浙江省金华市义乌市荷叶塘初级中学2025-2026学年九年级上学期数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省金华市义乌市荷叶塘初级中学2025-2026学年九年级上学期数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1006.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-31 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年浙江省金华市义乌市荷叶塘初级中学九年级（上）数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.“a是实数，”这一事件是
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
3.已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点、、都在函数的图象上，则的大小关系为()
A. B. C. D.
6.三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点
7.在平面直角坐标系中，将抛物线沿y轴方向平移后使抛物线可以经过原点，则这样的平移方向和距离是（ ）
A. 向下平移4个单位 B. 向上平移2个单位 C. 向下平移6个单位 D. 向上平移8个单位
8.鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 …
关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图象上有两点，，则
9.已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④当时，方程的所有实数根的和为，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标是 ．
12.过年时包了100个饺子，其中有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是 ．
13.如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则 ．
14.已知抛物线，点 A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n的值等于 ．
15.如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
16.不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
(1) 求袋子中白球的个数；
(2) 随机摸出一个球后，放回，搅匀再随机摸出一个球，请利用树状图或列表法求两次都摸到相同颜色的小球的概率．
18.(本小题8分)
二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
(1) 求这个二次函数的表达式及顶点坐标．
(2) 通过观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1) 将绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标；
(2) 结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）．
20.(本小题8分)
天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
21.(本小题8分)
已知二次函数（m为常数）．
(1) 证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(2) 若该函数图像上有两个点、，当时，求p的取值范围．
22.(本小题8分)
某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．
(1) 直接写出y与x之间的函数关系式： ．
(2) 求W与x之间的函数关系式
(3) 为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题8分)
二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1) 当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
(2) 若，求证：．
24.(本小题8分)
如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当时，点D是直线上的点且在第一象限内，若是以为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
(3) 如图2，连接，与交于点F，连接，和的面积分别为和，当时，求点E坐标．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-4
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】【小题1】
设袋子中白球的个数为，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：袋子中有1个白球；
【小题2】
根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
18.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴顶点坐标为：；
【小题2】
由图象可知：当时，或．
19.【答案】【小题1】
如图，即为所求，，，；
【小题2】
（2）由图形可得，外接圆坐标为，
半径为：
则能够完全覆盖的最小圆面积
．
20.【答案】【小题1】
解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小题2】
解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
21.【答案】【小题1】
解：由题可知，，
∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
【小题2】
解：的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴二次函数图像开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或．
22.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵，
故W与x之间的函数关系式为．
【小题3】
∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
23.【答案】【小题1】
解：①依题意，，
解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
【小题2】
∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
24.【答案】【小题1】
解：将点，点代入得，解得，
∴抛物线的解析式为
【小题2】
解：设点D坐标为，连接，，过点C作于H，
据勾股定理得，
在中，；
在中，，
在中，
∴，解得，，
∴点D坐标为或；
【小题3】
解：设直线解析式为，将点代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵
∴整理得
解得（不合题意，舍去）
因此，点E坐标为
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.“a是实数，”这一事件是
A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件
3.已知的半径为3，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定
4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点、、都在函数的图象上，则的大小关系为()
A. B. C. D.
6.三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点
C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点
7.在平面直角坐标系中，将抛物线沿y轴方向平移后使抛物线可以经过原点，则这样的平移方向和距离是（ ）
A. 向下平移4个单位 B. 向上平移2个单位 C. 向下平移6个单位 D. 向上平移8个单位
8.鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，右图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 …
关于此函数下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象开口向下
B. 当时，该函数有最大值
C. 当时，
D. 若在函数图象上有两点，，则
9.已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④当时，方程的所有实数根的和为，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的顶点坐标是 ．
12.过年时包了100个饺子，其中有10个饺子包有幸运果，任意挑选一个饺子，正好是包有幸运果饺子的概率是 ．
13.如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则 ．
14.已知抛物线，点 A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么m+n的值等于 ．
15.如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 .
16.不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
(1) 求袋子中白球的个数；
(2) 随机摸出一个球后，放回，搅匀再随机摸出一个球，请利用树状图或列表法求两次都摸到相同颜色的小球的概率．
18.(本小题8分)
二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
(1) 求这个二次函数的表达式及顶点坐标．
(2) 通过观察图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1) 将绕点O逆时针旋转后对应得到，请写出点，，的坐标；
(2) 结合图形，请写出外接圆坐标，并求能够完全覆盖这个三角形的最小圆面积（结果保留）．
20.(本小题8分)
天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1) 求抛物线的函数解析式；
(2) 该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
21.(本小题8分)
已知二次函数（m为常数）．
(1) 证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(2) 若该函数图像上有两个点、，当时，求p的取值范围．
22.(本小题8分)
某文具商店销售进价为元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒元的价格销售，平均每天销售盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售价为x（）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．
(1) 直接写出y与x之间的函数关系式： ．
(2) 求W与x之间的函数关系式
(3) 为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题8分)
二次函数的图象与x轴交于点，且．
(1) 当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
(2) 若，求证：．
24.(本小题8分)
如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．在x轴上有一动点，过点E作直线轴，交抛物线于点M．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当时，点D是直线上的点且在第一象限内，若是以为斜边的直角三角形，求点D的坐标；
(3) 如图2，连接，与交于点F，连接，和的面积分别为和，当时，求点E坐标．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】-4
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】【小题1】
设袋子中白球的个数为，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：袋子中有1个白球；
【小题2】
根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
两次都摸到相同颜色的小球的概率为．
18.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
设抛物线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴顶点坐标为：；
【小题2】
由图象可知：当时，或．
19.【答案】【小题1】
如图，即为所求，，，；
【小题2】
（2）由图形可得，外接圆坐标为，
半径为：
则能够完全覆盖的最小圆面积
．
20.【答案】【小题1】
解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小题2】
解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
21.【答案】【小题1】
解：由题可知，，
∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
【小题2】
解：的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴二次函数图像开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或．
22.【答案】【小题1】
【小题2】
解：∵，
故W与x之间的函数关系式为．
【小题3】
∵，
∵物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于元，且当时，w随x的增大而增大，
∴当时，，
∴当每盒的销售价为元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是元．
23.【答案】【小题1】
解：①依题意，，
解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
【小题2】
∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
24.【答案】【小题1】
解：将点，点代入得，解得，
∴抛物线的解析式为
【小题2】
解：设点D坐标为，连接，，过点C作于H，
据勾股定理得，
在中，；
在中，，
在中，
∴，解得，，
∴点D坐标为或；
【小题3】
解：设直线解析式为，将点代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵
∴整理得
解得（不合题意，舍去）
因此，点E坐标为
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