(共33张PPT)
第四章 三角形
第四节 相似三角形(含位似)
节前复习导图
相似三角形
(含位似)
比例线段
的相关概念
及性质
比例线段和
比例中项
比例的性质
黄金分割
平行线分线段成比例
图示
基本事实
推论
相似三角形
的性质
与判定
性质
判定方法
相似
多边形
概念
性质
图形的位似
概念
性质
作图步骤
教材知识逐点过
考点
1
比例线段的相关概念及性质(2025年新增考查)
1. 比例线段和比例中项
比例 线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，即 ＝
，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
比例 中项 如果a∶b＝b∶c或 ＝ 或 ，那么b叫做a和c的比例中项
【温馨提示】求两条线段的比值时，两条线段要用同一长度单位 等于
ac＝b2
2. 比例的性质
基本性质 ＝ ad＝ (b，d≠0)
合比性质 ＝ ＝ (b，d≠0)
等比性质 ＝ ＝…＝ (b＋d＋…＋n≠0) ＝
bc
3. 黄金分割
概念 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，满足 ＝ ，那么称线段
AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点， 称为黄金比，即
＝ 或AC≈0.618AB
【温馨提示】(1)一条线段上有两个黄金分割点，在解题时注意是否需要分类讨论；
(2)黄金分割在生活问题中的体现，如：①古希腊著名的“断臂维纳斯”的头顶至肚
脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ；②古埃及建造的金字塔，高与底面边长
的比都接近于0.618；③黄金矩形的宽与长之比为
考点
2
平行线分线段成比例
图示
基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；如图①，若
l1∥l2∥l3，则 ＝ 或 ＝ 等
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比
例；如图②，在△ABC中，DE∥BC，则 ＝ ；如图③，在△ABC和
△ADE中，DE∥BC，则 ＝
考点
3
相似三角形的性质与判定(6年8考)★重点
性质 1. 相似三角形的对应角 ，对应边 ；
2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于
；
3. 相似三角形周长之比等于 ，面积之比等于
判定 方法 1. 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三
角形与原三角形相似；
2. 两角对应相等的两个三角形相似；
3. 两边对应成比例，且 相等的两个三角形相似；
4. 三边对应成比例的两个三角形相似；
5.直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
相等
成比例
相似
比
相似比
相似比的平方
夹角
【温馨提示】相似三角形的判定思路：
1. 有平行截线——用平行线的性质，找等角；
2. 有一对等角，找另一对等角或该角的两边对应成比例；
3. 有两边对应成比例，找夹角相等或第三组边也对应成比例
考点
4
相似多边形
概念 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应
边的比叫做它们的相似比
性质 1. 相似多边形的对应角 ；
2. 相似多边形的对应边 ；
3. 相似多边形的周长比 相似比，面积比等于
相等
成比例
等于
相似比的平方
考点
5
图形的位似(2020.8)
概念 如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于 ，对
应边互相平行(或在一条直线上)，我们把这样的两个图形称为位似图形，对
应顶点所在直线的交点称为 ，这时的相似比又称位似比
性质 1. 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
2. 经过每对对应顶点的直线相交于一点(位似中心)；
3. 两个位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；
4. 两个位似图形对应边平行(或在一条直线上)
一点
位似中心
作图 步骤 1. 确定位似中心；
2. 确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；
3. 描出新图形
【易错警示】位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位
似图形
基础题对点练
1. [北师九上习题改编]四条线段a，b，c，d成比例线段，其中a＝2
cm，b＝6 cm，d＝12 cm，则线段c的长为( D )
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
D
2. [北师九上练习改编]已知3a＝2b(b≠0)，那么下列比例中一定成立的
是( D )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
3. [人教九上阅读与思考改编]如图，点C为线段AB的黄金分割点，AC
＞BC，若AB＝2，则AC的长为( B )
A. B. －1
C. D. ＋1
B
4. [人教九下探究改编]如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF分别交直线
a，b，c于点A，B，C和点D，E，F，直线AC交DF于点O，AB＝
EF＝6，BC＝9，则DE＝ .
4
5. [冀教九上习题改编]如图，△ADE∽△ACB，且 ＝ ，DE＝2.
(1)BC的长为 ；
(2)△ADE与△ABC的周长比为 ；
(3)若△ADE的面积是6，则△ABC的面积为 .
3∶4
6. [冀教九上习题改编]如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，
使得△ADB∽△ABC，你添加的是 .
∠ABD＝∠C(答案不唯一)
7. [人教九下习题改编]如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似
中心，OD＝2AD，若△ABC的周长为12，则△DEF的周长是 .
8
河北中考真题精选
比例线段(2025年新增考查)
命题点
1
1. (2025河北4题)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游
览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一
支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和
4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为( C )
A. 2 cm B. 6 cm
C. 8 cm D. 10 cm
C
变式
1.1 某校设有三个校区，杨老师欲从槐北路校区步行去槐安路校区，用手
机上的地图软件搜索时，显示两个校区间的实际路程为1.2 km，当地图
上比例尺由1∶1 000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加
了 cm.
【解析】实际路程为1.2 km＝120 000 cm，当比例尺为1∶1 000时，图上
距离为 ＝120(cm)，当比例尺为1∶500时，图上距离为 ＝
240(cm)，∴240－120＝120(cm)，所以地图上两个校区的路程增加了
120 cm.
120
相似三角形的性质与判定(6年8考)
命题点
2
2. (2025河北9题)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，
BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定
△MAE∽△DCN，则这个条件是( D )
A. ∠B＋∠4＝180°
B. CD∥AB
C. ∠1＝∠4
D. ∠2＝∠3
D
正A字型：有一个公共角＋有一条平行线，如DE∥BC.
【结论】△ABC∽△ADE.
模型分析
3. 如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，AB＝3AD，
∠ADE＝∠B，则△AED与四边形BCDE的面积之比为( C )
A. 1∶3 B. 1∶6
C. 1∶8 D. 1∶9
C
斜A字型：有一个公共角＋另有一组角相等，如∠B＝∠ADE.
【结论】△ABC∽△ADE.
模型分析
4. (2021河北8题)图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部
分液体后如图②所示，此时液面AB＝( C )
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
C
5. (2025邢台模拟)如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，
沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为3 cm和7 cm，并
且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O
刚好和刻度5 cm水平对齐，上面部分的沙面(A，B所在直线)与刻度8 cm
水平对齐，则此时沙面的宽AB＝( C )
C
A. 3 cm B. 2.5 cm
C. 2.4 cm D. 2 cm
【解析】由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB＝2.4，
∴此时沙面的宽AB＝2.4 cm.故选C.
正8字型：有一组对顶角且一组对边平行，如DE∥BC.
【结论】△ABC∽△ADE.
模型分析
6. (2022河北18题)如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单
位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E.
(1)AB与CD是否垂直？ (填“是”或“否”)；
【解析】(1)如解图，易得△ACH≌△CGD，则
∠GCD＝∠CAH，又∵∠GCD＋∠ECA＝90°，
∴∠CAH＋∠ECA＝90°，∴∠CEA＝90°，
∴AB⊥CD；
是
解图
(2)AE＝ .
【解析】(2)由解图可得△CEA∽△DEB，BD＝3，
AC＝2，AB＝ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝ AB＝ .
解图
斜8字型：有一组对顶角且另有一组角相等，如∠C＝∠D.
【结论】△ABC∽△AED.
模型分析
位似(2020.8)
命题点
3
7. (2025邯郸模拟)如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心可以
是( D )
A. 点M B. 点N
C. 点Q D. 点P
D
【解析】如解图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，故选D.
解图
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，
C(0，3)，若在线段AB上存在一点D，使得△ACD与△AOB是位似图形，则点D的横坐标为( A )
A
A. B. C. D. 或
【解析】△ACD与△AOB是位似图形，只有一种情况，过点C作CD∥OB，交AB于点D，则 ＝ ，即 ＝ ，∴CD＝ ，∴点D的横坐标为 .(共20张PPT)
第四章 三角形
第七节 锐角三角函数及其应用
节前复习导图
锐角三角函数
特殊角的
三角函数值
30°
45°
60°
锐角三角函数
的实际应用
仰角、俯角
坡度、坡角
方向角
锐角三角
函数
及其应用
教材知识逐点过
考点
1
锐角三角函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
∠A的正弦： sin A＝ ＝ ；
∠A的余弦： cos A＝ ＝ ；
∠A的正切：tan A＝ ＝ .
考点
2
特殊角的三角函数值
三角函数 α＝30° α＝45° α＝60°
sin α cos α tan α 1
考点
3
锐角三角函数的实际应用(2024.22)
仰角、俯角 如图，图中仰角是 ，俯角是
坡度、坡角 如图，坡角为 ，坡度(坡比)i＝tan α＝
方向角 如图，A点位于O点的 方向，B点位于O点的 方向，C点位于O点的 方向
∠1
∠2
α
北偏东30°
南偏东60°
北偏西45°(或西北)
基础题对点练
1. [人教九下思考改编]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tan
B＝ .
2. [人教九下习题改编]如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC＝
10 m，∠B＝30°，则中柱AD(D为底边中点)的长为 m.
3. [人教九下习题改编]如图，从点C观察点D的仰角是 (填序号).
①∠DAB； ②∠DCE；
③∠DCA； ④∠ADC.
②
4. [人教九下习题改编]如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处
观测到小岛A在它北偏东61°方向上，观测到小岛B在它南偏东20°方向
上，则∠AOB的度数是 °.
99
河北中考真题精选
仰角、方位角(6年2考)
命题点
1
1. (2023河北2题)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇
淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的( D )
A. 南偏西70°方向
B. 南偏东20°方向
C. 北偏西20°方向
D. 北偏东70°方向
D
2. (2025邢台模拟)如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数
学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的( D )
A. 南偏西68°方向上
B. 南偏西22°方向上
C. 北偏东22°方向上
D. 北偏东68°方向上
D
【解析】如解图，过点A作水平方向射线AC，垂直
方向射线AD，由条件可知∠DAC＝90°，∠BAC
＝22°，∴∠DAB＝68°，∴点B位于点A的北偏
东68°方向上.
解图
3. (2025邯郸模拟)如图，一艘渔船由南向北航行，上午8时，发现灯塔O在渔船的北偏西50°方向，上午10时，却发现灯塔O在渔船的南偏西80°方向.已知渔船的速度是28海里/小时，渔船上午8时和10时的位置分别用点A，B表示，则OB的距离为( C )
A. 28海里 B. 42海里
C. 56海里 D. 70海里
C
【解析】由题意可得，∠A＝50°，∠B＝80°，∴∠BOA＝180°－
∠B－∠A＝50°，∴∠A＝∠BOA，∴OB＝AB，已知渔船的速度是
28海里/小时，上午8时和10时的位置分别用点A，B表示，∴OB＝AB＝
2×28＝56(海里).
锐角三角函数的实际应用(2024.22)
命题点
2
4. (2025衡水模拟)某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度(假定该塔AB与
地面垂直)，他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为
60°，然后沿斜坡CE前行40 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶
A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度i＝1∶ ，且点A，B，C，
D，E在同一平面内.
(1)求点D到直线BC的距离；
解：(1)如图，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于
点M，
∵斜坡CE的斜面坡度i＝1∶ ，
∴tan∠DCM＝ ＝ ＝ ，
∴∠DCM＝30°，
∴DM＝ CD＝20(m)，
即点D到直线BC的距离为20 m；
∟
M
他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度i＝1∶ ，且点A，B，C，D，E在同一平面内.
(2)求古塔AB的高度.
解：如图，连接AC，由题意得∠BCA＝60°，
∴∠ACD＝180°－∠BCA－∠DCM＝
180°－60°－30°＝90°，
∵∠DCM＝30°，
∴∠ADC＝30°＋30°＝60°，
∟
M
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝ ，
∴AC＝CD·tan∠ADC＝40× ＝40 (m)，
在Rt△ABC中， sin ∠ACB＝ ，
∴AB＝AC· sin ∠ACB＝40 × ＝60(m)，
答：古塔AB的高度是60 m.
∟
M
5. (2024河北22题)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇
淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距
离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看
到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛到水平地面BQ的距
离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ
于点E. (注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值；
解：(1)由题可知，四边形ABDC与四边形CDQE均为矩形，
∴CE＝DQ＝BQ－BD＝4－3＝1(m)，PE＝PQ－EQ＝PQ－AB＝
2.6－1.6＝1(m)，
∴CE＝PE，
∵∠CEP＝90°，
∴β＝45°，tan α＝ ＝ ＝ ；
解：(2)在Rt△CEP中，CP＝ ＝ ＝ (m)，
如图，过点C作CF⊥AP于点F，
∵tan α＝ ＝ ，
∴设CF＝x m，则AF＝4x m，
BQ＝4 m，BD＝3 m，AB＝CD＝1.6 m，PQ＝2.6 m. (注：图中所有点均在同一平面)
(2)求CP的长及 sin ∠APC的值.
∟
F
∴在Rt△ACF中，AC＝ ＝ ＝ x＝3，
解得x＝ ，
即CF＝ m，
∴ sin ∠APC＝ ＝ ＝ .
∟
F(共35张PPT)
第四章 三角形
第一节 几何初步、相交线与平行线(含命题)
章前复习导图
解决问题
特殊
几何初步、相交线与平行线
直线与线段
角及角平分线
相交线、平行线
命题
直角三角形
全等、相似三角形的性质
全等、相似三角形的判定
实际应用
性质
面积
判定
三角形
等腰三角形
角
边角关系
边
重要线段及直线(角平分线、中线、高线、中位线、垂直平分线)
三角形
全等、相似三角形
锐角三角函数
节前复习导图
几何初步、
相交线
与平行线
(含命题)
直线与线段
两个基本事实
两点间的距离
线段的和与差
线段中点
角及角平分线
角的度量及换算
余角、补角
角平分线
相交线
相交线
垂线及性质
平行线的
性质与判定
平行公理及推论
平行线的判定与性质
两条平行线间的距离
作法一:作平行线
作法二:拐点延长相交
角度关系
命题与
反证法
教材知识逐点过
考点
1
直线与线段(2021.1)
两个基 本事实 1. 直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线(两点确定一条直线)；
2. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短(两点之间，线段
最短)
两点间 的距离 连接两点的线段的长度
线段的 和与差 如图，在线段AC上取一点B，则有AB＋ ＝AC；AB＝
－BC；BC＝AC－
线段 中点 如图，点M把线段AB分成两条线段AM与MB，如果AM＝MB，那么
点M叫做线段AB的中点，即有AM＝MB＝
BC
AC
AB
AB
考点
2
角及角平分线(2022.2)
1. 角的度量及换算
量角器 的使用 量角器的中心点O和角的顶点重合，量角器的零刻度线和角的一条边重
合，做到两重合后看角的另一条边对应的刻度线的度数
度分秒 的换算 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60'，1'＝60″，
度分秒的单位换算是60进制
2. 余角、补角
余角 (1)概念：如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角；
(2)性质：同角(或等角)的余角
补角 (1)概念：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角；
(2)性质：同角(或等角)的补角相等
相等
3. 角平分线
概念 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线
性质 角平分线上的点到角两边的距离
逆定理 角的内部到角两边距离 的点在这个角的平分线上
相等
相等
考点
3
相交线(2020.1)
1. 相交线
(1)对顶角相等(2组)，∠1＝ ，∠2＝ ；
(2)邻补角互补(4组)，∠1＋ ＝∠1＋∠2＝ ＋∠3＝
∠3＋∠4＝180°
∠3
∠4
∠4
∠2
2. 垂线及性质
概念 两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
垂线的 性质 (1)经过直线上或直线外一点，有且只有 条直线与已知直线垂直(基本事实)；
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 的长度叫做点到直线的距离
一
垂线段
垂线段
线段垂 直平分 线 (1)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图，
若l⊥AB，OA＝OB，则AP＝ ；
(2)逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
上
BP
垂直平
分线
考点
4
平行线的性质与判定(6年3考)★重点
平行公 理及 推论 1. 公理：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
平行(基本事实)；
2. 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
【知识拓展】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线 的判定 与性质 1. 同位角 两直线平行；
2. 内错角 两直线平行；
3. 同旁内角 两直线平行
两条平 行线间 的距离 1. 概念：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线， 的长度
叫做两条平行线间的距离；
2. 性质：两条平行线之间的距离处处
相等
相等
互补
垂线段
相等
【知识拓展】平行线求角度辅助线的作法
作法一： 作平行线
作法二： 拐点延 长相交
角度关系 ∠ABE＋
∠DCE ＝∠BEC ∠ABE＋
∠DCE＋∠BEC＝360° ∠ABE－
∠DCE ＝∠BEC ∠ABE－
∠DCE
＝∠BEC
考点
5
命题
1. 命题：判断一件事情的语句，叫做命题.命题有题设和结论两部分；
2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；
3. 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题；
4. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；
5. 反证法：先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，
最后推出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.
因此，假设是错误的，原结论是正确的.
基础题对点练
1. [北师七上习题改编]将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，其
中蕴含的数学原理是( A )
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 直线的两端是无限延伸的
D. 两点之间，线段最短
A
2. [人教七上练习改编]如图，点C是线段AB上一点，D是AC的中点，
E是BC的中点.
(1)AB＝AC＋ ；
(2)AC＝AE－ ；
(3)若AC的长为6，CE的长为2，则DE的长为 .
CB
CE
5
3. [冀教七上习题改编]如图，直尺ABCD的一边BC经过量角器的圆心
O，则∠BOE＝ .
4. [北师七上习题改编]若∠A＝85°，则∠A的补角为 °，∠A的
余角为 °.
50°
95
5
5. [人教八上习题改编]如图，OD平分∠BOC，∠AOC＝110°，P是
OD上一点，PQ⊥CO.
(1)∠COD的度数为 ；
(2)PQ＝3，则点P到AB的距离为 .
35°
3
6. [北师七上习题改编]如图，直线AB与直线CD交于点O，∠AOD＝
134°，∠COE＝44°，则∠EOB的度数为 .
90°
7. [人教八上习题改编]如图，在线段 AC，BC，CD，CE中，最短的线
段为 ，若CD是BE的垂直平分线，CE＝4，则BC的长为 .
CD
4
8. [冀教七下习题改编]如图，若AB∥CD，过点C的射线与AB交于点
E. 若∠1＝35°，则∠2＝ °.
145
9. [冀教七下例题改编]已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图
所示摆放.若∠1＝120°，则∠2＝ .
150°
10. [人教七下例题改编]如图，木棒AB，CD与EF分别在点G，H处用
可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G
逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °.
20
11. [人教七下习题改编]下列命题中，是真命题的是( C )
A. 相等的角是对顶角
B. 不相交的两条线段平行
C. 一个角的余角比它的补角小90°
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C
河北中考真题精选
性质、定理的考查
命题点
1
1. (2021河北1题)如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一
侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是( A )
A. a B. b
C. c D. d
A
2. 如图，在直线l外有一定点O，Q是直线l上一动点，当点Q从左
向右移动时，下列说法正确的是( D )
D
A. ∠α增大
B. ∠β减小
C. ∠α＋∠β的和增大
D. ∠α＋∠β的和不变
平行线的性质与判定
命题点
2
3. (2025河北2题)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某
个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝( C )
A. 70° B. 100°
C. 110° D. 130°
C
4. (2019河北7题·源于冀教七下习题改编)下面是投影屏上出示的抢答题，
需要回答横线上符号代表的内容.
已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C.
求证：AB∥CD.
证明：延长BE交 ※ 于点F，则∠BEC＝ ＋
∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).
又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝ ▲ ，
故AB∥CD( @ 相等，两直线平行).
则回答正确的是( C )
A. 代表∠FEC B. @代表同位角
C. ▲代表∠EFC D. ※代表AB
C
【解析】辅助线作法为延长BE交CD于点F，则※代表CD；∵∠BEC
＝∠EFC＋∠C，∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EFC，∴ 代表
∠EFC，▲代表∠EFC；∵∠B＝∠EFC，∴AB∥CD(内错角相等，
两直线平行)，∴@代表内错角.
5. (2025唐山模拟)古城正定承载着丰富的古建筑文化.在如图的六边形窗
户ABCDEF中，已知AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，则∠BCD
＝( C )
A. 120° B. 100°
C. 80° D. 60°
C
【解析】∵AB∥CF∥DE，∠B＝∠D＝140°，∴∠B＋∠BCF＝
180°，∠D＋∠DCF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠B＝∠D＝140°，∴∠BCF＝40°，∠DCF＝40°，
∴∠BCD＝∠BCF＋∠DCF＝40°＋40°＝80°.
6. (2022河北11题)要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图①和图②)：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( C )
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ、Ⅱ都可行
D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
C
【解析】设直线AB与直线CD交于点P，对于方案 Ⅰ：∵∠HEN＝∠CFG，∴MN∥CD，∴∠P＝∠AEM；
对于方案 Ⅱ：∵∠P＋∠AEH＋∠CFG＝180°，∴∠P＝180°－∠AEH－∠CFG，
故方案 Ⅰ、Ⅱ 都可行.
7. (2023河北15题)如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2
之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上.若∠α
＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝( C )
A. 42° B. 43°
C. 44° D. 45°
C
【解析】如解图，过点D作l3∥l1，延长DE交l2
于点M，则l2∥l3，∵∠α＝50°，∴∠1＝180°
－50°＝130°，∵∠ADE＝146°，
∴∠2＝146°－130°＝16°，∴∠M＝∠2＝16°，∵△EFG为等边三角形，∴∠EGF＝60°，
∴∠β＝∠EGF－∠M＝60°－16°＝44°.
解图(共18张PPT)
第四章 三角形
第六节 直角三角形
节前复习导图
等腰直角
三角形的
性质与判定
性质
判定
直角
三角形
直角三角形
的性质与判定
性质
判定
面积
定义
教材知识逐点过
考点
1
直角三角形的性质与判定(6年7考)★重点
定义 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质 1. 直角三角形的两个锐角 ；
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ；
3. 30°角所对的直角边等于斜边的 ；
4. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
互余
一半
一半
a2＋b2＝c2
判定 1. 有一个角等于 的三角形是直角三角形(定义)；
2. 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么
这个三角形是直角三角形.
注：勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，应
先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方
面积 S＝ ab＝ ch，其中a，b为两条直角边，c为斜边，h为斜边上的高.
【温馨提示】已知直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用等面积法，利
用公式h＝ 进行求解
90°
考点
2
等腰直角三角形的性质与判定(6年3考)★重点
性质 1. 等腰直角三角形的两直角边相等；
2. 等腰直角三角形的两锐角相等且都等于45°
判定 1. 有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形；
2. 有两个角是 的三角形是等腰直角三角形；
3. 有一个角是 的直角三角形是等腰直角三角形；
4. 有两边 的直角三角形是等腰直角三角形
【温馨提示】(1)已知直角三角形的两边长，求第三边长时，若没有明确直角边
和斜边，则需分类讨论；(2)已知三角形为直角三角形，当未明确直角顶点时，
需分类讨论.
45°
45°
相等
【知识拓展】
1. 勾股定理的拓展应用：如图①，②，③，若直角三角形的三边长分别记为a，b，
c，分别以三条边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有S1＋S2＝S3；
2. 勾股定理的证明有以下几种思路：(图中的直角三角形(除图⑥中的等腰直角三角
形)均全等，记直角三角形的三边长分别为a，b，c)
(1)赵爽弦图：如图④，S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形；
(2)毕达哥拉斯拼图：如图⑤，S左图大正方形＝S右图大正方形；
(3)伽菲尔德总统拼图：如图⑥，S梯形＝2S小直角三角形＋S大等腰直角三角形.
基础题对点练
1. [人教八上习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝
40°，AD是∠CAB的平分线，且交BC于点D，则∠CDA的度数
为 .
65°
2. [人教八上习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD⊥AB，垂足为D，若AC＝3，BC＝4，则CD的长为 .
3. [人教八下习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝
AC，D是BC边上的中点，连接AD，且AD＝2.
(1)AC的长为 ；
(2)过点D作DE⊥AB于点E，则AE的长为 .
2
河北中考真题精选
直角三角形的判定与性质
命题点
1. (2023河北11题)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中
点，以AM为边作正方形AMEF. 若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝( B )
A. 4 B. 8
C. 12 D. 16
B
2. (2025邢台模拟)如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点
上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点
E，则∠BED＝( C )
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 105°
C
3. (2020河北16题)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕
达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选
取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面
积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( B )
A. 1，4，5 B. 2，3，5
C. 3，4，5 D. 2，2，4
B
变式
3.1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以BC，CA，AB为边向
外作的等腰直角三角形的面积为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的数量
关系是( A )
A. S1＋S2＝S3 B. 2S1＋S2＝S3
C. S1＋S2＝2S3 D. S1·S2＝S3
A
【解析】由题意得，S1＝ BC2，S2＝ AC2，S3＝ AB2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴ AB2＝ AC2＋ BC2，∴S1＋S2＝S3.
4. (2022河北16题)题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取
一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，
求d的取值范围.”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d
＝ ，则正确的是( B )
B
A. 只有甲答的对
B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整
D. 三人答案合在一起才完整
【解析】当AC⊥BM时，如解图①，∵∠B＝45°，∠BAC＝
90°，BC＝2，∴AC＝ ，∴当d＝ 时，△ABC为唯一三
角形；当AC⊥BC时，如解图②，∵∠B＝45°，∠BCA＝
90°，BC＝2，∴∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝2，当d＝2
时，△ABC为唯一三角形；当解图②中点A沿BM向上运动，
即d＞2时，△ABC为唯一三角形.综上所述，当d＝ 或d≥2
时，△ABC为唯一三角形，故甲、丙答案合在一起才完整.
解图①
解图②
变式
4.1 (2025唐山模拟)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝2 ，CD＝ ，点P在四边形ABCD的边上运动，若P到
BD的距离为1，则点P的个数为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2 ，CD＝ ，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°，∴△ABE，△CDF是等腰直角三角形，∴AE＝ AB＝ ×2 ＝2＞1，CF＝ CD＝ × ＝1，∴在AB和AD边上有符合
点P到BD的距离为1的点有2个，在边BC和CD上到BD的
距离为1的点有1个，综上所述，P到BD的距离为1的点有3
个.故选C.
∟
E
∟
F(共38张PPT)
第四章 三角形
第三节 全等三角形
节前复习导图
全等
三角形
全等三角形
的概念及性质
概念
性质
全等三角形的判定
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
教材知识逐点过
考点
1
全等三角形的概念及性质(6年6考)★重点
概念 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 1. 全等三角形的对应边 ，对应角 ；
2. 全等三角形的周长 ，面积 ；
3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都
相等
相等
相等
相等
相等
考点
2
全等三角形的判定(6年9考)★重点
判定方法 文字叙述 图形
SSS (边边边) 有三边对应相等的两个三角形全等(基本事
实)
SAS (边角边) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等(基本事实)
判定方法 文字叙述 图形
ASA (角边角) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等(基本事实)
AAS (角角边) 有两角及其中一个角所对的边对应相等的两
个三角形全等
HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角
形全等
全等判定思路
【易错警示】1.“SSA”不能判定两个三角形全等；
2. “HL”是判定两个直角三角形全等的特有方法，对于一般三角形不适用.
基础题对点练
1. [人教八上习题改编]如图，若△OAD≌△OBC，AD，CB交于点E，
∠D＝20°，DO＝6，OA＝2.
(1)∠C的度数为 ；
(2)AC的长度为 .
20°
4
2. [冀教八上习题改编]如图，已知∠F＝∠M，∠E＝∠N，点E，
H，G，N在同一条直线上，要使△EFG≌△NMH，只需要添加一个条
件 .(只需添加一个
你认为合适的条件)
EF＝NM(或EH＝GN或EG＝NH或FG＝MH)
教材变式过重点
全等三角形的判定
例1 北师七下习题改编 如图，已知点E，C在线段BF上，
BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. 求证：△ABC≌△DEF.
答题规范
得分要点
按照顺序依次罗列出对应关系并写出判定定理，得到相应三角形全等
由平行线性质得一组对应角相等
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF(ASA).
模型分析
一、平移型
解题思路：
(1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
(2)找等角：利用平行线性质找对应角相等.
例2 冀教八上习题改编 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE与CD
相交于点P，连接BC，求证：PC＝PB.
证明：在△ADC和△AEB中，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，∴∠ACD＝∠ABE，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，
即∠PBC＝∠PCB，
∴PC＝PB.
题后反思
由该题，你是否想到了一种作角平分线的方法呢？
解：在∠BAC的两边上分别截取AC＝AB，AE＝AD，连接CD，BE交
于点P，作射线AP即为∠BAC的平分线.
模型分析
二、对称型
1. 有公共边
2. 有公共顶点
解题思路：
(1)找等边：找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得到
对应边相等；
(2)找等角：找公共角、对顶角、垂直找直角、等腰等条件得到等角.
例3 人教八上习题改编 如图，△ABC的边BC和△DEF的边EF共
线，BF＝EC，AC∥DF，AC＝DF，求证：△ABC≌△DEF.
证明：由条件可知∠ACB＝∠DFE，BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝
EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
模型分析
三、旋转型
共顶点 不共顶点
解题思路：
(1)找等边：加(或减)共线部分，得到对应边相等；
(2)找等角：对顶角相等或利用平行线性质找对应角相等.
证明：证法一(截长法)：
如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，
在△ABD与△AED中，
∴△ABD≌△AED(SAS)，∴BD＝ED，∠ABD＝∠AED，
∵∠AED＝∠EDC＋∠C，∠B＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，
∴DE＝EC，∴AB＋BD＝AE＋CE＝AC.
例4 【一题多解】北师七下习题改编 已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线.求证：AB＋BD＝AC.
E
证明：证法二(补短法)：
如图，延长AB至点E，使AE＝AC，连接DE，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.
∵AE＝AC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E＋∠BDE，∠ABD＝2∠C，
∴∠E＝∠BDE，∴BD＝BE，
∴AB＋BD＝AB＋BE＝AE＝AC.
例4 【一题多解】北师七下习题改编 已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线.求证：AB＋BD＝AC.
E
模型分析
四、截长补短
条件：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
辅助线作法一：在AC上截取AE＝AB，连接DE.
【结论】△ABD≌△AED.
辅助线作法二：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF.
【结论】△AFD≌△ACD.
例5 【一题多解】人教八上习题改编 如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长，交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC.
证明：证法一(倍长中线)：
如图，延长AD至点H，
使DH＝DA，连接BH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
H
在△ADC和△HDB中，
∴△ADC≌△HDB(SAS)，
∴AC＝HB，∠CAD＝∠H.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，∴BF＝AC.
H
证明：证法二(倍长类中线)：
如图，延长FD至点H，
使DH＝DF，连接CH，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
例5 【一题多解】人教八上习题改编 如图，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长，交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC.
H
在△BDF和△CDH中，
∴△BDF≌△CDH(SAS)，
∴BF＝CH，∠BFH＝∠H.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE.
∵∠AFE＝∠BFH，
∴∠H＝∠CAH，
∴AC＝CH，∴BF＝AC.
H
模型分析
五、倍长中线、倍长类中线
特点：三角形中出现中线或与中线有关的线段.
(1)倍长中线
如图，在△ABC中，AD是中线.
【结论】若连接BE，则△BDE≌△CDA；
若连接CE，则△ABD≌△ECD.
(2)倍长类中线
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点.
【结论】连接CF，则△BDE≌△CDF.
河北中考真题精选
全等三角形的性质与判定(6年10考)
命题点
1. (2023河北13题)在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝
A'B'＝6，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，则∠C'＝( C )
A. 30° B. n°
C. n°或180°－n° D. 30°或150°
C
【解析】如解图，当BC＝B'C'时，
△ABC≌△A'B'C'(SSS)，∴∠C'＝∠C＝
n°；当BC≠B'C'时，
∵A'C'＝A'C″，∴∠A'C″C'＝∠C'＝n°，∴∠A'C″B'＝180°－n°，
∴∠C'＝n°或180°－n°.
解图
2. 我们知道“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全
等”，即“SSA”不一定全等.已知△ABC，下面是甲、乙两位同学构造
的反例.
甲：以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB的延长线于点D，连接CD，
得△ADC，如图①，则△ADC与△ABC不全等.
乙：以A为圆心，AC长为半径画弧，交CA的延长线于点D，以D为圆
心，BC长为半径画弧，交BA的延长线于点M，E(点E在点M的左
侧)，连接DE，得△ADE，如图②，则△ADE与△ABC不全等.
对于甲、乙两人的作法判断正确的是( A )
A. 甲和乙都对 B. 甲和乙都不对
C. 甲对乙不对 D. 甲不对乙
A
【解析】甲、乙两人所作的图形均满足两边相等且一组相等边所对的角
也相等的两个三角形不全等.
3. (2025邯郸模拟)如图，Rt△ABC≌Rt△BAD，BC，AD交于点E，M
为斜边AB的中点，若∠CMD＝α，∠AEB＝β.对于α和β之间的数量关
系，三位同学给出了不同的猜测：
甲：2β－α＝180°，
乙：β－α＝60°，
丙：β＝α.
其中正确的是( A )
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 甲和丙都有可能
A
【解析】∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAM＝∠DBM，∠ABC＝
∠BAD，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝ AB，
∴CM＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，同理∠DBM＝∠BDM，
∴∠AMC＝∠DMB，
∵∠CMD＝α，∴∠AMC＝ ×(180°－α)＝90°－ α，
∴∠CAM＝ (180°－∠AMC)＝45°＋ α，
∵∠AEB＝β，∴∠ABC＝ ×(180°－β)＝90°－ β，
∵∠CAB＋∠ABC＝90°，∴45°＋ α＋90°－ β＝90°，
∴2β－α＝180°，∴正确的是甲，故选A.
4. (2024河北19题)如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为 ；
【解析】(1)∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，∴S△ABD＝
S△ACD＝ S△ABC＝ ×2＝1，∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分
点，∴AC＝AC1，
∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，∴AD＝AD1，
∵∠C1AD1＝∠CAD，∴△AC1D1≌△ACD(SAS)，
∴ ＝S△ACD＝1，∠C1D1A＝∠CDA，∴△AC1D1的面积为1；
1
(2)△B1C4D3的面积为 .
7
4. (2024河北19题)如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点.
【解析】(2)如解图，连接B1C2，B1C3，C3D3，B1D1，B1D2，C1D3，
在△AB1D1和△ABD中， ，∴△AB1D1≌△ABD(SAS)，
∴ ＝S△ABD＝1，∠B1D1A＝∠BDA，
∵∠BDA＋∠CDA＝180°，∴∠B1D1A＋∠C1D1A＝180°，
∴C1，D1，B1三点共线，∴ ＝ ＋ ＝1＋1＝2，∵AD1＝D1D2＝D2D3， ＝1，
解图
∴ ＝3 ＝3×1＝3， ＝
3 ＝3×1＝3，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，
∴ ＝4 ＝4×2＝8， ＝
4 ＝4×3＝12，∴ ＝ ＋
－ ＝12＋3－8＝7，∴△B1C4D3的
面积为7.
解图
5. (2025河北19题)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，
AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
证明：(1)∵∠BAF＝∠EAD，
∴∠BAC＝∠FAD，
在△ABC和△AFD中， ，
∴△ABC≌△AFD(ASA)；
5. (2025河北19题)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.
解：(2)由(1)知△ABC≌△AFD，
∴AB＝AF，
∵BE＝FE，
∴AE⊥BF，即AC⊥BD.(共31张PPT)
第四章 三角形
第二节 三角形的基本性质
节前复习导图
三角形的
基本性质
三角形
的分类
按边分
按角分
三角形
的性质
三角形中
的重要线段
中线
高线
角平分线
中位线
垂直平分线
教材知识逐点过
考点
1
三角形的分类
考点
2
三角形的性质(6年9考)★重点
1. 三角形具有稳定性.
2. 内角和定理：三个内角的和等于 .
3. 外角和：三角形的外角和等于 .
4. 内外角关系：
(1)三角形的任意一个外角等于与它不相邻的 ；
(2)三角形的任意一个外角 与它不相邻的任意一个内角.
180°
360°
两个内角的和
大于
5. 三边关系：三角形两边之和 第三边，两边之差⑥ 第三边.
【温馨提示】判断用三条线段a，b，c(a＜b＜c)能否构成三角形，只需将两条较短
线段的和(即a＋b)与最长线段c比较大小，若a＋b＞c，则可以构成三角形.反之则
不能构成三角形.
6. 面积公式：S＝ ah(h为边a上的高).
大于
小于
考点
3
三角形中的重要线段(6年5考)★重点
四线 图形 性质 延伸
中线
AD是中线 BD＝ ＝ BC (1)S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC；
(2)三角形的三条中线的交点是三角形的重心
高线
AD是高线 AD⊥ ，即
∠ADB＝∠ADC
＝ (1)三角形的三条高线所在直线的交点是三角形的垂心；
(2)＝
CD
90°
90°
四线 图形 性质 延伸
角平 分线 AD是角平
分线 ∠BAD＝ ＝ ∠BAC (1)三角形的角平分线上的点到角两边的距离相等；
(2)三角形的三条角平分线的交点是三角形的内心；
(3) ＝ ＝
∠CAD
四线 图形 性质 延伸
中位
线 DE是 中位线 DE∥BC且DE
＝ BC (1)当三角形中遇到中点时，常构造三角形
中位线，可简单地概括为“已知中点找中
位线”；
(2)△ADE与△ABC相似，其相似比为
1∶2，面积比为1∶4
【知识拓展】
图形 重要结论
垂直
平分线 DE垂直平
分AC (1)AD＝CD，AE＝CE，DE⊥AC，即∠ADE＝∠CDE＝
90°，∠EAD＝∠ECD；
(2)三角形三条边的垂直平分线的交点是该三角形的外心，外心
到三角形三个顶点的距离相等
基础题对点练
1. [人教八上习题改编]下列图形中，具有稳定性的是( A )
2. [北师七下习题改编]已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长可
以是( C )
A. 1 B. 2
C. 7 D. 8
A
C
3. [冀教七下习题改编]如图，在△ABC中，∠A＝20°，D为CB延长线
上的一点，过点D作DE⊥AB于点E，∠D＝50°.
(1)∠DBE的度数为 ；
(2)∠C的度数为 .
40°
20°
4. [冀教七下习题改编]如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，E是
BD的中点，连接CE，若S△BCE＝2，则S△ABC＝ .
8
5. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高
和角平分线，∠ACB＝80°，∠A＝70°.
(1)∠DCE的度数为 ；
(2)若AE＝3，BE＝5，则S△ACE∶S△BCE＝ .
20°
3∶5
6. [人教八上习题改编]如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，
BC，AC的中点，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 .
10
河北中考真题精选
三角形的内外角关系(6年4考)
命题点
1
1. (2021河北13题·源于冀教七下大家谈谈改编)定理：三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.
求证：∠ACD＝∠A＋∠B.
证法1：
如图，∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理)，
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定义)，
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB(等量代换)，
∴∠ACD＝∠A＋∠B(等式性质).
证法2：
如图，∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°(量角器测量所得)，
又∵135°＝76°＋59°(计算所得)，
∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换).
下列说法正确的是( B )
A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B. 证法1用严谨的推理证明了该定理
C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
B
2. 将两张三角形纸片△AOB和△COD按如图①位置放置，点D，C分别
在AO，BO的延长线上，记∠A＋∠B＝α；沿虚线将△AOB剪掉一部分
得到图②的△MON，记∠M＋∠N＝β，则下列正确的是( B )
A. α＞β B. α＝β
C. α＜β D. 无法比较α与β的大小
B
3. (2021河北18题)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交
点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，
使∠EFD＝110° ，则图中∠D应 (填“增加”或“减
少”) 度.
减少
10
三角形的三边关系(6年5考)
命题点
2
4. (2023河北5题)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四
边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长
为( B )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
B
【解析】当△ABC为等腰三角形时，AC可能为3或4，在△ADC中，0＜
AC＜4，则AC的长只能为3.
5. (2022河北13题)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾
相接组成凸五边形(如图)，则d可能是( C )
A. 1 B. 2
C. 7 D. 8
【解析】如解图，连接EC，则3＜EC＜7，∴2＜d＜8，∴d可能是7.
解图
C
6. (2021河北12题)如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，
且OP＝2.8.若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2
之间的距离可能是( B )
A. 0 B. 5
C. 6 D. 7
B
【解析】如解图①，连接OP1，OP2，P1P2.∵点P，P1关于直线l对称，∴∠1＝∠2，OP1＝OP＝2.8；同理可知∠3＝∠4，OP2＝OP＝2.8.由三角形的三边关系可知0＜P1P2＜5.6；如解图②，当m⊥l即∠2＋∠3＝90°时，∠P1OP2＝2(∠2＋∠3)＝2×90°＝180°，此时线段P1P2的
长度有最大值，即P1，P2之间的距离的最大值为2.8×2＝5.6，
∵m与l相交，∴点P1与P2不可能重合，
即P1，P2之间的距离大于0.综上可知，
P1，P2之间的距离大于0且不大于5.6.
故选项B是正确的.
解图
7. 如图，将长为14 cm的铁丝折成三段，已知第一段长为4 cm，第二段长
为a cm.若这三条线段恰好能围成一个三角形，则a的值可以是( B )
A. 3 B. 6
C. 7 D. 8
B
【解析】根据构成三角形的三边关系逐项分析判断如下：A. 当a＝3时，
第三段长为14－4－3＝7，由3＋4＝7，则3，4，7不能组成三角形，故该
选项错误；B. 当a＝6时，第三段长为14－4－6＝4，由4＋4＝8＞6，则
4，4，6能组成三角形，故该选项正确；C. 当a＝7时，第三段长为14－4
－7＝3，由3＋4＝7，则3，4，7不能组成三角形，故该选项错误；D. 当
a＝8时，第三段长为14－4－8＝2，由4＋2＝6＜8，则2，4，8不能组成
三角形，故该选项错误.故选B.
8. (2025河北14题)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长
为n.若n为整数，则n的值可以为 .(写出一个即可)
【解析】依题意，得4－3＜n＜4＋3，∴1＜n＜7，
∵n为整数，∴n可以是2，3，4，5，6.
2(答案不唯一)
三角形中的重要线段(6年5考)
命题点
3
9. (2022河北2题)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得
到折痕l，则l是△ABC的( D )
A. 中线 B. 中位线
C. 高线 D. 角平分线
D
10. (2024河北5题)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC
的( B )
A. 角平分线 B. 高线
C. 中位线 D. 中线
B
11. 如图，在△ABC中，BP和CP分别平分∠ABC和∠ACB，BP的延长
线和∠ACD的平分线交于点E. 关于下列结论的选项正确的是( B )
①∠1＝2∠2；②∠3＝3∠2；③∠3＝90°＋∠1；④∠3＝90°＋∠2.
A. ①③ B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
B
【解析】∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠CBE＝ ∠ABC，
∠ECD＝ ∠ACD，∵∠ECD＝∠CBE＋∠CEB，∴ ∠ACD＝
∠ABC＋∠CEB，∴ (∠ABC＋∠BAC)＝ ∠ABC＋∠CEB，
∴∠CEB＝ ∠BAC，∴∠1＝2∠2，故①符合题意；
∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠PCB＝ ∠ACB，∠PBC＝
∠ABC，∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ (180°－∠1)＝
90°－ ∠1，∴∠3＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝90°＋ ∠1＝90°＋
∠2，故③不符合题意，④符合题意；由条件不能得到∠3＝3∠2，故②
不符合题意，∴正确的结论是①④.故选B.(共21张PPT)
第四章 三角形
第五节 等腰三角形
节前复习导图
等边三角形
性质
判定
面积
等腰
三角形
等腰三角形
性质
判定
面积
定义
教材知识逐点过
考点
1
等腰三角形(6年4考)★重点
定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做
腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
性质 1. 等腰三角形的两腰相等；
2. 等腰三角形的两个底角相等(简述“等边对等角”)；
3. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简记
为“三线合一”)；
4. 等腰三角形是轴对称图形，有 条对称轴.(等边三角形除外)
注：等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
1
判定 1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)；
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积 S＝ ah(其中a是底边长，h是底边上的高)
【知识拓展】
黄金三角形：指底和腰(或腰和底)之比为黄金比的等腰三角形.一个内角为36°的等腰
三角形是黄金三角形，如图①，当顶角为36°时，它的底和腰之比为 ，如图②，
当底角为36°时，它的腰和底之比为 .
图①
图②
考点
2
等边三角形(6年2考)
性质 1. 等边三角形的三条边相等；
2. 等边三角形的三个内角相等，且每个角都等于60°；
3. 等边三角形的三条角平分线的交点、三条高线的交点、三条中线的交点重
合；
4. 等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴
判定 1. 三边都相等的三角形是等边三角形；
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
3. 有一个内角是 的等腰三角形是等边三角形
面积 S＝ ah ＝ a2 (其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高)
3
60°
ah
a2
基础题对点练
1. [北师八下习题改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC
交BC于点D，AD＝5，CD＝3，则△ABC的面积为 .
15
2. [人教八上例题改编]等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该
三角形的周长为 .
15或18
3. [北师八下习题改编]如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，
点D在BC上，连接AD，若AB＝BD，则∠CAD的度数为 .
30°
4. [人教八上习题改编]等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝60°，则
该等腰三角形的面积是 .
5. [人教八上习题改编]如图，等边三角形ABC的周长为18，则BC边上的
高AD的长为 .
3
教材变式过重点
等腰三角形的证明与计算
教材原题
例 人教八上P93第13题
如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝
CD. 求证：DB＝DE.
图①
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠DBC＝30°(等边三角形三线合一)，
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝ ∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC，
∴DB＝DE(等角对等边)；
图①
拓展设问
(1)如图②，过点A作AH∥BC，交ED的延长线于点H，连接BH，求
证：AB垂直平分DH；
图②
(1)证明：∵AH∥BE，
∴∠AHD＝∠CED，∠HAB＝∠ABC＝60°，
∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE，
∵∠ADH＝∠CDE，∴∠ADH＝∠CED，
∴∠ADH＝∠AHD，∴AH＝AD，
又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠HAB＝60°，
∴AB垂直平分DH；
(2)如图③，延长ED与AB交于点F，且DF＝2，求EF的长.
图③
(2)解：∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，
由(1)知∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠ADF＝∠CED＝30°，
在△ADF中，∠A＝60°，且∠A＋∠ADF＋∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°－∠A－∠ADF＝180°－60°－30°＝90°，即
EF⊥AB，
在Rt△BDF中，∠ABD＝30°，DF＝2，
∴BD＝2DF＝2×2＝4，
在△BDE中，∠EBD＝∠E＝30°，
∴DE＝BD＝4，
∴EF＝DF＋DE＝2＋4＝6.
图③
河北中考真题精选
等腰三角形的性质与判定(6年6考)
命题点
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线
DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长
为( A )
A. 14 B. 16
C. 18 D. 20
A
2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作
DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为( B )
A. 2.5 B. 3
C. 3.5 D. 4
B
【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE，∴DE＝BE，
∵AB＝6，∴DE＝BE＝AE＝ AB＝3，故选B.
3. 如图，∠AOB＝108°，P是射线OB上一点.按以下步骤作图：
①以点O为圆心，OP长为半径作弧，交OA于点Q，连接PQ；②以点P
为圆心，PQ长为半径作弧，与PO延长线交于点M，连接QM. 若QM＝
1，则OP的长度为( A )
A
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】由作图步骤可知，OQ＝OP，PQ＝PM，∴△OPQ与△PQM
都是等腰三角形，∵∠AOB＝108°，∴∠MOQ＝72°，
∴∠OPQ＝ ∠MOQ＝36°，
∴∠PMQ＝∠PQM＝ (180°－∠MPQ)＝72°
∴∠PMQ＝∠MOQ，∴OP＝OQ＝QM＝1.
4. 如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝
30°，OM＝a，MN＝4，若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是
等腰三角形，则a的取值范围是？甲答：a＞8；乙答：a＝4，则关于甲
和乙的说法( C )
A. 只有甲对
B. 只有乙对
C. 甲、乙答案合一起才完整
D. 甲、乙答案合一起也不对
C
【解析】如解图，①作线段MN的垂直平分线交OB于点P，连接PM，PN，则PM＝PN，此时△PMN是等腰三角形，过点M作MH⊥OB于点H，当MH＞MN时，满足条件的点P恰好只有一个，∵MN＝4，
∠AOB＝30°，当MH＝4时，OM＝2MH＝8，∴当a＞8时，满足条件
的点P恰好只有一个；②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个，此时MN＝MP，∠NMP＝60°，
∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，
∴OM＝MP＝MN＝4，∴a＝4.
综上所述，满足条件的a的取值范围是a＝4或a＞8.故选C.
解图
