(共28张PPT)
第五章 四边形
第25课时 平行四边形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)平行四边形的概念与性质
概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 (1)边：两组对边分别平行且相等；
(2)角：两组对角分别相等，四组邻角分别互补；
(3)对角线：两条对角线互相平分；
(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
（一）
（二）
面积 S＝ah(其中a是边长，h是该边上的高)
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC.
(1)若∠ABC＝53°，则∠BAD＝________°，∠ADC＝________°；
(2)若AB＝10，AD＝8，则BC＝________，
CD＝________，AC＝________，OA＝________， ABCD的周长为________， ABCD的面积为________.
（一）
（二）
127
53
8
10
6
3
36
48
（二）
(二)平行四边形的判定
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
（一）
2.如图，四边形ABCD的对角线BD，AC交于点O.下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有______________.(填序号)
①AB＝DC，且AD＝BC；
②AB∥DC，且AD∥BC；
③AB＝DC，且AB∥DC；
④AB＝DC，且AD∥BC；
⑤O为AC，BD的中点；
⑥AB∥DC，且AC平分∠DAB.
（二）
（一）
①②③⑤
考点 平行四边形的性质与判定[5年4考]
例1：【思维生长】已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.[2025厦门集美区模拟改编]
(1)如图1，若AC＋BD＝16，△BCO的周长为14，则AD的长为________．
6
(2)向“中位线”生长：如图2，若AC⊥AB，E是BC的中点，连接OE，OE＝3，OA＝4，则BC的长为________．
10
(3)向“垂直平分线”生长：如图3，若OE⊥BD交AD于点E，连接BE，△ABE的周长为15，则 ABCD的周长为________．
30
(4)向“Rt△斜边中线”生长：如图4，若过点B作BE⊥CD于点E，BE＝6，ED＝8，则OE的长度为__________．
5
(5)向“图形转化”生长：如图5，若过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且BC＝10，CD＝6，∠ADC＝30°，则图中阴影部分的面积为________．
15
(6)向“数形结合”生长：在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0，0)、A(3，0)、B(4，2)，则其第四个顶点C的坐标为____________________________．
(－1，－2)，(1，2)或(7，2)
(7)向“构造 ”生长：如图6，若EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，连接AF，CE.
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AO＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△EAO≌△FCO(AAS)，∴EA＝FC，
又∵EA∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．
提分笔记
坐标系中的平行四边形，如图.对角线AC、BD互相平分，
中点坐标相同
例2：如图①，在 ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案．
(1)正确的方案有________种；
(2)针对甲、乙、丙三种作图
方案，请从你认为正确的方
案中选择一种给出证明过程．
三
解：选择方案甲．
证明：连接AC，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，AC过点O，∴OA＝OC.
∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形．
或选择方案乙．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM.
∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD＝90°，
∴△ABN≌△CDM，∴AN＝CM，
∴四边形ANCM为平行四边形．
或选择方案丙．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM.
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴△ABN≌△CDM，∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形．
例3：如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且BD>CD，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，在ED上截取EG＝EA，连接EF，GC.
(1)求证：四边形CFEG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠FDC＝∠ABC，四边形AEDF为平行四边形，∴DF＝AE，
∵EG＝EA，∴EG＝DF.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠FDC＝∠ACB，
∴DF＝FC，∴EG＝FC，
∵DE∥AC，∴四边形CFEG是平行四边形．
(2)如图②，当B，G，F三点共线时，四边形AEDF与四边形CFEG面积的比值为________．[2025福州一检改编]
1
2
3
4
1．如图，在 ABCD中，CA⊥AB，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是________．[2025长汀模拟4分]
40°
1
2
3
4
2．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4，则点B到AD的距离为________．
1
2
3
4
3．在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是[2025安徽]( )
A．四边形EFGH的周长
B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积
D．线段FH的长
C
1
2
3
4
4．如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长，交OC于点E.
求证：四边形ABCE是平行四边形．
1
2
3
4
∴∠DAO＝∠AOB＝30°.
∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO＝∠BOC＝60°，
∴∠EOA＝∠BOC＋∠AOB＝90°，
∴∠AEO＝60°，∠AOE＋∠OAB＝180°，
∴CO∥AB，∠BCO＝∠AEO，∴BC∥AE.
∴四边形ABCE是平行四边形．(共45张PPT)
第五章 四边形
第26课时 矩形、菱形、正方形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(一)矩形的性质与判定
概念 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
性质 (1)边：对边平行且相等；
(2)角：四个角都是直角；
(3)对角线：对角线互相平分且相等；
(4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形
判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形；
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形
面积 S＝ab(a，b分别表示矩形的长和宽)
1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC＝________，BC＝________，矩形ABCD的面积为________.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
4
2
4
2.如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，AC＝12，当OD＝__________时， ABCD是矩形.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
6
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(二)菱形的性质与判定
概念 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
性质 (1)边：对边平行，四条边都相等；
(2)角：两组对角分别相等；
(3)对角线：对角线互相平分且垂直，对角线平分一组对角；
(4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形
判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)四条边相等的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
面积 S＝底×高＝BC·h＝mn(m，n分别为对角线的长，h为BC边上的高).
拓展：对于对角线互相垂直的四边形，都适用菱形的面积公式S＝mn(m，n分别为对角线的长)
3.如图，将一张矩形纸片对折，旋转90°后再对折，然后沿着虚线剪下，打开剪下的部分得到四边形ABCD.
(1)你发现这个四边形一定是______ (填形状)，判定的依据是___________________________；
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
菱形
四条边相等的四边形是菱形
(2)若∠BAD＝60°，则∠ACB＝____°，∠ABD＝_____°；
(3)若BD＝6，AC＝8，则菱形ABCD的周长为________，面积为____，菱形ABCD的边AB上的高为________.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
30
60
20
24
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(三)正方形的性质与判定
概念 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
性质 (1)具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质；
(2)四个角都是直角，四条边都相等；
(3)对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角；
(4)对称性：既是轴对称图形，也是中心对称图形
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
判定 (1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(3)有一个角是直角的菱形是正方形；
(4)对角线相等的菱形是正方形；
(5)对角线互相垂直的矩形是正方形
面积 S＝a2＝l2(a为正方形的边长，l为正方形对角线的长)
4.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，且AB＝AE＝2，连接BE，则∠ABE＝__________°，AC＝_____，OE＝_________
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
67.5
2
2－
.
5.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落在BC上的点F处，折痕为BE，将纸片沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的判定方法是_____________________________.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
有一组邻边相等的矩形是正方形
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(四)特殊图形之间的关系
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(五)拓展
中点四边形结论：中点四边形的面积等于原图形面积的一半.
原图形 的形状 任意 四边形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 矩形 菱形 正方形
中点四边 形的形状 平行 四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形
考点1
考点2
考点3
考点1 矩形的性质与判定[5年1考]
例1：【思维生长】已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O.
(1)如图1，若AE平分∠BAD，AB＝OB，则∠EAC＝________°.
15
考点1
考点2
考点3
(2)向“中位线”生长：如图2，若F是AD的中点，OF＝1，BC＝4，则BO的长为________．
考点1
考点2
考点3
(3)向“垂直平分线”生长：如图3，若过点O作BD的垂线交BC于点G，AB＝5，BG＝7，则CG＝________．
考点1
考点2
考点3
(4)向“面积关系”生长：如图4，过点C作CH⊥BD，垂足为点H.若CH＝2，OC＝3，则矩形ABCD的面积为________．
12
考点1
考点2
考点3
例2： 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
(2)连接AC，BD，加上条件________后能使得四边形EFGH为矩形．请从①AB＝CD；②AC⊥BD；③AC＝BD这三个条件中选择一个进行填空(填序号)．
②
考点1
考点2
考点3
考点2 菱形的性质与判定[5年3考]
例3：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是[2025漳州模拟4分]( )
C
考点1
考点2
考点3
【拓展设问】延长EO交BC于点F，则△AOE与△COF的面积之和为________．
考点1
考点2
考点3
例4：如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E在边BC上，连接AE交BD于点F.若AF∶FE＝3∶2，BE＝4，则AD＝________．
【拓展设问】若E为BC的中点，AE⊥BC，则tan∠AFD＝________．[2025龙岩模拟改编]
考点1
考点2
考点3
例5：如图，将△ABC绕点C旋转到△DEC的位置，若AB＝AC，AB＞BC，CB平分∠ACD.求证：四边形ABDC是菱形．
证明：由题意知△ABC≌△DEC，∴AC＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC.∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCB，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD.
∴四边形ABDC是平行四边形．又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形．
考点1
考点2
考点3
例6：如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠EAF＝60°， 连接EF，交AC于点G.
(1)求证：AE＝AF；
考点1
考点2
考点3
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，
∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝AC.∵AB∥CD，∴∠ACF＝∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝∠B，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF.
考点1
考点2
考点3
(2)若BE＝1，则AG的值为________．
考点1
考点2
考点3
考点3 正方形的性质与判定[5年4考]
例7：如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，F为边AB上一点，且BF＝DE，连接EF，若∠CDE＝50°，则∠BFE的度数为[2025泉州七中模拟4分]( )
A．65° B．70° C．75° D．80°
B
考点1
考点2
考点3
例8：如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为_______.[2024福建4分]
2
例9：现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N. [2025泉州七中模拟改编]
(1)如图①，若点O与点A重合，
则OM与ON的数量关系是
__________；
考点1
考点2
考点3
OM＝ON
(2)如图②，若点O在正方形的中心(即两条对角线交点)，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.
解：仍然成立.
理由：如图②，连接AC，BD.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，BO＝CO，
∠OBM＝∠OCN＝45°.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
又∵∠MON＝90°，∴∠BOM＋∠MOC＝∠MOC＋∠CON＝90°，
∴∠BOM＝∠CON.
在△BOM和△CON中，
∵∠OBM＝∠OCN，BO＝CO，∠BOM＝∠CON，
∴△BOM≌△CON(ASA)，∴OM＝ON.
考点1
考点2
考点3
向“勾股定理”生长：如图3，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝2，则FM的长为________．
5
考点1
考点2
考点3
例10：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE＝BF.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵AE⊥BF，
∴∠DAE＋∠AFB＝90°.∴∠ABF＝∠DAE.
考点1
考点2
考点3
正方形常见的基本图形：
1．如图，矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作 AEDF.在点E从点B移动到点C的过程中， AEDF的面积( )
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
D
1
2
3
4
5
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．[2023福建4分]
10
1
2
3
4
5
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，EC＝3.若F，G分别是AE，AD的中点，则FG的长为________．[2025厦门模拟4分]
1
2
3
4
5
4.如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上的一点，分别作点P到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于 _______.
4.8
1
2
3
4
5
5．如图，正方形ABCD的边长为9，点M在AD上，且AM＝6.过点M作直线MN与BC交于点N，作直线PQ分别与AB，CD交于点P，Q.若MN，PQ将正方形ABCD的面积四等分，则PQ的长度是________．[2025厦门同安区模拟改编]
1
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3
4
5
