第六章 三角函数
(二)象限角
角的顶点与 重合,角的始边与
1.任意角和弧度制
2.三角函数的概念
重合.那么,角的
在第几象限,就说这个角是第几象限角 分别
3.诱导公式 .
为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四
4.三角函数的图象与性质
象限角
5.三角恒等变换 .
如果角的终边在坐标轴上,那么就认
( ) 为这个角 任何一个象限6.函数 =Asinωx+ .y φ
(三)终边相同的角
7.三角函数的应用
所有与角α终边相同的角,连同角α在
内,可构成一个集合S= ,
考点一 任意角与弧度制 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角
(一)角的概念与分类
α与 的和.
1.角的概念 (四)角度制与弧度制
角 描述 1.度量角的单位制
角可以看成 绕着它的 所成
定义 单位制 内容
的图形
周角的 为1度角,记作 ;用
其中 O 为顶点,OA 为始边,
表示 角度制 作为单位来度量角的单位制叫角
OB 为终边 度制
记法 角α或∠α,或简记为α 规定长度等于 的圆弧所对的圆
心角叫做1弧度的角,以 为单位
2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类 弧度制
来度量角的单位制叫做弧度制;在弧度制
类型 定义 图示 下,1弧度记作1rad
一条射线绕其端点按
正角 2.弧度数:一般地,正角的弧度数是一个
方向旋转形成的角
,负角的弧度数是一个 ,零角
一条射线绕其端点按
负角 的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心
形成的角 角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度数的
一条射线没有做 , 绝对值是|α|= .这里, 的正负由零角 α
就称它形成了一个零角 角α的终边的旋转方向决定.
— 25 —
3.弧度制与角度制的换算公式 (2)下列各角中与437°角的终边相同的是
角度化弧度 弧度化角度 ( )
360°= rad 2πrad= A.67° B.77°
180°= rad πrad= C.107° D.137°
1°= π180rad≈0.01745rad1rad= 180 °≈57.30° 【解析】 与437°角的终边相同的角为θ=π
437°+360°·k,k∈Z当k=-1时,θ=437°
4.角的集合与实数集 R的关系:角的概念推
-360°=77°,B正确;将 A,C,D代入θ=
广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R之
437°+360°·k,k∈Z,得出k均不是整数,
间建立起 的关系:每一个角都有
即其他三个选项均不合要求.故选:B.
的一个实数(等于这个角的弧度 【答案】 B
数)与它对应;反过来,每一个实数也都有
(3)一个扇形的弧长与面积的数值都是3,
的一个角(即弧度数等于这个实数
则该扇形圆心角的弧度数为 ( )
的角)与它对应,如图:
A.12 B.
2
3
C.32 D.2
【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为α,半
(五)扇形的弧长、面积 αr=3, r=2,
扇形的弧长及面积公式 径为r,则 1 解得 αr2=3, α=3
故选:C.
2 2
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<
【答案】 C
2π)为其圆心角,其中α=nπ,则180 考点二 三角函数的概念
单位制 (一)三角函数的定义
弧度制 角度制
类别 1.利用单位圆定义任意角的三角函数.
扇形的弧长 l=αR l=nπR 如图所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终180
边OP 与单位圆相交于点P(x,y).
1 2扇形的面积 S= = αR22 S=
nπR
360
(1)把2π弧度化成角度是 (3
)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
(1)把点P 的 叫做α的正弦函数
【解析】 因为π=180°,所以23π=
2
3×180° (sinefunction),记作sinα,即y= .
=120°.故选:D. (2)把点P 的 叫做α的余弦函数
【答案】 D (cosinefunction),记作cosα,即x=cosα.
— 26 —
(3)把 点 P 的 纵 坐 标 与 横 坐 标 的 sin(α+k·2π)= ,cos(α+k·
叫做α 的正切,记作tanα,即y= 2π)= ,tan(α+k·2π)= ,x
其中k∈Z.
tanα(x≠0).它是以角为自变量,以单位圆
(四)同角三角函数的基本关系式
上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的
1.平方关系: 2 2
函数,称为正切函数( sinα+cosα=1.tangentfunction).
2.我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称 2.商数关系:sinα ( πcosα=tanαα≠2+kπ
,k∈Z).
为 (trigonometricfunction),通常 3.文字叙述:同一个角α的正弦、余弦的
将它们记为:
等于1,商等于角α的 .
正弦函数y= ,x∈R;
(1)已知α是第四象限角,cosα=
余弦函数y=cosx,x∈R;
12,则
正切函数 =tanx,x≠π+kπ(k∈Z). 13 tan
(π+α)= ( )
y 2
3.利用角α终边上一点的坐标定义三角函数. A.125 B.-
12
5
如图所示,设α是一个任意角,它的终边上
5 5
任意一点 P(不与原点 O 重合)的坐标为 C.12 D.-12
(x,y),点P 与原点的距离为r,则sinα= 【解析】 因为α是第四象限角,所以cosα
y,
r cosα=
x,
r tanα=
y.其中r= x2x +y
2. =12,13sinα=-
5,故tan(π+α)13 =tanα=
sinα
cosα=-
5
12.
故选:D.
【答案】 D
(2)已知α 是第二象限角,sinα=5,则13
cosα= ( )
(二)三角函数值在各象限的符号
12 5
若一个角的终边任意一点为P(x,y),则 A.-13 B.-13
该角的三角函数值在各象限的符号如图所示.
C.513 D.
12
13
【解析】 α是第二象限角,所以cosα<0.由
同角函数关系式知cosα=- 1-sin2α=
-12.故选:A.
记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 13
(三)诱导公式一 【答案】 A
终边相同的角的同一三角函数的值 (3)在平面直角坐标系xOy中,角θ的顶点
.由此得到一组公式(公式一): 与坐标原点重合,角θ的始边与x 轴非负半
— 27 —
轴重合,角θ的终边经过点P(4,-3),则 (二)诱导公式五、六
2sinθ+cosθ= ( ) 1.诱导公式五、六
A.-35 B.
4
5
C.-25 D.
2
5
【解 析】 由 P (4,-3),故 sinθ=
2.诱导公式五~六归纳:π 的正弦(余弦)
-3 3 2
±α
=- ,5 cosθ=
4 =
42+(-3)2 42+(-3)2 函数值,分别等于α的 弦( 弦)函数
4 值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值,故
5 2sinθ+cosθ=2× -35 +45= 的符号,简记为:“函数名改变,符号看象限”
-2.故选:C. 或“正变余、余变正、符号象限定”.5
3.诱导公式一~六归纳:可以统一概括为“k·
【答案】 C
π±α(k∈Z)”的诱导公式 当 为考点三 诱导公式 2 . k
(一)诱导公式二~四 时,得α的同名函数值;当k为 时,
得α的异名函数值,然后前面加一个把α看
成锐角时原函数值的符号.口诀是“奇变偶
不变,符号看象限”.
(1)若sin(π-α)=6,则3 cos 3π2-α =
( )
A.- 63 B.-
3
3
公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反 C.6 63 D.±3
映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函
数值与α的三角函数之间的关系,这四组公式 【解析】 依题意,sin(π-α)=sinα=
6,
3
的共同特点是:
cos3π-α =-sinα=- 6.故选:A.
2kπ+α( ), ,
2 3
k∈Z π+α -α,π-α的三角函
【答案】 A
数值等于α的 函数值,前面加上一个
把α看成 时原函数值的符号.简记为 (2)若sinα=
1,α∈ π,π ,则cos(-α)4 2 =
“函数名不变,符号看象限”. ( )
— 28 —
3 3 曲线(cosinecurve).它是与正弦曲线具有A.4 B.-4
相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
C.- 15 D.15 2.五点法:y=cosx,x∈[-π,π]的五个关键点4 4
【解析】 为 因为sinα=1,且α∈ π,π ,所以 , -
π,
2 0 , , π, ,4 2 2
0
,用光滑曲线连接这五个点可得到
cosα= - 1-sin2α= - 15,又 因 为4 x∈[-π,π]的简图.
15 (三)周期性cos(-α)=cosα,所以cos(-α)=- ,故4
1.一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存
选:C.
在一个 ,使得对每一个x∈D 都有
【答案】 C
x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫
考点四 三角函数的图象与性质
做周 期 函 数, 叫 做 这 个 函 数 的
(一)正弦函数的图象
周期.
1.将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象不断向
2.如果在周期函数
、 ( f
(x)的所有周期中存在一
左 向右平移 每次移动 个单位长
个 ,那么这个最小正数叫做f(x)
度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R
的图象(如图)
的最小正周期.
.正弦函数的图象叫做
正弦函数 ( )和余弦函数
(sinecurve),是一条“波浪起伏”的连 3. y=sinxx∈R y=
cosx(续光滑曲线. x∈R
)都是周期函数,最小正周期为
2π,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期.
(四)正、余弦函数的奇偶性
正弦函数y=sinx(x∈R)是 函数,图2.五点法:在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象
象关于 对称;
上,描以下五个点: , π,2 1 , 余弦函数y=cosx(x∈R)是 函数,
, 3π,-1 , 再确定图象. 图象关于 对称.2
(五)正弦函数的单调性
(二)余弦函数的图象
π 3π
: π 1.函数y=sinx
,x∈ - , 在区间 -π,1.变换法 将正弦函数的图象向左平移 个单 2 2 22
位长度,就得到余弦函数的图象,如图所示. π 上单调递增,其值从2 -1增大到1;在区
间 π,3π 上单调递减,其值从1减小到2 2
余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做余弦 -1.
— 29 —
2.正弦函数在每一个闭区间 (1)函数y=sin π 图象的一条2+x
上都单调递增,其值从-1增大到1;在
对称轴是 ( )
每一个闭区间 上都单调
, A.x
轴 B.y轴
递减 其值从 减小到 .
(六)余弦函数的单调性 C.直线y=x D.直线x=π2
1.函数y=cosx,x∈[-π,π]在区间[-π,0]
【解析】 由已知y=sin π2+x =cosx,四上单调递增,其值从-1增大到1;在区间
[0,π]上单调递减,其值从1减小到-1. 个选项中只有B选项y轴是其图象的一条
2.余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ] 对称轴,故选:B.
( ) , 【答案】k∈Z 上都单调递增 其值从 增大到 B
;在每一个闭区间 上 (2)已知函数f(x)=2sin ωx+π ( )6 ω>0
都单调递减,其值从 减小到 . 的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离
(七)正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 等于π,则ω的值为 ( )
1.正弦函数当且仅当x= 时,取
A.12 B.1
得最大值1;当且仅当x=-π2+2kπ
,k∈Z
C.2 D.3
时,取得最小值-1. 【解析】 由于f(x)的图象与直线y=2的
2.余弦函数当且仅当x= 时,取得最 两个相邻交点的距离等于π,所以 T=π=
大值1;当且仅当x= 时,取得 2π,ω=2.故选:C.
最小值-1. ω
【
( ) 答案
】
八 正切函数的性质与图象 C
(3)函数y=3cos 2x-π 的严格单调递减3
区间是 .
图象
【解析】 因为y=3cos 2x-π ,令3 2kπ≤
2x-π3≤2kπ+π
,k∈Z,
定义域 x x≠π ,2+kπk∈Z 求得kπ+π6≤x≤kπ+2π,k∈Z,3
值域 R
可 得 函 数 的 严 格 单 调 递 减 区 间 为
周期性 最小正周期:π
kπ+π,kπ+2π ,6 3 k∈Z.奇偶性
单调性 递增区间 -π2+kπ,π+kπ ,k∈Z 故答案为: kπ+π,2 6kπ+2π
,
3 k∈Z.
对称性 对称中心坐标 kπ,0 ,k∈Z 【答案】 kπ+π,kπ+2π 2 ,6 3 k∈Z
— 30 —
考点五 三角恒等变换 (1)sin30°cos60°+cos30°sin60°=
(一)两角差的余弦公式 ( )
公式 cos(α-β)=
A.12 B.
3
简记符号 2
使用条件 α,β为任意角 C.1 D.2
(二)两角和的余弦公式 【解析】 sin30°cos60°+cos30°sin60°=
1.推导方法:在两角差的余弦公式中以-β代替β. sin(30°+60°)=sin90°=1.故选:C.
2.公式: . 【答案】 C
3.简记符号: . (2)已知函数f(x)= 3sin2x+sinxcosx,
4.使用条件:α,β为任意角. π
(三)两角和与差的正弦公式 x∈ 0, ,则f(x)的最大值为 ( ) 2
名称 公式 简记符号 使用条件
A.3 B.12+ 3
两角和 sin(α+β)=
S(α+β) α,β∈R
的正弦 C.1+ 32 D.1+ 3
两角差 sin(α-β)=sinαcosβ
S(α-β) α,β∈R
的正弦 -cosαsinβ 【解析】 f(x)= 3 1-cos2x2 +12sin2x
(四)两角和与差的正切公式
1
名称 公式 简记符号 使用条件 =2sin2x-
3cos2x+ 32 2=sin 2x-π3 +
( ) α,,两角和 tanα+ α+ ≠kπβ = β β 3
T( ) ,
α+ π 因为β 2 x∈ 0
,π , π
2 2x-3∈ -
π,2 ,
的正切 + ,k∈Z 3 3π 2
π
α,β,α-β≠kπ 所以sin 2x- ≤1,则f(x)的最大值为两角差 tan(α-β)= 3
Tα-β
的正切 +π,2k∈Z
1+ 3.故选:2 C.
(五)倍角公式
【答案】 C
名称 公式 记法
(3)已知tanx= 2,则 2sin2x二倍角 1+cos2x= sin2α= S2α
的正弦
二倍角 .
cos2α= = C2α
的余弦 【解析】 因为tanx= 2,
二倍角
tan2α= 2tanα2 T2α 所 以 2sin2x =4sinxcosx的正切 1-tanα 1+cos2x 2 =2tanx=2cosx
(六)辅助角公式 2 2,
asinx+bcosx= 其中 故答案为:2 2.
tan bφ=a . 【答案】 2 2
— 31 —
考点六 函数y=Asin(ωx+φ) 4.单调性:单调递增区间为 -π-φ+2kπ,2ω ω ω
(一)φ,ω,A对y=Asin(ωx+φ)图象的影响
π φ 2kπ ( ),
( ) - + k∈Z 单调递减区间为 π1.φ对函数y=sinx+φ 图象的影响 2ω ω ω 2ω
-φ+2kπ,3πω ω 2ω-
φ+2kπ ( )ω ω k∈Z .
(四)在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>
0,( ) ω>0
)中,各参数的物理意义
2.ω对函数y=sinωx+φ 图象的影响
它是做简谐运动的物体离开平衡
振幅
位置的
它是做简谐运动的物体往复运动
周期
( ) T= 3.A 对函数y=Asinωx+φ 图象的影响 所需要的时间
1 ω 它是做简谐运动的物体在单位时频率 f=T=2π 间内往复运动的
相位 其中
( ) (
为初相
二 正弦曲线y=sinx到函数y=Asinωx+
φ)的图象的变换过程 (1)要得到f(x)=cos x-π 的图2
由函 数 y=sinx 的 图 象 变 换 到y=
象,需将余弦函数图象 (
( )( , )
)
Asinωx+φ A>0ω>0 的图象的两种方法
的图示如下: A.向左平行移动
π个单位长度
2
B.向右平行移动π个单位长度2
C.向左平行移动π个单位长度4
D.向右平行移动π个单位长度4
【解析】 因为函数图象平移左加右减,所以
将余弦函数y=cosx图象向右平行移动π个2
单位长度,得到f(x)=cos x-π 的图象,故2
(三)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
选:B.
1.定义域与值域:定义域为R,值域为 .
【答案】 B
2.周期性:最小正周期T= .
() π
3.对称性:对称中心为 ,对称轴 2将函数y=sin x+ 的图象向右平移π3 6
是 . 个单位长度后,所得图象对应的函数为 ( )
— 32 —
A.y=sin x+π6 B.y=sin x-π 上所有的点向右平行移动π个单位长度即6 3
C.y=cosx D.y=-cosx 可.故选:D.
【答案】 D
【解析】 将函数y=sin x+π 的图象向右3
平移π个单位长度后,所得图象对应的函数 一、单项选择题
6
1.已知点P(tanα,cosα)在第四象限,则角α
为y=sin x-π +π ,即 y=sin x+ 的终边在 ( ) 6 3
A.第一象限 B.第二象限
π
6 .故选:A. C.第三象限 D.第四象限
【 】 2.已知扇形的半径为1
,圆心角为60°,则这个答案 A
扇形的弧长为 ( )
(3)已 知 函 数 f (x)=sin(x +φ)
A.π B.π
| πφ|< 的部分图象如图所示,为了得到 6 32
C.2π D.60
函数y=sinx的图象,只要把y=f(x)的图 3
象上所有的点 ( ) 3.已知cosα=1,则3 sinα
的值为 ( )
A.2 23 B.-
6
3
C.±2 23 D.±
6
3
π 4.为了得到函数 =3sin2x的图象,只需把函A.向左平行移动 个单位长度 y6
数y=3sin 2x+π 图象上所有的点( )4
B.向右平行移动π个单位长度6 A.向左平移π个单位长度4
C.向左平行移动π个单位长度3 B.向右平移π个单位长度4
D.向右平行移动π个单位长度3 C.向左平移π个单位长度8
【解析】 根据题中函数f(x)的部分图象,
D.向右平移π个单位长度8
结合五点法作图可得π
6+φ=
π (
2+2kπk∈ 5.已知函数f(x)= 2cos 3π+x ,则f(x)的2
Z),故 =πφ ( ),又
π,故
3+2kπk∈Z |φ|<2 一个单调递增区间是 ( )
π π3π
=π,所以f(x)=sin x+π , A.0, B. ,φ 为了得到函 2 4 4 3 3
[,] π,3π
数y=sinx的图象,只要把y=f(x)的图象 C.0π D. 2 2
— 33 —
二、填空题 10.设函数f(x)=tan(ωx+φ) ω>0,0<φ<
6.函 数 y=cos2x-4cosx+5 的 值 域 是 π ,已知函数 ()的图象与 轴相邻 . 2 y=fx x
7.函数y=sin 2x+π 的最小正周期 T= 两个 交 点 的 距 离 为π,且 图 象 关 于 点3 2
. M -π,0 对称.求:8
8.已知α, π 1β∈ 0,2 ,cosα= ,7 cos(α+β)= (1)f(x)的解析式;
(2)(x)的单调区间.
-11,则14 sinβ= .
f
三、解答题
9.已知tanα=2,求下列各式的值.
(1)3sinα-5cosα;cosα+2sinα
(2)2sin2α-3cos2α.
11.已知函数f(x)=sin x+π3 sin π-x ,3
x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个6
单位长度后,得到y=g(x)的图象,求y=
g(x)的单调递增区间.
— 34 —
参考答案
第一部分 练考点 突破合格考 又是真命题;C中因为 3+(- 3)=0,所以C是假
命题;D中对于任意一个负数x,都有1x<0
,所以D
第一章 集合与常用逻辑用语
是假命题.故选:B.
考点过关 5.D 因为x≤1不能推出x<1,例如x=1,即充分
考点一 性不成立,A错误;因为x>-1不能推出x2>1,
(一)1.元素 集合 2.确定性 互异性 无序性 例如x=0,即充分性不成立,B错误;因为 x2=x
3.一样的 不能推出x>0,例如x=0,即必要性不成立,C错
(二)属于 a∈A 不属于 a A 误;因为|x|=-x 等价于x≤0,所以p 是q 的充
(三)整数集 实数集 要条件,D正确.故选:D.
(四)1.一一列举 花括号“{}” 2.{x∈A|P(x)} 6.解析:∵集合 M={1+a,a2+a,3},N={a2-3a+
考点二 8,b-3,0},且 M∩N={2},
(一)集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素 ∴2∈M,2∈N.
A B(或B A) 若1+a=2,则a2+a=2,不符合条件;
(二)任何一个 任何一个 A=B A B,且B A 若a2+a=2,则a=1(舍),或a=-2.
(三)存在元素x∈B,且x A ∵2∈N,且a2-3a+8=18,
(四)不含任何元素 子集 非空 ∴b-3=2,解得b=5,
(五)1.A A 2.A C ∴a+b=3.
考点三 答案:3
(一)1.或 A∪B {x|x∈A,或x∈B} 7.解析:U={1,3,5,7},B={1,3,7},则 UB={5},
2.(1)= (2)A (3)B A A={3,5},则A∪( UB)={3,5}.
(二)1.且 A∩B {x|x∈A,且x∈B} 故答案为:{3,5}.
2.(1)= (2)A (3) (4)A 答案:{3,5}
(三)1.所研究问题 2.不属于 8.解析:由 于 命 题“ x∈R,x2+2x+a≤0”是 假
3.(1)U (2)A U 命题,
考点四 则该命题的否定“ x∈R,x2+2x+a>0”是真命
(一)1.p q p q q p 2.充分 必要 题,∴Δ=4-4a<0,解得a>1.
(二)p q 充分必要条件 充要条件 p q 因此,实数a的取值范围是(1,+∞).
考点五 故答案为:(1,+∞).
(一)1.全称 全称量词 2. x∈M,p(x) 答案:(1,+∞)
(二)1.存在 存在量词 2. x∈M,p(x) 9.解:由题意,得A={y|y=x
2+1}={y|y≥1}
(三)1. x∈M,p(x) x∈M p(x) =[1,+∞),
2. x∈M,p(x) x∈M, p(x) B={y|y=x+1}=R.
本章练习 (1)A∩B=[1,+∞)∩R=[1,+∞),
1.C 解方程x2=x,得x=0或x=1,方程x2=x的 (2)A∪B=[1,+∞)∪R=R.
{,} : (3)所有实数根组成的集合为 01 .故选 C. ∵A=
[1,+∞),
2.A 因为U={0,1,2,3,4,5},
( ,),
A={0,1,3},B={2, ∴ RA= -∞ 1
,}, ( ) ( ,) ( ,)35 则A∩( B)={0,1,3}∩{0,1,4}={0,1}. ∴B∩ RA =R∩ -∞ 1 = -∞ 1 .U a b
故选:A. 10.解:(1)若 = (bc≠0)则b2=ac,充分性成立;b c
3.D ∵全集U=R,集合A={x|x-1≤0}={x|x≤ 若a=b=c=0,满足b2=ac,但分式无意义,必要
1},集合B={x|-2
∴图中阴影部分表示的集合为 A∩B={x|-2< 所以p是q 的充分不必要条件.
x≤1}.故选:D.
() k, , ,
4.B A 2 对于反比例函数y= x>0 若k>0 则y随中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命 x
题;B中x=0时,x2=0,所以B既是存在量词命题 x的增大而减小,
— 75 —
反之,若y随x 的增大而减小,则k>0,所以p 是 4.B 300≤x≤600.y=1 22x -300x+80000.∴
y=
q 的充要条件. x
(3)函数图象关于y 轴对称,函数可以是y=x2, 1
2x+
80000-300≥2 1x·80000x 2 x -300=100
,
也可以不是,充分性不成立,
函数y=x2 的图象关于y轴对称,必要性成立,所 当且仅 当1x=80000,即x=400时 等 号 成 立,
以p是q 的必要不充分条件.
2 x
解:() , { }, ∴为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量11. 1 若a=1 则A= x|1由B={x|x<-1或x>3},得 B={x|-1≤ 应为400t.故选:B.R
x≤3}, 5.D 由不等式x
2-5x+6>0,可得(x-2)(x-3)>
则A∩( B)={x|13,所以不等式的解集为{x|x(2)因为A B,当 A= 时,2a-1≥a+5,解得 2或x>3}.故选:D.
a≥6,符合题意; 6.解析:∵1<α<3,∴1<1α<3.
, 2a-12 2 2
当A≠ 时 有① 或② ,2a-1≥3 a+5≤-1 ∵-4<β<2,
解①得2≤a<6,解②得a≤-6, ∴-2<- <4.∴-3<1α- <11β 2 2 β 2.
因为(-∞,-6]∪[2,6)∪[6,+∞)=(-∞,
3 11
-6]∪[2,+∞), 答案: - ,2 2
所以实数a的取值范围(-∞,-6]∪[2,+∞). 7.解 析:∵ 不 等 式 ax2 +bx+2>0 的 解 集 为
第二章 一元二次函数、方程和不等式 x -1考点过关
∴1,1考点一 是2 3 ax
2+bx+2=0的一元二次方程的两
(三)bc a>c a+c>b+c ac>bc ac< 个实数根,
bc a+c>b+d ac>bd
考点二 -1 1 b2 +3=-a
(一)2ab ∴ -1 1 2 ,解得a=-12,b=-2.(二)ab≤a+b 2 ×3=a2 a<0
( )() ()1 2 则不等式2x2+bx+a<0化为2x2三 12 P 2 S -2x-12<0,4
即x2-x-6<0,解得-2考点三
( ) ∴不等式2x
2+bx+a<0的解集为(一 一个 2 -2
,3).
( ) , ( ) { , } 故答案为:( ,)二 x x x x -23 .1 2 1 2 1 2
{ 答案:( ,)x|x1本章练习 8.解析:∵x>1,
1.A P-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0, ∴x+ 1 =x-1+ 1x-1 x-1+1≥2
(x-1)× 1
∴P≥Q.故选:A. x-1
2.B 若c=0,则ac=bc,A错误;由不等式的性质可 +1=3,
得a-c但a2>b2,C错误;若a=1,b=2,满足a ∴x=2时x+ 1 取得最小值x-1 3.
1,D错误.故选:b B. 故答案为:3.
1 答案:33.C 正实数x,y满足x+y=1,由基本不等式得,x
9.解:(1)由题意,-1+4= 1+4 (x+y)=1+4+y +4x 2 2 2 2y x y x y ≥5+
因为-121,所以
2 -1,
2 y·4x=9,当且仅当y=4x,即x=1,x y x y 3 y=
2
3 又a时,等号成立.故选:C. 故a-b的取值范围是(-1,0).
— 76 —
(2)设9a-3b=m(a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a 考点二
-(m+n)b, (一)1. f(x1)f(x2)
m+4n=9 2.增函数或减函数 单调性 区间则 , D解得m=1,n=2.m+n=3 (二)f(x)≤M f(x)≥M f(x0)=M 纵 纵
所以-4≤a-b≤-1,-2≤2(4a-b)≤10, (三)1.f(-x)=f(x) 2.-x∈I f(-x)=-f(x)
则-6≤9a-3b≤9. 3.y轴 4.坐标原点
故9a-3b的取值范围是 -6,9 . 本章练习
10.解:(1)当a=1且b=6时,f(x)=x2-ax-b=x2 1.B 设f(x)=kx+b(k≠0),则
-x-6, 2(2k+b)-3(k+b)=5, k=3,解得则不等式f(x)<0,即为x2-x-6<0 2b-(-k+b)=1. b=-2.
即(x-3)(x+2)<0,解得-2所以f(x)<0的解集为{x|-2(2)因为f(x)
f
<0的解集是{x|-1所以-1,2是方程f(x)=0即x2-ax-b=0的 x-1≥0,解得x≥1且x≠3,所以函数f(x)=两根, x-3≠0
(-1)+2=a , a=1则 解得 , x-1+ 1 的定义域为[1,3)∪(3,+∞).故(-1)×2=-b b=2 x-3
2 :所以x -3bx+5a 选≥0可化为x2-6x+5≥0, C.
由题意得函数 ()在( ,)上为单调增函
即(x-1)(x-5)≥0,解得x≤1或x≥5, 3.C f x -∞ 0
,
所以x2-3bx+5a≥0 数 且的解集为{x|x≤1或x≥ f
(-2)=0,则当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
} 时,f(x)<0;当x∈(-2,0)∪(0,2)时,f(5 . x
)>0,
f(x) x>0, x<0,
11.解:(1)∵x>2,∴x-2>0,∴x+ 4 =x-2+ 所以 >0 或 解 集 为x-2 x f(x)>0 f(x)<0,
4 (-∞,-2)∪(0,2).故选:C.
x-2+2≥2
(x-2)· 4x-2+2=6
,
4.B 由f(x)=x2-1知,函数为开口向上,对称轴
x 4 , x , 为x=0的二次函数
,则单调递增区间是[, )
当且仅当 -2= 即x-2 =4
时 等号成立. 0 +∞ .
故选:B.
∴x+ 4 的最小值为6. 5.B 因为f(x)为偶函数,所以f(2)=f(-2),又当x-2
x<0时,f(x)=x3-2x+1,所以f(-2)=(-2)3
(2)∵00,∴y=4x(3-2x)2 = -2×(-2)+1=-3,所以f(2)=f(-2)=-3.
(
2[2x(3-2x)]≤2 2x+ 3-2x)
2 9 故选:B.,当且仅
2 =2 2 ,
: () x +1x≤06.解析 因为函数fx = ,当2x=3-2x,即x=3时,等号成立.∵0<3 -2x,x>04 4 所有f(0)=0+1=1.
<3, 故答案为:1.2
答案:1
∴y=4x(3-2x) 0x>0时,f(x)=x2-2x,
第三章 函数的概念与性质
则f(-3)=-f(3)=-(32-2×3)=-3.
考点过关 故答案为:-3.
考点一 答案:-3
(一)任意一个数x 对应关系f 唯一确定的数y 8.解析:设矩形花园的宽为ym,
y=f(x),x∈A 定义域 值域 子集 x 40-y
(二) 则
,
定义域 对应关系 值域 40= 40
(三)数学表达式 图象 表格 即y=40-x(0(四)1.a2.(-∞,+∞) <40),
— 77 —
当x=20m时,面积最大. 0,xx >1,0< 11 2 <1,则1-
1 >0,
故答案为:20. x1x2 x1x2
答案:20 所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2) 1- 1 <0,即
9.解:(1)因为f(0)=1,所以c=1,所以f()
xx
x =ax2 1 2
f(, x1
)bx 2
),
+ +1
所以函数f(x)在(1,+∞)上为单调递增函数
又 因 为 f (x + 1)- f (x)
.
= 2x,所 以 (3)函数f(x)在[2 3,6]上为单调递增函数, a(x+1)+b(x+1)+1 -(ax2+bx+1)=2x,
所以2ax+a+b=2x, 所以f(x)max=f(6)=
37,()
6 fx min=f
(3)=10,3
2a=2 a=1所以 ,所以 , 所以函数 ()在区间[,a+b=0 b=-1 fx 36]上的最大值为37,最6
即f(x)=x2-x+1. 小值为10.
2 3
(2)因为f(x)=x2-x+1= x-12 +3,所以4 第四章 幂函数、指数函数与对数函数
f(x)是开口向上,对称轴为x=1的抛物线2 . 考点过关
考点一
因为f(x)在 -1,1 递减,在 1, 递增,2 2 1 (一)y=xα
() 1 3, (二)2.[所以 x = = 0,+∞) {x|x∈R且x≠0} [0,+∞) f min f 2 4 [0,+∞) 递增 递减 增函数 递减 递减
因为f(-1)=1+1+1=3,f(1)=1-1+1=1, 奇 偶 非奇非偶
所以f(x)max=f(-1)=1+1+1=3, 考点二
所以f(x)在[-1,1]上的值域为 3,3 . (一)x n次方根4
:() , ( (二)
n
a 根指数 被开方数10.解 1 设月产量为x 台 则总成本为 20000+
n
100x)元,从而 (三)am 1n 0 没有意义
am
-1 2() 2x +300x-20000,0≤x≤400, (四)1.ar+sx = (a>0,r,s∈Q) 2.ars(f a>0,r,s∈Q)r r60000-100x,x>400. 3.ab(a>0,b>0,r∈Q)
1 (五)实数(2)当0≤x≤400时,f(x)=- (2 x-300
)2+ 考点三
25000, (一)y=ax(a>0,且a≠1) x
所以当x=300时,有最大值25000; (三)R (0,+∞) (0,1) 减函数 增函数
当x>400时,f(x)=60000-100x 是减函数, 考点四
f(x)<60000-100×400<25000. (一)1.a N 2.10 lgN 3.e lnN 4.logaN
所以当x=300时,f(x)的最大值为25000. (三)(1)logaM +logaN (2)logaM -logaN
即每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为 (3)nlogaM
25000元. (四)logb m
x2
a
+a n11.解:(1)由题意知函数f(x)= ,且x f
(1)=2, 考点五
12+a , (=2 a=1. 一
)
故 则 y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞)
1 (二)(0,+∞) R (1,0) 减函数 增函数
2
(2)证明:由(1)知f(x)=x +1 1, (三)y=logx(a>0,且a≠1) 互换x =x+x a
本章练习
任取x1,x2∈(1,+∞)且x1则f(x1)-f(x2)=x
1
1+x -x2-
1
x =x1-x2+ (0,+∞)上单调递增,对应图象①;幂函数y=x
2
1 2
x -x 的定义域为R,且为偶函数,在(0,+∞)上单调递2 1=(x -x ) 1- 1 ,x 1 2 11x2 x1x2 增,对应 图 象 ②;幂 函 数 y=x2 的 定 义 域 为[0,
因为x1,x2∈(1,+∞)且x1— 78 —
对应图象③;幂函数y=x-1的定义域为(-∞,0) 10.解:(1)证明:设任意x1,x2∈(-∞,0)且x1>x2,
∪(0,+∞),且为奇函数,在(0,+∞)上单调递减, 则f(x )-f(x )= 2 +a- 2 -a=
对应图象④;故选:
1 2
A. 3
x1-1 3x2-1
3· 4 3+4 7, ;( 2)3 6, 2 2 2(3x2-3x2.D a a =a =a A错误 -a =-a B 1)
x - = ,
8 8 31-1 3x2-1 (3x1-1)(3x2-1)
错误;当a≥0时,a8=a,当a<0时,a8=-a, 因为x1,x2∈(-∞,0)且x1>x2,所以3x2-3x1<5
C错误; (-π)5=-π,D正确.故选:D. 0,3x2-1<0,3x1-1<0,
x x
3.B ∵y= 1 是减函数,∴原不等式等价于2a 2(32则 -3x1)2 x x <0,也即 (x )- (x )<0,(31-1)(32-1) f 1 f 2
+1>3-2a,即4a>2,∴a>1.故选:B. 所以f(x1)又因为x1>x2,所以函数f(x)在区间(1 2 1 -∞,0)上
4.A 因 为a=43 =23 >23 =b>0,c=log12=3 单调递减.
-log32<0,所以,a>b>c.故选:A. (2)要使函数f(x)= 2x +a有意义,则有3
x-
5.A 由函数f(x)= 1-lgx+lg(x-4), 3-1
1-lgx≥0, 1≠0,
得 x-4>0, 解得4 x>0, 原点对称,
定义域为(4,10].故选:A. 若函数f(x)是奇函数,则f(-x)+f(x)=0,
6.解析:因为0<-x2+2 2≤2 2,所以x=0时, 2 2 2 2·
x
即 x +a+ +a= +a+
3 +a
3-1 3-x-1 3x-1 1-3x
f(x)最大,f(x) 3max=f(0)=log2 2=2. =0,解得:a=1,
3 所以实数 a
的值为1.
答案:-∞,2 11.解:(1)(-x)=ln1+mx -1-mx,
7.解析:当x≤1时,要使f(x)≤2,即2x+2
f
≤2=21, -x-1
=ln 1+x
解得x≤-1; -f(x)=-ln1-mx x-1,
, ( ) , x-1
=ln1-mx
当x>1时 要 使 f x ≤2 即1-log2x≤2,则 ∵
1 1 f
(x)是 奇 函 数,∴f(-x)= -f(x),即
log2x≥-1=log2 ,解得2 x≥
,则
2 x>1. ln-1-mx1+x =ln
-1+x,∴-1-mx= -1+x,1-mx 1+x 1-mx
综上 所 述,满 足 f(x)≤2的 x 的 取 值 范 围 是
解得
( , ] (, ) m=±1.-∞ -1 ∪ 1 +∞ .
答案:(-∞,
1-mx
-1]∪(1,+∞) 当m=1时,x-1=-1
,函数无意义,
8.解析:因为对数函数f(x)=log1x 的在定义域(0,2 ∴m=-1.
+∞)上单调递减,且log1m>log1n,2 2 (2)f(x)在(1,+∞)上是减函数,证明如下:由
∴0故答案为:<.
f(x)=lnx+1: x-1=ln答案 < 1+ 2x-1 .
1
9.解:(1)原式=log35+log 0-log14+2log22 任取1 x1
,x2 满足15 5 5 2
=log35×50 3
则 1+ 2 2
5 14 +log
12=log5 -1=2. x -1 - 1+1 x2-1 2
1 1 -2 = 2 - 2
2(x2-x1)
(2)(0.027)-3 - - +2560.75-|-3|-1+ x -1 x -1=(x -1)(x -1).6 1 2 1 2
∵x2-x1>0,( x -1>0
,x -1>0,
-5.55)0-10(2- 3)-1 1 2
2(1 3 x2-x1)
=[(0.3)3]-3-(-1)-2(6-1)-2+(44)4 -3-1+ ∴( )( )>0,x2-1 x1-1
1- 10
2- 3 ∴1+
2
x -1>1+
2 ,
1 x2-1
= 3
-1
3 1 10(-36+4- +1- 2+ 3) ∴ln 1+ 2 210 3 4-3 x -1 >ln 1+x -1 ,1 2
10 1 即f(x1)>f(x2),=3-3+29-20-10 3=12-10 3. ∴f(x)在(1,+∞)上为减函数.
— 79 —
第五章 函数的应用 BC=x· 2500-x2cm2,又∵0∴06.解析: , , , ,考点一 指数增长为快速增长 因此 y1 y2 y3 中呈指
(一)1.使f(x)=0的实数x 2.f(x)=0 与x轴的 数增长的变量是y2
,
交点的横坐标 3.零点 交点 故答案为:y2.
(二)f(a)f(b)<0 f(c)=0 答案:y2
(三)1.连续不断 f(a)f(b)<0 一分为二 零点 7.解析:由题设可得,f(2)f(3)<0,则在区间[2,3]
2.(1)f(a)f(b)<0 (3)①c就是函数的零点 内至少有一个零点;
②(a,c) ③(c,b) (4)|a-b|<ε 同理f(3)f(4)<0,则在区间[3,4]内至少有一个
考点三 零点;
(一)增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 f(4)f(5)<0,则在区间[4,5]内至少有一个零点;
y轴 x轴 则函数y=f(x)至少有3个零点.
本章练习 故答案为:3.
1.B 因为函数f(x)=lgx+x-4在(0,+∞)上单 答案:3
调递增,则该函数最多只有一 个 零 点,∵f(2)= 8.解析:由题知n年后,每年投入的研发资金为100(1+
lg2-2<0,f(3)=lg3-1<0,f(4)=lg4>0,则 12%)n,令100(1+12%)n=1000,得n=log1.1210
f(3)·f(4)<0.因此,函数f(x)=lgx+x-4的 = 1 ≈20.4,故21年后该公司全年投入的研
零点所在的区间是(3,4).故选:B. lg1.12
2.D 根据题意,由于指数函数的增长是爆炸式增 发资金开始超过1000万元,即2042年.
长,则随着x 越来越大,函数y=26·2x 的函数值 故答案为:2042.
的增长速度最快.故选:D. 答案:2042
3.C 因为函数y=lnx 和y=x 都是(0,+∞)上的 9.解:(1)令x+3=0,解得x x=-3
,
单调增函数,所以函数f(x)为单调递增函数.将表
格中数据按照x从小到大排列如下: 所以函数f(x)=x+3的零点是x -3.
x 0.5 0.5625 0.625 0.75 1 (2)令f(x)=x2+2x+4=0,
由于
() Δ=2
2-4×4=-12<0,
fx -0.193 -0.013 0.155 0.462 1
所以方程x2+2x+4=0无解,
由表格可得:f(0.5625)=-0.013<0,f(0.625) 所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.
=0.155>0.由 函 数 零 点 存 在 性 定 理 可 得:函 数 (3)令2x-3=0,解得x=log23,
f(x)有唯一零点,所在的区间为(0.5625,0.625). 所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
故选:C. (4)令f(x)=1-log3x=0,解得x=3,
4.A 将对应的点(x,y)在坐标系中标出,得: 所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.
10.解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,
f(2)=22+2-4>0.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1.2) x1=1.5 f(x1)=0.33>0
根据图形形状可得,其与指数函数图象最为接近. (1.1.5) x2=1.25 f(x2)=-0.37<0
故选:A. (1.25,, 1.5
) x3=1.375 f(x )=-0.035<05.B 如 图 圆 的 直 径 AC= 3
50cm,矩形的边AB=xcm. (1.375,1.5)x2=1.4375 f(x4)=0.1475>0
∵∠ABC=90°,∴ 由 勾 股 定
, 因为BC= 2500-x2cm, 1.375
与1.4375精确到0.1的近似值都为
理 得
,
∴矩形ABCD 的面积y=AB·
1.4
所以2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.4.
— 80 —
11.解:(1)依题意,n(n∈N*)年后传统汽车年销量 (六)2.-1 1 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 1 -1
axn(a>0,0π
2+2kπ
,k∈Z 2.2kπ,k∈Z π+2kπ,k∈Z
1 (八)奇函数
1 5,2 考点五
1
1 5 (一) cosαcosβ+sinαsinβ C(α-β)所以x的值是 2 . (二)2.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 3.C(α+β)
(2)由(1)知,10年后该地传统汽车的年销量为 (三)sinαcosβ+cosαsinβ
10 · 1
2
a( ), (四)tanα+tanβ tanα-tanax =a 万辆 β2 =4 1-tanαtanβ 1+tanαtanβ
a a 3a (五)( ), 2sinαcosα cos
2α-sin2α 1-2sin2α=2cos2α-1
新能源汽车的年销量为 + 万辆10 50×10=10 (六)a2+b2sin(x+φ)
显然3a a, 考点六
10>4 (一)1.左 右10 3.A所以预计 年后该地新能源汽车的年销量能超
2π kπ-
过传统汽车的年销量. (三)1.[-A,A] 2.ω 3. φ,ω 0 ,k∈Z
第六章 三角函数 x=kπ+π-2φ,ω 2ω k∈Z
考点过关
(四)A 最大距离 2π考点一 一次 次数ω ωx+φ φ
(一)1.一条射线 端点旋转 本章练习
2.逆时针 顺时针方向旋转 任何旋转 tanα>0,
(二)原点 x轴的非负半轴 终边 不属于 1.C 因为点P 在第四象限,所以有 由此cosα<0,
(三){β|β=α+k·360°,k∈Z} 整数个周角 可判断角α的终边在第三象限.故选:C.
(四)1.1 1° 度 半径长 弧度360 2.B 易知60°=
π,由扇形弧长公式可得
3 l=
π
3×1
2.正数 负数 0 l 3.2π 360° π 180° =πr .故选:3 B.
4.一一对应 唯一 唯一
3.C 因为cosα=1,所以1 3 sina=± 1-cos
2α=
(五)
2lR 1 2 2
考点二 ± 1-9=±
,故选:
3 C.
(一)1.(1)纵坐标y sinα (2)横坐标x (3)比值
4.D y=3sin 2x+π =3sin 2 x+π ,将函数y 三角函数 4 8 y=
x 2. sinx
( ) 3sin2x
的图象向左平移π个单位长度得到函数 =
三 相等 sinα cosα tanα 8 y
(四)3.平方和 正切 3sin 2x+π 的图象,故将函数y=3sin考点三 4 2x+
π 的4
(一)-sinα -cosα tanα -sinα cosα 图象向右平移π个单位长度,得到函数
8 y=3sin2x
-tanα sinα -cosα -tanα 同名 锐角
的图象.故选:( D.二)1.cosα cosα sinα -sinα 2.余 正
3.偶数 奇数 5.A 函数f(x)= 2cos 3π2+x = 2sinx,由正弦
考点四
(一) 正弦曲线 (,) (,) ( ,) 函数的性质知,函数f(x)在 π,3π 、[,]1.2π 2.00 π0 2π0 4 4 0π 上都
(二)2.(-π,-1) (0,1) (π,-1) 不单调,在 π,3π 上单调递减,即选项 都不
(三)1.非零常数T f(x+T)=f(x) 非零常数T 2 2 BCD
2.最小正数 是,函 数 f(x)在 0,π 上 单 调 递 增,2 A 是.故(四)奇 原点 偶 y轴
选:A.
(五)2. -π2+2kπ,π2+2kπ (k∈Z) 6.解析:令t=cosx,由于x∈R,故-1≤t≤1,
π 3π y=t
2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cosx=
2kπ+ ,2 2kπ+ (2 k∈Z) 1 -1 -1时,
— 81 —
函数有最大值10;当t=1,即cosx=1时,函数有 11.解:(1)由题意有,f(x)=sinx+π π
最小值2.所以该函数的值域是[2,10]. 3 sin 3-x =
答案:[2,10] sinxcosπ3+cosxsinπ3 sinπ3cosx-cosπ3
7.解析:根据正余弦函数的周期公式T=2π可知:ω sinx
函数y=sin 2x+π 的最小正周期 2π ,3 T=2=π = 12sinx+ 32cosx 32cosx-12sinx
故答案为:π.
答案:π =34cos
2x-14sin
2x,
8.解析:因为cosα=1,α∈ 0,π ,故sinα=4 3, 结 合 二 倍 角 公 式 cos2x =cos2x+1 27 2 7 ,2 sinx
而 πβ∈ 0, ,故 (,),而 ( ) 1-cos2x2 α+β∈ 0π cosα+β = = ,2
-11,故sin(α+ )=5 3, 有f(x)=3×cos2x+1-1×1-cos2x14 β 14 4 2 4 2 =
所以sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+β)cosα- cos2x+1,
cos(α+β)sinα 2 4
=5 3×1 11 4 3 3
又T=2π且+ × = . ω ω=2
,
14 7 14 7 2
3 因此T=
2π=2πω 2=π.故答案为:
2.
(2)由题意y=g(x)=1cos 2 x-π答案:3 2 6 +
1
4=
2 1
3sinα-5cosα 3tanα-5 3×2-5 1 2cos 2x-π +1,9.解:(1) 3 4cosα+2sinα=1+2tanα=1+2×2=5. 又余弦函数y=cost的单调增区间为[-π+2kπ,
2 2 2
(2)2sin2α-3cos2α=2sinα-3cosα=2tanα-32 2 2 = 2kπ](k∈Z),sinα+cosα tanα+1
2×22-3 依题意有-π+2kπ≤2x-
π
3≤2kπ
,(k∈Z),
2 =1.2+1 π π
10.解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T= 解得-3+kπ≤x≤6+kπ
,(k∈Z),
π,即 π π
2 |ω|=2. 因此y=g(x)的单调递增区间为 -π+kπ,π3 6+
因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ). kπ (k∈Z).
因为函数y=f(x)的图象关 于 点 M -π,8 0
, 第二部分 练模块 直通合格考对称
所以2× -π + =kπφ ,k∈Z,即φ=kπ+π, 必修第一册 综合检测卷8 2 2 2
k 1∈Z. 31.B 23= 2.
因为0< πφ< ,所以φ=
π,故f(x)=tan 2x+π . 2.A 因为α=45°,所以α是第一象限角.2 4 4 3.B x-1>0,x>1,所 以f(x)的 定 义 域 为(1,
(2)令-π2+kπ<2x+
π
4<
π
2+kπ
,k∈Z, +∞).
4.C 因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以
得-3π4+kπ<2x<
π
4+kπ
,k∈Z, UA={3,4,5}.
即-3π+kππ
2×2=π.8 2 8 2
6.A 由于a>b,所以-a<-b,A选项正确.a=1,
所以函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 -3π+kπ,π8 2 8+ b=-1,a2=b2,|a|=|b|,BD选项错误.a=2,b=
kπ ,
2 k∈Z,无单调递减区间. 1,1a<1,C选项错误b .
— 82 —
7.A 由题意知:函数y=f(x)的定义域为{1,2,3, 3x-2,x<2
函数 () ,(
,,} 17.B fx = (2 ), fa)=3,456 . log3 x -1 x≥2
8.C 由图象可知,当x=9时,y=3,故f(9)=3. 当a<2时,3a-2=3,解得a=3,舍去;当a≥2时,
9.A 当a>b:若a,b异号,即a>0>b,显然 a >b log3(a2-1)=3,解得a=±2 7,a=-2 7舍掉,
成立;若a>b≥0或0≥a>b,均有 a >b成立;所 所以a=2 7.
以充分性成立;当 a >b:若a=-2,b=1,显然
a>b 不 成 立,故 必 要 性 不 成 立.所 以“a>b”是 18.B 将函数f(x)=2sin 2x+2π 向右平移π3 -1 6
“a >b”的充分不必要条件.
个单位长度得到函数g(x)=2sin2x+π1 1 1 1 -1,
10.A ∵x2-x-2= 5,∴ x2-x-2 2=5,则x- 3
由 π, ,得 π π, π ,
2+1x=5
,即x+1x=7.
x∈ -4 m 2x+3∈ -6 2m+3
11.B ∵角α的终边经过点P(-1,3),∴tanα= 由g(x)∈[-2,1],得sin 2x+π ∈ -1,3 2 1 ,
-3.
所以π≤2m+π≤7πx ,所以m∈ π,5π .
12.A 函 数f(x)=3x - 1 的 定 义 域 为 R,且 2 3 6 1212 3 19.解析:由全称命题的否定是特称命题,所以命题
-x x
( ) -x 1 x 1 x p: x∈R,x2f -x =3 - =-3+ =- 3- ≠x 的 否 定 形 式 为 p: x∈R,3 3 x2=x.
1 x =-f(x),即函数f(x)是奇函数,又3 y= 答案: x∈R,x2=x
1 x 20.解析:因为a,b>0,所以 2a+3b=4≥2 2a
·3b,
3x,y=- 在 R都是单调递增函数,故函数3 解得ab≤2,当且仅当a=1,b=2时,等号成立.
f(x)在R上是增函数. 3 3
2
13.C 函数f(x)=1- 1 的图象,
答案:
是将函数
x+1 y= 3
21.解析:因为1 f
(x)=x2+2,所以f(1)=12+2=3.
- 先向左平移1个单位,再向上平移1个单位x 答案:3
1 22.解析:由3-2x-x
2>0得-3得到;又由于函数y=- 图象关于原点中心对x g(x)的定义域为(-3,1),设t=3-2x-x2,则抛
1 物线开口向下,对称轴为, () ( ,) x=-1
,∵y=log2x 在称 所以fx =1- 图象关于 -11 中心对x+1 定义域内单调递增,∴要求函数g(x)=log2(3-
称,所以C正确. 2x-x2)的单调递增区间,等价求t=3-2x-x2
14.A 由题意知,x2-4x+3<0 (x-1)(x-3)<0 的递增区间,∵t=3-2x-x2 的递增区间是(-3,
所以原不等式的解集为{x|115.C 对于A,y=f(x)=cosx,则f(-x)=cos(-x) 答案:(-3,-1](或(-3,-1))
=cosx,所以函数y=f(x)=cosx 为偶函数,故 23.解:(1)M={x|(x+3)2≤0}={-3},
A错误;对于B,y=f(x)=|x|+1,则f(-x)= N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
|-x|+1=|x|+1,所以函数为y=f(x)=|x| ∴ IM={x|x∈R,且x≠-3},
+1为偶函数,故B错误;对于C,y=f(x)=x3, ∴( IM)∩N={2}.
则f(-x)=-x3=-f(x),所以函数y=f(x)= (2)A=( IM)∩N={2},
x3 为 奇 函 数,故 C 正 确;对 于 D,y=f(x)= ∵A∪B=A,∴B A,∴B= 或B={2}.
log2x,定义域为(0,+∞),所以函数y=f(x)= 当B= 时,a-1>5-a,得a>3;
log2x不具有奇偶性,故D错误.
,
当B={} , a-1=22 时 解得, a=3.5-a=2
16.D 因为正实数x、y满足x+2y=2,所以1 2x+y= 综上所述,所求a的取值范围为{a|a≥3}.
1 1 2 1 2y 2x 1 24.解:(1)方法一 ∵f(-x)=ka
-x-ax,-
( ) f
(x)=
2 x+y x+2y =2 5+x+y ≥2 5+ -kax+a-x,又f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x)
2y 2x 9 2y 2x 2 恒成立,2 · = ,当且仅当 = ,即x y 2 x y x=y=3 k=1,, ∴ 解得, k=1.时 等号成立. -1=-k
— 83 —
方法二 ∵f(x)是定义域为R的奇函数, 2.(1)方向 → → AB AB AB
∴f(0)=0, →3.(1)长度 |AB| (2)0 (3)1个单位长度
∴k-1=0,∴k=1. (二)1.相同 相反 共线向量 平行 0∥a
(2)∵f(1)=a-1 ,又a>0 a>0
,且a≠1,∴a>1. 2.相等 相同
x, 考点二∵y=a y=-a-x都是R上的增函数,
(一) 和 a A→C A→C 三角形 O→∴f(x)是R上的增函数. 1. 2. C
∵f(x2+2x)+f(4-x2)>0, 平行四边形
∴f(x2+2x)>-f(4-x2), (二)相反向量 B
→
A 终点 终点
∴f(x2+2x)>f(x2-4), (三)向量 相同 0 相反
∴x2+2x>x2-4,∴x>-2. (四)b=λa 非零向量
∴f(x)在R上单调递增,且不等式的解集为{x|x> (五)1.|a||b|cosθ 0
-2}. 考点三
25.解:(1)由题意,函数f(x)=log2(2-x)-log(x (2 一)不共线 λ1e1+λ2e2 基底
2-x>0 (二)1.垂直 2.(1)相同 单位 基底
(2)一对
+2)有意义,则满足 ,
x+2>0 (x,y) x y
解得-22). (四)(λx,λy) 相应坐标
(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-2,2),关于 (五)x1y2-x2y1=0
原点对称, (七)x1x2+y1y2 x2 2 2 21+y1 x1+y1
又由f(-x)=log2(2+x)-log2(-x+2)= (x1-x2)2+(y -y )21 2 x1x2+y1y2
-[log2(2-x)-log2(x+2)]=-f(x), x1x2+y1y2
即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是定义域 x2+y2 x2+y2
( 1 1 2 2-2,2)上的奇函数. 考点四
(3)由f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)=log
2-x
2 (1)向量问题x+2
(2)向量运算 (3)翻译
考点五
由f(x)2 2 2 2
2-x 1 2abcosC 减去 b +c-a c+a
2-b2
即log2x+2(ax)在x∈ , 上恒成立,2 1 2bc 2ac
2-x 1 a
2+b2-c2
即
x+2在x∈ ,1 上 恒 成 立,即ax22 + 2ab
(2a+1)x-2>0在x∈ 1,1 上恒成立, (二)正弦
a b c
2 sinA
sinB sinC
即函数h(x)=ax2+(2a+1)x-2>0在x∈ (三)解三角形
1
本章练习
,1 上恒成立,2 1.A 因为相等向量是指长度相等且方向相同的向
→ →
又因为a>0,则函数h(x)的对称轴x=-2a+1 量,O 为正六边形ABCDEF 的中心,所以DO与OA2a 模相等求且方向相同,所以是相等向量,A正确;
=-1-12a<0
, E→O → → →与OA只是模相等的向量,B错误;FO与OA只是
→ →
则只需h 1 =5a-3>0, 6, 模相等的向量,C错误;CO与OA只是模相等的向解得2 4 2 a>5 量,D错误.故选:A.
2 2 2
即实数a的取值范围是 6,+∞ . 2.C 由余弦定理得,cosA=b +c-a =1+1-35 2bc 2
第七章 平面向量及其应用 =-1,又 (,),所以 2π 故选:2 A∈ 0π A=3. C.
考点过关 3.D ∵a⊥b,∴a·b=0,即2x+3×1=0,解得x=
考点一 3
( ) () () - ,故选:一 1.1 大小 方向 2 方向 2 D.
— 84 —
4.C 以 A 为坐标原点建立如图 (2)a+kc=(3,2)+k(4,1)=(4k+3,k+2),
所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系,设 2b-c=(-2,4)-(4,1)=(-6,3),
E(x,0),0≤x≤1.因 为 M 1, 因为向量a+kc 与向量2b-c共线,所以-6(k+
2)=3(4k+3),
1 , ( →
2 C 1,1),所 以 EM = 解得k=-76.
1-x,1 ,E→C → →=(1-x,1),所 以EM ·EC= 10.解:(1)证明:因为2 A(2,1),B(3,2),D(-1,4),→
1 1 所以AB=(1,1),A
→D=(-3,2 3).1-x, ·(1-x,2 1
)=(1-x)+2.
因为0≤x
A→B·A→D=1×(-3)+1×3=0,
→ →
≤1,所以1≤(1-x)2+1 3,即 · 的取 → →2 2≤2 EM EC 所以AB⊥AD,所以AB⊥AD.
→ →
1,3
()
: 2
因为AB⊥AD,四边形ABCD 为矩形,
值范围是
2 2 .
故选 C.
A→B →所以 =DC.
5.C 因为向量a=(2,0),a-b=(3,1),设b=(x, →
设点 的坐标为(,),则 ( , )
), 2-x=3. x=-1,
C xy DC= x+1y-4 .
y 则 解得 所以 ( , ),
0-y=1, y=-1, b= -1 -1 → (,), x+1=1. x=0.又因为AB= 11 所以 解得
· ,a b=(2,0)·(-1,-1)=-2,A错;2×(-1)≠ y-4=1 y=5.→
0×(-1),B错;a+b=(1,-1),b·(a+b)=-1 所以点C 的坐标为(0,5).所以AC=(-2,4).
×1+(-1)×(-1)=0,所以b⊥(a+b),C正确; 又B→D=(-4,2),
|a|=2≠|b|= 10,D错.故选:C. A→ →所以| C|=2 5,|BD|=2 5,
6.解析:a+b=(m+1,-3)+(1,m-1)=(m+2, A→C·B→D=8+8=16.
m-4), →
设 与
( AC BD
→
的夹角为θ,
a-b= m+1,-3)-(1,m-1)=(m,-2-m), → →
因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0, AC·BD则cosθ= = 16 =4→ → 5.即(m+2,m-4)·(m,-m-2)=0, |AC||BD| 2 5×2 5
所以m2+2m-m2+2m+8=0,解得m=-2. 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦
答案:-2 值为4
· 5
.
7.解析:m,n 夹角余弦值cos= m nm · n = 11.解:(1)在△ABC 中,由a2=b2+c2-bc及余弦定
-2 2 b
2+c2-a2 1
2×2=-
2,又>∈ 0,π ,所以= 理得cosA= ,而2bc =2 0,
3π,即m,n夹角为3π.故答案为:3π. 所以A=
π
4 4 4 3
.
3π (2)由b=2,c=3及a
2=b2+c2-bc,得a2=22+
答案:
4 32-2×3=7,
8.解析:因 为bcosC+ccosB=2b,由 正 弦 定 理,得 所以a= 7.
sinBcosC+sinCcosB=2sinB,故sin(B+C)= (3)由a2=b2+c2-bc及a2=bc,得(b-c)2=0,则
2sinB.
, b=c,由(1)知因为A+B+C=π 所以sinA=2sinB. A=
π,
3
所以 为正三角形
由正弦定理得a=2b,即ab=2.
△ABC .
: 第八章 复数答案 2
9.解:(1)a-b=(4,0),b+c=(3,3), 考点过关
则 a-b =4,b+c =3 2,(a-b)·(b+c) 考点一
=12, (一)1.(1)虚数单位 实部 虚部 (2)z
2.(1)全体复数
所以cos< , >
(
a-bb+c = a-b
)·(b+c)= 2,a-b b+c 2 (二)a=c b=d
(四)实轴 虚轴 原点
因为∈ 0,π ,所以=π4. (五)1.复平面内的点Z(a,b) 2.同一个
— 85 —
(六)|z| |a+bi| 9.解:(1)由于四边形ABCD →是平行四边形,所以AC
(七)相等 相反数 → →=AB+AD, → → →于是AD=AC-AB,而(1+4i)-(3+
考点二 →
( ) ( ) ,即 对应的复数是一 1.① a+c)+(b+d)i ②(a-c)+(b-d)i 2i=-2+2i AD -2+2i.→
2.①z +z ②z +(z +z) (2)由于DB A
→B A→= - D,而(3+2i)-(-2+2i)=
2 1 1 2 3
(三)1.(ac-bd)+(ad+bc) , D→5 即 B对应的复数是5.
2.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3 (3)A→B=( →3,2),AC=(1,4),
本章练习
A→B·A→C
1.C 复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数,则 cos∠BAC= → →
x2+2x-3=0且x-1≠0,解得x=-3,故x= |AB|·|AC|
-3 复数z为纯虚数.故选:C. = 11
221
2.D 由图可知z=3+i,所以复数 z 3+i1+i=1+i sin∠BAC= 10
(
= 3+i
)(1-i)=4-2i
221
( )( ) =2-i表示的点是 Q(,1+i 1-i 2 2 →
∴S 1 → |AC|) : △ABP= |AB|
· ·
2 2 sin∠BAC=
5.
-1 .故选 D. 2
3.C 由已知得(logx)2+(-4)2≥32+421 ,∴(log 21x) 10.解:(1)∵z=(m
2-1)+(m2-m-2)i,且z 是
2 2
实数,
≥9.∴log1x≥3或log1x≤-3.∴x∈ 0,1 ∪2 2 8 ∴m2-m-2=0,
[8,+∞).故选:C. 解得m=-1或m=2.
3-i (3-i)(1-i) 2-4i (2)∵z是纯虚数,4.D 方法一 因为z=1+i=(1+i)(1-i)= 2 m2-1=0
∴ ,2
=1-2i,所以|z|= 12+(-2)2= 5. m -m-2≠0
解得m=1.
方法二 |z|=|3-i| 10 故选:|1+i|= = 5. D.2 (3)∵z在复平面内对应的点在第四象限,
2
5.D 因为复数z=1+i2+i3+i4=1+(-1)+(-i) m -1>0∴ ,2
+1=1-i,所以z在复平面内对应的点位于第四 m -m-2<0
解得
象限,故选:D. 1: ( ) , 11.解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数6.解析 由 1+iz=2+i
( )( ) z的共轭复数为2+i 2+i 1-i 3 1 -2-4i.得z=1+i=( )( )= - i
,
1+i 1-i 2 2 (2)ω=-2+(4+a)i,复数ω 对应向量为(-2,4
3 1 +a),其模为 4+(4+a)2= 20+8a+a2所以z= + i, .2 2 又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2 5.由
其在复平面内对应的点为 3,1 ,位于第一象限. 复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的2 2
模得,20+8a+a2≤20,a2: +8a≤0
,a(a+8)≤0,
故答案为 一.
所以,实数a的取值范围是[-8,0].
答案:一
7.解析:方程有实根,不妨设其一根为x ,设 m=ai, 第九章 立体几何初步0
代入方程得x20+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0, 考点过关
化简得,(2x0+1)i+x20+x0+3a=0, 考点一
2x +1=0, (一)1.形状 大小 空间图形 2.平面多边形 0
∴ 解得2 a=1, 1x 12 ∴m=12i. 多边形 公共边 棱与棱 一条定直线 曲面 0+x0+3a=0,
封闭 这条定直线
答案:1
12i (二)(1)平行 (2)四边形 (3)平行 垂直 不垂直
正多边形 直 平行四边形
8.解析:设z=bi(b∈R,b≠0),则z+2=bi+21-i 1-i (1)多边形 (2)公共顶点 正多边形 垂直
(bi+2)(1+i) 2-b+(b+2)i 2-b (三)矩形的一边所在直线 垂直 平行 平行 = (1-i)(1+i)= 2 = 2 +
b+2
2 i 圆柱O'O 直角三角形的一条直角边 圆锥SO
是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i. 圆锥底面 圆台 O'O 直径所在直线 球心
答案:-2i 半径 球O
— 86 —
(四)1.45° 135° 水平面 2.x'轴 y'轴 3.保持 ∵A1O 平面A1DO,∴A1O∥平面B1CD1.
原长度不变 一半 故选:B.
考点二 4.D 若a∥α,a β,则α,β不一定平行,还可以相交,
(一)1.侧面展开图 2.侧面积 底面积 A错误;若a⊥α,a⊥β,则α∥β,B错误;若a∥α,
(二)底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 a∥β,则α,β不一定平行,还可以相交,C错误;若
(三)2πr(r+l) πr2h πr(r+l) π(r'2+r2+r'l+rl) a∥α,a⊥β,则必存在直线b α,且b∥a,而a⊥β,
3
(四)4πR
3 4πR
2 所以b⊥β,所以α⊥β,故D正确.故选:D.
5.A 如图,连接AC 交BD 于O,在△CC1A 中,易证考点三
( ) OE∥CA
,
一 ∈ ∈ l∩m=A α∩β=l
1
(二)不在一条直线上 有且只有 两个点 l α
公共直线 α∩β=l,且P∈l
(三)1.(1)任何一个 2.相交直线 平行直线
异面直线
(四)无数个 一个 没有
(五)没有公共点 无数
平面
考点四 ∴C1A∥ BDE.
(一)1.(1)平行 传递性 2.相等或互补 ∴直线AC1 与平面BED 的距离即为点A 到平面
(二)1.平面外 平行 2. BED 的距离,设为h,在三棱锥E-ABD 中,
(三)1.平行 V 1 1 1E-ABD =3S△ABD ×EC=( ) 3
× 2 ×2×2× 2
四 1.相交直线
(五)1.相交 平行 =2 23 .
考点五
(二)1.(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面 在三 棱 锥 A-BDE 中,BD=2 2,BE= 6,DE
垂足 (3)l⊥α 2.(1)两条相交直线 = 6,
(3)a α,b α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b S 1△EBD= ×2 2× 6-2=2 2.
(三)(2)①棱 ②面 (6)0°≤α≤180° 2
(四)1.直二面角 4.垂线 ∴VA-BED=
1S 1 223 △EBD×h= ×22×h=
,h=1.
(五)1.一个平面内 交线 垂直 3 3
本章练习 故选:A.
1.A 设正方体的棱长为a,球的半径为r,则6a2= 6.解析:如图,取AD 的中点P,连
接PM,PN,
54,∴a=3.又∵2r= 3a.∴r= 3a=3 3,2 ∴S表 = 则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN
2 27 即为异面直线AC 与BD 所成4πr =4π×4=27π.
故选:A.
的角,
2.C 根据斜二测画法可知,平面四边形ABCD 是一 1
个长为4,
, ,
宽为8的矩形,所以四边形 ABCD 的实 ∴∠MPN=90°PN=2AC=4
际周长为4+8+4+8=24.故选:C. PM=1BD=3,由勾股定理得 MN=5.
3.B ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点O 是四边 2
形ABCD 的中心, 答案:5
7.解析:设底面半径为r,由题意可知2πr=π×2,解
得:r=1,
圆锥的高h= 22-12= 3,
所以圆锥的体积V=13πr
2h= 3π3 .
∴A1D∥B1C,OD∥B1D1, 故答案为:
3π
3 .
∵A1D∩DO=D,B1D1∩B1C=B1,
∴平面A1DO∥平面B1CD1, 答案:
3π
3
— 87 —
8.解析:如图,取BD 的中点F, 因 为 E 为 AP 的 中 点,所 以
连接EF,D1F.∵E 为BC 的 EH∥PC,
中点, 因为EH 平面BDE,PC 平
∴EF 为△BCD 的中位线, 面BDE,
则EF∥DC,且EF=1CD. 所以PC∥平面BDE.2 (2)因为 AB=2,AP=4,底面
∵G 为C1D1 的中点, ABCD 是 正 方 形,PA⊥平 面
∴D1G∥CD 且D1G=
1
2CD
, ABCD,
∴EF∥D1G 且EF=D 1 1 11G, 所以VP-ABD=3S△ABD
·PA= × ×2×2×4
∴四边形EFD1G 为平行四边形,
3 2
∴DF∥EG, =81 ,3
而D1F 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1, 1
∴EG∥平面BDD 因为 为1B1. E AP 的中点,所以VP-BDE =2VP-ABD =
答案:EG//平面BDD1B1 1 8 4
9.解:(1)如图, 2×3=3.
第十章 统计
考点过关
考点一
(一)1.相等 相等 放回 不放回 简单随机抽样
抽签法 随机数法
正四棱台斜高h'=6-4 , 2. 2 ÷cos60°=2m (二)1.编号 号签 不透明 不放回
正四棱台侧面积S=4× 1( ) 2, 2.编号 随机数 样本2 4+6 ×2 =40m
2 2 2 (三)1.属于且仅属于 简单随机抽样 总样本S =40+4+6=92m . 表
(2)如图, 子总体 比例 2.m n m+nM N M+N
考点二
(一)1.(1)极差 (2)组距 组数 多 等长 取整
(3) ()
第 组频数 频率
分组 4 频率分布 i样本容量 (5)组距
疏密 2.频率 面积 1
h=6 2-4 2·tan60°= 6, ( )正四棱台的高 二 1.比例 频数 频率 2.离散型 连续型2 (三)1.p% (100-p)% 2.小 大 n×p%
V=1(2 2 2 2) 76 6( 3) 第j项 平均数3 4+6+ 4×6 × 6= 3 m . n n
10.解:(1)因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD, (四)
1
nΣxi Σfixii=1 i=1
所以BD⊥PA, (五)中间 相等
又平面ABCD 为菱形,所以BD⊥AC, (六)最多 中点
又PA∩AC=A,PA、AC 平面PAC, 1 n 2 2
所以BD⊥平面PAC. (七)n∑xi-xi=1
(2)E 为PD 的中点,设AC (八)差
与BD 交于点O,连接OE, 本章练习
则OE∥PB,又 OE 平面 1.B 前3个数据的和为3a,后7个数据的和为7b,
AEC,PB 平面AEC, 样本平均数为10个数据的和除以10.故选:B.
所以PB∥平面AEC. 2.B 依题意,从三所中学抽取80名学生,应从C 学
11.解:(1)连接AC 交BD 于点H,连接EH,
因为底面ABCD 是正方形, 校 抽 取 的 人 数 为 80×
320 故
400+560+320=20.
所以 H 为AC 的中点, 选:B.
— 88 —
3.C 10x ,10x ,…,10x 的方差为1021 2 n ×0.01=1.
故选:C.
4.D 这组数据共有15个,众数是数据中出现次数最
多的数,即98;因为75%×15=11.25,所以第75
百分数为数据的第12位数,即98.故选:D.
5.D 平均数
a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710 =
14.7,中位数b=15+15=15,众数c=17,故2 c>b 阴影部分的面积为0.004×100+0.001×100=
>a.故选:D. 0.5.
6.解析:根 据 统 计 图,得 高 一 人 数 为3000×32% (3)由分层抽样的性质,知在[400,500)内应抽取
=960, 5× 0.4 =4.
捐款960×15=14400(元); 0.4+0.1
, 10.解
:(1)由题可得,乙的平均得分为
高二人数为3000×33%=990
( ); 6+9+8+5+7+6+7+8捐款990×13=12870 元 =7,8
高三人数为3000×35%=1050, 方差为:
捐款1050×10=10500(元); 1[(6-7)2+( )2 (所以该校学生共捐款14400+12870+10500= 8 9-7 + 8-7
)2+(5-7)2+(7-
37770(元). 7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2]=1.5.
故捐款的平均数为37770÷3000=12.59≈13(元). (2)∵数据10,8,x,8,7,9,6,8的平均数为8,
答案:13 则有x=8×8-(10+8+8+7+9+6+8)=8,
7.解析:∵数据x ,x ,…,x 的平均数为6, 将得分按照从小到大的顺序排列为:1 2 8 6,7,8,8,8,
∴数据3x1-5,3x2-5,…,3x8-5的平均数a=3 8,9,10,
×6-5=13, ∵8×75%=6,
∵数据x1,x2,…,x8 的方差为4, ∴第75百分位数为8+9 ,2 =8.5
∴数据3x1-5,3x2-5,…,3x8-5的方差b=32× 即这组数据的第75百分位数是8.5.
4=36, 11.解:(1)根据频率分布直方图可知,各组频率依次
∴a+b=13+36=49. 为0.005×2=0.01,0.055×2=0.11,0.09×2=
故答案为:49. 0.18,0.15×2=0.3,2a,0.08×2=0.16,0.015×
答案:49 2=0.03,0.005×2=0.01,
8.解析:依 题 意,10(0.020+0.024+0.036+x+ 所以0.01+0.11+0.18+0.3+2a+0.16+0.03
0.008)=1,得x=0.012, +0.01=1,
所以成绩在 80,90 的人数为50×0.0120.020=30.
解得a=0.1;
因为[8,10)组频率最高,所以样本众数为9千步;
故答案为:30. 步数小于8的频率为0.01+0.11+0.18=0.3,步
答案:30 数小于10的频率为0.01+0.11+0.18+0.3=
9.解:(1)由题意可知0.1=A×100,所以A=0.001. 0.6,所以中位数在(8,10)之间,记为x,
(2) 则0.01+0.11+0.18+0.15(x-8)=0.5,
使用 [100,[200,[300,[400,[500,[600, 解得x=28,
寿命 200) 300) 400) 500) 600) 700] 3
所以中位数为28千步;
频数 20 30 40 80 20 10 3
平均数为0.01×3+0.11×5+0.18×7+0.3×9
频率 0.1 0.15 0.2 0.4 0.1 0.05 +0.2×11+0.16×13+0.03×15+0.01×17=
9.44,
补全后的频率分布直方图如图所示, 所以平均数为9.44千步.
— 89 —
(2)由表可知,大于或等于13000步的学生频率 2.B 因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为1,1,
为0.16
3 4
2 +0.03+0.01=0.12
,
1,所以他们不去北京旅游的概率分别为2,3,
将频率看作概率, 5 3 4
则全校每天获得加分的人数约为3000×0.12= 4,故至少有1人去北京旅游的概率为5 1-
2
3×
3
( ), 4360 人
4 3
所以估计全校每天获得加分的人数为360. × = .故选:5 5 B.
12.解:(1)甲的极差为103-98=5,乙的极差为102 3.B 记三件正品为a,b,c、一件次品为d,随机取出
-99=3. 两件的基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,
x =1(99+100+98+100+100+103)=100, d),(甲 c,d),共6个,其中取出的产品全是正品的基6
本事件有(a,b),(a,c),(b,c)共3个,故所求概率P
x 1乙 = (6 99+100+102+99+100+100
)=100,
=36=
1 故选:
2. B.
s2 1甲 = [(6 99-100
)2+(100-100)2+(98-100)2 4.D 游戏1中,取2个球的所有可能情况为:(黑1,
+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2] 黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(黑1,白),(黑2,
7 白),(黑3,白),所以甲胜的可能性为0.5,故游戏= ,3 是公平的;游戏2中,显然甲胜的可能性为0.5,游戏
s2 =1[(99-100)2+(100-100)2+(102- 是公平的;游戏3中,取2个球的所有可能情况为:乙 6 (黑1,黑2),(黑1,白1),(黑2,白1),(黑1,白2),
100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-
100)2]=1. (黑2,白2),(白1,白2),所以甲胜的可能性为
1,
3
(2)由(1)知x甲 =x 2乙,比较它们的方差,因为s甲> 游戏是不公平的.故选:D.
s2乙,所以乙机床加工零件的质量更稳定. 5.B 击中的环数不小于8的 频 率 为12+13+860 =
第十一章 概率 0.55,因此估计相应概率为0.55.故选:B
考点过关 6.解析:由互斥事件的定义可知①④是互斥事件.
考点一 答案:①④
(一)1.随机现象 2.相同条件下 明确可知 恰好 7.解析:20组 数 据 中,334,221,433,315,142,331,
出现这些可能结果中的一个 3.基本结果 样本 423,212,121,231,312,324,115共13组数据表示
点的集合 甲获得冠军,
(二)1.子集 一个样本点
故估计甲获得冠军的概率为13
( ) =0.65.四 至少有一个 A∪B A+B 同时 A∩B 20
AB 故答案为:0.65.
考点二 答案:0.65
(一)1.发生可能性 P(A) 8.解析:构 成 三 位 数 的 试 验 的 样 本 空 间 Ω={125,
, , ,
( ( )二)P(A) k nA 152215251512
,521},有6个样本点,
=n=n(Ω) 比215大 的 事 件 A={251,512,521},共3个 样
(三)P(A)≥0 必然事件 0 P(Ω)=1,P( )=0 本点,
(四)P(A∪B)=P(A)+P(B) P(B)=1-P(A),
( ) 3 1
P(A) ( )
所以所求的概率P A = = .
=1-P B P(A)≤P(B) P(A∪B)= 6 2
P(A)+P(B)-P(A ∩B) 故答案为:1.
考点三 2
1.P(A)P(B) 2.(1)相互独立 答案:1
() ( ) ( )… ( ) 23P A1 P A2 P An 9.解:(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个,一等奖
考点四
个,二等奖 个,
1.随机 2.幅度 稳定 稳定性 频率fn(A)
10 50
本章练习 ∴P(A)= 1 , ( ) 10 1 , ( )1000 P B =1000=100 P C =
1.A 由题意,事件“至少有两次中靶”的对立事件为 50 1
“至多有一次中靶”.故选:A. 1000=20.
— 90 —
(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则 必修第二册 综合检测卷
P(D)=P(A)+P(B)+P(C)
1 1.C 由题设z=2+3i,故其虚部为3.=1000+
1 +1 61100 20=1000. 2.D A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱,不合
(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 题意;B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥,不
E,则 合题意;C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆
1 1 锥,不合题意;D中图形旋转得到一个圆台与一个P(E)=1-P(A)-P(B)=1-1000-100 圆锥,合题意.
989 3.C 由题意,可知A={1,3,5},B={5,6},A∩B==1000. {5},即事件A∩B=“点数为5”.
10.解:(1)由频率分布直方图可知,年龄小于40岁的 4.B 依题意,10×(0.02+0.03+b)=1,解得b=
用户所占比例为15%+20%=35%, 0.05,所以直方图中b的值为0.05.
年龄小于50岁的 用 户 所 占 比 例 为35%+30% 5.A 设北面有x 人,则 xx+7488+6912=
100,解
=65%, 300
所以 中 位 数 一 定 在[40,50)内,由 40+10× 得:x=7200.
0.5-0.35 ( ), 6.A
i = i1-i =i+1=1+1i,其对应
0.65-0.35=45 1+i (1+i)(1-i) 2 2 2
所以估计用户年龄的样本数据的中位数为45. 点的坐标为 1,1 位于第一象限2 2 .
(2)由分层抽样的方法可知,抽取的8人中,年龄
C→A C→ → →[ , ) , 7.C = B+BA=b-AB=b-a.在 2030 内的有3人 分别记为A1,A2,A3;
年龄在[50,60)内的有5人,分别记为B ,B ,B , 8.A 因为A
→B·B→C → →=0,所以AB⊥BC,则在△ABC
1 2 3
, ; 中,AB⊥BC,∠B=90°,所 以△ABC 为 直 角 三B4 B5
则从这8人中随机抽取2人的样本点为{
角形
A .1,A2},
{ , },{ , },{ , },{ , },{ , 9.D
设正方体的棱长为a,因为正方体的体对角线
A1 A3 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A1
B4},{A1,B5},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, 的长度等于其外接球的直径所以 3=
3a,解得2
{A2,B3},{A2,B4},{A2,B5},{A3,B1},{A3,B2}, a=2.
{A3,B3},{A3,B4},{A3,B5},{B1,B2},{B1,B3}, 10.C 由频率直方图得,体重在[56.5,64.5]的频率
{B1,B4},{B1,B5},{B2,B3},{B2,B4},{B2,B5}, 为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=
{B3,B4},{B3,B5},{B4,B5}共28种; 0.4,∴所求人数为100×0.4=40.
记这2人取自不同年龄区间为事件 A,其包含样 11.D 由频率分布表可得,分数大于等于90分对应
本点有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4}, 的频率为0.125+0.250+0200+0.100+0.075
{A1,B5},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,B4}, +0.075=0.825,则全年级此次数学测试及格率
{A2,B5},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A ,B }, 的估计值是3 4 82.5%.
{A ,B },共15种, 12.C 随机投掷一枚质地均匀的骰子,点数向上的结3 5
果有6种,其中向上的点数为奇数的有3种,所以
故这2人取自不同年龄区间的概率为P(A)=1528. 出现向上的点数为奇数的概率是3=1.
11.解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件 6 2
分别为 A,B,C,则 P(A)=0.5,P(B)=0.6, 13.C ∵cosθ= a
·b = 4+4 4|a||b| =5.
P(C)
·
=0.9. 5 20
() 若棱长为 的正方体的顶点都在同一个球面1 应 聘 者 用 方 案 一 考 试 通 过 的 概 率 为 P = 14.B 21
上,则球 的 直 径 等 于 正 方 体 的 体 对 角 线 长,即
P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=
2R= 22+22+22=2 3,(其 中 R 是 该 球 的 半
0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.
9+0.5×0.6×0.9=0.75. 径),所以R= 3,则球的体积V=
4
3πR
3=4 3π.
(2)应 聘 者 用 方 案 二 考 试 通 过 的 概 率 为 P2=
15.C 因为 AB=1,AC=2,∠A=2π,所以 BC2=
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 3
3P AB +3P BC +3P AC =3×0.5× AB2+AC2-2AB·BC·cosA=1+4-2×1×2
0.6+13×0.6×0.9+
1
3×0.5×0.9=0.43. × -1 =7,所以2 BC= 7.
— 91 —
16.D 若α⊥γ,β⊥γ,则α不一定垂直β,故A错误;若 ∴设中位数为60+x,则0.3+x×0.04=0.5,得
α⊥γ,β⊥γ,则α不一定平行β,故B错误;若α∩β x=5,
=n,m∥n,则 m 可能在α 或β 内,故C错误;若 ∴中位数为60+5=65.
α∥β,β∥γ,则α∥γ,又m⊥α,则m⊥γ正确;故D (2)依题意,平均成绩为
正确. 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×
17.B 由表格数据,x =72+86+87+89+92+94
0.05=67,
A 6 ≈ ∴平均成绩约为67.
, 解:()证明:因为平面 平面 ,86.67x =73+74+86+88+94+95=85,S2= 24. 1 PAC⊥ ABC AC⊥B 6 A BC,平 面 PAC∩ 平 面 ABC =AC,BC 平
1 6 6∑(x 2 2 1 2 面ABC,6 i-xA
)≈50.6,SB= (6∑ xi-xB
)=76,
i=1 i=1 所以BC⊥平面PAC,又PA 平面PAC,
∴xA>x ,S2 2B A18.A 连接 MQ,由 MP=2 3km,PQ=4km,MP (2)由(1)知BC⊥平面PAC,所以BC⊥AC,
⊥PQ 得:MQ=2 7, 又BC=2,∠BAC=30°,所以AC=2 3,
因为PA=PC=2,
22+22-(2 3)2所以cos∠APC= 2×2×2 =-
1,
2
所以sin∠APC= 1-cos2∠APC= 3,2
21 27 所以S =
1
△APC ×2×2×
3= 3,
∴sin∠MQP= ,7 cos∠MQP=
,又
7 cos∠MQN
2 2
1
=cos(∠NQP-∠MQP)=cos∠NQPcos∠MQP+ 所以三棱锥P-ABC 的体积VP-ABC=3S△APC×BC
sin∠NQPsin∠MQP= 7,∴MN2=MQ214 +NQ
2- =1× 3×2=2 33 3 .
2MQ·NQcos∠MQN=28,可得MN=27. 25.解:记“甲、乙、丙三人100m跑成绩合格”分别为
19.解析:因数据x1,x2,x3,x4 的平均数为4, 事件A,B,C,显然事件A,B,C 相互独立,
x +x
则 1 2
+x3+x4 , 则P(A)=
2,P(B)=3,P(C)=1.
4 =4 5 4 3
所以数据2x ,2x ,2x ,2x 的平均数为: 设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).1 2 3 4
2x +2x +2x +2x x +x +x +x (1)三人都合格的概率:1 2 3 4=2· 1 2 3 44 4 =2× P3=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=
2×3
4=8. 5 4
答案: ×1 18 3=10.
20.解析:a+b+c+d=(A→B+B→C)+(C→D D→+ E)= (2)三人都不合格的概率:
A→C → →+CE=AE=e. P 3 10=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=
答案:e 5
×4
2 1
21.解析:
× = .
由余弦定理可得42=22+c2-2×2c×1, 3 104 (3)恰有两人合格的概率:
即c2-c-12=0,(c-4)(c+3)=0,因为c>0,故
P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)c=4. 2 3 2 2 1 1 3 3 1 23
答案:4 =5×4×3+5×4×3+5×4×3=60.
22.解析:设球半径为r, 恰有一人合格的概率:
根据题意可得:r=3,
P1=1-P0-P2-P3=1-
1 23 1 25
4 3 10
-60-10=60
所以球的体积V=3πr =36π. 5
答案: =36π 12
.
23.解:(1)由图可知众数为65, 综合(1)(2)(3)可知P1 最大.
又∵第一个小长方形的面积为0.3, 所以出现恰有1人合格的概率最大.
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