浙江省杭州市西湖区嘉绿苑中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年浙江省杭州市西湖区嘉绿苑中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A. y=2x2-5x B. y=6x+1 C. D.
2.二次函数y=2（x-2）2-1图象的顶点坐标为（　　）
A. （-2，1） B. （2，1） C. （2，-1） D. （-2，-1）
3.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有7个，黄球有2个，黑球有1个．幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）
A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小
4.已知二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围是（　　）
A. a=2 B. a≠2 C. a＜2 D. a＞2
5.下列说法正确的是（　　）
A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D. 明天太阳从东方升起是随机事件
6.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为（　　）
A. x1=-1，x2=3
B. x1=9，x2=-3
C. x1=1，x2=9
D. x1=1，x2=-3
7.“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h=-t2+12t+11.若“水火箭”的升空高度为4.75m,则此时的飞行时间为（　　）
A. 0.5s B. 2.5s C. 12.5s D. 0.5s或12.5s
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx（a,b为常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y=x2（x-3）的图象，如图所示.通过观察此图象，下列说法错误的是（　　）
A. 点（2，-4）在y=x2（x-3）的图象上
B. 当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
C. x2（x-3）=kx-2最多有三个实数根
D. 若x＜3，则y＜0
10.已知抛物线y=ax2-2ax+c+1（c＞1）经过点A（m-2，2c），B（2，2c），C（m+2，2c）中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（　　）
A. a＜0 B. m＞1
C. 3a+1＜c D. S△AOB＞2S△ADB
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小兰购买了六张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”“雨水”和“惊蛰”各两张，每张邮票除内容外都相同.将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是 .
12.抛物线y=-（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 .
13.把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 .
14.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD.当AB=5时，花圃面积为 m2，花圃ABCD面积的最大值为 m2.
15.已知二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______．
16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A（2，3）和点B（1，2）.
（1）求a,b的值；
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标.
18.(本小题8分)
如图为一座大桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，以抛物线的顶点C为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.
19.(本小题8分)
二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
y … 5 0 -3 -4 -3 m …
（1）m=______；
（2）直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
（3）当-3＜x＜4时，求y的取值范围.
20.(本小题8分)
在4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.
（1）从中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从中随机抽取1件进行检测后，不放回，再从中任意抽取1件进行检测，请用树状图或列表法求出两次抽到的都是合格品的概率.
21.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=（x+a）（x-a-1），其中a≠0．
（1）若函数y的图象经过点（1，-2），求函数y的表达式；
（2）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
22.(本小题8分)
已知二次函数y=（x-m）2-（x-m）.
（1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若m=1，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）若该二次函图象的顶点坐标为，求m,n的值.
23.(本小题8分)
用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2=4h（H-h）.
应用思考：现用高度为30cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔.
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同，求a,b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加18cm,求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=-x2+（2a-2）x-a2+2a上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当x=a时，求y的值；
②若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）．
（3）若x1+x2=-4，a＞-2且a≠-1，试比较y1和y2的大小．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】（0，2）
13.【答案】y=2（x+3）2+4
14.【答案】45

15.【答案】k＞-1且k≠0
16.【答案】①③④
17.【答案】a=-2，b=7；
二次函数图象与x轴的交点坐标为，（3，0）
18.【答案】．
19.【答案】0；
x＜-1；
-4≤y＜21
20.【答案】；
两次抽到的都是合格品的概率为
21.【答案】解：（1）函数y的图象经过点（1，-2），
得：（a+1）（-a）=-2，
解得：a1=-2，a2=1，
当a=-2时，函数y的表达式y=（x-2）（x+2-1），化简，得y=x2-x-2；
当a=1时，函数y的表达式y=（x+1）（x-2）化简，得y=x2-x-2，
综上所述：函数y的表达式y=x2-x-2；
（2）∵y的对称轴为：=，
∴（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得0＜x0≤；
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
解法二：也可以求出函数值m，n，根据m＜n，构建不等式求解即可．
22.【答案】（1）证明：y=x2-（2m+1）x+m2+m,
Δ=（2m+1）2-4（m2+m）
=1＞0，
∴二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）解：m=1时，y=（x-1）2-（x-1）=x2-3x+2=（x-1）（x-2），
令y=0，可得x=1或2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0）
∴该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）抛物线的顶点坐标为（，-），
∴=，n=-，
解得m=2，
即m、n的值分别为2，-．
23.【答案】解：（1）∵s2=4h（H-h），
∴当H=30cm时，s2=4h（30-h），
∴当h=15cm时，s2有最大值900cm2，
∴当h=15cm时，s有最大值30cm.
∴当h为15cm时，射程s有最大值，最大射程是30cm；
（2）∵s2=4h（30-h），
设存在a,b,使两孔射出水的射程相同，则有：4a（30-a）=4b（30-b），
∴30a-a2=30b-b2，
∴a2-b2=30a-30b,
∴（a+b）（a-b）=30（a-b），
∴（a-b）（a+b-30）=0，
∴a-b=0或a+b-30=0，
∴a=b或a+b=30；
（3）设垫高的高度为m cm,
则s2=4h（30+m-h），
∴当h=cm时，smax=30+m=30+18=48，
∴m=18cm,此时h=24cm.
当h=＞30时，即m＞30时，
h=30时，S2max=482，
482=4×30×（30+m-30），
∴m=19.2（舍弃）．
∴垫高的高度为18cm,小孔离水面的竖直距离为24cm.
24.【答案】解：（1）∵y=-x2+（2a-2）x-a2+2a,
∴抛物线对称轴为直线x=-=a-1．
（2）①将x=a代入y=-x2+（2a-2）x-a2+2a得y=-a2+（2a-2）a-a2+2a=0；
②令=0-x2+（2a-2）x-a2+2a,整理得（x-a）（x-a+2）=0，
∵x1＜x2，
∴x1=a-2，x2=a.
（3）y1-y2=-x+（2a-2）x1-a2+2a+x-（2a-2）x2+a2-2a
=（x2-x1）（x2+x1）+（2a-2）（x1-x2）
=（x1-x2）[2a-2-（x1+x2）]，
∵x1+x2=-4，
∴y1-y2=（x1-x2）（2a-6），
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
∵a＞-2，
∴2a-6＞-10，
∴当2a-6＜0时，a＜3，y1＞y2．
当2a-6=0时，a=3，y1=y2．
当2a-6＞0时，a＞3，y1＜y2．
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