(共27张PPT)
第七章 图形的变化
第一节 尺规作图
章前复习导图
平面图形
立体图形
图形的变化
图形的识别
图形的平移
与旋转
投影
几何体的三视图
立体图形的展开与还原
图形的平移
图形的旋转
概念
要素
五种基本尺规作图
尺规作图
性质
轴对称图形与中心对称图形
图形的对称
轴对称与中心对称
全等
变化
节前复习导图
尺规作图
五种基本
尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角(已知∠)
作已知角的平分线(已知∠AOB)
作线段的垂直平分线(已知线段AB)
过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l)
教材知识逐点过
考点
五种基本尺规作图(6年5考)★重点
类型 步骤 图示 作图依据
作一条 线段等
于已知
线段 ①作射线OP； ②以点O为圆心，a为半径作弧，
交射线OP于点A，OA即为所求作
的线段 圆上的点到圆心的距
离等于半径
类型 步骤 图示 作图依据
作一个 角等于
已知角
(已 知∠α) ①以点O为圆心，任意长为半径作
弧，分别交∠α的两边于点P，Q； ②作一条射线O'A，以点O'为圆
心，OP(或OQ)长为半径作弧，交
射线O'A于点M； ③以点M为圆心，PQ长为半径作
弧，交前弧于点N； ④过点N作射线O'B，∠AO'B即为
所求作的角 三边分别相等的两个
三角形全等；全等三
角形的对应角相等；
两点确定一条直线
类型 步骤 图示 作图依据
作已知 角的平
分线
(已知
∠AOB) ①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点N，M； ②分别以点M，N为圆心，大于
MN长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③作射线OP，射线OP即为所求作的角平分线 三边分别相等的两个
三角形全等；全等三
角形的对应角相等；
两点确定一条直线
类型 步骤 图示 作图依据
作线段 的垂直
平分线
(已知
线段
AB) ①分别以点A，B为圆心，大于
AB长为半径作弧，两弧相交于
M，N两点； ②作直线MN，直线MN即为所求
作的垂直平分线 到线段两端点距离相
等的点在这条线段的
垂直平分线上；两点
确定一条直线
类型 步骤 图示 作图依据
过一点
作已知
直线的
垂线
(已知
点P和
直线l) 点P在直线l上： ①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ③作直线MN，直线MN即为所求作的垂线
点在直线上 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线
类型 步骤 图示 作图依据
过一点
作已知
直线的
垂线
(已知
点P和
直线l) 点P在直线l外： ①任取一点M，使点M和点P在直线l的两侧； ②以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线l于点A，B； ③分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于点N； ④作直线PN，直线PN即为所求作的垂线
点在直线外 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
基础题对点练
1. [人教八上习题改编]如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B
为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数
是( D )
A. 50° B. 55°
C. 60° D. 65°
D
2. [北师八下习题改编] 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，
根据尺规作图的痕迹作射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的度数
为( B )
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
B
3. [北师八下例题改编] 如图，在 ABCD中，分别以点A，C为圆心，
大于 AC长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边
AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则 ABCD的周
长为( C )
A. 10 B. 15
C. 20 D. 25
C
4. [冀教八上习题改编] 观察下列作图痕迹，所作线段CD是△ABC的高
线的是( C )
C
河北中考真题精选
判断作图痕迹(6年4考)
命题点
1
1. (2020河北6题)如图①，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线.如图
②，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，
E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交
于点P；
第三步：画射线BP.
射线BP即为所求.
下列正确的是( B )
A. a，b均无限制
B. a＞0，b＞ DE的长
C. a有最小限制，b无限制
D. a≥0，b＜ DE的长
B
2. 嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
作法：(1)如图，以点O为圆心，☆为半径画弧，分别交OA，OB于点
C，D；
(2)画一条射线O'A'，以点O'为圆心，n为半径画弧，交O'A'于点C'；
(3)以点C'为圆心，○为半径画弧，与上一步中所画的弧相交于点D'；
(4)过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求作的角.
下列说法不正确的是( C )
A. ☆表示任意长 B. n与☆的长度相等
C. ○与☆的长度相等 D. ○与CD的长度相等
C
3. 使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正
确的是( C )
A. 弧①②的半径长一定相等
B. 弧③④的半径长一定相等
C. 弧②③的半径长一定相等
D. 弧①的半径长大于AB长度的一半
C
【解析】由作图痕迹得BD＝AD，BC＝AC，∴A选项和B选项不符合题
意；BC与AD可以相等，也可以不相等，∴C选项符合题意；BD＞
AB，∴D选项不符合题意.故选C.
与尺规作图有关的证明与计算(6年4考)
命题点
2
4. 如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径
画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE的度数为( A )
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
A
【解析】如图，连接AE，BE，由作图可知AB＝AE
＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，在正
方形ABCD中，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴AE＝AD，∴∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝ ×(180°－30°)＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝15°.
5. (2025唐山模拟)如图，OG平分∠MON，点A，B分别是射线OM，
ON上的点，连接AB. 按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径
作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于
CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P. 若
∠OAB＝50°，则∠OPB的度数为( D )
A. 65° B. 55°
C. 45° D. 25°
D
【解析】由作图过程可知，BE为∠ABN的平分线，∴∠PBN＝ ∠ABN. ∵∠ABN＝∠AOB＋∠OAB＝∠AOB＋50°，∴∠PBN＝ ∠AOB＋25°.
∵OG平分∠MON，∴∠BOP＝ ∠AOB.
∵∠OPB＝∠PBN－∠BOP，
∴∠OPB＝ ∠AOB＋25°－ ∠AOB＝25°.
6. (2025石家庄模拟)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分
别以点B，C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，
N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，
则下列结论中错误的是( A )
A. ∠CAD＝40°
B. ∠ACD＝70°
C. 点D为△ABC的外心
D. ∠ACB＝90°
A
【解析】由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B，∵∠B＝20°，∴∠BCD＝∠B＝20°，∴∠CDA＝
20°＋20°＝40°.∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°，故A错误，B正确；
∵CD＝AD，BD＝CD，∴CD＝AD＝BD，
∴点D为△ABC的外心，故C正确；
∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°，
∴∠ACB＝70°＋20°＝90°，故D正确.故选A.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)作∠BAC的平分线交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)；
解：(1)如解图，射线AD即为所求作；
解图
(2)在(1)的条件下，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为 .
【解法提示】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，且∠ACB＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积为 AB·DE
＝ ×10×3＝15.
解图
15
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
8. 如图，在△ABC中，AC＝7，∠A＝105°，∠B＝30°.
(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线DE，DE分别与AB，BC相交点
于D，E(保留作图痕迹，不写作法)；
解：(1)如解图，直线DE即为所求作；
解图
8.如图，在△ABC中，AC＝7，∠A＝105°，∠B＝30°.
(2)在(1)的条件下，连接CD，若△ACD的周长是7＋7 ，求AB的长和
∠ACD的度数.
解：(2)∵∠A＝105°，∠B＝30°，∴∠ACB＝45°，
∵DE垂直平分BC，∴CD＝DB，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝15°，
∵△ACD的周长是7＋7 ，即AC＋CD＋AD＝AC＋BD＋AD＝AC
＋AB＝7＋7 ，
∴AB＝7＋7 －AC＝7 .(共18张PPT)
图形的对称
节前复习导图
图形
的对称
轴对称图形与
中心对称图形
图形
判断方法
轴对称与
中心对称
图形
性质
作图方法
教材知识逐点过
考点
1
轴对称图形与中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形
图形
判断 方法 1.有对称轴——直线； 2.图形沿对称轴折叠； 3.对称轴两边的图形完全 1.有对称中心——点；
2.图形绕对称中心旋转 ；
3.旋转前后的图形完全重合
重合
180°
【温馨提示】常见对称图形
1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边
形、正六边形、圆等；
2. 常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等；
3. 常见的既是轴对称图形又是中心对称图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆
等
考点
2
轴对称与中心对称(6年3考)★重点
轴对称 中心对称
图形
性质 1. 成轴对称的两个图形是全等图形； 2. 对称点所连线段被对称轴垂直平分 1. 成中心对称的两个图形是全等图形；
2. 对称点所连线段都经过对称中
心，并且被对称中心平分
作图 方法 1. 找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点；
2. 根据原图形依次连接各对称点即可
【温馨提示】折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形 基础题对点练
1. [人教八上习题改编] 如图所示的图形中，是轴对称图形的是
，是中心对称图形的是 ，既是轴对称图形又是中心对
称图形的是 (填序号).
①②③
④⑥
①②⑤
①②
2. [北师八下习题改编] 如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连
接AE，点D关于AE对称的点为D'，连接DD'，AD'，D'E.
(1)图中相等的角有：∠DAE＝ ，∠AED＝ ；
(2)图中相等的边有：AD＝ (写出一个即可)，DE
＝ ；
(3)图中全等三角形是：△ADE≌ ；
(4)AE垂直平分 .
∠D'AE
∠AED'
AD'(或BC)
D'E
△AD'E
DD'
3. [人教八上习题改编]如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点
中心对称，已知D1，D两点的坐标分别是(0，3)，(0，2)，则对称中心的
坐标为 .
(0，2.5)
河北中考真题精选
对称图形的识别
命题点
1
1. (2018河北3题)图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴
是直线( C )
A. l1 B. l2
C. l3 D. l4
C
2. (2019河北9题)如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形
涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的
新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为( C )
A. 10 B. 6
C. 3 D. 2
C
3. 如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的
图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这
五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正
方形是( C )
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
C
【解析】由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有4条，即m＝4，A. 涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；B. 涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意；
C. 涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有4条，符合题意；D. 涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有1条，不符合题意，故选C.
4. 如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这
张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心.将△ABC绕
着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的
三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋
转中心有( C )
A. 点M，点N B. 点M，点Q
C. 点N，点P D. 点P，点Q
C
与图形对称有关的证明与计算
命题点
2
5. (2024河北3题)如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线
PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D. 下列不一定正确的
是( A )
A. AD⊥BC
B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO
D. AC∥BD
A
【解析】如解图，连接AC，BD，∵△ABO和△CDO关于
直线PQ对称，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，
PQ⊥BD，∴AC∥BD，AD不一定垂直于BC，故选A.
解图
6. (2023邯郸模拟)如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝
1，动点P在边AB上(不与点A，B重合)，点P关于BC，AC的对称点分
别为点E，F，连接EF，分别交AC，BC于点M，N.
甲：我发现线段EF的最大值为2，最小值为 ；
乙：我连接PM，PN，发现△PMN一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是( C )
A. 甲、乙都对 B. 甲对，乙错
C. 甲错，乙对 D. 甲、乙都错
C
【解析】如解图，连接CP，CE，CF，PM，PN，
∵点P关于BC，AC的对称点分别为点E，F，∴CP＝CE，CP＝CF，∠PCN＝∠ECN，∠PCM＝∠FCM，
∴∠ECF＝2∠ACB＝60°，∴△ECF是等边三角形，由于点P不与点A，B重合，则CP不存在最大值与最小值，即EF不存在最大值与最小值，故甲错误；由对称性知，∠E＝∠CPN＝60°，∠F＝∠CPM＝60°，∴∠MPN＝120°，
∴△PMN是钝角三角形，故乙正确.
解图(共24张PPT)
第七章 图形的变化
第二节 视图与投影
节前复习导图
视图与
投影
投影
投影
平行投影
中心投影
几何体
的三视图
三视图的画法
常见几何体
的三视图
立体图形
的展开与
折叠
常见几何体
的展开图
正方体展开图
的常见类型
教材知识逐点过
考点
1
投影
1. 投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物
体的投影.
2. 平行投影：由平行光照射在物体上形成的投影叫做平行投影.
3. 中心投影：由同一点(点光源)发出的光线照射在物体上形成的投影叫做中心投影，
如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子.
考点
2
几何体的三视图(6年4考)★重点
1. 三视图的画法：
(1)主视图与俯视图要 ，主视图与左视图要 ，左视图与俯视图
要 ；
长对正
高平齐
宽相等
(2)看得见部分的轮廓线画成 线，看不见部分的轮廓线画成 线.
【温馨提示】主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的宽和高，俯视图反映
几何体的长和宽.
实
虚
2. 常见几何体的三视图
几何体 图示 主视图 左视图 俯视图
圆柱
圆锥
球
几何体 图示 主视图 左视图 俯视图
正方体
长方体
正三棱柱
【温馨提示】根据三视图还原几何体的步骤：
(1)想象：根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状；
(2)定形：综合确定几何体(或实物模型)的形状；
(3)定位置大小：根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位
置，以及各个方向的尺寸
考点
3
立体图形的展开与折叠(2021.6)
1. 常见几何体的展开图
常见几何体 图示 展开图 展开图图示(选其中一种)
正方体 六个大小相等的正方形
圆柱 两个圆和一个矩形
常见几何体 图示 展开图 展开图图示(选其中一种)
圆锥 一个圆和一个扇形
正三 棱柱 两个全等的正三角形和 三个矩形
2. 正方体展开图的常见类型
注：示意图中相同颜色的面为相对面
“一四 一”型 巧记：中间四个面，上下各一面
“一三 二”型 巧记：中间三个面，一、二隔河见
“二二 二”型 巧记：中间两个面，楼梯天天见
“三三”型 巧记：中间没有面，三、三连一线
基础题对点练
1. [北师九上做一做改编]下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光
下的影子的图是( C )
C
2. [人教九下综合运用改编]如图是由5个相同的小正方体组成的立体图
形，这个立体图形的俯视图是( D )，主视图是( A )，左视图
是( B ).
D
A
B
3. [冀教九下习题改编]榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通
过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一
种榫，其左视图是( C )
C
4. [人教九下习题改编] 如图是一个几何体的三视图，该几何体是( D )
A. 球 B. 棱柱
C. 圆柱 D. 圆锥
5. [北师七上习题改编]如图是某个几何体的展开图，该几何体是( C )
A. 四棱柱 B. 圆台
C. 圆柱 D. 圆锥
D
C
6. [人教七上习题改编] 下列不是正方体表面展开图的是( B )
B
河北中考真题精选
常见几何体的识别(2022.7)
命题点
1
1. (2022河北7题)①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合
其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择( D )
A. ①③ B. ②③
C. ③④ D. ①④
D
三视图的判断(6年2考)
命题点
2
2. (2024河北6题)如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左
视图是( D )
D
3. (2025石家庄模拟)如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序
号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左
视图均保持不变，则添加的位置应在( B )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
【解析】A. 若添加的位置在①，则该几何体的主视图不变，左视图变了，故该选项不符合题意；B. 若添加的位置在②，则该几何体的主视图和左视图都不变，故该选项符合题意；C. 若添加的位置在③，则该几何体的左视图不变，主视图变了，故该选项不符合题意；D. 若添加的位置
在④，则该几何体的主视图和左视图都变了，故该选项不符合题意，故选B.
4. (2019河北14题)图②是图①中长方体的三视图，若用S表示面积，且S
主＝x2＋2x，S左＝x2＋x，则S俯＝( A )
A. x2＋3x＋2 B. x2＋2
C. x2＋2x＋1 D. 2x2＋3x
【解析】∵S主＝x2＋2x＝x(x＋2)，S左＝x2＋x＝x(x＋1)，∴俯视图相
邻的两个边长分别为(x＋2)和(x＋1)，∴S俯＝(x＋2)(x＋1)＝x2＋3x＋2.
A
由三视图还原几何体(6年2考)
命题点
3
5. (2023河北12题)如图①，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正
方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图②，平台上至少还需
再放这样的正方体( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【解析】如解图，满足主视图和左视图的要求，只需在原图的①②位置各放一个小正方体即可，∴平台上至少还需再放这样的正方体2个.
解图
6. (2025河北5题)一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如
图所示，则其左视图为( A )
A
【解析】从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形.如选项
A所示.
立体图形的展开与折叠(2021.6)
命题点
4
7. (2021河北6题)一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下
列判断正确的是( A )
A. A代表
B. B代表
C. C代表
D. B代表
A(共23张PPT)
第七章 图形的变化
第四节 图形的平移与旋转
节前复习导图
图形的平移
概念
要素
性质
图形的旋转
概念
要素
性质
图形的
平移与
旋转
教材知识逐点过
考点
1
图形的平移
概念 在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形
运动叫做平移
要素 一是平移方向，二是平移距离
性质 1. 平移前后，对应线段 ，对应角 ；
2. 各对应点所连接的线段 (或在同一条直线上)且相等，对应点的距
离 平移的距离；
3. 平移前后的图形全等
相等
相等
平行
等于
考点
2
图形的旋转(6年4考)★重点
概念 在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角
度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋
转角，原图形上一点 A 旋转后成为 A'，这样的两个点叫做对应点
要素 旋转中心、旋转方向和
性质 1. 对应点到旋转中心的距离 ；
2. 对应点与旋转中心连线所成的夹角等于 ；
3. 旋转前后的图形
旋转角度
相等
旋转角
全等
基础题对点练
1. [人教七下习题改编]如图，将△ABC平移得到△DEF，连接AD. 若
BE＝4，∠B＝50°，则CF＝ ，∠DEF＝ °，线段AB与
DE的位置关系是 .
4
50
AB∥DE
2. [人教九上探究改编] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，
将△ABC绕点C顺时针旋转25°得到△DEC，则∠ACD＝ °，
CE＝ ，∠DCE＝ °.
25
4
90
河北中考真题精选
与旋转有关的证明与计算(6年4考)
命题点
1
1. (2025邢台模拟)如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段
CD，则这个点是( A )
A. M点 B. Q点
C. P点 D. N点
A
2. (2025样卷)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转α°得到△AB'C'.当点
B，C，B'在同一直线上，∠BAC＝100°，α＝150时，∠C'＝( B )
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
B
3. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的
对应点分别为点D，E，旋转后点D在BC边上，且BD＝AB，DE与
AC相交于点F，连接CE，下列结论一定正确的是( B )
A. AB＋CD＝AE
B. AF＝CE－CF
C. AE＝EF
D. ∠EDC＝45°
B
4. (2019河北16题)对于题目：“如图①，平面上，正方形内有一长为
12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或
旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数
n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再
取最小整数n.
甲：如图②，思路是当x为矩形对角线长时就可
移转过去；结果取n＝13.
乙：如图③，思路是当x为矩形外接圆直径长时
就可移转过去；结果取n＝14.
丙：如图④，思路是当x为矩形的长与宽之和
的 倍时就可移转过去；结果取n＝13.
下列正确的是( B )
B
A. 甲的思路错，他的n值对
B. 乙的思路和他的n值都对
C. 甲和丙的n值都对
D. 甲、乙的思路都错，而丙的思路对
【解析】当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去，矩形的对角线为外接
圆的直径，对角线为 ＝6 ≈13.416，∴n＝14，∴甲的思路
对，n值错；乙的思路和n值都对；丙的思路和n值都错.
与平移有关的证明与计算
命题点
2
5. 如图，将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过
点( B )
A. M B. N
C. P D. Q
【解析】由平移的性质可知：将直线l向右平移，当直线l经过点O时，直线l还经过点N，如解图所示.
解图
B
6. (2025石家庄模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，
将Rt△ABC沿着射线BA方向平移得到Rt△A'B'C'，当点C'落在∠ABC的
平分线上时，B'C'交AC于点E，此时CE的长为( C )
A. 4 B. 5
C. 3 D. 4
C
【解析】由平移的性质可知，BC∥B'C'，B'C'＝BC＝6，∴∠CBC'＝∠BC'B'.
又∵BC'平分∠CBB'，∴∠CBC'＝∠B'BC'，∴∠B'BC'＝∠BC'B'，∴BB'＝B'C'＝6.
∵AB＝ BC＝6 ，∴AB'＝6 －6，
∴AE＝ AB'＝6－3 ，
∴CE＝AC－AE＝6－(6－3 )＝3 .
7. 如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC沿射线BC方
向平移，得到△A'B'C'，连接CA'，在平移过程中，若∠ACA'＝
2∠CA'B'，则∠ACA'＝( D )
A. 20° B. 40°
C. 20°或40° D. 40°或120°
D
【解析】如解图①，由平移的性质可知，
AC∥A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'＝60°，∴∠ACA'＝
∠CA'C'，∵∠ACA'＝2∠CA'B'，∴∠ACA'＝
60°× ＝40°；如解图②，由平移的性质可
知，AC∥A'C'，∠BAC＝∠B'A'C'＝60°，
∴∠ACA'＝∠CA'C'，
∵∠ACA'＝2∠CA'B'，∠ACA'＝∠CA'B'＋∠B'A'C'，∴∠ACA'＝2∠CA'B'＝2∠B'A'C'＝120°，综上所述，∠ACA'的度数为40°或120°.
解图
8. 如图①，在 ABCD中，AD＝2AB＝10， cos A＝ ，点M是BC上一
点，BM＝2，将MC绕点M逆时针旋转α(0＜α≤90°)得到线段MP，点
O为PM的中点，点N为AD上一点，满足OM＝ON，连接PN，MN.
(1)连接BN，当BN取得最小值时，求tan∠BNM的值；
解：(1)如解图①，当BN取得最小值时，BN⊥AD.
在Rt△ABN中，∵ cos A＝ ，
∴ sin A＝ .
∵AB＝5，∴NB＝4.
在 ABCD中，AD∥BC，
∴BN⊥BC，
在Rt△BMN中，BM＝2，
∴tan∠BNM＝ ＝ ＝ ；
解图①
在 ABCD中，AD＝2AB＝10， cos A＝ ，BM＝2，将MC绕点M逆时针旋转α(0＜α≤90°)得到线段MP，点O为PM的中点，OM＝ON.
(2)如图②，当点O在AD上时.
①判断点O是否为AD的中点，并说明理由；
解：(2)①点O是AD的中点.
理由如下：如解图②，过点M作MG⊥AB，
交AB的延长线于点G，连接AM.
∵AD∥BC，
∴∠CBG＝∠DAB.
解图②
由(1)得 sin ∠DAB＝ ， cos ∠DAB＝ ，
∴ sin ∠CBG＝ sin ∠DAB＝ ＝ ＝ ，
cos ∠CBG＝ cos ∠DAB＝ ＝ ＝ ，
∴MG＝ ，BG＝ .
在Rt△AMG中，AM＝ ＝ ＝ ，
由(1)可得AD与BC之间的距离为4，
解图②
∵O是PM的中点，
∴PO＝OM＝ PM＝ CM＝4.
∵点O在AD上，∴MO⊥AD，
∴在Rt△AMO中，AO＝ ＝ ＝5，
∵AD＝10，
∴AO＝ AD，
∴点O是AD的中点；
解图②
在 ABCD中，AD＝2AB＝10， cos A＝ ，BM＝2，将MC绕点M逆时针旋转α(0＜α≤90°)得到线段MP，点O为PM的中点，OM＝ON.
(2)如图②，当点O在AD上时.
②试判断△PMN的形状，并说明理由.
解：②△PMN为等腰直角三角形.
理由如下：∵OM＝ON，
∴∠ONM＝∠OMN.
∵O为PM的中点，∴OM＝OP，
∴ON＝OP，∴∠ONP＝∠OPN.
在△PMN中，∠ONP＋∠OPN＋∠ONM＋∠OMN＝180°，即
2∠ONP＋2∠ONM＝180°，
∴∠ONP＋∠ONM＝90°＝∠PNM，
∴△PMN是直角三角形，
由①得MO⊥AD，又∵OM＝OP，
∴NO垂直平分PM，
∴PN＝MN，
∴△PMN是等腰直角三角形.
