(共41张PPT)
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
章前复习导图
圆锥的侧面展开图是扇形
确定圆
的条件
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
相交
弦：垂径定理
角：圆周角定理及推论；
弦、弧、圆心角的关系
形：三角形的外接圆；
圆内接四边形；
正n边形和圆
相切
性质、判定
三角形的内切圆
切线长定理
相离
圆
弧长、扇形面积的计算
圆锥的相关计算
阴影部分面积的计算
弧长、阴影面积的计算
轴对称性
旋转不变性
中心对称性
圆的性质
阴影部分常转化为扇形
节前复习导图
圆的基本
性质
圆有关的概念及性质
圆的相关概念
圆的性质
弧、弦、圆心
角之间的关系
定理
推理
垂径定理
及其推论
定理
推论
圆周角定理
及其推论
定理
推论
圆内接
四边形
概念
性质
三角形
的外接圆
概念
圆心
性质
角度关系
正多边形与圆
内角
中心角
外角
边心距
周长
面积
教材知识逐点过
考点
1
圆有关的概念及性质
1. 圆的相关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中AB，AC，BC.
(2)直径：经过 的弦叫做直径，直径是最长的弦.
(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧，
如图中 ；大于半圆的弧叫做优弧，如图中 .
圆心
(4)圆周角：在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周
角，如图中 .
(5)圆心角：顶点在 的角叫做圆心角，如图中 .
∠BAC(答案不唯一)
圆心
∠BOC
2. 圆的性质
(1)对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心
对称图形， 是它的对称中心.
(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合.
圆心
考点
2
弦、弧、圆心角之间的关系(6年3考)★重点
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦
推理 1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ，所
对的弦 ；
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，所
对的优弧和劣弧分别
相等
相等
相等
相等
相等
相等
考点
3
垂径定理及其推论(6年3考)★重点
(2022课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)
定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧
垂直
平分
【温馨提示】1.如图①，根据圆的对称性，在以下5个结论中：① ＝ ；②
＝ ；③AE＝BE(AB不是直径)；④CD⊥AB；⑤CD是直径，只要满足其中两
个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”；
2.有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角
形，利用勾股定理求解.如图②，d2＋()2＝r2
考点
4
圆周角定理及其推论(6年6考)★重点
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；
2. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
考点
5
圆内接四边形
概念 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的
外接圆
性质 1.圆内接四边形的对角 ；
2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的
互补
内对角
考点
6
三角形的外接圆(2020.14)
概念 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆
圆心 外心(三角形三条边的 的交点) 性质 三角形的外心到三角形的 的距离相等 角度 关系 ∠BOC＝ ∠A 垂直平分线
三个顶点
2
考点
7
正多边形与圆(6年2考)
内角 正n边形的每个内角为
R：半径
r：边心距
a：边长
θ：中心角
中心角 θ＝ 外角 正n边形的每个外角为 边心距 r＝ 周长 正n边形的周长l＝na 面积 正n边形的面积S＝ nar＝ lr
基础题对点练
1. [冀教九上例题改编] 已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不
可能是( D )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
D
2. [冀教九上例题改编] 如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，
AB⊥CD，垂足为E. 若AB＝26，CD＝24.
(1)CE的长为 ；
(2)BE的长为 .
12
8
3. [人教九上例题改编] 如图，点A，B，C都在☉O上，若∠BAC＝
50°，则∠BOC＝ °.
100
4. [人教九上练习改编] 如图，AB是☉O的直径， ＝ ＝ ，
∠COD＝40°，则∠AOE＝ °.
60
5. [北师九下习题改编] 如图，AB是☉O的直径，C，D为☉O上两点，
连接AC，BC，BD，CD，∠CBA＝56°，则∠CDB的度数
为 .
34°
6. [人教九上习题改编] 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线
上一点，若∠BOD＝124°，则∠DCE的度数为 .
62°
7. [人教九上习题改编] 已知，点O是△ABC的外心，连接OB，OC，若
∠OBC＝25°.则∠A的度数为 .
65°
8. [冀教九上习题改编]如图，正六边形ABCDEF内接于☉O. 若☉O的半
径为2，则正六边形的周长为 ，边心距的长为 ，面积
为 .
12
6
河北中考真题精选
圆周角定理(6年6考)
命题点
1
1. [冀教九上习题改编] 如图，边长为1的小正方形网格中，☉O的圆心在
格点上，则∠AED的正切值是( C )
A. B.
C. D.
C
2. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在☉O上，两边分别交☉O
于A，B两点，连接AB，若☉O的直径为8，则弦AB长为( B )
A. 8 B. 4
C. 2 D. 2
B
3. 如图，AB是半圆O的直径，C，D，E三点依次在半圆O上，若∠C
＝α，∠E＝β，则α与β之间的数量关系是( A )
A. α＋β＝270° B. α＋β＝180°
C. β＝α＋90° D. β＝ α＋90°
A
垂径定理及其应用(6年3考)
命题点
2
4. (2021河北16题)如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按
①到④的步骤操作：
①以O为圆心，OA为半径画圆；
②在☉O上任取一点P(不与点A，B重合)，连接AP；
③作AB的垂直平分线与☉O交于M，N；
④作AP的垂直平分线与☉O交于E，F.
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：☉O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( D )
D
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对
题后反思
由该图，你是否发现了构造已知圆的圆心(直径未知)的方法？构造已知圆
的圆心，还有哪些方法呢？
解：如解图③，作圆上两条弦的垂直平分线的交点；
如解图④，构造直角三角形，找直角三角形斜边上的中点；
如解图⑤，构造等弧，找过等弧的直线的交点.
解图③
解图④
解图⑤
5. 嘉嘉学习完圆的相关知识后，想测量一次性纸杯杯口的直径.他设计了
如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口
相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，
AB＝8 cm，CD＝6 cm.则根据上述数据计算出纸杯的直径为 cm.
10
【解析】如解图，设杯口圆心为O，连接OD，OB，
过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，
∵CD∥AB，∴MN⊥CD，∴MN＝7，
∵AB＝8，CD＝6，∴DM＝ CD＝ ×6＝3，BN＝ AB＝ ×8＝4，设OM＝x，则ON＝MN－OM＝7－x，∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，∴OM2＋
MD2＝ON2＋BN2，∴x2＋32＝(7－x)2＋42，解得x＝
4，∴OM＝4，∴OD＝ ＝5，
∴纸杯的直径为5×2＝10(cm).
解图
6. (2022河北24题)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB. 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的长；
解：(1)由题意可知BC⊥AB，则∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－90°－14°＝76°，
∴AB＝BC·tan 76°≈1.7×4＝6.8(m)；
AB为直径，MN∥AB. ∠CAB＝14°，∠BAM＝7°.BC=1.7 m.
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据：tan 76°取4， 取4.1)
解：(2)如图，过点O作OH⊥MN，交MN
于点D，交半圆O于点H，
连接OM，则DH的长度表示最大水深，
∵AB＝6.8 m，∴OM＝OH＝3.4 m.
∵∠BAM＝7°，∴∠BOM＝2∠BAM＝14°.
∟
H
D
∵AB∥MN，OH⊥MN，∴OH⊥AB，即∠BOH＝90°，
∴∠MOD＝∠BOH－∠BOM＝76°，∴tan∠MOD＝ ≈4，
即MD＝4OD.
在Rt△MOD中，由勾股定理可得MD2＋OD2＝OM2，即(4OD)2＋OD2＝
OM2，
解得OD＝ ≈0.82(负值已舍去)，
∴DH＝OH－OD＝3.4－0.82＝2.58≈2.6(m)，
∴最大水深约为2.6米.
∟
H
D
7. 如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E. 连接AC，
OC，BC.
(1)求证：∠ACO＝∠BCD；
(1)证明：∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACE＝90°，
∵AB⊥CD，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
7. 如图，AB为☉O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E. 连接AC，
OC，BC. (2)若EB＝8，CD＝24，求☉O的直径.
(2)解：设☉O的半径为r，则OE＝OB－EB＝r－8，CE＝ CD＝ ×24＝12，
在Rt△CEO中，由勾股定理，得OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－8)2＋122，
解得r＝13，
∴☉O的直径为2r＝2×13＝26.
正多边形与圆(6年2考)
命题点
3
8. (2023河北9题)如图，点P1～P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7，四边
形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( A )
【解析】如图，连接P1P8，P7P8，∵P1～P8是☉O的
八等分点，∴P1P3＝P4P6＝P1P7，P3P4＝P6P7＝P7P8＝
P1P8.∵P1P8＋P7P8＞P1P7，∴P3P4＋P6P7＞P1P7，
∴a＜b.
A
A. a＜b B. a＝b
C. a＞b D. a，b大小无法比较
9. (2025河北16题)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”.如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心.图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1，则这条线段的长为 .
(参考数据： sin 15°＝ ， sin 75°＝ )
【解析】如解图，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，OB，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，∵数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12＝
30°，∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°，∴∠AOB＝30°×5＝150°，∴∠OAB＝∠OBA＝ (180°－∠AOB)＝15°，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝75°，∴ sin ∠BOD＝ sin 75°＝ ，
即 ＝ ，∴BD＝ ，
∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AB＝2BD＝ ，
∴这条线段的长为 .
解图
10. (2025沧州模拟)如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立
了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形
ADGJ，矩形BFHL，矩形CEIK，则阴影部分的面积是 .
(2－ )a2
【解析】如解图，记线段LH与线段KC交点为M，连接
OA，OM，OL，过点O作ON⊥LH，垂足为N，
在Rt△AOM中，OA＝a，∠OAM＝45°，
∴AM＝ OA＝ a＝OM，同理，MN＝ON＝ OM＝ a，在Rt△OLN中，LN＝ ＝ a，∴LM＝ a－ a＝ a，∴S阴影＝ LM·MK×4＝ × a× a×4＝(2－ )a2.
解图
三角形的外心(2020.14)
命题点
4
11. (2025石家庄模拟)☉O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使
点M平分弧BC. 对图中的三种作法，下列说法正确的是( A )
A. 三种作法均正确
B. 只有作法一和作法二正确
C. 只有作法二和作法三正确
D. 只有作法二正确
A
【解析】作法一：由作图可知AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，
∴ ＝ ，故作法一正确.作法二：由作图可知OM平分∠BOC，
∵OB＝OC，∴OM⊥CB，
∵OM经过圆心O，∴ ＝ ，故作法二正确.
作法三：由作图可知OM垂直平分线段BC，OM经过圆心O，
∴ ＝ ，故作法三正确.故选A.
12. (2020河北14题)有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝
130°，求∠A. ”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接
OB，OC，如图.由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：
“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值.”
下列判断正确的是( A )
A
A. 淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B. 淇淇说的不对，∠A就得65°
C. 嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D. 两人都不对，∠A应有3个不同值
【解析】如解图①，当△ABC的外心O在其
内部时，∠A＝65°；如解图②，当△ABC
的外心O在其外部时，∵∠BOC＝130°，
∴∠1＝360°－130°＝230°.
∵∠1＝2∠A，∴∠A＝ ×230°＝115°；如解图③，当△ABC的外心O在△ABC边上时，∠A＝90°，∠BOC＝2∠A＝
180°≠130°，这种情况不符合题意.
故∠A＝65°或115°.
解图(共29张PPT)
第六章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
节前复习导图
与圆有关
的位置关系
点与圆的
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
切线的性
质与判定
概念
性质定理
判定方法
切线长
及定理
切线长
切线长定理
三角形的
内切圆
定义
圆心
性质
角度关系
教材知识逐点过
考点
1
点与圆的位置关系
点在圆外 d r 圆的半径为r，点到圆心的距离为d
点在圆上 d r 点在圆内 d r ＞
＝
＜
考点
2
直线与圆的位置关系
(圆的半径为r，圆心O到直线的距离为d)
位置关系 示意图 d与r的关系 公共点
相交 d r 有两个
公共点
相切 d r 有且只有
一个公共点
相离 d r 没有公共点
＜
＝
＞
考点
3
切线的性质与判定(6年5考)★重点
概念 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆
的切线，这个点叫做切点
性质 定理 圆的切线 于经过切点的半径
判定 方法 1.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2.定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
3.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
垂直
考点
4
切线长及定理
切线 长 经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间线段的长，叫做这点到圆的
切线长 切线 长定
理 从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切
线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角，如图，PA，PB分别切☉O于点A，
B，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB
切点
两
相等
考点
5
三角形的内切圆
定义 与三角形各边都相切的圆
圆心 内心(三角形三条 的交点) 性质 三角形的内心到三角形 的距离相等 角度关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A 【知识拓展】 1. 在Rt△ABC中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则内切圆的半径为r
＝ ； 2. 若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则S△ABC＝ (a＋b＋c)r 角平分线
三条边
基础题对点练
1. [冀教九下习题改编] 如图，已知☉O的半径为5，直线AB经过☉O上
一点P，下列条件不能判定直线AB与☉O相切的是( A )
A. OP＝5
B. ∠APO＝∠BPO
C. 点O到直线AB的距离是5
D. OP⊥AB
A
2. [北师九下习题改编] 如图，AB与☉O相切于点C，OA＝OB，☉O的
半径为1，∠AOB＝120°，则AB的长为 .
2
3. [人教九上探究改编] 如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，
连接AB，∠AOB＝120°，AP＝6，则∠APB的度数是 ；AB
的长为 .
60°
6
4. [北师九下习题改编]如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝
84°，☉O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数
为 .
115°
教材变式过重点
与切线有关的证明与计算
教材原题
例 冀教九下P10第2题
如图①，在☉O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且AD＝DC，求∠ABD的度数.
图①
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵BC是☉O的切线，AB是☉O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝DC，
∴BD＝AD，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°
图①
拓展设问
(1)如图②，连接OC，求 sin ∠ACO的值.
图②
解：如图②，过点O作OE⊥AC于点E，
∵∠ADB＝90°，∴EO∥DB，
∵△ADB为等腰直角三角形，∠ABD＝45°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE＝ AO.
∟
E
∵∠A＝∠ABD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，OB＝ BC，
设OB＝x，∴BC＝2x，OA＝x，OE＝ x，
∴OC＝ ＝ x，
∴ sin ∠ACO＝ ＝ ＝ ；
图②
∟
E
(2)如图③，过点D作☉O的切线，交BC于点F，连接OD，若AC＝
2 ，求四边形OBFD的面积.
图③
解：∵DF与☉O相切于点D，
∴DF＝BF，∠ODF＝90°，
∵AD＝CD，
∴点D是AC的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
∴∠AOD＝∠ABC＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形OBFD是矩形，
∵DF＝BF，
∴四边形OBFD是正方形，
∵AC＝2 ，
∴AB＝2，
∴OB＝1，
∴正方形OBFD的面积为OB2＝1.
图③
河北中考真题精选
与切线有关的证明与计算(6年5考)
命题点
1. (2021河北24题)如图，☉O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模
型，其中整钟点为An(n为1～12的整数)，过点A7作☉O的切线交A1A11延
长线于点P.
(1)通过计算比较直径和劣弧
长度哪个更长；
解：(1)如图，连接OA7，OA11，由题意得圆周被12等分，则每份对应的圆心角是30°，
∴劣弧 所对的圆心角∠A7OA11＝120°，
∴劣弧 的长l＝ ＝4π.
∵☉O的半径为6，
∴☉O的直径为12.
∵4π＞12，
∴劣弧 更长；
(2)连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
解：(2)A7A11⊥PA1.
理由如下：如解图，
∵ 是半圆弧，
∴连接A1A7，则A1A7为☉O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴A7A11⊥PA1；
解图
(3)求切线长PA7的值.
解：(3)∵PA7为☉O的切线，∴∠PA7A1＝90°，
由(1)知∠A7OA11＝120°，
∴∠A7A1A11＝60°，∴∠P＝30°，
∴PA1＝2A7A1＝24，
∴PA7＝ ＝ ＝12 .
2. (2020河北22题)如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点
D，使OC＝OD. 以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两
个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大
半圆于点E，连接AE， CP.
(1)①求证：△AOE≌△POC；
(1)①证明：∵P为小半圆上一点，
∴OA＝OP.
又∵E为OP的延长线与大半圆的交点，
∴OE＝OC.
∵∠AOE＝∠POC，
∴△AOE≌△POC(SAS)；
2. (2020河北22题)如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点
D，使OC＝OD. 以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两
个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大
半圆于点E，连接AE， CP.
②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；
②解：∠2＝∠1＋∠C. 理由如下：
由①知，△AOE≌△POC，
∴∠1＝∠OPC，
又∵∠2＝∠OPC＋∠C，
∴∠2＝∠1＋∠C；
点O为AB中点，OC＝OD. 以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆.
(2)若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关
系，并求此时S扇形EOD(答案保留π).
(2)解：当∠C最大时，CP与小半圆相切.
如解图，∵OC＝2OA＝2，∴OA＝OP＝1.
又∵CP是小半圆的切线，∴OP⊥CP，
∴ cos ∠POC＝ ＝ ，∴∠POC＝60°，
∴∠EOD＝180°－60°＝120°，
∴S扇形EOD＝ ＝ .
解图
3. (2023河北24题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为
直径的半圆O，AB＝50 cm，如图①和图②所示，MN为水面截线，GH
为台面截线，MN∥GH.
计算 在图①中，已知 MN＝48 cm，作 OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长；
操作 将图①中的水槽沿GH向右
作无滑动的滚动，使水流出一部
分，当∠ANM＝30°时停止滚
动，如图②.其中，半圆的中点
为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D.
解：(1)如图，连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝48 cm，
∴MC＝ MN＝24 cm.
∵AB＝50 cm，
∴OM＝ AB＝25 cm.
在Rt△OMC中，根据勾股定理，得OC＝
＝7 cm；
AB为直径，AB＝50 cm，MN∥GH.
探究 在图②中.
(2)操作后水面高度下降了多少；
解：(2)∵GH与半圆相切于点E，∴OE⊥GH.
∵MN∥GH，∴OE⊥MN.
在Rt△ODB中，OB＝25 cm，∠ANM＝30°，
∴OD＝ OB＝12.5 cm，
∴操作后水面高度为25－12.5＝12.5(cm).
∵操作前水面高度为25－7＝18(cm)，
∴操作后水面高度下降了18－12.5＝5.5(cm)；
AB为直径，AB＝50 cm，MN∥GH.
(3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与 的长度，并比较大小.
解：(3)∵Q为半圆的中点，
∴∠QOB＝ ×180°＝90°.
∵∠ANM＝30°，∴∠BOD＝60°，
∴∠FOE＝90°－∠BOD＝30°，
∴ 的长＝ ＝ (cm).
在Rt△OFE中，tan∠FOE＝ ，
∴EF＝OE·tan∠FOE＝25× ＝ (cm).
∵ ＝ ×π， ＝ ×2 ，π＜2 ，
∴ 的长＜EF的长.(共20张PPT)
第六章 圆
第三节 弧长、阴影面积的相关计算
节前复习导图
弧长、阴影
面积的
相关计算
弧长、扇形
面积的
相关计算
弧长公式
面积公式
圆锥的
相关计算
阴影部分
面积的
计算
直接公式法
直接和差法
构造和差法
等积转化法
教材知识逐点过
考点
1
弧长、扇形面积的相关计算(6年7考)★重点
弧长 公式 圆的周长：C＝ 扇形弧长：l＝
(r为扇形的半径，n°为弧所对的圆心角的度
数，l为扇形的弧长)
面积 公式 圆的面积：S＝ 扇形面积：S扇形＝ ＝ lr 【温馨提示】已知S扇形，r，l，n四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量 2πr
πr2
考点
2
圆锥的相关计算
相关 计算 1. r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S＝ ，周长C＝
2. r为圆锥底面圆的半径，α°为圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数，l为母
线长，则α＝
3. h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，
则r2＋ ＝l2
【温馨提示】1.圆锥的侧面展开图是扇形；2.圆锥的母线长为其侧面展开图扇形的
半径；3.圆锥底面圆的周长为其侧面展开图扇形的弧长 πr2
2πr
h2
考点
3
阴影部分面积的计算
1. 方法一：直接公式法
当阴影部分为扇形、三角形、特殊四边形时，直接用对应的面积公式求解.
2. 方法二：和差法
(1)直接和差法：阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形的面积相加减；
(2)构造和差法：一般通过连半径，把所求阴影部分面积分割为扇形和三角形或特殊四
边形的面积求解.
3. 方法三：等积转化法
通过对图形的转化，为利用公式法或和差法求解创造条件.
(1)直接等面积转化(CD∥AB)；(2)对称转化法(∠ABC＝∠BCD).
【温馨提示】除以上转化方式，还常通过旋转、平移等变化，或全等图形进行转化.
基础题对点练
1. [冀教九上例题改编] 一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆
心角度数为( C )
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 210°
C
2. [北师九下习题改编] 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
AC＝4，以AB为直径的☉O交BC于点D，则图中阴影部分的面积
为 .
3. [北师九下习题改编] 如图，△ABC内接于☉O，连接OA，OB，若
OA＝10，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为 .
25π－50
4. [人教九上习题改编] 如图，点C，D是以AB为直径的半圆上的三等
分点， 的长为 π，则图中阴影部分的面积为 .
河北中考真题精选
弧长的相关计算
命题点
1
1. (2022河北10题)某款“不倒翁”(图①)的主视图是图②，PA，PB分别
与 所在圆相切于点A，B. 若该圆半径是9 cm，∠P＝40°，则
的长是( A )
A. 11π cm B. π cm
C. 7π cm D. π cm
A
2. (2025河北21题)如图①，图②，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所
在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F
分别在边AD，CD上，DE＝DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于
点M，记为 .
(1)如图①，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
解：(1)∵正方形ABCD的边长为5，
∴AD＝CD＝5，∠ADC＝90°，
∵AE＝3，∴ED＝DF＝2，
∵OE＝OF＝2，∴ED＝DF＝OE＝OF，
∴四边形EOFD是菱形，
∵∠EDF＝90°，
∴四边形EOFD是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EMF＝ ∠EOF＝45°；
如图①，图②，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF半径OE＝2，DE＝DF(DE≥2) .
(2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
解：(2)∵四边形OEMF为菱形，
∴EM＝MF＝OE＝OF，
∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，
∴OE＝OM＝EM＝2，
∴△OEM是等边三角形.
∴∠MEO＝60°，
如图，连接EF交BD于点G，
∴EF⊥BD，∴∠MEG＝ ∠MEO＝30°，
∴MG＝OG＝ EM＝1，
∴EG＝ ＝ ，
∵∠EDG＝45°，
∴△EGD是等腰直角三角形，
∴EG＝DG＝ ，
∴DE＝ ＝ ；
G
如图①，图②，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF半径OE＝2，DE＝DF(DE≥2) .
(3)当∠EOF＝150°时，求 的长.
解：(3)如解图②，当 是劣弧时，
∵∠EOF＝150°，OE＝2，
∴ 的长为 ＝ ；
解图
如解图③，当 是优弧时，
∵∠EOF＝150°，OE＝2，360°－150°
＝210°，
∴ 的长为 ＝ .
综上所述， 的长为 或 .
解图
阴影面积的相关计算
命题点
2
3. [人教九上习题改编]数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变
形成以点A为圆心，AB长为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得
扇形ABD的面积是 .
【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB＝AD＝1， 的长为2，
∴S扇形ABD＝ lr＝ ×2×1＝1.
1
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接
AE，DE. 以点E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点
M，N. 则图中阴影部分的面积为 .
4－π
【解析】∵AD＝BC＝4，E为BC的中点，
∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为2× ×2×2
－2× ＝4－π.
