河北省十六校联考2026届高三上学期10月份联考数学试卷（含解析）

河北省十六校2025-2026学年高三上学期10月份联考数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，平面向量，复数，函数与导数，三角函数与解三角形，立体几何.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. 或 C. 2 D. 2或
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值是
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 单调递增区间为
7. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 5 D. 4
8. 已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（ ）
A. 的最小值是
B. 三棱锥的体积为定值
C. 点的轨迹长度为
D. 的最小值为
11. 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为8
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
13. 某勘测队在野外作业时，需要测量两地（视作质点）之间的距离，勘测人员选定地（视作质点），测得两地之间的距离是千米，同时测得，则两地之间的距离是___________千米.
14. 已知A，B是圆上的两点，且为坐标原点，则的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数.
（1）证明：的图象关于点成中心对称图形.
（2）求图象的对称中心.
（3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，.
（1）证明：.
（2）当时，求四边形ABCD面积的最大值.
（3）若，点在四边形ABCD所在平面内，求的最小值.
19. 已知函数，且有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
答案版
河北省十六校2025-2026学年高三上学期10月份联考数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，平面向量，复数，函数与导数，三角函数与解三角形，立体几何.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，所以.
故选：B．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，得，得，
所以，又因为，
则
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. 或 C. 2 D. 2或
【答案】D
【详解】因为，
所以，解得或，
故选：D
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
充分性：若 ，因为 ，所以必有 ，即 ，故充分性成立，
必要性：若 ，即 ，因为 ，所以必有 ，故必要性成立，
综上，“”是“”的充要条件。
故选：A．
5. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以；
因为，所以指数函数在上单调递增，
所以，即；
因为，所以对数函数在上单调递增，所以.
所以.
故选：B
6. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值是
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 单调递增区间为
【答案】D
【详解】.
对于A，当时，取得最大值，最大值是，故A错误；
对于B，的图象关于直线，即对称，
而当时，，不是整数，故的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，因为，所以的图象不关于点中心对称，故C错误.
对于D，因为当，即时，函数单调递增，所以的单调递增区间为，故D正确.
故选：D.
7. 已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 5 D. 4
【答案】C
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
8. 已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以，
所以该圆柱体积，
设，则，由，
得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，则该圆柱体积的最大值是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意知向量，
由，得，解得，则，A正确.
对于B，由，得，B正确.
对于C，由，得，解得，C错误.
对于D。由，得，即，D正确.
故选：ABD
10. 在棱长为4的正方体中，是棱的中点，点在线段上，点在四边形（包含边）内，且平面，则（ ）
A. 的最小值是
B. 三棱锥的体积为定值
C. 点的轨迹长度为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【详解】因正方体中，，所以.
因为点在线段上，所以当为的中点时，
取最小值为，所以A错误.
因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
因为点是固定的，所以点到平面的距离确定，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积是定值，B正确.
分别取棱中点，连接.
所以，.
又平面，而不在平面内，
所以平面，平面.
又，所以平面平面.
因为点在四边形（包含边）内，且平面，所以点的轨迹为线段.
因为分别是棱的中点，所以，C正确.
将平面与平面展开到同一平面，则，连接.
由题意可得，，
则，
当是线段与的交点时，，即的最小值为，D正确.
故选：BCD.
11. 定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，且，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为8
C.
D.
【答案】ACD
【详解】因为，所以.
因为，所以，所以.
因为的图象关于直线对称，所以.
因为，所以，所以，
所以是函数的周期，所以.
因为，所以，所以，则A正确.
因为，所以.
因为，所以，
则，即，
所以4是函数的周期，则B错误.
因为，且是周期为4的周期函数，
所以，则C正确.
因为，所以.
因为，
所以，则D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
【答案】
【详解】因为，所以，又，，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
13. 某勘测队在野外作业时，需要测量两地（视作质点）之间的距离，勘测人员选定地（视作质点），测得两地之间的距离是千米，同时测得，则两地之间的距离是___________千米.
【答案】
【详解】因为，所以.
在中，由正弦定理可得，
则千米.
故答案为：.
14. 已知A，B是圆上的两点，且为坐标原点，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由，
所以圆的圆心为，半径为3.设为AB的中点，
连接CH，OH，，则.
因为，
所以.
因为，
所以.
因为，
所以，所以，则，
即的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
设等差数列的公差为.
由题意可得
解得，，
则.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
故
.
16. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）
（2）.
【小问1详解】
由图可知最小正周期，则.
因为的图象经过点，所以，所以.
因为，所以，所以，解得.
故.
【小问2详解】
由（1）可得，则.
因为，所以.
当，即时，取得最小值，，
当，即时，取得最大值，，
则，即在上的值域是.
17. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形，点是函数图象的对称中心.已知函数.
（1）证明：的图象关于点成中心对称图形.
（2）求图象的对称中心.
（3）设函数，将区间分成等份，记等分点的横坐标按从小到大的顺序依次为，若不等式对任意恒成立，求整数的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）5
【小问1详解】
证明：因为，所以，
，
所以，
则的图象关于点成中心对称图形.
【小问2详解】
解：（解法一）设，则，所以.
易证是奇函数，所以函数的图象关于点中心对称，
所以函数的图象关于点中心对称，
所以的图象关于点中心对称，即图象的对称中心为点.
（解法二）因为，所以，
，
所以，
则图象的对称中心为点.
【小问3详解】
解：由（1）（2）可知和的图象都关于点成中心对称图形，，
所以，
所以
所以函数的图象关于点成中心对称图形.
因为区间关于直线对称，
所以，
所以.
因为不等式对任意恒成立，所以.
因为，所以，所以，即整数的最小值是5.
18. 如图，在平面四边形ABCD中，.
（1）证明：.
（2）当时，求四边形ABCD面积的最大值.
（3）若，点在四边形ABCD所在平面内，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【小问1详解】
证明：如图1，连接BD.
在中，由余弦定理可得.
在中，由余弦定理可得，
则.
因为，
所以.
因为，所以.
【小问2详解】
如图1，因为，所以四边形ABCD的面积，
则①，
由（1）可知，则②，
联立①②，解得，则，
当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值.
【小问3详解】
如图2，将绕点逆时针旋转，使得P，D分别与重合，连接.
易知.
因为，所以，
所以，
则.
由图可知，
当且仅当四点共线时，等号成立，
故的最小值是.
19. 已知函数，且有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
定义域为，
由题意可得.
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，且，
则，解得，即的取值范围为；
【小问2详解】
证明：先证明对一切不相等的正实数，都有.
不妨设，要证，即证
设，
则，
所以在上单调递增，所以，即当时，有，
故，即.
因为是的两个零点，所以
所以，则，
所以，则.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，所以，即.