第三章 第六节 二次函数的图象与性质（含答案）中考一轮复习练习卷

第六节　二次函数的图象与性质
基础过关
1. [冀教九下习题改编]抛物线y＝x2－4的顶点坐标是(　　)
A. (0，－4) B. (0，4)
C. (2，0) D. (－2，0)
2. [人教九上练习改编]已知A，B是抛物线y＝－x2上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是－2，则点B横坐标为(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
3. [北师九下习题改编]若二次函数y＝(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值必为　(　　)
A. －1或3 B. －1
C. 3 D. －3或1
4. (2025邯郸模拟)在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2－m的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　)
第4题图
A. D点 B. C点
C. B点 D. A点
5. (2025沧州模拟)函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
6. 抛物线y＝ax2＋bx＋c中的x，y的部分对应值如下表，关于它的图象和性质，下列说法正确的是　(　　)
x … －3 －2 0 1 3 5 …
y … 7 0 －8 －9 －5 7 …
A. 图象开口向下
B. 对称轴是直线x＝
C. 当x＞3时，y随x的增大而增大
D. 图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)
7. (2025保定模拟)已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和点B(b，0)，则(a＋1)(b＋1)的值为(　　)
A. －5 B. －1
C. 3 D. 7
8. (2025唐山模拟)已知a＞0，设函数y1＝a(x－1)2，y2＝a(x－2)2，y3＝a(x－3)2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A(m，c1)，B(m，c2)，C(m，c3)，下列说法正确的是(　　)
A. 若m＜1，则c2＜c3＜c1
B. 若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3
C. 若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1
D. 若m＞3，则c3＜c2＜c1
9. (2025秦皇岛模拟)如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN＝3，NP＝1，PQ＝5，则AB＝(　　)
第9题图
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
10. (2025唐山模拟)抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交点的位置如图所示(点A的横坐标在－2与－1之间，点B的横坐标在0与1之间)，则b，c的取值可能是(　　)
第10题图
A. b＝1，c＝－1
B. b＝－1，c＝－1
C. b＝3，c＝－2
D. b＝1，c＝－3
11. (2025安徽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则(　　)
第11题图
A. abc＜0 B. 2a＋b＜0
C. 2b－c＜0 D. a－b＋c＜0
12. (2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是____________.(写出一个即可)
综合提升
13. (2024石家庄模拟)如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n 的顶点在线段AB上运动，且抛物线与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧).
(1)n＝____________；
(2)若点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为____________.
第13题图
14. (2025连云港)已知二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3，a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值；
(3)求证：该二次函数的图象不经过原点.
参考答案
1. A　【解析】抛物线y＝x2－4的顶点坐标是(0，－4).
2. A　【解析】抛物线y＝－x2，开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)，∵A，B是抛物线y＝－x2上关于对称轴对称的两点，点A的横坐标是－2，∴点B的横坐标是－2的相反数，即为2.
3. C　【解析】根据题意，得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3，∵二次函数的二次项系数不为零，即m＋1≠0，∴m≠－1，∴m＝3.
4. B　【解析】由条件可知抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，∴坐标原点可能是C点.
5. D　【解析】∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0，c)，∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数图象从左到右呈上升趋势，排除B；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数图象从左到右呈下降趋势，排除C，故选D.
6. C　【解析】由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故B选项错误，不符合题意；该抛物线图象开口向上，故A选项错误，不符合题意；当x＞3时，y随x的增大而增大，故C选项正确，符合题意；图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)，故D选项错误，不符合题意，故选C.
7. A　【解析】已知抛物线y＝x2＋2x－4与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)，∴a，b是关于x的方程x2＋2x－4＝0的两个根，∴，∴(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝－4－2＋1＝－5.
8. D　【解析】如解图所示，A.由图象可知，若m＜1，则c1＜c2＜c3，故该选项错误，不符合题意；B.由图象可知，若1＜m＜2，则c2≤c1＜c3或c1≤c2＜c3，故该选项错误，不符合题意；C.由图象可知，若2＜m＜3，则c3≤c2＜c1或c2≤c3＜c1，故该选项错误，不符合题意；D.由图象可知，若m＞3，则c3＜c2＜c1，故该选项正确，符合题意，故选D.
第8题解图
9. B　【解析】由图可知MP＝MN＋NP＝4，NQ＝NP＋PQ＝6，MQ＝MN＋NP＋PQ＝9，∴AB＝MQ－MP－NQ＝9－2－3＝4.
10. A　【解析】抛物线L：y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－，∵点A的横坐标在－2与－1之间，点B的横坐标在0与1之间，∴－1＜－＜0，∴0＜b＜2.由图象可知，当x＝1时，y＞0，∴1＋b＋c＞0，∴b，c的取值可能是b＝1，c＝－1.
11. C　【解析】由题意可知，抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线对称轴在x轴正半轴，故－＞0，∴b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，A选项错误；由题图可得抛物线对称轴在直线x＝1左侧，∴－＜1，∴－b＜2a，∴2a＋b＞0，B选项错误；由题图知，抛物线过点(2，0)，∴4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∴2b－c＝2b＋4a＋2b＝4(a＋b)，由题图可得抛物线对称轴在直线x＝右侧，∴－＞，∴a＋b＜0，∴2b－c＜0，C选项正确；由图象可知，当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，D选项错误.故选C.
12. y＝－x2＋x＋2(答案不唯一)　【解析】∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，∴0＝－c2＋bc＋c，∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象不经过原点，∴c≠0，则c－b＝1，若取b＝1，则c＝2，∴该二次函数的表达式可以是y＝－x2＋x＋2.
13. (1)4；(2)8　【解析】(1)∵点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，∴线段AB所在的直线解析式为y＝4.∵抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点(m，n)在线段 AB 上运动，∴n＝4；(2)∵抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，∴当抛物线顶点为A(1，4)时，点C的横坐标最小，最小值为－3，此时，对称轴为直线x＝1，则点D的横坐标为5，CD＝8，当抛物线顶点为B(4，4)时，抛物线对称轴为直线x＝4，∵CD＝8，∴C(0，0)，D(8，0)，∴此时点D横坐标最大，最大值为 8.
14. (1)解：∵二次函数y＝x2＋2(a＋1)x＋3a2－2a＋3中，1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，
∴二次函数的最小值小于2a2，
∵＝2a2－4a＋2，
∴2a2－4a＋2＜2a2，
解得a＞；
(2)解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝4(a＋1)2－4×1×(3a2－2a＋3)＝－8a2＋16a－8＝－8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2≤0，
∵8(a－1)2≥0，
∴8(a－1)2＝0，
解得a＝1；
(3)证明：∵当x＝0时，
y＝3a2－2a＋3＝3(a－)2＋＞0，
∴该二次函数的图象不经过原点.