 1 ，则实数m的取值范围
e
是（ ）
1
A. , 2 B. (2, )
0, 1 1 C. D. 0, (2, )
2 2 2
8. 已知函数 y f x x 0 满足 f xy f x f y 1，当 x 1时， f x 1，则（ ）
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A. f x 为奇函数 B. 若 f 2x 1 1，则 1 x 0
1
C. 若 f 2 ，则 f 1024 4 1 1 D. 若 f 2，则 f 102 2 1024
二、多选题
9. 下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
10. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和 2035 年远景目标纲要》中明确提出要创新
实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙
两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分 100 分，规定：得分不低于 80 分的为“高度
满意”，得分低于 60 分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分 X和乙村的评分 Y都近似服从正态分布，其
中 X ~ N 70, 21 2，Y ~ N 75, 2 ，0 1 2 ，则（ ）
A. X 对应的正态曲线比 Y对应的正态曲线更扁平
B. 甲村的平均分低于乙村的平均分
C. 甲村的高度满意率与不满意率相等
D. 乙村的高度满意率比不满意率大
11. 已知抛物线C : y2 2px( p 0) 的焦点为 F ，准线交 x轴于点D，直线 l经过 F 且与C 交于 A,B两点，
其中点 A 在第一象限，线段 AF的中点M 在 y轴上的射影为点 N .若 MN NF ，则（ ）
A. l的斜率为 3
B. △ABD是锐角三角形
C. 四边形MNDF的面积是 3p2
D. BF FA | FD |2
三、填空题
6
1
12. x 4 的二项展开式中含 x 的项的系数为______（用数字作答）．
2x
13. 已知抛物线 y2 4x的焦点为 F，点Р是其准线上一点，过点 P作 PF 的垂线，交 y轴于点 A，线段 AF
交抛物线于点 B.若 PB 平行于 x轴，则 AF 的长度为____________.
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1
14. 等比数列 an 的首项为 a1 2020 ，公比 q .设 f n 表示这个数列的前 n 项的积，则当2
n ______时， f n 有最大值.
四、解答题
15. 已知函数 f (x) ex (x2 ax a) ．
（1）若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线平行于 x轴，求实数 a的值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间．
16. 如图，在直角梯形 ABCD中，AB∥CD， ABC 90 ，AB 3 ，BC DC 1，DE AB于 E ，
沿DE将V ADE折起，使得点 A到点 P的位置，使 PEB 90 ，N ， F 分别是棱 BC， PB的中点.
（1）证明：EF BC；
（2）求平面EFN和平面 PCD的夹角的余弦值.
17. 在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度做匀速圆周运动．甲球从 A 点出发按逆时
针方向运动，乙球从 B 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于 C 点相遇后，两球各自反方向做匀速圆周运
动，但这时甲球速度的大小是原来的 2 倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于 D 点．已
知 A mC 40 厘米，B nD 20 厘米，求 A CB的长度．
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧棱 PD 矩形 ABCD，且 PD CD，过棱 PC 的中点 E ，作
EF PB交 PB于点 F ，连接DE，DF，BD，BE.
（1）证明： PB DF ；
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（2）若 PD 1，平面DEF 与平面 ABCD所成二面角的大小为 ，求VP DEF 的值．3
a1,1 a1,2 a1,m
a
A 2,1
a2,2 a2,m
19. 已知 m (m 2) 2 m m 是m 个正整数组成的 行 列的数表，当
a m,1 am,2 am,m
1 i s m,1 j t m时，记 d a *i , j ,as ,t ai , j as , j as , j as ,t ．设 n N ，若 Am满足如下两个性
质：
① ai , j 1, 2,3; ,n (i 1, 2, ,m; j 1, 2, ,m)；
②对任意 k 1, 2,3, ,n ，存在 i 1, 2, ,m , j 1, 2, ,m ，使得 ai, j k，则称 Am 为Γn数表．
1 2 3

（1）判断 A3 2 3 1

是否为 3 数表，并求 d a1,1,a2,2 d a2,2 ,a3,3 的值；

3 1 2
（2）若 2 数表 A4 满足 d ai , j ,ai 1, j 1 1(i 1,2,3; j 1,2,3) ，求 A4 中各数之和的最小值；
（3）证明：对任意 4数表 A10 ，存在1 i s 10,1 j t 10，使得 d ai , j ,as ,t 0 ．
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参考答案
一、单选题
1. C． 2. B． 3. A. 4. C 5. B. 6. A 7. A 8. C．
二、多选题
9. BCD. 10. BCD. 11. ABD
三、填空题
12. 3
13. 3
14. 12
四、解答题
15. （1）1
（2）因为 f (x) ex[x2 (2 a)x 2a] ，
令 f (x) 0 ，得 x 2 或 x a．
当 a 2时，随 x的变化， f (x)， f (x)的变化情况如下表所示：
x ( ,a) a (a, 2) 2 ( 2, )
f '(x) 0 0
f (x) 单调递增 f (a) 单调递减 f ( 2) 单调递增
所以 f (x)在区间 ( ,a)上单调递增，在区间 (a, 2) 上单调递减，在区间 ( 2, )上单调递增．
当 a 2时，因为 f (x) ex (x 2)2 0，当且仅当 x 2 时， f (x) 0，
所以 f (x)在区间 ( , )上单调递增．
当 a 2时，随 x的变化， f (x)， f (x) 的变化情况如下表所示：
x ( , 2) 2 ( 2,a) a (a, )
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f '(x) 0 0
f (x) 单调递增 f ( 2) 单调递减 f (a) 单调递增
所以 f (x)在区间 ( , 2)上单调递增，在区间 ( 2,a) 上单调递减，在区间 (a, ) 上单调递增．
综上所述，
当 a 2时， f (x)的单调递增区间为 ( ,a)和 ( 2, )，单调递减区间为 (a, 2)；
当 a 2时， f (x) 的单调递增区间为 ( , )，无单调递减区间；
当 a 2时， f (x) 的单调递增区间为 ( , 2)和 (a, ) ，单调递减区间为 ( 2,a) ．
16. （1）证明
根据题意，沿DE将V ADE折起后，PE DE,BE DE， PE BE E,PE,BE 平面 PEB，则DE
平面 PEB，
因 EF 平面 PEB，则DE EF，由左图易得矩形 BCDE，故 BC / /DE，故 BC EF ，得证.
3
（2） 105
35
由（1）DE 平面 PEB， PE 平面 PEB，则DE PE，
故可分别以 EB,ED,EP所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系 E xyz (如图).
则 E(0, 0, 0),B(1, 0, 0),P(0, 0, 2),D(0,1, 0),C (1,1, 0) ，
F(1 ,0,1),N(1, 1因 N ， F 分别是棱 BC， PB的中点，则 ,0) ，
2 2

则 EF (1 ,0,1),EN (1, 1 ,0) ，
2 2

设平面EFN的法向量为m (x, y, z)，
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EF m
1
x z 0
2
则 ，故可取 1 m (2, 4, 1)
；
EN m x y 0
2

因DC (1,0,0),DP (0, 1, 2)，

设平面 PCD的法向量为 n (a,b,c) ，

DC n a 0
则 ，故可取 n (0, 2,1) .
DP n b 2c 0
设平面EFN和平面 PCD的夹角为 ，
2 4 1 1
cos cos m ,n 3则 105 .
5 21 35
3
即平面EFN和平面 PCD的夹角的余弦值为 105 .
35
17. 120cm
18. （1）证明：因为PD 平面 ABCD， BC 平面 ABCD，所以PD BC，
由底面 ABCD为矩形，有BC CD，而 PD CD D， PD,CD 平面 PCD，
所以 BC 平面 PCD，又DE 平面 PCD，所以BC DE．
又因为PD CD，点 E 是 PC的中点，所以DE PC．
而 PC BC C， PC ,BC 平面 PBC ，所以DE 平面 PBC ，PB 平面 PBC ，
所以DE PB，
又 PB EF ，DE EF E，DE ,EF 平面DEF ，
所以PB 平面DEF ，而DF 平面DEF ，
所以 PB DF 得证．
2
（2）
48
如图，以D为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
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因为PD DC 1，设BC ，（ 0 ），

则D 0，0，0 ，P 0，0，1 ，B 1 0 C 0 1 0 1 1，，， ，， ， PB ，1， 1 ，点 E 是 PC的中点，所以 E 0，， ，
2 2

由 PD 平面ABCD，所以DP 0，0，1 是平面 ABCD的一个法向量；

由（1）知， PB 平面DEF ，所以 BP ， 1，1 是平面DEF 的一个法向量．

因为平面DEF 与平面 ABCD所成二面角的大小为 ，
3

cos BP DP 1 1则 ，解得 2 （负值舍去）．3 BP DP 2 2 2
所以 PB
1 1
2，PF PB，
2 4
V V 1 1 1 1 1 2P DEF F PDE VB PDE 1 2 ．4 4 3 2 2 48
19. （1）是；5
（2） 22
（3）证明
由于 4 数表 A10 中共100个数字，
必然存在 k 1, 2,3, 4 ，使得数表中 k的个数满足T 25.
设第 i行中 k的个数为 ri (i 1, 2, ,10).
当 ri 2时，将横向相邻两个 k用从左向右的有向线段连接，
则该行有 ri 1条有向线段，
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i 1
所以横向有向线段的起点总数 R (ri 1) (ri 1) T 10.
ri 2 10
设第 j列中 k的个数为 c j ( j 1, 2, ,10) .
当 c j 2时，将纵向相邻两个 k用从上到下的有向线段连接，
则该列有 c j 1条有向线段，
j 1
所以纵向有向线段的起点总数C (c j 1) (c j 1) T 10.
c j 2 10
所以 R C 2T 20 ,
因为T 25 ,所以 R C T 2T 20 T T 20 0 .
所以必存在某个 k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点，
即存在1 u v 10，1 p q 10,
使得 au , p av, p av,q k ，
所以 d au , p ,av,q au , p av, p av, p av,q 0 ，
则命题得证
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