高 2028 届数学第一次月考
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 1给出下列关系：① ∈R；②2∈Z；③| 3| N ；④| 3|∈Q，其中正确的个数为( )2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用∈和 的定义，逐一分析求解即可．
1 1
【解答】解：对于①， 为实数，而 R表示实数集，所以 ∈R，即①正确;
2 2
对于②，2为整数，而 Z表示整数集合，所以 2∈Z，即②正确;
对于③，| 3|=3为正自然数，而N 表示正自然数集，所以| 3|∈N ，所以③错误;
对于④，因为| 3|= 3为无理数，Q表示有理数集，所以| 3| Q，即④错误．
故选 B．
2.已知命题 p: x>0，(x+1)ex>1，则命题 p的否定为( )
A. x≤0，(x+1)ex≤1 B. x>0，(x+1)ex≤1
C. x>0，(x+1)ex≤1 D. x≤0，(x+1)ex≤1
【答案】B
【解析】解：命题 p: x>0，(x+1)ex>1，则命题 p的否定为 x>0，(x+1)ex≤1．
故选：B．
3. 4已知集合 A= x∈Z ≥1 ，则 A的非空真子集个数为( )
3 x
A. 6 B. 7 C. 14 D. 15
【答案】C
4 4 (3 x) 1+x
【解析】解：由 ≥1可得 ≥0，即 ≥0，
3 x 3 x 3 x
(1+x)(3 x) 0,
即 解得 1≤x<3，
3 x≠0,
于是 A= 1,0,1,2 ，共 4个元素，故其非空真子集个数为24 2=14个.
故选：C．
4. (x 3)
0
函数 f(x)= 定义域为( )
x 2
A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. (2,3)∪(3,+∞) D. [2,3)∪(3,+∞)
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查具体函数的定义域，属于基础题．
要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零．
【解答】
(x 3)0
解：要使函数 f(x)= 有意义，
x 2
x 3≠0
则 x 2>0，解得 x>2且 x≠3，
所以 f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
故选 C．
5.下列说法中，错误的是( )
A.若a2>b2，ab>0 1，则 < 1a b
B. a若 > b，则 a>b
c2 c2
C.若 b>a>0 m>0 a+m > a， ，则b+m b
D.若 a>b，cb d
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【答案】A
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质和不等关系，属于基础题．
利用不等式的基本性质逐个分析选项即可判断．
【解答】
解：对 A，取 a= 3，b= 2，满足a2>b2，ab>0 1 1，但 > ，故错误;a b
B a b对 ，由 2 > 2，得c2>0，得 a>b，故正确;c c
a+m a ab+bm ab am m(b a)
对 C， = =b+m b b(b+m) ，b+m
b>a>0 m>0 m(b a)由 ， ，得 >0 a+m ab(b+m) ，所以 >b+m b，故正确;
对 D，由 c d，又 a>b，所以 a c>b d，故正确．
故选 A．
6.要制作一个容积为 4m3，高为 1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价
是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是( )
A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元
【答案】C
【解析】【分析】
本题以棱柱的体积和表面积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题
转化是关键．
设容器的底面长和宽分别为 a(m)，b(m)，成本为 y(元)，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即
可求出所求．
【解答】
解：设容器的底面长和宽分别为 a(m)，b(m)，成本为 y(元)，
∵长方体容器的容积为 4m3，高为 1m，
∴底面面积 S=ab=4m2，
y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80，
∵a+b≥2 ab=4，
∴当且仅当 a=b=2时，y取最小值 160，
即该容器的最低总造价是 160元，
故选 C．
7.f(x) x (0,+∞) 2f(x) f( 1的定义域为 ∈ ，满足 )=2x+1，则 f(x)的最小值为( )
x
A. 1+ 4 2 B. 1+ 2 2 C. 1+ 2 D. 2 2
3 3 3 3
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用方程组法求解析式，考查基本不等式，属于中档题．
x 1用 代替，联立方程组可得 f(x)的解析式，再根据基本不等式即可求解．
x
【解答】
1 1
解：由题意将已知等式 2f(x) f( )=2x+1中的 x用 代替，
x x
2f(x) f( 1 )=2x+1
可得： x ，
2f( 1 ) f(x)= 2 +1
x x
4 2
解方程组得：f(x)= x+ +1(x>0)．
3 3x
4 2 4 2
所以 f x = x+ +1 2 x· +1= 4 2 +1，
3 3x 3 3x 3
4 2
当且仅当 x= ，即 2时等号成立，
3 3x x= 2
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所以 f(x) 4 2的最小值为 1+ ．
3
故选 A．
8.对于非空集合 A= a1,a2,a3, ,an (ai≥0,i=1,2,3, ,n)，其所有元素的几何平均数记为 E A ，即若非空数集 B
n
满足下列两个条件：①B A；②E B =E A ，则称 B为 A的一个“保均值真子集”，E A = a1 a2 a3 an
则集合 A= 1,2,4,8,16 的“保均值真子集”的个数为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】解：因为集合 A= 1,2,4,8,16 ，则 E A =5 1×2×4×8×16=4，
所以集合 1,2,4,8,16 的“保均值真子集”有： 4 ， 1,16 ， 2,8 ， 1,4,16 ， 2,4,8 ， 1,2,8,16 ，共 6个．
故选：C．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示的是不同函数的是( )
A. f(x)= 2x3与 g(x)=x 2x
B. f(x)=|x|与 g(x)= x2
C. f(x)=x+1与 g(x)=x+x0
D. f(x)= x x+1与 g(x)= x2+x
【答案】ACD
【解析】解：A．f(x)= 2x3的定义域为 x|x≤0 ，且 f(x)= 2x3= x 2x，g(x)=x 2x的定义域为 x|x≤0 ，
解析式不同，所以不是同一函数；
B.f(x)=|x|的定义域为 R，g(x)= x2=|x|的定义域为 R，且解析式相同，所以是同一函数；
C.f(x)=x+1的定义域为 R，g(x)=x+x0的定义域为 x|x≠0 ，所以不是同一函数；
D. x≥0由 x+1≥0得 x≥0，所以 f(x)= x x+1的定义域为 x|x≥0 ，由x
2+x≥0，得 x≥0或 x≤ 1，
所以函数 g(x)= x2+x的定义域为 x|x≥0或 x≤ 1 ，所以不是同一函数．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是( )
A. 1 1已知集合 A={x|x2+x 6=0}，B={x|mx 1=0}，若 B A，则实数 m组成的集合为{ ,0, }3 2
B.不等式 2kx2+kx 3 <0对一切实数 x恒成立的充要条件是 38
2
C.函数 y= x +3 的最小值为 2
x2+2
D. “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断，涉及集合的子集、不等式恒成立问题、函数的最值、充分必要条件的判断，属
于中档题．
【解答】
解：对于 A：若 B= 时，满足 B A，此时 m=0，
1 1
若 B≠ ，由题可知 A= 3,2 ，则 = 3或 =2，得 m= 1 1或 ，A选项正确；m m 3 2
3
对于 B：当 k=0时，有 <0对一切实数 x恒成立，
8
k<0
当 k≠0时，有 k2 4×2k×( 3 )<0，解得 38
故不等式 2kx2+kx 3 <0对一切实数 x恒成立的充要条件是 38
2
对于 C：y= x +3 = x2+2+ 1 2 x2+2× 1 =2，
x2+2 x2+2 x2+2
1
当且仅当 x2+2= 2 时取等号，但此时x2= 1，不符合题意，故等号取不到，C错误；x +2
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对于 D：当 x= 1时，也有x2=1，即“x≠1”不能推出“x2≠1，但“x2≠1”能推出“x≠1”，
所以“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件，D不正确．
11.已知 a，b为正实数，且 ab+2a+b=16，则( )
A. 2a+b 1 1的最小值为 8 B. + 的最小值为 2
a+1 b+2 2
C. ab 1的最大值为 8 D. b+ 的最小值为6 2 1
9 a 10
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式，属于拔高题．
【解答】
解：由 16=ab+2a+b得 b= 16 2a = 18 2，所以
a+1 a+1
2a+b=2a+ 16 2a =2(a+1)+ 18
18
4≥2 2 a+1 · 18 4=8，当且仅当 2(a+1)= ，即 a=2时取等号，此时 2a+b取得
a+1 a+1 a+1 a+1
最小值 8，A对;
1 + 1 ≥2 1 · 1 =2 1 = 2，当且仅当 a+1=b+2
1 1 2
时取等号，此时 + 取得最小值 ，B错;
a+1 b+2 a+1 b+2 ab+2a+b+2 3 a+1 b+2 3
因为 16=ab+2a+b≥ab+2 2ab，当且仅当 2a=b时取等号，解不等式得 4 2≤ ab≤2 2，即 ab≤8，故 ab的
最大值为 8，C对;
1 18 1 18 1 a+1 9 a
b+ = + 2=( + )( + ) 2
9 a a+1 9 a a+1 9 a 10 10
= 18(9 a) + a+1 1 ≥2 18 1 6 2 1
18(9 a) = a+1 1= ，当且仅当10(a+1) 10(9 a)即 a=
163±30 2
时取等号，此时 b+ 取得最小值
10(a+1) 10(9 a) 10 100 10 10 17 9 a
6 2 1
，D正确;
10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 A= 0,m,m2 3m+2 ，且 2∈A，则实数 m的值为 ．
【答案】3
【解析】【分析】
本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.由集合 A的
元素，以及 2∈A，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数 m的值．
【解答】
解：由题可得，若 m=2，则 m2 3m+2=0，不满足集合元素的互异性，舍去；
若 m2 3m+2=2，解得 m=3 或 m=0，
其中 m=0不满足集合元素的互异性，舍去，
所以 m=3．
故答案为：3．
13. 1若不等式 ax2+bx+1>0的解集为 x 1【答案】 5
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．
利用根与系数的关系求出 a、b的值，即可得出 ab的值．
【解答】
1
解：∵不等式 ax2+bx+1>0的解集为{x| 1即方程 ax2+bx+1=0 1的两个根为 1和 ，3
1 b 1 1
由根与系数的关系，得 1+ = ， 1× = ，
3 a 3 a
∴a= 3，b= 2，
∴a+b= 5
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f 2x 3
14.若函数 f x 的定义域是 2,5 ，则函数 y= 2 的定义域是 ．x 2x 3
【答案】 3,4
【解析】【分析】
本题考查求函数的定义域问题，属于基础题．
由已知求得 f 2x 3 的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于 0求解．
【解答】
解：函数 f x 的定义域是 2,5 ，所以 2≤2x 3≤5 5，即 ≤x≤4，
2
所以 f 2x 3 5的定义域为 ,4 ，
2
5
f 2x 3 ≤x≤4
所以函数 y= 2 有意义需满足 2 ，x 2x 3 x2 2x 3>0
解得 3y= f 2x 3即函数 2 的定义域为 3,4 ，x 2x 3
故答案为 ： 3,4 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12分)
已知函数 f(x)= x 1+ 14 x的定义域为 A，集合 B={x|x
2 3x 10≤0}，C={x|a 1≤x≤a+1}．
(1)求(CRA)∩B;
(2)若 x∈C是 x∈B的充分条件，求实数 a的取值范围．
【答案】解：(1)由 x 1 0得 1 x<4，即 A=[1,4)．
4 x>0
所以 RA= ∞,1 ∪[4,+∞)．
B={x|x2 3x 10≤0}=[ 2,5]．
所以 RA ∩B=[ 2,1)∪[4,5]．
(2)由题意可知：C B，
由(1)可知 B=[ 2,5]．
a 1 2
所以 ，解得： 1 a 4，
a+1 5
所以实数 a的取值范围为[ 1,4]．
【解析】本题考查交集、补集的混合运算，充分条件与集合间的关系，属于中档题．
(1)根据函数定义域的求法可求得集合 A；解一元二次不等式可求得集合 B，由补集和交集定义可求得结果；
根据包含关系列不等式求得结果．
2 2
16. a b回答下列问题 (1)已知 a,b都是正实数，比较 + 与 a+b的大小；
b a
(2)已知 02 2
a2 b2 a3+b3 ab2 a2b a2 a b +b2 b a a b a2 b2 a b 2 a+b
【答案】解：(1) + a+b = = = = ，
b a ab ab ab ab
因为 a,b都是正实数，所以 ab>0， a+b>0， a b 2≥0，
a2 b2
所以 + ≥a+b，当且仅当 a=b时等号成立．
b a
(2)∵00，
2
1
∴y= ×2x(1 2x)≤ 1 ( 2x+1 2x )2= 1 × 1 = 1，
4 4 2 4 4 16
1 1 1
∴当且仅当 2x=1 2x(02 4 16
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17.已知不等式 ax2 3x+6>4的解集为{x|x<1或 x>b}．
(1)求 a，b的值；
(2)m为何值时，ax2+mx+3≥0的解集为 R．
(3)解不等式 ax2 (ac+b)x+bc <0．
【答案】解：(1)由题意知，1和 b是方程 ax2 3x+2=0的两根，
3 =1+b,
则 a
a=1,
2 解得=b, b=2.
a
(2)由(1)得x2+mx+3≥0的解集为 R，
∴方程x2+mx+3=0的判别式Δ=m2 12 0,∴ 2 3 m 2 3，
所以当 2 3 m 2 3时，ax2+mx+3≥0的解集为 R;
(3)不等式 ax2 (ac+b)x+bc<0，
即为x2 (c+2)x+2c<0，即(x 2)(x c)<0．
①当 c>2时，原不等式的解集为{x|2②当 c<2时，原不等式的解集为{x|c③当 c=2时，原不等式无解．
综上知，当 c>2时，原不等式的解集为{x|2当 c<2时，原不等式的解集为{x|c当 c=2时，原不等式的解集为 ．
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程的关系、不等式恒成立
问题、分类讨论思想，属于中档题．
(1)根据一元二次不等式与一元二次方程的关系列方程组求解可得；
(2)将一元二次不等式的解集为 R转化为对应方程的判别式小于或等于 0，解不等式求解即可；
(3)将不等式左边分解因式后结合对应方程两根的大小分类讨论即可求解．
18.随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，
a 5x,0经调研，每件衣服的售价 y(单位：元)与销量 x(单位：万件)之间满足关系式 y= b 900 ,x>10. 已知公司每年
x x2
固定成本为 10万元，每生产 1万件衣服需要再投入 4万元.设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销
售 8万件衣服时，年利润为 990万元;当公司销售 20万件衣服时，年利润为 1145万元．
(1)写出年利润 W(万元)关于年销量 x(万件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万件时，公司利润最大 并求出最大利润．
【答案】解：(1)因为当销售 8万件衣服时，年利润为 990万元，所以(a 5×8)×8 10 4×8=990，解得 a=169，
当销售 20 b 900万件衣服时，年利润为 1145万元，所以( 2 )×20 10 4×20=1145，解得 b=1280，20 20
当 0当 x>10 1280 900时，W=x( 2 ) (4x+10)=
900 4x+1270，
x x x
5x2+165x 10,0所以 W=
900 4x+1270,x>10.
x
(2) 0当 x>10时，W= 900 4x+1270，由于900 +4x≥2 900x ×4x=120，x x
900
当且仅当 =4x，即 x=15∈(10,+∞)时取等号，此时 W取得最大值为 1150，
x
综上可知，当 x=15时，W取得最大值为 1150万元．
【解析】本题考查分段函数模型的应用，涉及基本不等式的运用，属于中档题．
(1)先求出 a，b的值，然后分 010求出函数解析式进行求解即可；
(2)根据分段函数解析式结合二次函数性质和基本不等式性质进行计算即可。
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19.(本小题 17分)
已知集合 A= x|x=m2 n2,m∈Z,n∈Z
(1)判断 8，9，10是否属于集合 A；
(2)已知集合 B={x|x=2k+1,k∈Z}，证明：“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
(3)写出所有满足集合 A的偶数．
【答案】解：(1)∵8=32 1，9=52 42，∴8∈A，9∈A，
假设 10=m2 n2，m,n∈Z，
则( m + n )( m n )=10，且|m|+|n|>|m| |n|>0，
∵10=1×10=2×5，
|m|+ n =10 |m|+ n =5
∴ |m| |n|=1 ，或 |m| |n|=2，显然均无整数解，
∴10 M，
∴8∈A，9∈A，10 A；
(2)∵集合 B={x|x=2k+1,k∈Z}，则恒有 2k+1=(k+1)2 k2，
∴2k+1∈A，∴即一切奇数都属于 A，
又∵8∈A，∴“x∈A”的充分非必要条件是“x∈B”；
(3)集合 A= x|x=m2 n2,m∈Z,n∈Z ，m2 n2=(m+n)(m n)成立，
①当 m，n同奇或同偶时，m+n，m n均为偶数，(m+n)(m n)为 4的倍数；
②当 m，n一奇，一偶时，m+n，m n均为奇数，(m+n)(m n)为奇数，
综上所有满足集合 A的偶数为 4k，k∈,k∈Z}
【解析】本题考查集合的表示法的应用，考查元素与集合关系的判断，考查分类讨论思想，考查逻辑思维
能力和计算能力，属于拔高题．
(1)将 x=8，9，10分别代入关系式 x=m2 n2，若满足关系式，则属于 A，若不满足关系式，则不属于 A，即
可得答案；
(2)根据已知中集合 A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数 x∈A可得答案；
(3)m2 n2=(m+n)(m n)成立，当 m，n同奇或同偶时，m+n，m n均为偶数；当 m，n一奇，一偶时，m+n，m n
均为奇数．由此能求出所有满足集合 A的偶数．
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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.给出下列关系： ； ； ； ，其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知命题 ， ，则命题 的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合 ，则 的非空真子集个数为( )
A. B. C. D.
4.函数 定义域为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，错误的是( )
A.若 ， ，则 B. 若 ，则
C.若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6.要制作一个容积为 ，高为 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 元，侧面
造价是每平方米 元，则该容器的最低总造价是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7. 的定义域为 ，满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8.对于非空集合 ，其所有元素的几何平均数记为 ，即若非
空数集 满足下列两个条件： ； ，则称 为 的一个“保均值真子集”，
则集合 的“保均值真子集”的个数为( )
A. B. C. D.
第 1页，共 4页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示的是不同函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.下列说法正确的是( )
A.已知集合 ， ，若 ，则实数 组成的集合为
B.不等式 对一切实数 恒成立的充要条件是
C.函数 的最小值为
D.“ ”是“ ”的充分不必要条件
11.已知 ， 为正实数，且 ，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 ，且 ，则实数 的值为 ．
13.若不等式 的解集为 ，则 的值为 ．
14.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13 分）已知函数 的定义域为 ，集合 ，
．
求
若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
16.（15 分）回答下列问题
已知 都是正实数，比较 与 的大小；
已知 ，求 的最大值．
17.（15 分）已知不等式 的解集为 或 ．
求 ， 的值；
为何值时， 的解集为 ．
解不等式 ．
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18.（17 分）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展双十一期间，某服装公司在各大网络平
台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价 单位：元 与销量 单位：万件 之间满足关系式
已知公司每年固定成本为 万元，每生产 万件衣服需要再投入 万元设该公司
一年内生产的衣服全部销售完当公司销售 万件衣服时，年利润为 万元 当公司销售 万件衣服时，
年利润为 万元．
写出年利润 万元 关于年销量 万件 的函数解析式
当年产量为多少万件时，公司利润最大 并求出最大利润．
19.（17 分）已知集合
判断 ， ， 是否属于集合 ；
已知集合 ，证明：“ ”的充分非必要条件是“ ”；
写出所有满足集合 的偶数．
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