湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（图片版，含答案）

2025—2026 学年度上学期高二 10 月月考
数学试卷
命题人： 审题人：
一、单选题
z 2 3i z
1. 已知复数 1 5i ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C.
2 D. 1
2 2
2 3
2. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择 A类图书的概率为 ，选择 B类图书的概率为 , A,B
5 10
7
两类图书都不选的概率为 ，则 A,B两类图书都选的概率为（ ）
15
2 1 1 7
A. B. C. D.
15 6 5 30
3. 已知 a,b ,c 是空间的一个基底，向量 AB 2a 3c， AC a b， AD b c，且 A，B，C，D
四点共面，则 （ ）
3 3 1
A. B. C. D. 1
2 2 2 2
4. 在平面直角坐标系中，已知点 a,b 是线段 x 2y 0 2 x 2 b 3上的动点，则 的取值范围是
a
（ ）
A. 1, 2 B. 2,1
C. , 1 2, D. , 2 1,
5. 如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的 2倍，且圆
锥的母线长是 4，侧面积是 4π，则制作这样一个粮仓(不含底面)的用料面积为（ ）
A. 4 15π B. 2 15 4 π C. 3 15 4 π D. 4 15 4 π
6. 已知定点 P 2,0 和直线 l : 1 x 1 y 6 2 0 R ，则点 P到直线 l的距离 d的最
大值为（ ）
A. 2 10 B. 2 5 C. 2 3 D. 2 2
7. 已知m、 n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）.
A. 若m / / ， n / / ， ∥ ，则m∥n B. 若m / / ，m n， n ，则 ∥
C. 若 ，m ， n ，则m n D. 若m ，n ，m∥n，则 ∥
8. 数学家欧拉在 1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都
在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已
知V ABC的顶点 A 9,2 ,B 1, 8 ,C 5,1 ，则V ABC的欧拉线方程为（ ）
A. 37x 93y 118 0 B. 37x 93y 118 0
C. 37x 93y 192 0 D. 37x 93y 192 0
二、多选题
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 直线 y kx 2在 y轴的截距是 2
B. 直线 x 3y 3 0的倾斜角为30
2
C. 直线 l的方向向量是 2,3 ，则直线 l的斜率是
3
D. 点P(x0 ,y0)在直线 l : Ax By C 0上，则直线 l方程为 A x x0 B y y0 0．
2 1
10. 2已知实数 x, y满足圆的方程 x 1 y ，则（ ）
4
A. 圆心 ( 1,0) 1 3，半径为 B. x2 的最大值为 2
2 2 1 2 3C. x y 1 的最大值为 2 D. x y 的最大值为2 2
11. 如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列命题正确的是（ ）
A. 平面 ACB 31∥平面 A1C1D，且两平面的距离为
4
B. 当点 P在线段 AB上运动时，四面体 P A1B1C1的体积恒等于四面体 B1 A1C1D的体积
C. 2π与正方体所有棱都相切的球的体积为
3
D. 若M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是 ACB1外接圆的圆周上任意一点，则 MN 的最小值
3 1
是
2
三、填空题
12. 2 2在平面直角坐标系 xOy中，曲线C：x y 9，A 2，1 ，B，D在圆周上，且 AB AD， BD中点
为M ，则M 的轨迹方程为______．
13. 过点 A 3,6 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
14. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1 10的 10个小球，每次随机抽取一
个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于 5的小球，则前进 1步，若每次取到号码大于 5的小球，
则前进 2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进 n步的概率为Pn，则P2 ______，Pn ______．（用
Pn 1,Pn 2表示 Pn ,n 3）
四、解答题
15. 已知直线 l1 : 2x y 1 0和 l2 : x y 2 0的交点为 P．
（1）若直线 l经过点 P且与直线 l3 : 4x 3y 5 0平行，求直线 l的一般式方程；
（2）若直线 m经过点 P且与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，P为线段 AB的中点，求△OAB的面积．（其
中 O为坐标原点）．
16. 如图，四边形 A1ABB1是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段 BC中点
（1）证明：直线 A1C / /平面 AB1D
（2）若CA 2,CB 4,BB1 2，三棱锥 A1 AB1D的体积.
17. 若V ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且b 3 sin A cosC c a cosB ，b 7，
D是边 AC上一点.
（1）求V ABC外接圆的半径；
（2）若BD是 ABC的平分线，且V ABC的周长为 15，求线段 BD的长；
1 3 BD BA BC BD 19（ ）若 ，且 ，求V ABC 的面积.2 2
18. 如图所示，直角梯形 ABCD中， AD//BC， AD垂直 AB， AB BC 2AD 2，四边形 EDCF 为
矩形，CF 3，平面EDCF 平面 ABCD .
（1）求证：DF //平面 ABE；
（2）求平面 ABE与平面 EFB的夹角的正弦值；
3
（3）在线段DF上是否存在点 P，使得直线 BP与平面 ABE所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段 BP
4
的长，若不存在，请说明理由.
xOy A 1,0 ,B 1,0 ,C 1,1 ,D 1,1 π 19. 如图，在直角坐标系 中， ，已知 0, ,E为角 的终边上
2
π
一点，且OE 2,F为角 的终边上一点，且OF 2，记 OEF与矩形 ABCD重合的部分的面积为
4
f ．
（1）求 f 的解析式；
（2）求 f 的最大值．
参考答案
一、单选题
1.C. 2. B . 3. B. 4. C． 5. D. 6. A 7. D. 8. D.
二、多选题
9. BD 10. BCD. 11. BCD
三、填空题
2
12. x 1 2 y
1 13
.
2 4
13. 2x y 0或 x y 3 0 .
3 1 1
14. ； Pn 1 Pn 2 （ n 3）4 2 2
四、解答题
15. （1）4x 3y 3 0
（2）30
16. （1）证明
连接 A1B，令 A1B AB1 E ，连接 DE，则 E是 A1B、 AB1的中点，
在△ A1BC中 D是线段 BC中点，E是 A1B的中点，
∴DE / /A1C，又DE 平面 AB1D， A1C 平面 AB1D，
∴直线 A1C //平面 AB1D；
4
（2） .
3
设点C到平面 AA1B1的距离为 h1，
∵点C在底面圆上，
∴ ACB 90 ，
∵CA 2,CB 4,BB1 2，D是 BC的中点，
∴ AB A B AC 2 BC 2 2 5， AA1 21 1 ，
因为 A1ABB1是圆柱的轴截面，则C到 AB的距离，即C到平面 AAB h
AC BC 4 5
1 1的距离 1 ，AB 5
所以VA AB D V
1 1 1 1 1 1 4 5 4
D AA B VC AA B S h 2 2 5 .1 1 1 1 2 1 1 2 3 AA1B1 1 2 3 2 5 3
17. 1 R 7 3（ ）
3
15
（2） BD
8
（3 S 15 3） △ABC 4
18. （1）证明
取D为原点，DA所在直线为 x轴，过点D且平行于直线 AB的直线为 y轴，DE所在直线为 z轴建立空
间直角坐标系，
则 A(1,0,0)， B(1, 2,0)， E 0,0, 3 ，F 1,2, 3 ，

可得 BE 1, 2, 3 ， AB (0,2,0)，
n BE x 2y 3z 0
设平面 ABE的一个法向量为n (x, y,z)，则 ，
n AB 2y 0

设 x 3，则 z 1， y 0，可得 n 3,0,1 ，

又因为DF 1,2, 3 ，则DF n 3 3 0，可得DF n .
且 DF 平面 ABE，所以 DF / /平面 ABE .
2 186（ ）
31
（3）存在，线段BP的长为 2

1
1 π π
tan tan

,

0,

2 4

4
19. （1） f
1 tan π π π π 2
tan , ,
4 2

4 2
（2） 2 2