第1-2章易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
文档属性
| 名称 | 第1-2章易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-31 18:38:41 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第1-2章易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．如图，已知是的切线，切点为A，连接交于D，点C在上，设，，则α，β满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
5．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．22
6．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（ ）
A．19 B．29 C．17 D．
7．用一纸条折成周长为的菱形（如图），保持的位置不动，将菱形的由，变到，则菱形的中心所移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
8．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：；三角形是等边三角形；的半径为；；四边形最大面积是，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若a 是方程的一个根，则代数式 ．
12．如图，是的直径，弦，点D在圆上且，则的半径为 ．
13．若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为 ．
14．如图，在中，，则的度数为 ．
15．如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14）
16．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ．
三、解答题
17．选择适当的方法解方程：
(1)
(2)
18．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
19．关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
(2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根．
20．如图，内接于．
(1)按照下列作法作出图形：①以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长交于点；④连接交于点；
(2)若，，求的直径．
21．中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售．
(1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长．
(2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒80元进行销售，每天可售出100盒；每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为50元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利2000元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价．
22．如图，的内接中，是的直径，是弦，的延长线于D．
(1)求证与相切；
(2)若，，求弦的长．
23．是的直径，点C为的中点，弦交于点E．
(1)如图1，连接，若，求证：．
(2)如图2，过点A作的切线交的延长线于点F，若，求的长．
24．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，则．
原方程可化为．
．
．
．
解得．
当时，．
当时，．
原方程有四个根是：．
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：．
(2)已知实数满足，试求的值．
《第1-2章易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B B D B C
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意，
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意，
C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意，
D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可．
【详解】解：是中最长的弦，
是中的直径，
的直径为，
．
故选：B ．
3．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由，
∴一元二次方程的常数项是，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．
连接，在外的上找一点，连接，根据切线的性质得出直角三角形，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质列出算式即可．
【详解】解：如图，连接，在外的上找一点，连接，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
根据圆内接四边形的性质得，，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解．
设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为．
∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍，
∴列方程：，
化简方程：，整理得．
因式分解：，解得或．
∵数字需为整数，故舍去
∴个位数字，十位数字为，
该两位数为，对应选项C．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得，，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为和，
∴， ，
∴，
∴．
故选：B
7．B
【分析】题考查菱形的性质、弧长公式，解题的关键是确定菱形中心的运动轨迹为一段圆弧，并求出圆弧的圆心角和半径．
先根据菱形周长求出边长，再确定中心的运动轨迹是以中点为圆心的圆弧，求出圆弧的圆心角和半径，最后利用弧长公式计算路程．
【详解】解：菱形的周长为，
边长，
连接与相交于点，取中点P，
菱形的对角线互相垂直且平分，
，
，
是中点，在中，斜边中线，
，
菱形的由变到，
圆心角，
移动的轨迹为以为圆心，为半径，的圆弧，
（其中为圆心角度数，为半径），
（）．
故答案为：B．
8．D
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．设出未知数，找出等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，可列方程为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的半径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是.
【详解】解：平分，
，
，
，
故正确；
四边形是的内接四边形，
，
，
，
又，
是等边三角形，
故正确；
如下图所示，连接、，过点作，
则，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
的半径是，
故正确；
如下图所示，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
，
故正确；
如下图所示，设M为的中点，过点作，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，
，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
当点在的中点时的面积最大，
的半径为，
点到线段的最大距离是，
的最大面积是，
四边形的最大面积是，
故错误；
综上所述，正确的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系．
11．2
【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值．把代入方程即可．
【详解】解：∵a 是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：2
12．5
【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形的性质等知识是解题的关键．
连接，得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，即是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
故答案为：5 ．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义把代入得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
14．/90度
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键．
如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，，
，，
，
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，
当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可．
【详解】解：由已知得 ，
①由得，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；故①正确；
②若，
则，故②正确；
③若方程两根为和，
则，，
，
，
；故③正确；
④若，则，
，
，
方程一定无解．故④正确，
综上可知，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
17．(1)
(2)原方程没有实数根
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：由得，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：由得，
∴，
∴原方程没有实数根．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质．
（1）先求出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可；
（2）连接，根据，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
于点F，
，
，
与都是弧所对的圆周角，
．
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
．
19．(1)
(2)的值为，另一个根是
【分析】本题考查了由一元二次方程的求解参数，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）利用判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式求解；
（2）根据方程根的意义，代入方程，求出字母参数，再求出另一个根即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）∵方程的一个根是，
∴，
解得：，
，
解得：，，
的值为，另一个根是．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作图要求结合已知图形作图即可；
（2）如图，连接，由作图可知平分，则，根据圆周角定理得到，易证是等腰三角形，推出是垂直平分线（三线合一），设的半径为，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，
由作图可知平分，则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴是垂直平分线（三线合一），
∴，，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的直径为．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图-角平分线，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质解题的关键．
21．(1)
(2)每盒售价为90元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理清题目中的数量关系是解答本题的关键．
（1）设长方形的宽为，则长为，根据面积为列方程求解即可；
（2）设每盒售价为元，则每盒利润为元，每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．则销售量为盒，根据盈利为2000元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为，根据题意得，
，
解得或（舍去），
所以，宽是，长是，
所以该展牌的长；
（2）解：设每盒售价为元，则每盒利润为元，根据题意得，
，
整理得，，
解得或，
因为比原价80元低，不合题意，舍去，
所以，每盒售价为90元．
22．(1)证明见解析
(2)8
【分析】此题考查了切线的判定、矩形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理是关键．
（1）连接，延长交于F点．证明四边形为矩形，得到，则，即可证明AD与相切；
（2）作，垂足为H，证明四边形为矩形，则，．证明设，则，，在中，，得到，解得，即可求出弦的长．
【详解】（1）证明：连接，延长交于F点．
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴与圆O相切．
（2）解：作，垂足为H，由（1）得，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
设，则，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接，由直径得到，然后求出，求出，然后由得到，进而求解即可；
（2）连接，过点O作于点G，证明出，得到，勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
为直径，
，
点C为的中点，
，，
，
，
，，
．
，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，过点O作于点G，
则，
为的切线，
，，
．
，，
．
．
．
，
．
在中，，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
24．(1)，
(2)5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
（1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解；
（2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
整理得，
解得，
当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
∴原方程的解为，；
（2）解：设，则，
整理得：，
解得：（舍去），
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第1-2章易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．如图，已知是的切线，切点为A，连接交于D，点C在上，设，，则α，β满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
5．一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．22
6．已知方程的两根分别为和，则代数式的值为（ ）
A．19 B．29 C．17 D．
7．用一纸条折成周长为的菱形（如图），保持的位置不动，将菱形的由，变到，则菱形的中心所移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
8．近年来，河南省坚持以“粮头食尾”“农头工尾”为抓手，打造了小麦、玉米等多条农业产业链．某市7月有80条农业产业链，计划到9月增长至125条，设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法：；三角形是等边三角形；的半径为；；四边形最大面积是，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若a 是方程的一个根，则代数式 ．
12．如图，是的直径，弦，点D在圆上且，则的半径为 ．
13．若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为 ．
14．如图，在中，，则的度数为 ．
15．如图，扇形的圆心角是90度，半径是是弧的中点．两个阴影部分的面积差是 ．（取3.14）
16．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ．
三、解答题
17．选择适当的方法解方程：
(1)
(2)
18．如图，在中，为直径，与为弦，于点E，于点F，与相交于点G．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
19．关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
(2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根．
20．如图，内接于．
(1)按照下列作法作出图形：①以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长交于点；④连接交于点；
(2)若，，求的直径．
21．中秋佳节来临，某超市购进了一批月饼进行销售．
(1)为增添节日氛围，引导顾客购买月饼，该超市工作人员准备制作一个如图所示的矩形展牌．若该展牌的长比宽多，面积为，求该展牌的长．
(2)经过市场调研，该超市发现，销售蛋黄莲蓉月饼时，当蛋黄莲蓉月饼按每盒80元进行销售，每天可售出100盒；每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．若蛋黄莲蓉月饼每盒的进价为50元，且该超市当日涨价销售蛋黄莲蓉月饼，并盈利2000元，求该超市蛋黄莲蓉月饼当日每盒的售价．
22．如图，的内接中，是的直径，是弦，的延长线于D．
(1)求证与相切；
(2)若，，求弦的长．
23．是的直径，点C为的中点，弦交于点E．
(1)如图1，连接，若，求证：．
(2)如图2，过点A作的切线交的延长线于点F，若，求的长．
24．阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，则．
原方程可化为．
．
．
．
解得．
当时，．
当时，．
原方程有四个根是：．
以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：．
(2)已知实数满足，试求的值．
《第1-2章易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B B D B C
1．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，并且其最高次数为1，不是一元二次方程，则A不符合题意，
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，则B不符合题意，
C、，其最高次数为3，不是一元二次方程，则C不符合题意，
D、符合一元二次方程的定义，则D符合题意，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可．
【详解】解：是中最长的弦，
是中的直径，
的直径为，
．
故选：B ．
3．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由，
∴一元二次方程的常数项是，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．
连接，在外的上找一点，连接，根据切线的性质得出直角三角形，根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质列出算式即可．
【详解】解：如图，连接，在外的上找一点，连接，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
根据圆内接四边形的性质得，，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解．
设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为．
∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍，
∴列方程：，
化简方程：，整理得．
因式分解：，解得或．
∵数字需为整数，故舍去
∴个位数字，十位数字为，
该两位数为，对应选项C．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得，，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为和，
∴， ，
∴，
∴．
故选：B
7．B
【分析】题考查菱形的性质、弧长公式，解题的关键是确定菱形中心的运动轨迹为一段圆弧，并求出圆弧的圆心角和半径．
先根据菱形周长求出边长，再确定中心的运动轨迹是以中点为圆心的圆弧，求出圆弧的圆心角和半径，最后利用弧长公式计算路程．
【详解】解：菱形的周长为，
边长，
连接与相交于点，取中点P，
菱形的对角线互相垂直且平分，
，
，
是中点，在中，斜边中线，
，
菱形的由变到，
圆心角，
移动的轨迹为以为圆心，为半径，的圆弧，
（其中为圆心角度数，为半径），
（）．
故答案为：B．
8．D
【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系．设出未知数，找出等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设该市7~9月的农业产业链的月平均增长率为，可列方程为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查垂径定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的半径长．
【详解】解：如图，，过圆心，连接，，
，
，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
10．C
【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是.
【详解】解：平分，
，
，
，
故正确；
四边形是的内接四边形，
，
，
，
又，
是等边三角形，
故正确；
如下图所示，连接、，过点作，
则，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
的半径是，
故正确；
如下图所示，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，，
，
，
，
故正确；
如下图所示，设M为的中点，过点作，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，
，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
当点在的中点时的面积最大，
的半径为，
点到线段的最大距离是，
的最大面积是，
四边形的最大面积是，
故错误；
综上所述，正确的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系．
11．2
【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值．把代入方程即可．
【详解】解：∵a 是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为：2
12．5
【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形的性质等知识是解题的关键．
连接，得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，即是直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
故答案为：5 ．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解的定义把代入得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的根，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
14．/90度
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接计算即可，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查不规则面积求法，涉及扇形面积公式、圆面积公式等知识，数形结合，准确表示不规则图形面积是解决问题的关键．
如图所示，，，从而得到两个阴影部分的面积差是，再由代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，，
，，
，
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，
当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可．
【详解】解：由已知得 ，
①由得，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；故①正确；
②若，
则，故②正确；
③若方程两根为和，
则，，
，
，
；故③正确；
④若，则，
，
，
方程一定无解．故④正确，
综上可知，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
17．(1)
(2)原方程没有实数根
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：由得，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：由得，
∴，
∴原方程没有实数根．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关图形的判定和性质．
（1）先求出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出答案即可；
（2）连接，根据，得出，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
于点F，
，
，
与都是弧所对的圆周角，
．
（2）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
．
19．(1)
(2)的值为，另一个根是
【分析】本题考查了由一元二次方程的求解参数，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）利用判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式求解；
（2）根据方程根的意义，代入方程，求出字母参数，再求出另一个根即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）∵方程的一个根是，
∴，
解得：，
，
解得：，，
的值为，另一个根是．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作图要求结合已知图形作图即可；
（2）如图，连接，由作图可知平分，则，根据圆周角定理得到，易证是等腰三角形，推出是垂直平分线（三线合一），设的半径为，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：如图，连接，
由作图可知平分，则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴是垂直平分线（三线合一），
∴，，
设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的直径为．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图-角平分线，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质解题的关键．
21．(1)
(2)每盒售价为90元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理清题目中的数量关系是解答本题的关键．
（1）设长方形的宽为，则长为，根据面积为列方程求解即可；
（2）设每盒售价为元，则每盒利润为元，每盒的售价每涨1元，销售量将减少5盒．则销售量为盒，根据盈利为2000元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为，根据题意得，
，
解得或（舍去），
所以，宽是，长是，
所以该展牌的长；
（2）解：设每盒售价为元，则每盒利润为元，根据题意得，
，
整理得，，
解得或，
因为比原价80元低，不合题意，舍去，
所以，每盒售价为90元．
22．(1)证明见解析
(2)8
【分析】此题考查了切线的判定、矩形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理是关键．
（1）连接，延长交于F点．证明四边形为矩形，得到，则，即可证明AD与相切；
（2）作，垂足为H，证明四边形为矩形，则，．证明设，则，，在中，，得到，解得，即可求出弦的长．
【详解】（1）证明：连接，延长交于F点．
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴与圆O相切．
（2）解：作，垂足为H，由（1）得，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
设，则，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）连接，由直径得到，然后求出，求出，然后由得到，进而求解即可；
（2）连接，过点O作于点G，证明出，得到，勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
为直径，
，
点C为的中点，
，，
，
，
，，
．
，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，过点O作于点G，
则，
为的切线，
，，
．
，，
．
．
．
，
．
在中，，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点．
24．(1)，
(2)5
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
（1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解；
（2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
整理得，
解得，
当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
∴原方程的解为，；
（2）解：设，则，
整理得：，
解得：（舍去），
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录