上海市金山中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

金山中学2015学年度第二学期高二年级数学学科期末考试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．直线的倾斜角的大小是__
_．
2．二项式展开式中含项的系数是
（用数字回答）．
3．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动
员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________.
4.
已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为
．
5.
已知圆，则过圆上点的切线方程是______________．
6．在正四棱柱中，与平面所成的角为，则与所成的角为
（结果用反三角函数值表示）．
7．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长等于
．
8.已知是、、、、这五个数据的中位数，又知、、、这四个数据的
平均数为，则最小值为_________.
9．在北纬的纬度圈上，有甲、乙两地，两地间纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地的球面距离是____________．
（结果用反三角函数值表示）
10．设连续掷两次骰子得到的点数分别为
，则直线与圆
相交的概率是
．
11．已知满足，且的最小值为，则常数
．
12．当为正奇数时，除以9的余数是
.
13．为双曲线上位于第一象限内一点，且，令，则的取值范围是_____________．
14．已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：
.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15．已知直线和平面，无论直线与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线
（
）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．异面
16．设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（
）
A．互斥事件
B．两个任意事件
C．非互斥事件
D．对立事件
17.
如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是
（
）
A．
B．
C．
D．
18．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③
的最大值为；④若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是
（
）
A．③④
B．
②③
C．①④
D．①②
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线与所成角的大小为，求：
（1）线段到底面的距离；
（2）三棱椎的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过点作轴的垂线，垂足为．设直线的斜率为．
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）当时，求点到直线的距离．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分。
已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
（1）求点坐标；
（2）当直线经过点时，求直线的方程；
（3）求证直线的斜率为定值.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分8分。
对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．
（1）写出曲线的外确界与内确界；
（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．
金山中学2015学年度第二学期高二年级数学学科期末考试卷答案
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．的倾斜角的大小是__
_．
2．二项式展开式中含项的系数是
（用数字回答）．40
3．一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动
员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为___________.
4.
已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为
．
5.
已知圆，则过圆上点的切线方程是____________．
6．在正四棱柱中，与平面所成的角为，则与所成的角为
（结果用反三角函数表示）．
7．设是双曲线
的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长
．24
8.已知是、、、、这五个数据的中位数，又知、、、这四个数据的
平均数为，则最小值为_________.
9．在北纬的纬度圈上，有甲、乙两地，两地间纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地的球面距离是____________．R
10．设连续掷两次骰子得到的点数分别为
，则直线与圆
相交的概率是
．
11．已知满足，且的最小值为，则常数
．
12．当为正奇数时，除以9的余数是
.
13．为双曲线上位于第一象限内一点，且，令，则的取值范围是_____________．
14．已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：
.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15．已知直线和平面，无论直线与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线
（
C
）
A．相交
B．平行
C．垂直
D．异面
16．设事件A，B，已知=，=,=，则A，B之间的关系一定为（
A
）
A．互斥事件
B．两个任意事件
C．非互斥事件
D．对立事件
17.
如图，四棱锥的底面是的菱形，且，，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面平行）可能是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
18．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③
的最大值为；④若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是
（
D
）
A．③④
B．
②③
C．①④
D．①②
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线与所成角的大小为，求：
（1）线段到底面的距离；
（2）三棱椎的体积．
解：（1），
为异面直线与所成角，
正四棱柱，
的长为线段到底面的距离，
中，，，
线段到底面的距离为
（2）
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。
如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过点作轴的垂线，垂足为．设直线的斜率为．
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）当时，求点到直线的距离．
解：（1）由题设知，，，故，，所以线段中点的坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过坐标原点，
所以．
（2）当时，直线的方程为，由解得，
从而点的坐标是，点的坐标为，
于是点的坐标为．…（11分）所以直线的方程为．
所以点到直线的距离为．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．
（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？
（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．
解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高
为，底面半径为
39.71
（秒）
所以，沙全部漏入下部约需1986秒。
（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，
设高为
锥形沙堆的高度约为2.4cm.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分。
已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
（1）求点坐标；
（2）当直线经过点时，求直线的方程；
（3）求证直线的斜率为定值.
解：（1）由题可得，，设则，，∴，（1分）∵点在曲线上，则，（2分）解得点的坐标为.
（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，
由得，
即，故，（2分）同理得，
∴直线的方程为
(3)
依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：
.由
得
，设，则
，，同理，
则，同理.（4分）
所以：的斜率为定值.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分8分。
对于曲线，若存在非负实数和，使得曲线上任意一点，恒成立(其中为坐标原点)，则称曲线为有界曲线，且称的最小值为曲线的外确界，的最大值为曲线的内确界．
（1）写出曲线的外确界与内确界；
（2）曲线与曲线是否为有界曲线？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；
（3）已知曲线上任意一点到定点的距离之积为常数，求曲线的外确界与内确界．
解．（1）曲线的外确界与内确界．
（2）对于曲线，设为曲线上任意一点
曲线不是有界曲线．
对于曲线
曲线是有界曲线．外确界与内确界
（3）由已知得：
若，则，外确界，内确界
若，，则，外确界，内确界
综合得：外确界，内确界．
O
A
B
C
M
N
x
y
O
A
B
C
M
N
x
y