(共38张PPT)
第四章 三角形
第17课时 线段、角、相交线与平行线
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(一)线段的相关概念及运算
两个基本事实 (1)两点确定一条直线；
(2)两点之间，线段最短
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
两点间的距离 连接两点间的线段的长度
线段的中点 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，则AM＝BM＝ AB
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
线段的 和与差 如图，点B是线段AC上的一点，则有AB＝AC－BC，BC＝AC－AB，
AC＝AB＋BC
1. 如图，从A地到B地，路径______最短，用数学原理解释是______________________.
②
两点之间，线段最短
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2. 如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，点N是BC的中点.
若AC＝8 cm，BC＝4 cm，则MN的长为___cm；
6
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(二)角的有关概念及运算
1. 定义：
①有公共端点的两条射线组成的图形.
②一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
2. 相关概念及运算：
角的表示方法
角的分类 周角(360°)＞平角(180°)＞钝角＞直角(90°)＞锐角＞0°
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
角的单位转化 1°＝60'，1'＝60″
角平分线 如图，射线OB在∠AOC内部，若
∠BOC＝∠AOB，则OB是∠AOC
的平分线
余角与补角 ①α的余角为90°－α；
②α的补角为180°－α.
性质：同角或等角的余角(补角)相等
3. 如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOB的平分线，∠1＝∠2＝31°.
(1)∠AOD＝∠______＝
∠______＝____°；
(2)∠AOE＝____°，
∠EOB＝_____°；
BOD
AOB
90
59
121
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(3)∠AOE＝∠______，
∠EOF＝____°；
(4)图中与∠1互余的角有________________，
与∠1互补的角有________.
DOF
90
∠AOE，∠DOF
∠AOF
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(三)相交线的有关概念
1. 相交
(1)对顶角相等；(2)邻补角互补.
2. 垂直
(1)基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
3. 三线八角
(1)同位角(“F”型4组)：∠1与∠5，
∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.
(2)内错角(“Z”型2组)：∠2与∠8，∠3与∠5.
(3)同旁内角(“U”型2组)：∠2与∠5，∠3与∠8.
4. 如图，三条直线两两相交，∠1＝75°.
(1)∠2＝_____°，∠3＝____°；
(2)∠3与∠5是_____角，∠4与∠8是_____角，∠4与_____是同旁内角.
105
75
内错
同位
∠5
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(四)平行线的性质与判定
基本事实及推论 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若a∥b，b∥c，则a∥c
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
性质与判定 两直线平行 同位角相等
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等.
注意：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
5. 如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是_____，∠3的度数是______，∠4的度数是_____.
60°
120°
60°
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
6. 如图.
(1)若∠1＝∠4，则_____∥_____；
(2)若∠2＝∠3，则_____∥_____.
AB
CD
AD
BC
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(五)命题、定理、证明、反证法
1. 命题：
(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成.
(2)真假命题：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(3)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题. 原命题成立，其逆命题不一定成立.
3. 反证法的步骤：假设结论不正确→推理后与基本事实或已知矛盾→假设错误，原结论正确.
2. 证明：演绎推理的过程称为证明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
7. 已知命题：两直线平行，同位角相等.
(1)此命题为____命题(填“真”或“假”)；
(2)将该命题改写成“如果……那么……”的形式：__________
_________________________；
(3)它的逆命题为__________________________；
真
如果两直线
平行，那么同位角相等
同位角相等，两直线平行
（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
(4)如图，若a∥b，则∠1＝∠2，用反证法证明此命题，需先假设_________.
∠1≠∠2
考点1
考点2
考点3
考点4
考点1 线段、角的有关概念及运算
例1：【思维生长】 已知A，B，C是同一直线上的三点，D为AB的中点，若AB＝10，BC＝6，则CD的长为_______.
11或1
考点1
考点2
考点3
考点4
向“角”生长：已知同一平面上以O为端点有三条射线OA，OB，OC，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为______________．
100°或60°
考点1
考点2
考点3
考点4
向“特殊位置关系”生长：如图，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OE⊥OD.求证：A，O，B三点共线．
证明：∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°.
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOC＝2∠COE.
∴∠AOC＋∠BOC＝2(∠COD＋∠COE)＝2∠DOE＝180°，即∠AOB＝180°，∴A，O，B三点共线．
考点1
考点2
考点3
考点4
考点2 相交线的有关概念
例2： 如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，∠AOC＝70°，∠BOE∶∠EOD＝2∶3，则∠AOE的度数为________．
152°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点3 平行线的性质与判定[5年4考]
例3：在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所示的方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为 [2024福建4分]( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
A
考点1
考点2
考点3
考点4
例4：如图，是光信号在光纤中传输的一小段过程的图示，图示中可看作两个平行放置的平面镜，光信号经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝35°，则∠3的度数为[2025漳州一检4分]( )
A．100° B．110° C．135° D．145°
B
考点1
考点2
考点3
考点4
例5：如图，小明从A处出发，沿北偏东65°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需把方向调整至CE，才能与出发时的方向一致，则∠1的度数为( )
[2025泉州一中模拟4分]
A．65° B．70° C．80° D．85°
D
考点1
考点2
考点3
考点4
例6：如图，MN∥PQ，将两块直角三角尺(一块含30°角，一块含45°角)按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC＝20°，∠MAE＝∠CBQ.
(1)∠CBQ＝____°；
25
考点1
考点2
考点3
考点4
点拨：如图，过点C作CF∥PQ，
∵MN∥PQ，∴MN∥CF∥PQ，
∴∠ACF＝∠CAN＝20°，∠CBQ＝∠BCF.
∵∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝45°，
∴∠BCF＝25°，∴∠CBQ＝25°.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由.
解：AB∥DE，理由如下：
∵∠MAE＝∠CBQ＝25°，∠BAC＝45°，
∠NAC＝20°，
∴∠EAB＝180°－∠MAE－∠BAC－NAC＝90°.
又∵∠DEA＝90°，∴∠DEA＋∠EAB＝180°，∴AB∥DE.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点4 命题、定理、反证法[5年1考]
例7：小明说：“命题'＝a'是假命题. ”若你想用一个实数a的值来举反例，则这个a的值可以是________________. (写出一个即可)
－1(答案不唯一)
考点1
考点2
考点3
考点4
例8：小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整.
已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，
求证：_______
a∥b.
考点1
考点2
考点3
考点4
证明：
假设a，b相交，且交点为A，
则过A点有两条直线a，b都平行于c，
这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
所以假设是错误的，所以a∥b.
1
2
1．如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为[2025陕西]( )
A．76° B．74° C．64° D．52°
A
1
2
2．光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的m，n两个面，且m∥n，现有一束光线AB从空气射向玻璃时发生折射，光线变成BC，D为AB延长线上一点．已知∠1＝145°，∠2＝20°，则∠3的度数为[2025龙岩长汀一检4分]( )
A．110° B．115° C．120° D．125°
D(共24张PPT)
第四章 三角形
第20课时 直角三角形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
直角三角形的性质与判定
图示 性质 判定
直角三角形 ①直角三角形的两个锐角互余； ②勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个角互余的三角形是直角三角形；
图示 性质 判定
直角三角形 ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
面积： SRt△ABC＝ ch＝ ab(其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高)
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，AE为BC边上的中线.
(1)若∠B＝50°，则∠C＝______；
(2)若AE＝1，则BC＝___；
40°
2
(3)若∠C＝30°，AB＝2，则BC＝___，BD＝___；
(4)若AB＝3，BC＝5，则AC＝___，S△ABC＝___，AD＝____.
2. 在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝1，则AB的长为___.
4
1
4
6
考点1
考点2
考点3
考点1 直角三角形的性质[5年6考]
例1：小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与容器底面平行，其截面图如图所示．若∠1＝70°，∠ABO＝130°，则∠2＝________．
[2025泉州惠安模拟4分]
20°
例2：【思维生长】某房梁如图1所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8 m，则DE的长为________m．[2025福建4分]
考点1
考点2
考点3
4
向“角的关系”生长：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，AB>AC，E，F分别为AB，BC的中点，若∠C＝α，则∠DEF的度数为________(用含α的式子表示)．[2025泉州七中模拟4分]
考点1
考点2
考点3
2α－90°
例3：【思维生长】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝3，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为________．[2025福州外国语模拟4分]
考点1
考点2
考点3
提分笔记：将线段或三角形绕端点或顶点旋转60°，会得到等边三角形．
向“构造直角三角形”生长：把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝ ，则CD＝________．
考点1
考点2
考点3
例4：【代数推理】下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．
考点1
考点2
考点3
方法一：如图①，大正方形的边长为(a＋b)，小正方形的边长为c. 方法二：如图②，大正方形的边长为c，小正方形的边长为(b－a)．
考点1
考点2
考点3
∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，∴a2＋b2＝c2.
(或选择方法二．证明如下：
考点1
考点2
考点3
考点2 直角三角形的判定
例5：有下列条件：①∠A＝∠B＋∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
例6：阅读以下解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.
上述解题过程，开始出现错误的步骤的序号为______，
考点1
考点2
考点3
③
错误的原因是___________________________，请写出正确的解题过程.
考点1
考点2
考点3
解：正确的解题过程：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2＝，
则c2－＝0，
没有考虑到a2－b2＝0的情况
即＝0，
∴＝0或c2－＝0，
∴a＝b或c2＝a2＋b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
考点3 勾股定理的应用
例7：我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．如果秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？(要求：根据题意画出图形并解答)[2025厦门同安一中模拟8分]
考点1
考点2
考点3
解：依题意，画出图形如图所示．
作B′D⊥AB于点D，则B′D＝10尺．
易知DB＝4尺．设秋千绳索长度AB＝AB′＝x尺，
则AD＝(x－4)尺．
在Rt△ADB′中，AD2＋B′D2＝AB′2，
即(x－4)2＋102＝x2，
解得x＝14.5.
答：秋千绳索的长度为14.5尺．
1. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km. 据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A. 2 km B. 3 km
C. 2 km D. 4 km
D
1
2
3
4
5
2. 已知｜a－6｜＋(2b－16)2＋＝0，则以a、b、c为三边的三角形的形状是______________.
直角三角形
1
2
3
4
5
3．如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，连接CD，过点E作CD的平行线，交BC的延长线于点F.若AB＝8，则EF的长为________．[2025泉州一检4分]
4
1
2
3
4
5
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝18°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为________．[2025厦门第十中学模拟4分]
54°
1
2
3
4
5
5. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建. 主要内容为“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝，BC＝12，D为BC边上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则根据出入相补原理，我们可
以发现，DE＋DF为定值，则DE＋DF的值为_____.
1
2
3
4
5(共31张PPT)
第四章 三角形
第24课时 锐角三角函数与解直角三角形的应用
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)锐角三角函数
1. 定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如图，
∠A的正弦：sin A＝＝；
∠A的余弦：cos A＝＝；
∠A的正切：tan A＝＝.
（一）
（二）
2. 特殊角的三角函数值：
（一）
（二）
α sin α cos α tan α
30°
45° 1
60°
1. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin
A＝____，cos A＝____，tan A＝_____.
（一）
（二）
2. 计算：
(1)tan 45°＋sin 60°＝_____；
(2)2sin 30°cos 45°＝____；
(3)若2cos A＝1，则锐角∠A＝____°.
60
（一）
（二）
（一）
（二）
(二)解直角三角形及实际应用
1. 解直角三角形中的边角关系(如图)：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角关系：sin A＝cos B＝，
cos A＝sin B＝，tan A＝，tanB＝；
(4)面积关系：S＝ab＝ch.
（一）
（二）
（一）
（二）
2. 解直角三角形的实际应用：
仰角、俯角 坡角、坡度(坡比) 方向角
（一）
（二）
视线在水平线上方的角叫仰角； 视线在水平线下方的角叫俯角 坡角为α； 坡度(坡比)为i＝ ＝tan α 点A在点O的北偏东60°方向上；
点B在点O的北偏西20°方向上；
点C在点O的南偏东45°(东南)方向上
（一）
（二）
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.
(1)若a＝5 cm，∠A＝45°，则∠B＝_____，c＝________；
45°
5 cm
(2)若c＝10 cm，∠B＝30°，则
a＝_________，b＝______；
(3)若a＝4 cm，c＝8 cm，则cos A＝_____，
tan A＝______，tan B＝_____；
(4)若a＝b，则sin B＝___，tan A＝____，tan B＝____.
（一）
（二）
5 cm
5 cm
考点1
考点2
考点3
考点1 锐角三角函数[5年2考]
例1：【思维生长】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则sinA＝( )
A. B.
C. D.
D
向“构造直角三角形”生长：在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图2，在4×4的网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ACB的值是________．[2025龙岩新罗区一检4分]
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
例3： 计算：(1)cos245°＋tan 60°cos 30°；
解：原式＝＋×＝＋＝2.
考点1
考点2
考点3
计算：(2)＋tan 30°.
解：原式＝÷＋＝×＋＝－1＋＝－1.
考点1
考点2
考点3
考点2 解直角三角形[5年5考]
例5：【思维生长】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D在AC上，∠DBC＝∠A. 若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为______.
向“构造直角三角形”生长：如图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝ ，点P为边AC上一点，则线段BP长的范围是____________．
考点1
考点2
考点3
向“设参数法”生长：如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边AB上的一点，若AD＝AB，则tan∠DCB＝___.
考点1
考点2
考点3
向“边角变化关系”生长：《孙子算经》中记载“分田之术”，强调通过分割与重组几何图形以简化面积计算．现有一田地形如矩形，如图4，在矩形ABCD中，两条等宽的平行四边形田埂交错，且EF＝GH＝1.若田埂与矩形两组对边所夹锐角为θ，当θ增大时，重叠部分四边形PQMN的面积[2025南安一检4分]( )
A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小
考点1
考点2
考点3
A
考点1
考点2
考点3
考点3 解直角三角形的应用[5年4考]
例4：人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是________m．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)[2025眉山]
1.8
例5：五一假期，晶晶一家要自驾到风景区C游玩(如图)，到达A地后，导航系统屏幕显示车辆应沿北偏西45°方向行驶20千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，晶晶发现风景区C在A地的北偏东15°方向，求B，C两地的距离．(运算结果请保留根号)[2025漳州模拟8分]
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB＝∠BDC＝90°.
易知∠ABE＝45°，∴∠ABC＝180°－60°－45°＝75°，
∵∠BAD＝45°＋15°＝60°，
∴∠C＝180°－75°－60°＝45°.
考点1
考点2
考点3
例6：如图，小明从点A出发，沿着坡度i(即tan A)为1∶2.4的坡道AB向上走了130 m到达点B，再沿着水平平台BC向前走了80 m到达点C，最后沿着坡角为36.8°的坡道CD向上走了150 m到达点D.[2025厦门一中模拟8分]
(1)当小明到达点B时，他沿竖直方向上升的高度为________m；
50
考点1
考点2
考点3
(2)求A，D间的水平距离AE的长．(参考数据：sin 36.8°≈0.60，cos 36.8°≈0.80，tan 36.8°≈0.75)
解：如图，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CG⊥AE于点G，延长BC交DE于点H，由题易知BC∥AE，DE⊥AE.
∴BF∥CG∥HE，∠CGF＝∠E＝90°，
∴四边形BFGC和四边形CGEH都是平行四边形，
∴四边形BFGC和四边形CGEH都是矩形，
考点1
考点2
考点3
∴FG＝BC＝80 m，GE＝CH，∠CHE＝90°，∴∠CHD＝90°.
在Rt△DCH中，CD＝150 m，∠DCH＝36.8°，
∴CH＝CD·cos∠DCH＝150×cos 36.8°≈150×0.80＝120(m)，
∴GE＝CH≈120 m.
由(1)知BF＝50 m，
∴AF＝BF×2.4＝50×2.4＝120(m)，
考点1
考点2
考点3
∴AE＝AF＋FG＋GE≈120＋80＋120＝320(m)．
答：A，D间的水平距离AE的长约为320 m.
1
2
3
B
1
2
3
2. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC. 如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角∠DPB＝α，点C处的俯角∠DPC＝45°，点A，B，C在同一条水平直线上. 若AP＝45 m，tan α＝3，则河流的宽度BC为 ( )
A. 30 m B. 25 m
C. 20 m D. 15 m
A
1
2
3
3．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝8，BC＝6，点D在边AC上运动，DE⊥BC于点E，则△BDE的面积的最大值为__________．[2025泉州模拟4分](共33张PPT)
第四章 三角形
第18课时 三角形、多边形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
（三）
(一)三角形的有关概念及性质
1. 三角形的分类
①按边分
②按角分：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.
2. 三角形的边角关系
（一）
（二）
（三）
(2)角的关系：
①内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
②内、外角关系：任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于任何一个和它不相邻的内角.
(1)三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)边角关系：在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，长边对大角，短边对小角.
（一）
（二）
（三）
3. 三角形具有稳定性.
1. 如图，已知△ABC.
(1)若AB＝4，AC＝6，则BC长的取值范围是___________；
2＜BC＜10
（一）
（二）
（三）
(2)若∠2＝75°，∠3＝30°，则∠1的度数为______，∠4的度数为________；
(3)若∠1＝60°，∠2＝30°，
则△ABC的形状是_______________.
75°
105°
直角三角形
（一）
（二）
（三）
（一）
（二）
（三）
(二)与三角形有关的重要线段
图示 性质及重要结论
中线 ①BD＝CD＝ BC；
②重心：三角形三条中线的交点；
③重心到顶点的距离和到对边中点的距离之比为2∶1；
④中线将三角形分割成面积相等(等底同高)的两个三角形，S△ABD＝S△ADC
图示 性质及重要结论
高 (1)AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°；
(2)垂心：三角形三条高的交点
角平分线 (1)∠1＝∠2＝∠BAC；
(2)内心：三角形三条角平分线的交点；
(3)内心到三角形三边的距离相等
（一）
（二）
（三）
图示 性质及重要结论
中位线 (1)AD＝BD，AE＝CE，
DE∥BC且DE＝BC；
(2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，可以利用其证明线段平行或倍分问题
拓展：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
（一）
（二）
（三）
2. 如图，已知△ABC，AD是BC边上的中线.
(1)若AB＝3，AC＝5，则△ACD与△ABD的周长差为___；
(2)若△ABC的面积为12，则△ACD的面积为___.
2
6
（一）
（二）
（三）
3. 如图，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠DAE＝____°.
20
（一）
（二）
（三）
4. 如图，若D为AB的中点，E为AC 的中点，且∠ABC＝60°，BC＝4，则∠ADE＝____°，DE＝___；
60
2
（一）
（二）
（三）
（一）
（二）
（三）
(三)多边形
1. 内角和定理：n边形的内角和为(n－2)×180°.
3. 对角线：n边形共有条对角线.
2. 外角和定理：n边形的外角和为360°.
4. 正多边形：(1)正n边形的每个内角都相等且每一个内角为或180°－；
(2)每一个外角为；
(3)正n边形是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形.
（一）
（二）
（三）
5. 如图，六边形ABCDEF为正六边形.
(1)它的内角和为______，每个内角的度数为______，每个外角的度数为_____；
（一）
（二）
（三）
720°
120°
60°
(2)∠α＝____°；
(3)正六边形有___条对称轴.
（一）
（二）
（三）
60
6
考点1
考点2
考点3
考点1 三角形的有关概念及性质[5年2考]
例1：若三角形两边的长分别为7和2，第三边的长为奇数，则第三边的长为( )[2025泉州七中模拟4分]
A．3 B．5
C．7 D．9
C
考点1
考点2
考点3
例2：某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为[2025福建4分]( )
A．5° B．15° C．25° D．35°
B
考点1
考点2
考点3
例3：具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A. ∠A＝∠B＝3∠C B. ∠A＋∠B＝∠C
C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
A
考点1
考点2
考点3
考点2 与三角形有关的重要线段
例4： 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E是线段AD的中点，F是CE的中点，且△ABC的面积为40，则△BEF的面积为_____.
10
考点1
考点2
考点3
例5：如图，在△ABC中，AB＝18，BC＝16，CE⊥AB于点
E，CE＝12，点D在BC上移动，则AD的最小值是____ .
考点1
考点2
考点3
例6： 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则x的值为_____.
140
考点1
考点2
考点3
如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝_____.
40°
考点1
考点2
考点3
如图，△ABC的两个外角的平分线交于点D，若∠D＝α，则∠C的度数为__________. (用含α的代数式表示)
180°－2α
考点1
考点2
考点3
例7：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，延长CO交AB于点D，若OD＝1，则AB＝___.
6
考点1
考点2
考点3
例8： 如图，A，B两地被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测算出A，B两地之间的实际距离？请说明理由.
考点1
考点2
考点3
解：如图，取AC的中点E，BC的中点F，
连接EF，量得EF的长，则A，B两地之间
的实际距离为EF的长的2倍.
理由：∵E，F分别是AC， BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，即AB＝2EF.
考点1
考点2
考点3
考点3 多边形[5年1考]
例9：【思维生长】如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数为____. [2025福州外国语模拟4分]
12
考点1
考点2
考点3
向“逆向推理”生长：如图1，苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面内，且所有碳碳键的键长都相等，组成了一个完美的正六边形(如图2)，则∠EAF的度数为________°.[2025莆田中山中学模拟4分]
30
考点1
考点2
考点3
向“复合图形”生长：如图3，以正五边形ABCDE的边CD向内作正方形CDFG，则∠BCG的度数为________°.[2025漳州模拟改编]
18
1
2
1．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，则∠ABD的度数为________．
72°
1
2
2．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为∠ABC的平分线，若∠BFC＝110°，则∠BCF的度数为________．
50°(共24张PPT)
第四章 三角形
第23课时 相似三角形的应用
教材梳理篇
课堂精讲——聚焦福建中考
1
当堂小练
2
教材梳理篇
考点 相似三角形的实际应用
类型1：测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，常用方法：
平面镜测量法 影子测量法 标杆测量法 手臂测量法
例1：如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上)，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端. 已知小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时量得小明与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆的高度为( )
A. 6.4 m B. 8 m
C. 9.6 m D. 12.5 m
B
例2：如图，小明在A时测得某树的影长为8 m，B时又测得该树的影长为2 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )
A. 2 m
B. 4 m
C. 6 m
D. 8 m
B
例3：如图，一棵树PQ的底部可以到达，但顶部不能到达，某探究小组想利用标杆、皮尺、平面镜等工具测量树PQ的高度，测量及求解过程如下：[2025漳州模拟8分]
(1)若只能选择两种测量工具，则它们是__________，画出测量示意图；
标杆、皮尺
测量示意图如图．
(2)用a，b，c表示出测量所得的数据，并求树高PQ.
解：如图，BC，RQ分别为标杆AB、树PQ在阳光下的影子，且点C，B，R，Q在同一条直线上．
通过测量得RQ＝a，CB＝b，标杆AB＝c.
∵AC∥PR，∴∠ACB＝∠PRQ.
例4：某旅游景点内有一座塔，小亮打算测量它的高度．如图，小亮拿着一部长为16 cm的手机(图中CD＝16 cm)站在广场上离该塔121 m的点F处(即FB＝121 m)，他把手机竖直并将手臂向前伸(即CD∥AB)，手机上下两端恰好挡住他观察该塔的视线(即点A，C，E在一条直线上，点B，D，E在一条直线上)，已知点E到手机CD的距离为30 cm，AB⊥BF，EF⊥BF，图中所有的点都在同一平面内，
求该塔的高度AB.(精确到0.1 m)
解：如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点H，
∵CD∥AB，∴EH⊥AB，△ECD∽△EAB，
∴＝. 由题知CD＝16 cm，EM＝30 cm，
EH＝BF＝121 m＝12 100 cm，
∴＝，∴AB≈6 453 cm≈64.5 m.
答：该塔的高度AB约为64.5 m.
类型2：测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，
常构造如下两种相似三角形求解：
1. 如甲图所示，通常可先测量图中
的线段DC、BD、CE的距离(长度)，根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2. 如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
例5：在一次测量活动中，为了测量河两岸A地与B地之间的距离，某研究性学习小组建立了如图所示的数学模型，∠ABD＝∠CDE＝90°，测得DE＝50 m，DC＝20 m，BC＝40 m，则A地与B地之间的距离为( )
A. 80 m B. 50 m
C. 100 m D. 100 m
C
例6：下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB.
题目 测量河流宽度AB
示意图
测量数据 BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m
解：由示意图知CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠ABC＝∠ADE＝90°.
又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，
∴＝.
∵BC＝1.5 m，BD＝10 m，DE＝1.8 m，
∴＝，
∴AB＝50 m，即河流的宽度AB为50 m.
类型3：三角形内接矩形问题
例7：【思维生长】有一块三角形铁片ABC，BC＝12，高AH
＝8，按图①②两种设计方案把它加工成一块矩
形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为
了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量
大些. 请你通过计算判断两种设计方案哪个更好.
解：方案一更好.
设方案一中DE＝x，易得△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，解得x＝，∴2x＝，
∴矩形铁片的面积为；
设方案二中DE＝2y，同上易得＝，解得y＝3，
∴矩形铁片的面积为18.
∵＞18， ∴方案一更好.
向“一般化”生长：某数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图所示的是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P，N分别在边AB，AC上．
(1)若AP＝52，BP＝28，BC＝60，请求出矩形生态农业观光园PN边的长；
解：在矩形观光园PEFN中，PN∥EF，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∴＝.
∵AP＝52，BP＝28，BC＝60，
∴PN＝·BC＝39.
(2)设BC＝a，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由.
解：矩形观光园PEFN的面积存在最大值.
设PE＝x，则点A到PN的距离为h－x，
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，∴PN＝a－x，
∴S矩形PEFN＝PE·PN＝x＝－x2＋ax＝－＋，
∴当PE＝时，S矩形PEFN取得最大值，为.
1
2
3
1. 小明做“小孔成像”实验. 如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏之间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6 cm时，所成的像A'B'的高度为( )
A. 0.8 cm B. 2.4 cm
C. 3.2 cm D. 4.8 cm
C
1
2
3
2. 台球是用球杆在台上击球，依靠计算得
分确定比赛胜负的室内体育运动. 如图是一
张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，
某球员击位于AB的中点E处的球，球沿EF射
向边AD，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射
定律. 若球的速度为v米/秒，则球从击出到入袋的时间为____
秒(用含m和v的式子表示).
1
2
3
3．身高均为1.6 m的小明与小强站在学校球场的A照明灯和B照明灯之间，两盏灯的高度均为6.4 m，如图所示．已知小明的身影的顶部正好在A灯的底部N处，小强的身影的顶部正好在B灯的底部Q处，已知两灯之间的距离为10 m，求两人之间的距离．[2025福建百校联考模拟改编]
1
2
3
解：如图．由题意得CD∥BQ，EF∥AN，AN＝BQ＝6.4 m，CD＝EF＝1.6 m，NQ＝10 m，
∴DF＝NQ－ND－FQ＝10－2.5－2.5＝5(m)，
即两人之间的距离是5 m.(共28张PPT)
第四章 三角形
第19课时 等腰三角形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)等腰三角形的性质与判定
图示 性质 判定
等腰三角形 ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(简述为“等边对等角”)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简述为“三线合一”)； ④等腰三角形是轴对称图形 ①有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为“等角对等边”)
(1)若∠A＝110°，则∠C＝______；
(2)若∠A＝80°，则∠C＝__________________；
(3)若△ABC的两边长分别是3和6，则它的周长为____.
2. 在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC______(填“是”或“不是”)等腰三角形.
35°
20°或80°或50°
15
是
（一）
（二）
1.已知△ABC为等腰三角形，
（一）
（二）
(二)等边三角形的性质与判定
图示 性质 判定
等边三角形 ①三边相等； ②三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； ③是轴对称图形，有3条对称轴； ④三线合一 ①三边都相等的三角形是等边三角形(定义)；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
3. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，则∠ABD
＝____°，AD与BC的数量关系为____________________________.
（一）
（二）
30
AD＝BC(或BC＝2AD)
4. 在△ABC中，AB＝AC＝1 cm，当BC＝__cm时，△ABC是等边三角形.
（一）
（二）
1
考点1
考点2
考点1 等腰三角形的性质与判定[5年7考]
例1：【思维生长】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于 ( )
A. 10
B. 5
C. 4
D. 3
B
向“旋转变换”生长：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转90° 得到△DEC，连接BE，则∠BED的度数为( )
A．45° B．30° C．22.5° D．15°
考点1
考点2
D
向“尺规作图”生长：如图3，已知等腰三角形ABC，
AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半
径画弧，与AC交于点E，连接BE，则∠ABE＝_____°.
向“平面直角坐标系”生长：在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，1)和(－2，2)，以AB为腰作等腰三角形ABC，若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴，则点C的坐标为____________________．
考点1
考点2
30
(－4，1)或(2，2)
例2： 如图，在△ABC中，△ABC的周长为18，BC＝7，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF平行于BC，分别交AB，AC于点E，F.
(1)求证：△DFC是等腰三角形；
考点1
考点2
证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB.
∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∴∠ACD＝∠FDC，
∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形.
(2)求△AEF的周长.
考点1
考点2
解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，
∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED. 由(1)知FC＝FD.
∵△ABC的周长为18，BC＝7，
∴AB＋AC＝18－7＝11. ∴AE＋BE＋AF＋CF＝11，
∴AE＋DE＋AF＋DF＝11，
即AE＋AF＋EF＝11，即△AEF的周长为11.
考点1
考点2
考点2 等边三角形的性质与判定[5年4考]
例3：【思维生长】如图1，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，AD＝4，E是AC的中点，连接BE，与AD交于点P，连接PC，则BE＝________，∠BCP＝__________°.[2025厦门翔安区二模改编]
考点1
考点2
向“等腰三角形”生长：如图2，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD⊥AC于点D，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，则∠E＝________°， BE的长为________，△ABC的面积为______．
30
3
等边三角形的面积公式：
h＝a
S＝ah＝a2
考点1
考点2
向“多边形”生长：如图3，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC的度数为____________．
考点1
考点2
126°
向“分类讨论思想”生长：如图4，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，M，N分别从点A，B同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点M的运动速度为1 cm/s，点N的运动速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动．设运动时间为t(t>0)s.
(1)当t＝________时，M，N两点重合；
(2)当t＝________时，△AMN为等边三角形；
(3)当t＝_____________________________________时，点M，N与△ABC中的某一顶点构成等腰三角形．
考点1
考点2
12
4
例4：【思维生长】如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可添加的一个条件是________．(写出一个即可)
考点1
考点2
∠B＝60°
向“全等三角形”生长：如图2，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
考点1
考点2
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.
∵AD＝BE＝CF，∴AC－CF＝AB－AD，即AF＝BD.
考点1
考点2
∴△ADF≌△BED(SAS)，∴DF＝DE，
同理可证DE＝EF，∴DE＝DF＝EF.
∴△DEF是等边三角形．
例5：如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已知EF过点A，BE交CD于点G.[2025福建8分]
考点1
考点2
(1)求∠DCE的大小；
考点1
考点2
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
∵D是AB的中点，
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°.
∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝30°.
∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，
(2)求证：△CEG是等边三角形．
考点1
考点2
证明：由平移可知CD∥EF，∴∠EAC＝∠DCA＝30°.
又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∴BE垂直平分AC.
∵∠AEC＝180°－∠EAC－∠ECA＝120°，∴易知∠GEC＝ ∠AEC＝60°，
由(1)知，∠GCE＝60°，∴∠EGC＝60°，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC，∴△CEG是等边三角形．
1
2
3
4
5
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，则∠ACD的度数为( )
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 140°
B
1
2
3
4
5
2．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝________．
15°
1
2
3
4
5
3．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，AD＝CD，E为AC上任意一点，∠B＝∠BDC，若DE的最小值为2，则DC的长为________．[2025福州华伦中学三模4分]
4
1
2
3
4
5
4.如图，已知等边三角形ABC，O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE＋OF 的值为___.
1
1
2
3
4
5
5.如图，飞机从A地向正北方向飞行1 400 km到达B地，再从B地沿东偏南30°的方向飞行1 400 km到达C地，则A、C两地的距离是多少千米？
解：由题意得∠CBD＝30°，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD－∠CBD＝60°.
∵AB＝1 400 km，BC＝1 400 km，∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝1 400 km.
即A、C两地的距离是1 400 km.(共33张PPT)
第四章 三角形
第21课时 全等三角形
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
（一）
（二）
(一)全等三角形的概念及性质
1. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2. 性质：
(1)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、中位线)相等；
(3)全等三角形的周长相等、面积相等.
1.如图，已知△ABC，AB＝6 cm，∠B＝35°，把△ABC沿直线AC翻折后能与△ADC完全重合，则△ABC≌________，AB的对应边是________，AD＝________cm，∠B的对应角是________，∠D＝________°.
6
△ADC
AD
（一）
（二）
∠D
35
（一）
（二）
(二)全等三角形的判定
符号表示 判定依据
SSS (边边边) 三边分别相等的两个三角形全等(基本事实)
（一）
（二）
符号表示 判定依据
SAS (边角边) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(基本事实)
ASA (角边角) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(基本事实)
（一）
（二）
符号表示 判定依据
AAS (角角边) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
HL(斜边、 直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
2. 如图，已知线段AB、CD相交于点O，OA＝OB，要使△OAC≌△OBD.
(1)若利用SAS，需补充一个条件：_________；
（一）
（二）
OC＝OD
(2)若利用ASA，需补充一个条件：__________；
(3)若利用AAS，需补充一个条件：__________；
(4)当AB⊥CD时，若利用HL，需补充一个条件：___________.
（一）
（二）
∠A＝∠B
∠C＝∠D
AC＝BD
考点1
考点2
考点3
考点1 全等三角形的性质
例1：如图，已知△ABE≌△ACD，下列结论不一定成立的是[2025泉州七中模拟改编]( )
A．AB＝AC B．∠BAD＝∠CAE
C．∠AEB＝∠ADC D．AD＝DE
D
考点1
考点2
考点3
【拓展设问1】若C△ABE＝15，则C△ACD＝________．
【拓展设问2】若S△ABE＝10，AD为△ABE的中线，则S△ACE＝________．
15
5
考点1
考点2
考点3
考点2 全等三角形的判定
例2： 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，与地面组成△ABC. 固定住长木棍AB，转动短木棍AC，得到△ABD(B，C，D三点共线). 这个试验说明了有两边和其中一边的对角分别相等的两个三边形_______全等. (填“一定”或“不一定”)
不一定
例3：[2025漳州适应性检测改编]
考点1
考点2
考点3
∠BAC＝∠E
∠BAC
∠E
SAS
考点1
考点2
考点3
考点3 全等三角形的性质与判定[5年2考]
类型1：平移型
例4：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF.求证：∠B＝∠DEF.[2025龙岩二模改编]
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. ∵AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.
提分笔记
特征 沿同一直线(BC)平移两三角形重合.
平移 模型
策略 由BE＝CF推得BC＝EF
结论 △ABC≌△DEF
考点1
考点2
考点3
类型2：旋转型
例5：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，则下列说法中不正确的是( )
A．AB＝AB′
B．∠BAB′＝∠CAC′
C．△ABC≌△AB′C′
D．∠CAB′＝50°
考点1
考点2
考点3
D
例6：如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点(不与点A，B重合)，AD
考点1
考点2
考点3
证明：由题意得CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠CBE＋∠ABC＝90°，即∠ABE＝90°.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
提分笔记
特征 此模型可看成是将三角形绕着公共顶点
旋转一定角度形成的
手拉手 模型
已知 ∠BAD＝∠EAC，AB＝AD，AE＝AC
策略 由∠BAD＝∠EAC推得∠BAE＝∠DAC
结论 △ABE≌△ADC
类型3：对称型
例7：如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD.求证：AB＝AD.[2025福建8分]
考点1
考点2
考点3
证明：∵∠CBE＝∠CDF，∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠ABC＝∠ADC.
例8：【思维生长】如图1，AB与CD相交于点O，AC＝BD，添加一个条件：_____________________，使得△ACO≌△BDO (写出一个即可)．
考点1
考点2
考点3
∠A＝∠B(答案不唯一)
向“四边形”生长：如图2，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________．[2025福建4分]
考点1
考点2
考点3
1
向“自主构建”生长：如图3，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D是BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
考点1
考点2
考点3
解：如图，延长AD至点M1，使得AD＝DM1，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC.
∵DM1＝AD，∠BDM1＝∠ADC，∴△M1DB≌△ADC，∴BM1＝AC＝8.
在△ABM1中，AB－BM1即12－8∴4考点1
考点2
考点3
提分笔记
类型 轴对称型 中心对称型
特征 图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合 图形可绕着某个定点旋转180°后完全重合
对称 模型
考点1
考点2
考点3
类型4：一线三等角型
特征 同一直线上，在同侧或异侧，有三个等角，且已知一组等边，则可得两个三角形全等
模型 演变
考点1
考点2
考点3
例9：通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
“赵爽弦图”源自汉代赵爽对《周髀算经》的注解，如图1，蕴含丰富的几何关系．受这幅图的启发，某数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”(图2)，借弦图探索全等图形的几何规律．
【模型应用】
(1)如图2，已知△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：△AEC≌△CFB.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECA＋∠FCB＝90°.
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，
∴∠ECA＋∠EAC＝90°，∴∠FCB＝∠EAC.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
【模型构建】
(2)如图3，等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，其中A(－2，0)，B(0，1)，则点C的坐标为________．
(－3，2)
考点1
考点2
考点3
【模型变形】
(3)如图4，若改变直线的位置，其余条件与(1)相同，当AE＝1，BF＝4时，EF的长为________．
3
考点1
考点2
考点3
【模型一般化生长】
(4)如图5，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，则DE，BD，CE三条线段的数量关系为________________．
DE＝BD＋CE
1．如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶(透明)内壁上A，B两点之间的距离．图中△AOB与△COD全等的依据是[2025山西]( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
B
1
2
3
2．如图，网格中每个小正方形的边长均相等，则∠1＋∠2的度数是________°.[2025三明二检改编]
1
2
3
90
3．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，∠AEB＝∠AFD，求证：BE＝DF.[2024福建8分]
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵∠AEB＝∠AFD，
∴△ABE≌△ADF，∴BE＝DF.
1
2
3(共37张PPT)
第四章 三角形
第22课时 相似三角形的性质
教材梳理篇
知识过关
1
课堂精讲——聚焦福建中考
2
当堂小练
3
教材梳理篇
(一)比例线段
1. 比例的基本性质
①基本性质：如果＝，那么ad＝bc(bd≠0).
②合比性质：如果＝，那么＝(bd≠0).
（一）
（二）
（三）
③等比性质：如果＝＝…＝(bd·…·n≠0且b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
（一）
（二）
（三）
2. 黄金分割：一般地，点C把线段AB分
成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果
＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点(如图)，
AC与AB的比叫做黄金比，即＝＝≈0.618.
（一）
（二）
（三）
3. 平行线分线段成比例
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
（一）
（二）
（三）
1. 已知＝＝≠0，则的值为___.
2. 如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相
交于点G，AG＝2，DG＝1，DF＝5，
则＝___， ＝___， ＝___.
2
（一）
（二）
（三）
（一）
（二）
(二)相似三角形和相似多边形
1. 相似三角形的性质与判定
(1)性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
（三）
(2)判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（一）
（二）
②两角分别相等的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④三边成比例的两个三角形相似.
（三）
2. 相似多边形的性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例(对应边的比叫做相似比).
(2)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
（一）
（二）
（三）
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，则△ADE∽________，当＝时，＝____，＝___， ＝_____.
△ABC
（一）
（二）
（三）
4. 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则相似比为______，a＝____，∠D＝_____°.
1∶2
10
135
（一）
（二）
（三）
(三)位似
1．概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比．(如图)
（一）
（二）
（三）
2．性质：
(1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
(2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
(3)位似图形中的对应边互相平行(或在同一条直线上)；
(4)位似图形中的对应点的连线交于一点(位似中心)．
（一）
（二）
（三）
5.如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比为________．
（一）
（二）
（三）
2∶1
考点1 比例线段
例1：【思维生长】已知 ，则下列等式成立的是[2025厦门同安区一检4分]( )
A．5x＝2y B．2x＝5y C．5x＝7y D．7x＝5y
C
考点1
考点2
考点3
向“数形结合”生长：如图1，已知l1∥l2∥l3，l4与l1，l2，l3分别交于A，B，C三点，l5与l1，l2，l3分别交于D，E，F三点．若AB＝1，BC＝2，AD＝DE＝ ，则图中长度为3的线段是( )
A．EF B．DF C．BE D．FC
A
考点1
考点2
考点3
向“特殊化”生长：如图2，点C是线段AB的黄金分割点，即 ，若S1表示以CA为边的正方形的面积，S2表示长为BD，宽为CB的矩形的面积，且BD＝AB，则S1________S2(填“>”“<”或“＝”)
＝
考点1
考点2
考点3
考点2 相似三角形的性质与判定[5年9考]
类型1：公共角型
例2：如图，在△ABC中，AB>AC，点D在AB边上，点E在AC边上且AD∠ADE＝∠C
考点1
考点2
考点3
提分笔记
特征 有一个公共角
A型演变路径
已知：DE∥BC 已知：∠1＝∠2
结论：△ADE∽△ABC 结论：△ADE∽△ABC，
AE·AB＝AD·AC
考点1
考点2
考点3
类型2：平行型
例3：【思维生长】如图1，在菱形ABCD中，点E在边AB上，连接CE交对角线BD于点F，若EF∶FC＝2∶3，BE＝4，则CD的长度为________．[2025厦门双十中学模拟改编]
考点1
考点2
考点3
6
向“公共边转化”生长：如图2，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AC，BE交于点O，过点O作OF∥AB，交BC于点F，若AB＝4，则OF＝________．[2025漳州一检改编]
考点1
考点2
考点3
向“一般化”生长：如图3，在△ABC中，D是边AB上的一点，DE∥BC，连接BE.从下列条件中，选择一个合适的条件：
考点1
考点2
考点3
类型3：一线三等角型
例4：【思维生长】如图，一块直角三角尺的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边
经过点D，另一条直角边与AB交于点Q.请写
出一对相似三角形，并加以证明．
(图中不添加字母和线段)
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
解：△BPQ∽△CDP.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠QPB＋∠BQP＝90°.
∵∠QPD＝90°，∴∠QPB＋∠DPC＝90°，
∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP.
向“等边三角形”生长：如图，在等边三角形ABC中，D是边BC上任意一点，且∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
考点1
考点2
考点3
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.
又∵∠ADE＝60°，∴∠BAD＋∠BDA＝∠BDA＋∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE.
(2)若AB＝3，BD＝1，求AE的长
考点1
考点2
考点3
解：∵△ABC是等边三角形，AB＝3，
∴BC＝AC＝AB＝3，
∴CD＝BC－BD＝3－1＝2，
类型4：旋转型
例5：【思维生长】如图，已知△ABC，△ADE，点B，A，E共线，点A在B，E两点之间，点C，D在直线BE同侧，若△ABC∽△ADE，请判断∠BCE和∠BDE
的数量关系，并说明理由．
[2025厦门翔安区二模节选]
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，
在△BDE中，∠ABD＋∠AED＋∠BDE＝180°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BDE＝180°，∴∠BCE＋∠BDE＝180°.
向“特殊位置”生长：如图，在△ABC与△ADE中，∠ABC＝∠ADE，且∠BAD＝∠CAE.
(1)△ABC与△ADE相似吗？如果相似，请说明理由；
考点1
考点2
考点3
解：相似，理由如下：
∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.
(2)连接BD，若B，D，E三点共线，记AC与DE的交点为H，AE＝2，BC＝5，△AEH的面积为1，试求△BCH的面积．
考点1
考点2
考点3
解：由(1)知△ABC∽△ADE，∴∠E＝∠C，
又∵∠AHE＝∠BHC，∴△AEH∽△BCH，
考点3 图形的位似
例6：【思维生长】如图1，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若 ，则点A(－3，1)的对应点A′的坐标为[2025厦门外国语学校模拟4分]( )
考点1
考点2
考点3
A
向“逆方向”生长：如图2，正方形网格中，△ABC与△DEF(其顶点都在该网格的格点上)是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是[2025龙岩二检4分]( )
A．点R B．点O C．点P D．点Q
考点1
考点2
考点3
B
1
2
3
4
1
2
3
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为 的位似图形△OCD.若点A的坐标为(6，4)，则点C的坐标为________．[2025福州华伦中学二模4分]
1
2
3
3．已知△ABC∽△DEF，它们的面积比为4∶9，AM是△ABC的角平分线，DN是△DEF的角平分线．
(1)求证：△ABM∽△DEN；
证明：由题意得AM是∠BAC的平分线，DN是∠EDF的平分线，
∵△ABC∽△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠BAC＝∠EDF，∴∠BAM＝∠EDN，∴△ABM∽△DEN.
1
2
3