青海省青海湟川中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷（含解析）

青海湟川中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，且，则实数的值为（　　）
A． B．0 C．3 D．或3
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的最大值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
4．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
① 与
② 与
③ 与
④ 与
A．①② B．③④ C．②④ D．①④
5．已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．集合与集合是相同的集合
C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于
D．所有的素数都是奇数
8．关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、多选题
9．若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ）
A．，，f：；
B．，，f：；
C．，，f：
D．A与B的对应关系如图所示：

10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，且，则
11．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
三、填空题
12．不等式的解集是 ．
13．下列命题中，真命题的编号是 .
①，；
②，x为方程的根；
③，；
④，，使．
14．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
16．（1）已知，求的最大值．
（2）当时，求的最小值；
（3）已知都是正数，且，求证：．
17．（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围；
（2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
（3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是．
18．已知函数.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围；
(3)，解关于的不等式.
19．实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时，
(1)求与的值；
(2)求集合（用列举法表示）；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C D B C C AD BC
题号 11
答案 BCD
1．C
由或求得并代入集合检验．
【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．
①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去．
②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，．
故选：C．
2．A
解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算.
【详解】由，即，解得，所以.
由，移项得，即，等价于，解得，所以.
则.
故选：A
3．D
由题设可得，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D
4．C
根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数即可.
【详解】对于①，的定义域为且，
的定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，故①不正确；
对于②，，所以函数的对应关系一样，
又函数的定义域都是，所以是同一函数，故②正确；
对于③，的定义域为，的定义域为，
所以定义域不同，不是同一函数，故③不正确；
对于④，，所以函数的对应关系一样，
又函数的定义域都是，
所以是同一函数，故④正确.
故选：.
5．D
根据不等式性质直接可得取值范围.
【详解】由已知，
又，，
则，，
所以，
即，
故选：D.
6．B
根据基本不等式求解即可.
【详解】因为且，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
7．C
举反例可说明选项A错误；化简两集合可得选项B错误；根据“或”命题真假的判断可知选项C正确；2是素数但不是奇数可得选项D错误.
【详解】A.当时，，选项A错误.
B.，，，选项B错误.
C.任意一个三角形，它的内角和等于，选项C正确.
D.是素数，但不是奇数，选项D错误.
故选：C.
8．C
根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．
【详解】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
9．AD
根据函数的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确；
对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误；
对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误；
对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确.
故选：AD.
10．BC
利用作差法可判断AD选项；利用不等式性质可判断BC选项.
【详解】对于A，若，且，则，即，不知道的符号，
则的符号无法确定，即不一定成立，A错；
对于B，若，则，且，所以，所以，B对；
对于C，若，且，则，所以，C对；
对于D，，若，且，则，，
所以，所以，D错.
故选：BC
11．BCD
根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误.
【详解】A：因为关于的不等式的解集为或，
所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错；
B：由A得，，所以，，
因为，，所以，对；
C：不等式可化为，因为，所以，对；
D：不等式可化为，又，
所以，即，解得，对.
故选：BCD
12．
根据分式不等式的求解方法，等价转化为整式不等式，注意分母不为零，可得答案.
【详解】由不等式，则可得，解得.
故答案为：.
13．①④
逐项判断命题真假即可.
【详解】①正确：恒成立；
②错误：由，解得；
③错误：；
④正确：满足题意.
故答案为：①④.
14．
由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解；
【详解】恒成立，即，
，当且仅当时取等号，
所以，
即，
解得：，
所以实数t的取值范围是，
故答案为：
15．(1)；
(2)或
（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可；
（2）分和两种情况进行讨论得解.
【详解】（1）当时，，
，
或，；
（2）若，则当时，，解得；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为或.
16．（1）8，（2）6，（3）证明见解析.
（1）利用“配凑法”，即可由不等式求解.
（2）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解；
（3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）由于，则，
，
当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8.
（2），，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，函数的最小值为6.
（3），且，

，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
17．（1）；（2）；（3）证明见解析.
（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围；
（2）利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可；
（3）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证.
【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为，
当时，成立，
当时，可得，解得，
综上所述，；
（2）因为是的充分非必要条件，
所以或是或的真子集，
所以或或,解得，
即实数的取值范围是；
（3）先证充分性：
若，则成立，充分性成立；
再证必要性：
若，则，即，
所以，即，又，
所以，即成立，必要性成立；
综上：成立的充要条件是．
18．(1)，；
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）由的解集为，可得3是方程的一个实数根，
因此，解得；
所以的另一实数根为1，可得；
即实数的值为，；
（2）由可得，即；
又因为，可得恒成立；
易知当时， ，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以；
（3）不等式即为；
整理可得；
当时，不等式为，易知其解集为；
当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为；
若，不等式等价为，此时不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
综上可知，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
19．(1)，；
(2)
(3)6，详见解析.
【详解】（1）由题给定义可得，，；
（2）由，可得，
，
则时，；时，；
或时，，
则时，x可能为，
则.
（3）由题意得，对于集合,
①若，则，
②若，则，
则若最小，必有属于集合C，
是否属于集合C不影响的值，
集合C不能含有之外的元素，
所以当集合C是集合的子集与集合的并集时，
取得最小值6.