(共31张PPT)
第二章 方程与不等式
第8课时 一元二次方程及其应用
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
(一)一元二次方程的相关概念及解法
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0).
1.概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，
并且二次项系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程.
（一）
（二）
（三）
3.一元二次方程的解法(基本思想：降次)：
(1)直接开平方法：若x2＝p(p≥0)，则x＝±；
(2)配方法：x2＋mx＋n＝－＋n；
(3)公式法：x＝(其中Δ＝b2－4ac≥0)；
(4)因式分解法：①方程一边因式分解，另一边为0；
②化归为两个一次方程，分别求解；③写出x1，x2.
（一）
（二）
（三）
1.已知x＝1是方程x2－mx－3＝0的一个根.
(1)m的值为_________；
(2)将方程配方可得_____________；
－2
＝4
（一）
（二）
（三）
(3)用公式法解该方程.
解：由(1)知方程为x2＋2x－3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，
∴x＝＝ ，
∴x1＝1，x2＝－3.
（一）
（二）
（三）
(二)一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
1.根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（一）
（二）
（三）
2.b2－4ac与根的关系：
(1)b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac≥0 方程有实数根；
(4)b2－4ac＜0 方程没有实数根.
3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
（一）
（二）
（三）
2.已知关于x的一元二次方程为(k－2)x2＋2x－1＝0.
(1)填写下表：
根的情况 k的取值
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
有实数根
无实数根
k＞1且k≠2
k＝1
k≥1且k≠2
k＜1
（一）
（二）
（三）
(2)当k＝3时，x1＋x2＝_______，x1x2＝______.
－2
－1
（一）
（二）
（三）
(三)一元二次方程的应用
类型 数量关系
增长率问题 a(1±x)2＝b(a为起始量，x为平均增长(降低)率，b为连续增长(降低)两次后的量)
销售问题 总利润＝总收入－总支出＝(售价－成本)×销售量
2.常见类型：
1.解题步骤：审、设、列、解、验、答.
（一）
（二）
（三）
类型 数量关系
面积问题 模型1：如图①，矩形中的“小路”的宽均为x，空白部分的面积为m，则(a－x)(b－x)＝m
模型2：如图②，用矩形纸片做
盒子，底面积为m，则
(a－2x)(b－2x)＝m
循环问题 ①单循环问题(握手)：参加人数为x，握手次数＝x(x－1)
②双循环问题(互送礼物)：参加人数为x，送礼次数＝x(x－1)
考点1
考点2
考点3
考点1 一元二次方程的相关概念及解法
例1：【思维生长】关于x的一元二次方程x2＋3x＋a2－1＝0有一个根是0，则a的值为( )
A.0 B.1或－1
C.－1 D.1
B
考点1
考点2
考点3
向“整体思想”生长：若m是方程x2－3x＋1＝0的一个实数根，则m2＋ 的值是( )[2025漳州模拟4分]
A．11 B．9
C．7 D．5
C
考点1
考点2
考点3
向“数形结合思想”生长：已知长方形的长宽之和为p，面积为q，设宽为x，根据图形面积的关系可构造方程x(p－x)＝q.早在3世纪，我国数学家赵爽借助如图所示的图形(由四个一样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形)将x用p，q表示为x＝ ，从而得到形如－x2＋px＝q的一元二次方程的一个根的求根公式．结合图形，x的表达式中
所表示的几何量是__________________．
小正方形的边长
考点1
考点2
考点3
例2：解方程：(1)(配方法)x2－4x－6＝0；
解：x2－4x－6＝0，x2－4x＝6，
x2－4x＋4＝6＋4，即(x－2)2＝10，
∴x－2＝±，∴x1＝2＋，
x2＝2－.
考点1
考点2
考点3
(2)5x2－3x＝x＋1.
解：方程化为5x2－4x－1＝0，
∴a＝5，b＝－4，c＝－1，∴Δ＝b2－4ac＝36＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x＝＝＝，
∴x1＝1，x2＝－.
考点1
考点2
考点3
提分笔记
一元一次方程是解各类方程的基础，各类方程之间有如下关系：
考点1
考点2
考点3
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系[5年1考]
例3：若方程(m－1)x2＋2mx＋(m－1)＝0有实数根，则m的取值范围为________．[2025泉州一中模拟改编]
考点1
考点2
考点3
例4：【思维生长】若m，n是一元二次方程x2－4x－5＝0的两个根，则m2n＋mn2＝__________， ＋＝________，(m－1)(n－1)＝________．
－20
－
－8
考点1
考点2
考点3
证明：(方法一)：由3m＋n＝，得(－3m)＋(－n)＝－.由mn＝，得(－3m)(－n)＝.
∴－3m和－n是方程ax2＋bx＋3c＝0的两根，∴Δ＝b2－4a·3c≥0，∴b2－12ac 为非负数.
考点1
考点2
考点3
(方法二)：∵3m＋n＝，mn＝，∴b＝a(3m＋n)，c＝amn，
∴b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn＝a2(9m2－6mn＋n2)＝a2(3m－n)2，
∵a，m，n是实数，
∴a2(3m－n)2≥0，∴b2－12ac 为非负数.
考点1
考点2
考点3
考点3 一元二次方程的应用[5年2考]
例5：根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元，2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程为[2023福建4分]( )
A.43 903.89(1＋x)＝53 109.85 B.43 903.89(1＋x)2＝53 109.85
C.43 903.89x2＝53 109.85 D.43 903.89(1＋x2)＝53 109.85
B
考点1
考点2
考点3
例6：为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为[2025福建4分]( )
A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6
C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6
C
考点1
考点2
考点3
例7：“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300 kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50 kg.为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3 150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则售价应定为多少元/kg
考点1
考点2
考点3
解：设售价应定为y元/kg，则每千克的销售利润为(y－10)元，每天能售出[300＋50(20－y)]kg，
根据题意得(y－10)×[300＋50(20－y)]＝3 150，
整理得y2－36y＋323＝0，解得y1＝17，y2＝19.
∵要使消费者尽可能获得实惠，∴售价应定为17元/kg.
1．一元二次方程x2－2x＝0的根是[2025厦门集美区模拟4分]( )
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
C
1
2
3
4
5
2．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值是( )[2025厦门翔安区二模4分]
A．－1 B．0 C．1 D．2
A
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
4．若m，n是一元二次方程x2－3x－2 025＝0的两个实数根，则m2＋mn＋3n＋2的值为______．[2025福州延安中学模拟4分]
1
2
3
4
5
11
5．【代数推理】已知实数a，b，c，且c>0，a＋2b＋c＝0，abc＝1，求c的最小值．[2025福州外国语模拟改编]
1
2
3
4
5
解：∵a＋2b＋c＝0，∴a＝－2b－c.
∵abc＝1，∴(－2b－c)bc＝1，整理，得2cb2＋c2b＋1＝0，
将其看成关于b的一元二次方程，则Δ≥0，∴(c2)2－8c≥0.
∵c>0，∴c3－8≥0，∴c≥2，∴c的最小值为2.(共29张PPT)
第二章 方程与不等式
第5课时 一次方程(组)及其应用
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
（四）
(一)方程的有关概念
3．一次方程(组)类型：①一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程．
2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
1.方程：含有未知数的等式叫做方程.
（一）
（二）
（三）
（四）
②二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1)的方程．
③二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．
（一）
（二）
（三）
（四）
1.判断方程的解：(填“是”或“不是”)
(1)x＝1______方程4x＋6＝7x的解；
(2)____方程2x＋y＝10的解.
2.二元一次方程x＋4y＝20的正整数解有____组.
不是
是
4
（一）
（二）
（三）
（四）
(二)等式的基本性质
性质1：如果a＝b，那么a±c＝b±c.
传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
对称性：如果a＝b，那么b＝a.
性质2：如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b(c≠0)，那么＝.
（一）
（二）
（三）
（四）
3.如果3x＝10－2x，那么3x＋__＝10.
4.如果2x＝7，那么x＝______.
5.如果＝3，那么x－1＝____.
2x
3.5
6
（一）
（二）
（三）
（四）
(三)解一次方程
1.解一元一次方程的步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
2.解二元一次方程组：
①基本思路：二元一次方程组 一元一次方程，
②具体解法：代入消元法、加减消元法.
（一）
（二）
（三）
（四）
6.方程 3x－4＝2x 的解是x＝____.
7.方程组的解是___________.
4
（一）
（二）
（三）
（四）
(四)一次方程(组)的应用
1．步骤：审清题意→找等量关系→设未知数→列方程
(组)→解方程(组)→验根→作答
（一）
（二）
（三）
（四）
2．常见类型：
利润问题 行程问题 工程问题 变化率问题
售价＝标价×折扣 利润＝售价－进价＝进价×利润率 路程＝速度×时间 工作效率×工作 时间＝工作总量 变化量＝原量×变化率
考点1
考点2
考点3
考点1 等式的基本性质[5年1考]
例1：【代数推理】推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，等式两边都乘x，得x2＝mx.①
等式两边都减m2，得x2－m2＝mx－m2.②
考点1
考点2
考点3
等式两边分别分解因式，得(x＋m)(x－m)＝m(x－m).③
等式两边都除以(x－m)，得x＋m＝m.④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_____.
④
考点1
考点2
考点3
考点2 解一次方程(组)[8年2考]
例2：若x＝1是方程2(a－x)＝x的解，则a＝_____.
例3：[思维生长]已知方程组，则x－y的值是___.
[2025福州第十九中学三模4分]
－1
考点1
考点2
考点3
向“参数转化”生长：已知关于x，y的方程组
的解满足x－y＝2，则k的值为________．
1
考点1
考点2
考点3
例4：解方程组：(1)
解：
①－②，得4y＝－4，解得y＝－1，
将y＝－1代入①，得x－1＝－1，解得x＝0，
∴原方程组的解为
考点1
考点2
考点3
(2)
解：整理原方程组，得
①＋②×2，得5x＝30，解得x＝6.
把x＝6代入①，解得y＝9，
故原方程组的解为
考点1
考点2
考点3
考点3 一次方程(组)的应用[5年3考]
例5：【思维生长】今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额为120 327亿元，比去年第一季度增长4.7％，求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是( )[2024福建4分]
A.(1＋4.7％)x＝120 327 B.(1－4.7％)x＝120 327
C.＝120 327 D.＝120 327
A
考点1
考点2
考点3
向“逆向推理”生长：一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10%，求标价为多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为x元，列出如下方程：0.8x－20＝ .小明同学列此方程的依据是[2025福州华伦中学三模4分]( )
A．商品的利润不变 B．商品的成本不变
C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变
B
考点1
考点2
考点3
例6：某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．两个镜片和一个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品刚好配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组为[2025莆田中山中学模拟4分]( )
A
考点1
考点2
考点3
例7：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？(选自《孙子算经》)题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为____________．[2025福州延安中学三模4分]
考点1
考点2
考点3
例8：[一题多解]为丰富校园生活，某校九年级开展篮球比赛活动．比赛得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分；在3分线内(含3分线)投篮，投中一球可得2分；罚球投中一球可得1分．A班球队在某场比赛中，上半场共投中12球，其中投中5个2分球，所得总分为23分，问该球队上半场比赛罚球得分是多少？[2025龙岩模拟节选]
提分笔记
若题目含有两个未知量，既可用一元一次方程求解，也可用二元一次方程组求解，若用一个未知量表示另一个未知量比较困难，优先使用二元一次方程组．
考点1
考点2
考点3
解：解法一：设A班球队上半场投中x个3分球，则罚球得了(12－5－x)分，根据题意得3x＋2×5＋(12－5－x)＝23，解得x＝3，所以12－5－x＝4.
答：该球队上半场比赛罚球得分是4分.
考点1
考点2
考点3
解法二：设A班球队上半场投中x个3分球，罚球投中y球，根据题意得
解得
故罚球投中4球，所以罚球得分是4分.
1
2
3
4
5
1.若是方程3x＋ay＝5的解，则a的值是 ______.
－1
1
2
3
4
5
2.已知物体自由下落的距离可以表示为S＝v底t，v底表示物体下落的末速度，t表示物体下落的时间，声音传播的速度为340米/秒.若将一块石头从井口自由落下，7秒后听到它落水的声音，测得v底＝60米/秒，设石头下落的时间为x，则可列得方程
为_________________.
×60x＝340(7－x)
1
2
3
4
5
3.观察图，若天平保持平衡，同一种物体的质量都相等，则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的[2025泉州石狮模拟4分]( )
A．8倍 B．6倍 C．4倍 D．2倍
C
1
2
3
4
5
4.幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为[2025三明联考二模4分]( )
A
1
2
3
4
5
5.解方程组：[2025漳州一检8分]
解：由①＋②，得3x＝12，解得x＝4，
将x＝4代入②，得y＝1，∴原方程组的解为(共26张PPT)
第二章 方程与不等式
第7课时 分式方程及其应用
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)分式方程及其解法
1.概念：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
（一）
（二）
2.解法：①基本思想：分式方程 整式方程.
②解题步骤：
口诀：一化、二解、三验、四结论.
注意：增根是去分母后的整式方程的解，同时也使得分式方程的公分母等于0.
（一）
（二）
1.解方程：－1＝.
解：方程两边同乘(1－x)，得_____________________，
去括号，得___________________，
移项，得_________________，
合并同类项，得_____________，
系数化为1，得____________，
检验：_________________________.
所以________________________.
2x－(1－x)＝－4
2x－1＋x＝－4
2x＋x＝1－4
3x＝－3
x＝－1
当x＝－1时，1－x≠0
x＝－1是原方程的解
（一）
（二）
(二)分式方程的应用
一般步骤：
【温馨提示】双检验：
(1)检验是不是分式方程的解；
(2)检验是否符合实际问题.
（一）
（二）
2.一辆大货车和一辆小货车往25 km远的地方运零件，小货车的速度是大货车的1.5倍①，小货车比大货车晚出发10 min，却和大货车同时到达②，求两车速度.(设大货车的速度为x km/h)
分析：根据①可得小货车的速度为________________.
小货车所用时间为_______，大货车所用时间为____.根据②可列出
方程为_____________.
1.5x km/h
h
h
＝＋
考点1
考点2
考点1 分式方程的解法[5年1考]
例1：解方程：(1)＋1＝；[2024福建4分]
解：方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得
3(x－2)＋(x＋2)(x－2)＝x(x＋2)，
解得x＝10检验：当x＝10时，(x＋2)(x－2)≠0，
∴原分式方程的解为x＝10.
考点1
考点2
(2)－1＝.
解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，解得x＝1，
经检验x＝1是方程的增根.
∴原分式方程无解.
提分笔记
解分式方程时，最简公分母要乘以每一项；若分子是多项式，去分母后要把分子用括号括起来．
考点1
考点2
考点2 分式方程的解
例2：已知关于x的分式方程－＝1.若该分式方程的解是x＝，则m＝___；
【拓展设问1】若该分式方程有增根，则m＝___；
【拓展设问2】若该分式方程无解，则m＝_______；
【拓展设问3】若该分式方程的解为非负数，则m的取值范围是_____________.
4
2
2或1
m＞1且m≠2
考点1
考点2
例3：DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时．则下列方程正确的是( )[2025莆田模拟4分]
B
考点1
考点2
例4：近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的质量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6 000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2 000斤的时间少2小时(休息时间不计)．[2025南安质检8分]
(1)求每小时一台无人机运输脐橙的质量和一个果农挑担的质量．
考点1
考点2
解：设一个果农每小时挑担的质量为x斤，则一台无人机每小时运输脐橙的质量为5x斤，由题意得 ＝2，解得x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
∴5x＝2 000.
答：每小时一台无人机运输脐橙的质量为2 000斤，一个果农挑担的质量为400斤．
考点1
考点2
考点3
(2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22 000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少个果农挑担？
考点1
考点2
解：设果园还需y个果农挑担，由题意得
3(2×2 000＋400y)≥22 000，解得y≥ .
∵y为正整数，∴y的最小值为9.
答：果园至少还需9个果农挑担．
考点1
考点2
例5：根据以下素材，探索完成任务.
如何设计购票方案？
素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元/张，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同.
素材二 已知某旅行团中成人和儿童共有11人，按原票价购票总花费需1 420元.
素材三 为推动动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票：其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元.
考点1
考点2
问题解决
任务1 确定票价 请计算成人票和儿童票的售价
任务2 确定人数 请确定该旅行团中的成人和儿童的数量
任务3 拟定购票 方案 根据素材三，请你为该旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价(直接写出答案即可)
考点1
考点2
解：任务1：设成人票的售价为x元/张，则儿童票的售价为元/张，根据题意得＝，
解得x＝170.经检验，x＝170是原方程的解，且符合题意.则170－90＝80(元/张).
答：成人票的售价为170元/张，儿童票的售价为80元/张.
考点1
考点2
任务2：设旅行团中的成人有a人，则儿童有人，
根据题意得170a＋80＝1 420，解得a＝6，
则11－6＝5(人).
答：旅行团中的成人有6人，儿童有5人.
任务3：购买2张家庭票，再单独购买成人票2张，儿童票1张，购票总价最低，总票价为1 320元.
1
2
3
4
1.已知关于x的方程＝的解是x＝1，则a的值为( )
A.2 B.1
C.－1 D.－2
C
1
2
3
4
2．分式方程 的解是
[2025泉州永春侨中模拟4分]( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝17 D．x＝－17
C
1
2
3
4
3.已知关于x的方程－＝3有整数解，且－4≤m＜3，则所有满足条件的整数m的值之和是_____.
－4
1
2
3
4
4.下面是小亮学习“分式方程的应用”时做的课堂学习笔记：
题目：小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本.这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：所买的文学书数量－所买的科普书数量＝1 －＝1
1
2
3
4
请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义.
方法 分析问题 列出方程
解法二 设…… 等量关系：科普书单价＝文学书单价× ＝×
1
2
3
4
解：选择方程－＝1，此方程中的x表示文学书的单价.解－＝1，得x＝5，
经检验x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则5×1.5＝7.5(元).
答：文学书的单价为5元，科普书的单价为7.5元.
1
2
3
4
(或选择方程＝×，此方程中的x表示买的文学书的本数.解＝×，得x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的解，且符合题意，
则＝7.5(元)，＝5(元).
答：文学书的单价为5元，科普书的单价为7.5元)(共29张PPT)
第二章 方程与不等式
第6课时 不等式(组)的解法及其应用
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
(一)不等式的性质
性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或＜).
性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或＞).
性质 1：如果a＞b，那么a±c＞b±c.
（一）
（二）
（三）
1.若a＞b，则下列结论成立的有_______.(填序号)
①a＋3＞b＋3；②a－5＜b－5；
③a2＞b2；④－5a＜－5b；⑤＞.
①④
（一）
（二）
（三）
(二)不等式(组)的解法
1.解一元一次不等式：
①步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
(注意使用性质3时不等号方向要改变).
②用数轴表示不等式解集：方向：小于向左，大于向右；
边界：“≤”“≥”用实心圆点，“＜” “＞”用空心圆圈.
（一）
（二）
（三）
2.解一元一次不等式组：
①解法
（一）
（二）
（三）
②解集的类型及表示
类型(a＞b) 在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大 x＞a
同小取小 x＜b
大小小大取中间 b＜x≤a
大大小小取不了 无解
（一）
（二）
（三）
2.填空：
(1)一个关于x的不等式组的解集如图所示，则它的解集为_________.
(2)一个关于x的不等式组的解集如图所示，则它的解集为___________.
x＜1
1≤x＜4
（一）
（二）
（三）
3.计算：
(1)不等式2x＞3x－5的解集为______；
(2)不等式组的解集为______.
x＜5
x≥1
（一）
（二）
（三）
(三)不等式的实际应用
1.步骤：实际问题 列不等式 解不等式 检验 答.
常用关键词 符号
大于、多于、超过、高于 ＞
小于、少于、不足、低于 ＜
至少、不低于、不小于、不少于 ≥
最多、不超过、不高于、不大于 ≤
2.
（一）
（二）
（三）
4.用适当的不等式表示下列不等关系：
(1)y与4的和的25％不大于7：_____________________；
(2)有理数a的平方与3的和不小于3：______________；
(3)一件商品的标价为a元，打7折售出比降价35元售出获利要多：_________________.
(y＋4)×25％≤7
a2＋3≥3
0.7a＞a－35
考点1
考点2
考点3
考点1 不等式的性质
例1： 下列选项不正确的是( )
A.若a＞b，则a＋2＞b＋2 B.若a＞b，则－a＜－b
C.若a＞b，则ac2＞bc2 D.若2a＞2b，则a＞b
C
考点1
考点2
考点3
例2： 已知a－1＞0，则下列结论正确的是
( )
A.－1<－a
B．－a<－1<1C．－a<－1D．－1<－a<1B
提分笔记
运用不等式的性质2或3进行不等式变形时，在乘数或除数不明确正负的情况下，要注意分类讨论．
考点1
考点2
考点3
考点2 不等式(组)的解法[5年7考]
例3：【思维生长】不等式 x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是[2025福建4分]( )
C
考点1
考点2
考点3
向“逆方向”生长：把一个不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是( )
C
考点1
考点2
考点3
例4：【思维生长】不等式组 的所有整数解的和为________．[2025泉州鲤城区模拟4分]
0
向“逆向推理”生长：关于x的不等式x－b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是( )
A．－3＜b＜－2 B．－3＜b≤－2
C．－3≤b≤－2 D．－3≤b＜－2
B
考点1
考点2
考点3
向“代数推理”生长：已知三个实数a，b，c满足a＋b＋c>0，b＋c＝a，a＋b＝c，则( )[2025泉州一检4分]
A．a>0，b>0，c>0
B．a>0，b＝0，c>0
C．a<0，b＝0，c<0
D．a<0，b>0，c<0
B
考点1
考点2
考点3
例5：解不等式组：[2023福建8分]
解：解不等式①，得x＜1.解不等式②，得x≥－3.
所以原不等式组的解集为－3≤x＜1.
考点1
考点2
考点3
考点3 不等式的实际应用[8年3考]
例6：根据所给的素材，探索完成任务.
【素材】小明到早餐店买早点，“阿姨，我买8个肉包和5个菜包.”阿姨说：“一共17元.”付款后，小明说：“阿姨，少买2个菜包，换3个肉包吧.”阿姨说：“可以，但还需补交2.5元钱.”
考点1
考点2
考点3
不等式的实际应用常与方程综合考查，需注意：
(1)如果两问中各未知数表示的量不同，设未知数时务必有所区分，并各带单位；
(2)对不等式的解集进行检验，找出符合具体问题实际意义的解作答.
考点1
考点2
考点3
解：任务一：设肉包的单价是x元，菜包的单价是y元，
由题意得
解得
答：肉包的单价是1.5元，菜包的单价是1元.
任务一：请从他们的对话中求出肉包和菜包的单价；
考点1
考点2
考点3
任务二：如果小明一共有25.4元，需要买20个包子，他最多可以买几个肉包呢？
任务二：设可以买m个肉包，则可以买个菜包，
由题意得1.5m＋1×≤25.4，
解得m≤10.8，∵m为整数，∴m最大取10.
答：小明最多可以买10个肉包.
考点1
考点2
考点3
例7：身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪(不考虑蛋白质及其他有机物)提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表：
分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦
1克碳水化合物 1 1.5 15
1克脂肪 3 3 45
考点1
考点2
考点3
(1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克；
解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物x克，脂肪y克，根据题意，得
答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪0.5克．
考点1
考点2
考点3
(2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？(精确到1分钟)[2025厦门双十中学二模8分]
解：设小祺分配m分钟进行快走，则分配(60－m)分钟骑脚踏车，根据题意，得27m＋20(60－m)≥40×15＋20×45，解得m≥ ，
∵结果精确到1分钟，∴m的最小值为43.
答：小祺至少需要分配43分钟进行快走．
1
2
3
4
1.已知x＞y，则－2x_____－2y.(填“＞”“＜” 或“＝”)
＜
1
2
3
4
2.已知x＝1是不等式2x－b＜0的一个解，则b的值可以是( )
A.4 B.2
C.0 D.－2
A
1
2
3
4
3.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一道题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分，则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可得式子为( )
A.10x－3(30－x)＞70 B.10x－3(30－x)≤70
C.10x－3x≥70 D.10x－3(30－x)≥70
D
1
2
3
4
4.解不等式组： [2025北京]
解不等式①，得x>－3，解不等式②，得x<1，
∴原不等式组的解集为－3