辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期10月质量监测数学试题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期10月质量监测数学试题 （含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 965.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-31 15:48:58 | ||
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文档简介
辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期10月质量监测
数学试题
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间三点，，共线，则实数的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
5．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
6．如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，定义：，其中，.若，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若关于x轴对称，则
B．若关于直线对称，则
C．若，则
D．若，，则
二、多选题
9．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点，，且点在直线上，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．存在点，使得
11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的横坐标的取值范围是 B．的最大值是
C．面积的最大值为2 D．的取值范围是
三、填空题
12．设平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离
13．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为
14．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知直线．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．
16．如图，直三棱柱的体积为4，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若的面积为，求点到平面的距离.
17．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．
(1)求证：点D为BC中点；
(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．
18．如图，在四棱锥中，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C A A C ABC ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14． 2
15．（1）证明：由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．
（2）由题意可知，，
由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，
∴的取值范围是．
16．（1）连接，交于点，连接，
因为，分别是，的中点，所以是的中位线，
所以，因为平面，平面，
所以平面.
（2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为，
因为直三棱柱的体积，
因为是的中点，所以的面积为，
所以三棱锥的体积，
因为的面积为，由得，解得.
所以到平面的距离为.
17．（1）连接OD，PD， 平面POD， ，又 ，O是AC的中点，所以OD是OC边上的中位线， D是BC边的中点；
（2）连接OB， 是等腰直角三角形， ，由题意 平面ABC， ，又O是AC的中点， 是等腰三角形， ，
连接PD，取PD的中点G，连接OG，由题意 平面PBC， ，
又G是PD的中点， 是等腰直角三角形， ，
， ，
；
综上，当 时，O在平面PBC内射影恰好是PD得中点.
18．（1）取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
所以，
所以，所以，
则，所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，所以，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，平面PBD的法向量为
则有，，
令，则，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)，
(2)
(3)存在，和
数学试题
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．四面体中，，，，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间三点，，共线，则实数的值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
5．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与相交
6．如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的距离均为，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，定义：，其中，.若，且，则下列结论错误的是（ ）
A．若关于x轴对称，则
B．若关于直线对称，则
C．若，则
D．若，，则
二、多选题
9．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点，，且点在直线上，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．存在点，使得 D．存在点，使得
11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的横坐标的取值范围是 B．的最大值是
C．面积的最大值为2 D．的取值范围是
三、填空题
12．设平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离
13．设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为
14．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知直线．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)已知两点，，过点A的直线与线段有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．
16．如图，直三棱柱的体积为4，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若的面积为，求点到平面的距离.
17．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，BC⊥面POD．
(1)求证：点D为BC中点；
(2)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．
18．如图，在四棱锥中，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
(1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A C A A C ABC ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14． 2
15．（1）证明：由，得．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点．
（2）由题意可知，，
由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
又的倾斜角是，的倾斜角是，点横坐标在两点横坐标之间，因此直线可能与轴垂直，倾斜角可以是，
∴的取值范围是．
16．（1）连接，交于点，连接，
因为，分别是，的中点，所以是的中位线，
所以，因为平面，平面，
所以平面.
（2）设的面积为，棱长的长度为，到平面的距离为，
因为直三棱柱的体积，
因为是的中点，所以的面积为，
所以三棱锥的体积，
因为的面积为，由得，解得.
所以到平面的距离为.
17．（1）连接OD，PD， 平面POD， ，又 ，O是AC的中点，所以OD是OC边上的中位线， D是BC边的中点；
（2）连接OB， 是等腰直角三角形， ，由题意 平面ABC， ，又O是AC的中点， 是等腰三角形， ，
连接PD，取PD的中点G，连接OG，由题意 平面PBC， ，
又G是PD的中点， 是等腰直角三角形， ，
， ，
；
综上，当 时，O在平面PBC内射影恰好是PD得中点.
18．（1）取的中点，连接，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以且，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
所以，
所以，所以，
则，所以，
又平面，，
所以平面，
又平面，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，所以，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，平面PBD的法向量为
则有，，
令，则，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．(1)，
(2)
(3)存在，和
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