2025-2026学年八年级数学上学期期中测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一章~第四章。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．有下列各数： ， ， ， ， ， （自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其
中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
3．已知点 和 关于 x轴对称，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
4．如图，数轴上， ，A，B两点对应的实数分别是 和 ，则点 C所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法：（1） 是 的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为 ；（4）
的算术平方根是 ；（5）平方根等于它本身的数是 和 ：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（ ）
个
A． B． C． D．
6．若最简二次根式 能与 合并，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．对于函数 ，下列结论：①它的图象必经过点 ，②它的图象经过第一、二、三象限，③
当 时， ，④ 的值随 值的增大而增大，其中正确的个数是（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，三角形纸片 中， ， ， ．沿过点 A的直线将纸片折叠，使点 B落
在边 上的点 D处；再折叠纸片，使点 C与点 D重合，若折痕与 的交点为 E，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．18
10．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记 ， ， ．若 ，
．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．在我国新疆西北部有一座全球最大的八卦城——特克斯县．以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方
位和角度 向外延伸出八条主街，如图，是以八卦文化广场为点O绘制的简易地图，若点 A的位置用
表示，点 B的位置用 表示，则点 C的位置可以表示为 ．
12．已知 与 是正数 的平方根，则 的值是 ．
13．定义：在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，则 为点 到坐标原点 的“折线距
离”．若点 在直线 上，且点 到坐标原点 的“折线距离” ，则点 的坐标为 ．
14．如图，这是一个供滑板爱好者使用的 型池的示意图，该 型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而
成，中间可供滑行部分的截面是直径为 （即 ）的半圆，其边缘 ，点 在
上， ，一名滑板爱好者从 点滑到 点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚
度可以忽略不计， 取 3）
15．我们引入记号 表示某个函数，用 表示 时的函数值．例如函数 可以记为
，并有 ， ．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数
的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于
狄利克雷函数，下列说法：
对于任意的实数 ，
对于任意的实数 ，
存在一个不等于 的常数 ，使得对于任意的 都有
对于任意两个实数 和 ，都有 ．
其中正确的有 （填序号）．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（18分）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6)
17．（8分）某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系．
已知点 ．．．
关于直线
（______，
的对 ．．．
_______）
称点
关于直线
（_________，
的 ．．．
_______）
对称点
(1)结合图表，写出 （_________，_______）， （_________，_______）
(2)结合上述探究规律填空：
①点 关于直线 的对称点的坐标为___________；
②点 关于直线 的对称点的坐标为___________．
(3)若点 与点 关于一条直线对称，直接写出 两点的对称轴所在直线．
18．（8分）在学习《估算》后，某 数学爱好小组探索 的近似值的过程如下：
∵ ＜ ＜ ，
∴ ＜ ＜ ，
∵面积为 的正方形的边长是 ，
设 ，其中 ，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又 ，∴ ，
当 时，可忽略 ，得 ，解得 ，
∴
(1)仿照上述方法，探究 的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到 ）；
(2)结合上述具体实例，已知非负整数 ， ， ，若 ，且 ，直接写出 的近似值
（用含有 ， 的式子表示）．
19．（6分）综合与实践
【实验操作】
为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组
设计如下两组实验：
实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量 与充电时间 t（小时）的关系式为 ．
实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量 与已行驶里程 s（千米）是一次函数关系，
数据记录如表．
已行驶里程 s（千米） 0 100 200 300
电量 100 75 50 25
【建立模型】
（1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量 与已行驶里程 s（千米）之间的函数关系式；
【解决问题】
（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点 600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶
100千米，行驶 3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证
司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？
20．（7分）【阅读材料】
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取
长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如 ，
，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个
是另一个的有理化因式．
于是，二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这样通过分
子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
【解决问题】
（1）将下列式子分母有理化： ______．
（2）比较大小： ______ （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
【能力提升】
（3）已知有理数 m，n满足 ，则 ______；
（4）计算： ．
21．（8分）定义：在平面直角坐标系 中，有一点 M的坐标为 ，若点 N的坐标为 ，
其中 a为常数，则称点 N是点 M的“a级倍减点”．
(1)已知点 的“2级倍减点”是点 ，则点 的坐标为______；
(2)已知点 的“-3级倍减点” 位于 轴上，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，若第二象限存在点 ，使 轴，且 ，求点 的坐标．
22．（8分）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析．
【提出问题】已知 ，求 的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和 的
线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为 1的正方形 ，P为 边上的动点，设 则
，则 _________ _________；
（2）在（1）的条件下，已知 ，请结合图形求 的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出 的最小值为_________．
23．（12分）在平面直角坐标系中，有 ， 两点，若存在点 C使得 ，且 ，
则称点 为 m的“等垂点”．例如：在 ， ， 三点中，因为 ，且 ，所
以点 C为 1的“等垂点”．
(1)①点 ， ，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
②如图 1，若点 ， ，则点 C是 4的“等垂点”，则点 C的坐标为 ．
(2)如图 2，若一次函数 上存在 5的“等垂点”，求 5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线 上存在无数个 5的“等垂点”，且直线 与 x轴交于点 E，与 y
轴交于点 F，点 M在线段 上，点 在 内， ， ，连接 ，设 ，直接写出
面积 关于 a的表达式．2025-2026学年八年级数学上学期期中测试卷
参考答案
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B B D C C B C A D
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11． 2,135° 12．1或 9 13． 2, 4 或 2,4 14．17 15．①③④
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（18分）
【详解】（1）解： 1 28 + 700
7
7
= 2 7 + 10 7
7
= 57 7；（3分）
7
2 50× 32（ ）解： 4 2
8
50 × 32
= 8 4 2
= 10 2 4 2
= 6 2；（6分）
（3）解： 6 × 3 ÷ 18
2
3 1
= 6 × ×
2 18
= 2；（9分）
2
4 27+ 12（ ）解： 3
3
3 3 + 2 3
= 3
3
= 5 3
= 2；（12分）
（5 2）解： 2 + 5 2 5 3 2
= 4 5 3 4 3 + 4
= 4 5 3 + 4 3 4
= 4 3 8；（15分）
1
（6）解： 8 + π 2024 0 1 2 1
2
= 2 2 + 1 2 2 1
= 2 2 + 1 2 2 + 1
= 2．（18分）
17．（8分）
【详解】（1）解：如图： 1 1,0 ， 2 2, 6
．
故答案为： 1；0； 2； 6．（2分）
（2）解：①点 , 关于直线 = 的对称点的坐标为 2 , ；
②点 , 关于直线 = 的对称点的坐标为 , 2 ．
故答案为： 2 , ； , 2 ．（6分）
（3）解：∵点 2024，2025 2023 2025 = 2024+ 2023 1与点 ， 关于直线 = 对称，2 2
∴M，N 1两点的对称轴所在直线为 = ．（8分）
2
18．（8分）
【详解】（1）解：∵ 64 < 72 < 81，
∴8 < 72 < 9，
∴ 72整数部分的值为 8．
∵面积为 72的正方形的边长是 72，且 8 < 72 < 9，
∴设 72 = 8 + ，其中 0 < < 1，画出示意图，如图所示，
2 2
根据示意图，可得图中正方形的面积 正方形 = 8 + 2 × 8 + ，
2
又∵ 正方形 = 72 = 72，
∴82 + 2 × 8 + 2 = 72，
当 2 < 1 时，可忽略 2，得 64 + 16 ≈ 72，解得： ≈ 0.5，
∴ 72 ≈ 8.5．（4分）
（2）解：如图，设 = + ，
正方形的面积为： 2 + 2 + 2，
∵ = 2 + ，
当 2较小时，省略 2，得： 2 + 2 ≈ ，则 2 + 2 ≈ 2 + ，
∴ ≈ ，
2
∴ ≈ + ．（8分）
2
19．（6分）
【详解】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量 2 % 与行驶里程 s（千米）之间的函数关系为一
次函数，
设 2 = + ，
将 0,100 ， 100,75 代入 2 = +
100 =
得 75 = 100 + ，
= 0.25
解得 = 100 ，
∴仪表盘显示电量 2 % 与行驶里程 s（千米）之间的函数解析式为 2 = 0.25 + 100；（3分）
（2）由题意得，先在满电的情况下行走了 = 100 × 3 = 300（千米），此时剩余电量 2 = 25，走完剩余
路程 = 600 300 = 300（千米），由表格可得，行驶 300千米耗电 75%，
设充电充了 小时，电池充电状态下汽车仪表盘显示电量 1 = 40 ，
∴25 + 40 ≥ 75，
解得 ≥ 1.25，
答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电 1.25小时．（6分）
20．（7分）
1 3+ 6 3+ 6
【详解】解：（1） = = ；
3 6 3 6 3+ 6 3
3+ 6
故答案为： ；（1分）
3
（2 1 = 6+2 = 6+2） = 1 + 6 1 = 5+ 3， = 5+ 3 = 5 + 3，
6 2 6 2 6+2 2 2 5 3 5 3 5+ 3 2 2 2
∵ 6 > 5 , 1 = 4 > 3，
2 2 2 2
∴1 + 6 > 5 + 3，
2 2 2
∴ 1 > 16 2 5 3；
故答案为：＞；（2分）
（3 ∵ 4 ） + 5+3 5 2
4 5 3 5 + 2
= +
5 + 3 5 3 5 2 5 + 2
4 5 12 5 + 2
= 5 9 + 5 4
= 3 5 + 5 + 2
= 3 + 2 + 5 ，
∴3 + 2 + 5 = 5，
∵ ， 是有理数，
∴ 3 + 2 = 5，且 = 0，
∴ = = 1；
故答案为：1；（4分）
（4）∵ 299 97+97 99
2 × 99 97 97 99
=
99 97 + 97 99 99 97 97 99
2 99 97 97 99
=
992 × 97 972 × 99
2 × 99 97 97 99
=
99 × 97 × 99 97
= 97 99，
97 99
∴ 2 + 2 + 2 + + 23+ 3 5 3+3 5 7 5+5 7 99 97+97 99
3 3 5 5 7 97 99
= 1 + + + . . . . . +
3 3 5 5 7 97 99
99
= 1
99
= 33 11．（7分）
33
21．（8分）
【详解】（1）解：∵ (4, 2)，
∴“2级倍减点”点 '横坐标为：4 2 × ( 2) = 8，纵坐标为：2 × 4 ( 2) = 10，
∴ '坐标为 8,10 .
故答案为： 8,10 . （2分）
（2）解：∵点 ( 1,2 )的“-3级倍减点”为 ，
∴点 的横坐标为 1+ 3 × (2 ) = 7 1，纵坐标为 3 × ( 1) 2 = 3 5 ，
即 7 1,3 5 ，
又∵ 位于 轴上，
∴7 1 = 0，
解得 = 1
7
∴3 5 = 3 5 × 1 = 16，
7 7
∴ 0, 16 .
7
故答案为： 0, 16 . （4分）
7
（3）解：由（2）得 = 1
7
∴ 6 , 2 ，
7 7
∵ ∥ 轴，且 = 2，
∴K点纵坐标与 P点纵坐标相同，
∴设 , 2 ，
7
∴ + 6 = 2，
7
+ 6 = 2 + 6即 或 = 2
7 7
解得 = 8 = 20或
7 7
∵点 在第二象限，
∴ < 0，
∴ = 8舍去，
7
∴ 20 , 2 ．（8分）
7 7
22．（8分）
【详解】解：（1）根据题意得： 1 + 2 + 1+ 1 2 = + ；
故答案为： ； ；（2分）
（2）作点 D关于 的对称点 '，连结 '，与 交于点 P，则 ' = = 1，
此时 + 的值最小，且 + = + ' = '，
即 + 的最小值为 '的长，
在 Rt△ '中，由勾股定理得： ' = 2 + '2 = 12 + 22 = 5，
∴ + 的最小值为 5，
∴ 1 + 2 + 1 + 1 2的最小值为 5；（6分）
（3）如图，构造一个长方形 ，使两边长 = 3， = 13，点 P为 边上一动点，设 = ，则 =
13 ，作点 D关于 的对称点 '，连结 '，与 交于点 P，则 ' = = 3，
此时 + 的值最小，且 + = + ' = '，
即 + 的最小值为 '的长，
在 Rt△ '中，由勾股定理得： 2 ' = 2 + '2 = 62 + 13 = 7，
∴ + 的最小值为 7，
∴ 2 29 + + 9 + 13 的最小值为 7．（8分）
23．（12分）
【详解】（1）解：①∵点 2,0 , 0,2 , 2,4 ，
∴ = 2， = 2， = 4， = 2 + 2 = 2 2，
∵∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 2 2，
∴ = ，
则 2,4 是 2的“等垂点”，
故答案为：是．（1分）
②当点 C在点 B上方时，过点 分别作 轴， 轴的垂线，垂足分别为点 和点 E，
∵点 4,0 ， 0,3 ，且点 是 4的“等垂点”，
∴∠ = 90°， = 4， = 3， = ，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴△ ≌△ ，
∴ = = 4， = = 3，
∴ = = + = 3 + 4 = 7，
∴ 3,7 ．
当点 C在点 B下方时，过点 B作 轴的平行线，过点 C作 ⊥ 于点 F， ⊥ 轴于点 H，过点 A作 ⊥
于点 E，如图所示：
∵点 4,0 ， 0,3 ，且点 是 4的“等垂点”，
∴∠ = 90°， = 4， = 3， = ，
同理得：△ ≌△ ，
∴ = = = 4， = = = 3，
∴ = = 4， = = 3，
∴ = = 4 3 = 1，
∴ 3, 1 ．
故答案为： 3,7 或 3, 1 ．（5分）
（2）解：设 5,0 ， 0, ，
当 > 0 时，如图，过 作 ⊥ 轴于点 ，
∵ ⊥ 轴，
∴∠ = ∠ = 90°，
∵∠ = 90°，
∴∠ = 90° ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴△ ≌△ ，
∵ 5,0 , 0, ，
∴ = = , = = 5，
即 , + 5 或 , 5 ，
∵点 在 = 3 5上，
∴ + 5 = 3 5或 5 = 3 5，
解得 = 5或 = 0(舍)，
∴ 5,10 ．
当 ≤ 0时，如图，过 作 ⊥ 轴于点 ，
同理可得 , 5 或 , 5 ，
∵点 在 = 3 5上，
∴ 5 = 3 5或 5 = 3 5，
解得 = 5(舍)或 = 0，
∴ 0, 5 ．
综上所述： 5,10 或 0, 5 ．（9分）
（3）解：∵直线 = + ( > 0)上存在无数个 5的“等垂点”，
∴直线与 x轴交于点 5,0 ，与 y轴交于点 0,5 ，
∴ 5 + = 0 = 5 ，
= 1
解得： = 5，
∴直线解析式为 = + 5，
如图，过点 分别作 ⊥ 轴于点 Q， ⊥ 轴于点 H， ⊥ 交 于点 N，
∵ = 4， = 3， = 5，
∴ 2 + 2 = 2，
∴△ 为直角三角形，
∴ = · = 12 , = 2 2 = 9，
5 5
∴ = = 9，
5
∴ △ = △ + △ + △ =
1 · + 1 · + 1 · ，
2 2 2
1
即 × 5 × 5 = 1 × 5 + 1 · + 1 × 5 ，
2 2 2 2
解得： = 2 2，
5
∴ 1 1 2 2 2△ = · = × = ．（12分）2 2 5 5
