【完全解读】2016年秋八年级数学上册 2 实数教学案 （新版）北师大版

第二章　实　数
1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.
经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.
一、本章主要内容及要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.掌握必要的运算(包括估算)技能.
3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.
6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.
二、教材分析
从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.
具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.
在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.
【重点】
1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.
2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.
4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.
6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】
1.无理数概念的理解及应用.
2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.
3.运算性质的掌握与应用.
1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.
概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.
2.鼓励学生自主探索和合作交流.
本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.
3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.
七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.
1　认识无理数
2课时
2　平方根
2课时
3　立方根
1课时
4　估　算
1课时
5　用计算器开方
1课时
6　实　数
1课时
7　二次根式
3课时
回顾与思考
1课时
1　认识无理数
1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.
2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.
3.会判断一个数是不是无理数.
1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.
2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.
1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.
【重点】　理解无理数的概念.
【难点】　判断一个数是不是无理数.
第课时
感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.
通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
【重点】　感受无理数产生的背景.
【难点】　会判断一个数是不是无理数.
【教师准备】　两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.
【学生准备】　两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.
导入一:
七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:
(1)一个整数的平方一定是整数吗?
(2)一个分数的平方一定是分数吗?
[设计意图]　做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.
导入二:
一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.
【总结】　我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?
探究活动
　　[过渡语]　我们研究一下下面的问题.
1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方 ,并提出问题:x是整数(或分数)吗?
2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?
出示教材P21图2 - 1.
图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.
问题1
拼成后的正方形是什么样的呢?
问题2
拼成后的大正方形面积是多少?
问题3
若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?
【总结】　没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.
[设计意图]　选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.
　　[过渡语]　前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.
思路一
(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
【问题解答】
(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.
(2) b2=5.
(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.
思路二
在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.
【问题解答】　构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.
[设计意图]　创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣 ,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.
　　[过渡语]　我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.
[知识拓展]　正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.
通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.
1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长 (　　)
A.是有理数　　　　　B.不是有理数
C.不确定 D.4
答案:B
2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是 (　　)
A.16 B.25
C.2 D.4
答案:C
3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为　　　　,长度不是有理数的线段为　　　　.?
答案:略
第1课时
1.拼接正方形.
2.做一做.
3.a,b存在,但不是有理数.
一、教材作业
【必做题】
教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.
【选做题】
教材第22页习题2.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有　　　　,在图中再画一条边长不是有理数的线段.?
【能力提升】
2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a,b是两个有理数,且a【拓展探究】
3.把下列小数化成分数.
(1)0.6;(2)0.;(3)0..
4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.
【答案与解析】
1.AB,BC,AC　略(解析:AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)
2.(解析:答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)
3.解析:(1)0.6=; (2)设0.=x,则10x=7.,∴9x=7,从而x=;(3)设0.=x,则100x=34.,∴99x=34,从而x=.
解:(1)0.6=.　(2) 0..　(3) 0..
4.略
大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.
在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.
设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.
随堂练习(教材第21页)
解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.
习题2.1(教材第22页)
1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.
2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.
　一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?
解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.
第课时
掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.
借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.
在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.
【重点】　能用所学定义正确判断所给数的属性.
【难点】　无理数概念的建立.
【教师准备】　计算器、立方体、多媒体课件.
【学生准备】　计算器、复习有理数的分类.
导入:
前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?
1.有理数是如何分类的?
【问题解决】
有理数
2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.
[设计意图]　通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.
　　[过渡语]　上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示.
一、数的小数表示
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.
(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
边长a
面积S
111.41.961.411.98811.4141.9993961.41421.99996164　　【思考】　a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?
【归纳总结】　a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?
事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
【做一做】　(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到0.01呢?
(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)
同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.
[设计意图]　让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.
二、有理数的小数表示,明确无理数的概念
思路一
请同学们以学习小组的形式活动.
【议一议】　把下列各数表示成小数,你发现了什么?
3,,,-,.
【答案】　3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0..
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
思路二
回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?
【探究结论】　分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
【强调】　像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
【想一想】　你能找到其他的无理数吗?
[设计意图]　通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.
三、例题讲解
　下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
3.14,-, 0.,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解:有理数有:3.14,-,0.;
无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
【强调】　1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数的形式(q≠0,p,q为整数且互质),而无理数不能.
[设计意图]　通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.
[知识拓展]　确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:
1.确定正数x的整数部分.
根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即222.确定x的小数部分十分位上的数字.
(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.
(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22数
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.无限小数都是无理数
B.有限小数是无理数
C.无理数都是无限小数
D.有理数是有限小数
答案:C
2.以下各正方形的边长是无理数的是 (　　)
A.面积为25的正方形
B.面积为的正方形
C.面积为8的正方形
D.面积为1.44的正方形
解析:52=25,,(1.2)2=1.44.故选C.
3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?
解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.
4.已知-,5,-1.,π,3.1416,,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).
(1)写出所有有理数;
(2)写出所有无理数.
解:(1)有理数:-,5,-1.,3.1416,,0,42,(-1)2n .
(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).
第2课时
1.数的小数表示.
2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.
3.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第24页随堂练习.
【选做题】
教材第25页习题2.2第2,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.面积为3的正方形的边长为x,则x (　　)
A.1C.32.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是 (　　)
A.整数 B.分数
C.有限小数 D.无理数
【能力提升】
3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是　　　　,则斜边长是　　　　数.?
【拓展探究】
4.设半径为a的圆的面积为20 π.
(1)a是有理数吗?说说你的理由;
(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);
(3)如果精确到百分位呢?
5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:
(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?
(2)如果精确到百分位呢?
【答案与解析】
1.A(解析:12=1,22=4.)
2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)
3.13　无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)
4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.　(2)a≈4.5.　(3)a≈4.47.
5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.
解:(1)1.7米.　(2)1.73米.
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.
对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.
知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.
感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.
随堂练习(教材第24页)
解:有理数有:0.4583,3.,-,18.无理数有:-π.
习题2.2(教材第25页)
1.解:-,3.9,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…
(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.
2.提示:(1)x不是有理数.　(2)x≈3.2.　(3)x≈3.16.
3.(1)?　(2)??　(3)?　(4)?
4.解:,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.
由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.
本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.
为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.
鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.
　一根长为5米的电线杆竖立于地面,为
保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?
〔解析〕　每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.
解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.
2　平方根
1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.
2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.
通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.
1.通过与“加法的逆运算是减法、乘法的逆运算
是除法”作类比,让学生体会平方和开方互为逆运算的同时,领会数学中处处蕴含着辩证法.
2.使学生通过开方运算的学习,解决实际生活中的一些具体问题.
【重点】
1.数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.
2.()2=a(a≥0)的得出和应用.
【难点】
1.利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
2.()2=a(a≥0)和=|a|的区别和联系.
第课时
1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.
在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.
积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.
【重点】　算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个数的算术平方根.
【难点】　对算术平方根的概念和性质的理解.
【教师准备】　挂图、多媒体课件.
【学生准备】　复习无理数的概念.
　　[过渡语]　知道无理数的存在,上节给出的问题我们需要解决了.
导入一:
上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有a2=2,a=　　　　,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们一起来学习.?
导入二:
前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完成填空:x2=　　　　,y2=　　　　,z2=　　　　,w2=　　　　.?
[设计意图]　 导入一和导入二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性.能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得x,y,w的值.
【说明】　导入一是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,导入二是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选用导入二.
　　[过渡语]　有上一章的勾股定理,我们得到x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,如何求出x,y,z,w是现在所需要考虑的.
一、情境引出新概念
思路一
x2=2,y2=3,z2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,y,z,w,你能求出来吗?
思路二
在七年级学习有理数的乘方时,知道自然数的平方,比如12=1,22=4,32=9,…,但是,你能找到哪个数的平方是2吗?哪个数的平方是3吗?哪个数的平方是5吗?那你能估计一下吗?
[设计意图]　让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性.学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但无法表示x,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算——开方.
【说明】　无论是导入一,还是导入二,都会激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数,你能求出来吗?”
二、在上面思考的基础上,明晰概念
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”.
特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即=0.
[设计意图]　对算术平方根概念的认识,了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的.
三、例题讲解
　求下列各数的算术平方根.
(1) 900;　(2) 1;　(3);　(4) 14.
〔解析〕　体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是.
解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30.
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1.
(3)因为,所以 的算术平方根是, 即 .
(4)14的算术平方根是.
[设计意图]　通过对例题的解答,加深学生对算术平方根概念的理解,会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根.体验求一个正数算术平方根的过程,并为下面的实验应用奠定良好的基础.
　自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?
〔解析〕　用算术平方根的知识解决实际问题.利用等式的性质将s=4.9t2进行变形,再用求算术平方根的方法求得题目的解.
解:将s=19.6代入公式s=4.9t2,
得t2=4,所以t==2(s).
即铁球到达地面需要2 s.
【说明】　强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论做铺垫的.观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.
[设计意图]　让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负数,a的算术平方根也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根.
[知识拓展]　算术平方根有如下性质:
(1)一个正数a有一个算术平方根,就是.
(2)0有一个算术平方根,就是0.
(3)负数没有算术平方根.
(4)只要有意义,就表示一个非负数,即≥0.
(5)中的a是一个非负数,即a≥0.
1.算术平方根的概念,式子中的双重非负性:一是a≥0,二是≥0.
2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.
1.若一个数的算术平方根是,那么这个数是　　　　.?
答案:7
2.的算术平方根是　　　　.?
答案:
3.的算术平方根是　　　　.?
答案:
4.若=2,则(m+2)2=　　　　.?
解析:本题考查算术平方根的定义,掌握表示方法和实质是关键.故填16.
5.求下列各数的算术平方根.
36,,15,0.64,10-4,,.
解:=6, ,,=0.8,=10-2, , =1.
6.如图所示,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米?
解:由题意得 AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在RtΔABC中,由勾股定理得AB=(米).所以帐篷支撑竿的高是米.
第1课时
1.情境引出新概念.
2.在上面思考的基础上,明晰概念.
3.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第27页随堂练习第1,3题.
【选做题】
教材第27页习题2.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.填空.
(1)81的算术平方根是　　　　.?
(2)0.1是　　　　的算术平方根.?
(3)一个正方形的面积变为原来的4倍,它的边长变为原来的　　　　倍.?
(4)一个正方形的面积变为原来的9倍,它的边长变为原来的　　　　倍.?
(5)一个圆的面积变为原来的n倍, 它的半径变为原来的　　　　倍.?
2.求下列各数的算术平方根.
1.96　　　106　　　121
【能力提升】
3.的算术平方根　　　　,若5是a+1的算术平方根,则a=　　　　.?
4.一个数的算术平方根等于它本身的2倍,这个数是　　　　.?
5.x为何值时, 有意义?
【拓展探究】
6.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是 (　　)
A.a+1　　　　　B.
C.a2+1 D.
7.求一个正数的算术平方根,有些数可以直接求得,如,有些数则不能直接求得,如,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得,请同学们观察下表:
n
16
0.16
0.0016
1600
160000
…
4
0.4
0.04
40
400
…
(1)表中所给的信息中,你能发现什么规律?(请将规律用文字表达出来)
(2)运用你发现的规律,探究下列问题.
已知≈1.435,求下列各数的算术平方根:①0.0206;②206;③20600.
【答案与解析】
1.(1)9　(2)0.01　(3)2　(4)3　(5)(解析:设现在圆的半径为R,原来圆的半径为r,则πR2=nπr2,所以R=r.)
2.解:=1.4,,=11.
3.2　24(解析:=4,=2;52=a+1,a=24.)
4.0或4(解析:设这个数为x,则=2x,所以x=4x2,解得x=0或x=4.)
5.解:由题意得-≥0,所以x≤0.
6.D(解析:一个自然数的算术平方根是a,这个自然数是a2,故该自然数的下一个自然数是a2+1,其算术平方根是.)
7.解析:(1)从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答.(2)根据(1)中的规律解答即可.解:(1)被开方数扩大或缩小102n倍,非负数的算术平方根就相应地扩大或缩小10n倍;或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位,算术平方根的小数点就向左或向右移动n位.　(2)①=0.1435.②=14.35.③=143.5.
本节课通过勾股定理和七年级学过的有理数的平方引入,在学生已有知识的基础上,引入新概念、算术平方根的本质特征.通过练习,可以使学生掌握和理解.
由于学生是第一次接触算术平方根,时间短,可
能有的学生不能真正地理解和掌握,或者不能掌握实质,给以后的学习带来很多麻烦.
在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.
随堂练习(教材第27页)
1.解:=6,　,,=0.9,.
2.解:AB=.
3.解:AB==4.8(m).
习题2.3(教材第27页)
1.解:(1)=7.　(2)　.　(3)=0.3.　(4)-=-8.
2.解:它们的算术平方根依次是11,,1.4,103.
3.解:每块地砖的边长是=0.3(m).
4.解:设原正方形的边长为a,变化后的正方形的边长为x.①x2=4a2,所以x=2a(负值舍),故边长变为原来的2倍.②x2=9a2,所以x=3a(负值舍),故边长变为原来的3倍.③x2=100a2,所以x=10a(负值舍),故边长变为原来的10倍.④x2=na2,所以x=a(负值舍),故边长变为原来的倍.
　求下列各数的算术平方根.
(1);　　　　 (2)104;
(3);　　　(4)(3-π)2.
〔解析〕　前三个是以不同形式给出的几个数,必须先化简,如(1)中=4,(2)中104=10000,(3)中|-169|=169,然后求它们的平方根,(4)题要特别注意判断π与3的大小.
解:(1)因为=4,
所以的算术平方根是2.
(2)因为104=10000,
所以104的算术平方根为100.
(3)因为|-169|=169,
所以|-169|的算术平方根为13.
(4)因为π>3,所以π-3>0,
所以(3-π)2的算术平方根为π-3.
[解题策略]　出现求类似(3-π)2形式的数的算术平方根时,注意判断括号内数的正负.求一个式子的算术平方根时,应先求出这个式子的值,再求这个值的算术平方根.
第课时
1.了解数的平方根、开平方的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.
经历平方根概念的形成过程,发展求同和求异的思想,通过比较,提高思考问题、辨析问题的能力.
在学习的过程中,养成严谨的科学态度.
【重点】
1.数的平方根的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.
2.=a(a≥0)的得出和应用.
【难点】
1.开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.
2.=a(a≥0)和=|a|的区别和联系.
【教师准备】　练习题的多媒体课件.
【学生准备】　复习算术平方根的概念.
　　[过渡语]　上节学习了算术平方根,首先我们复习一下.
导入一:
1.什么叫算术平方根?
3的平方等于9,那么9的算术平方根就是3.
的平方等于 ,那么的算术平方根就是.
展厅的地面为正方形,其面积为49平方米,则其边长为7米.
2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何?
平方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间是什么关系?
【例如】　正方形ABCD的面积为1,则边长为1.将它扩展,若其面积变为原来的2倍,则边长为;若其面积变为原来的3倍,则边长为;若其面积变为原来的n倍,则边长为.
导入二:
【问题】　平方等于9,,49的数还有吗?
回忆在七年级学习有理数的平方时,我们是如何找到平方等于9,,49的数的?根据平方的定义,32=9,(-3)2=9,,,72=49,(-7)2=49.
[设计意图]　这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系,让学生在几何图形中认识、熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成Flash情景引入,增加动画效果. 借助多媒体吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣.
【说明】　数学知识源于生活,并服务于生活.这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣,并让他们产生解决问题的强烈欲望.
一、共同探究
思路一
　　[过渡语]　根据我们的实践,平方为9的数不只有3,那请同学们填写下面的空.
填空.
形成概念:
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).
表达式为:若x2=a,则x叫做a的平方根.记作±.
【例如】　(±4)2 =16,则+4和-4都是16的平方根,即16的平方根是±4.4是16的算术平方根.
【结论】　一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.
【定义】　求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.
思路二
前面我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是9,也就是说,平方为9的数有两个:3和-3.一个正数a的算术平方根有一个,通过进一步的思考知道平方为a的数有两个,另外一个我们也不能把它给丢了,今天再学习一个平方根的概念.
　　[过渡语]　知道了平方根的定义,和我们上一节学习的算术平方根的联系和区别是什么呢?
给出几组具体的数据,由平方探知开平方与平方的互逆关系.
平方根与算术平方根的联系与区别.
【联系】
1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0,算术平方根也是0.
【区别】
1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.
2.表示法不同:平方根表示为 ±,而算术平方根表示为.
[设计意图]　形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,并明白它们之间的互逆关系,辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系,使之与上节课紧密联系. 由于遵循了从具体到抽象的过程,注重学生原有认知基础的回顾,并和原有的概念进行了比较与辨析,因此,学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠.
【说明】　平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点,也是学生经常容易出错的地方.对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握.
二、例题讲解
(教材第28页例3)求下列各数的平方根.
(1)64;　(2);　(3)0.0004;
(4)(-25)2;　(5) 11.
解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8.
(2)因为,所以的平方根是±,即± =±.
(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±=±0.02.
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25, 即±=±25.
(5)11的平方根是±.
[设计意图]　通过例题的讲解,要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一个数的平方根,然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.
[知识拓展]　平方根的性质:(1)一个正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数,合起来记作“±”,读作“正、负根号a”.例如:5的平方根是±.(2)0的平方根是0.(3)负数没有平方根.
1.平方根的概念:若x2=a,则x叫做a的平方根,x=±.
2.平方根的个数:正数有2个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.
3.平方与开平方之间的关系.
4.求平方根的方法:求一个数的平方根就是转化为寻找哪个数的平方等于这个数.
1.(-5)2的平方根是　　　　,的算术平方根是　　　　,的平方根是　　　　.?
答案:±5　3　±
2.()2=　　　　,=　　　　,±=　　　　,=　　　　.?
答案:64　5　±8　0.2
3.=　　　　,当a≥0时,()2=　　　　.?
答案:|a|　a
4.下列说法正确的是　　　　.?
①-3是的一个平方根;②25的平方根是5;③-36的平方根是-6;④平方根等于0的数是0;⑤64的平方根是8.
答案:①④
5.下列说法不正确的是 (　　)
A.0的平方根是0
B.(-2)2的平方根是±2
C.负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
答案:C
第2课时
1.平方根.
2.平方根与算术平方根的联系与区别.
3.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第29页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第29页习题2.4第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.代数式x2+1,,|y|,(m-1)2中,一定是正数的有 (　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
2.下列说法中,错误的是 (　　)
A.4的算术平方根是2
B.的平方根是±3
C.121的平方根是±11
D.-1的平方根是±1
3.(-6)2的算术平方根是　　　　.?
4.2的平方根是　　　　.?
5.若=-a,则a　　　　0.?
6.求2的平方根和算术平方根.
【能力提升】
7.求下列各式中的x.
(1)(x-1)2=4;　(2)4x2-2=14.
8.5+的小数部分为a,5-的小数部分为b,求a+b的值.
【拓展探究】
9.如果一个非负数的平方根是2a+1与a-3,求a的值.
10.已知ΔABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c满足+|b-4|+c2-6c+9=0,试判断ΔABC的形状,并求ΔABC的周长.
11.已知实数a,b满足b2++9=6b.
(1)若a,b为ΔABC的两边长,求第三边长c的取值范围;
(2)若a,b为ΔABC的两边长,第三边长c等于5,求ΔABC的面积.
【答案与解析】
1.A(解析:只有x2+1一定是正数.)
2.D(解析:负数没有平方根.)
3.6(解析:(-6)2=36.)
4.±(解析:根据平方根的定义解题.)
5.≤(解析:当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.等号在a<0上也可以.)
6.解:2,的平方根为±,的算术平方根为.
7.解:(1)x-1=±2,所以x=3或-1.　(2)4x2=16,x2=4,x=±2.
8.解:因为3<<4 ,所以5+的整数部分为8,5-的整数部分为1,所以5+的小数部分a=5+-8=-3,5-的小数部分b=5--1=4-,所以a+b=-3+4-=1.
9.解:因为一个非负数的平方根是2a+1与a-3,由平方根的性质,得2a+1+a-3=0,所以a=.
10.解:ΔABC为等腰三角形.理由如下:由+|b-4|+c2-6c+9=0,得+|b-4|+(c-3)2=0,由非负数的性质,得a-3=0,b-4=0,c-3=0,解得a=3,b=4,c=3,所以ΔABC为等腰三角形,周长为10.
11.解:(1)b2++9=6b,整理得(b-3)2+=0,所以b=3,a=4,所以第三边长c的取值范围为1本节课注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.经过分析,掌握其本质特征、概念的形成过程,对提高学生的思维水平是很必要的.所以在学习平方根的概念时,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,为此,在平方根的引入时,多提了一些具体的问题,引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.
本节课只安排了一道例题和几个想一想,围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习,可能有的学生不能很好地掌握平方根这一概念.
“平方根”这一知识点不易理解和掌握,对此可以进行各种题型的变式练习.当然,选题要有层次,有梯度.
随堂练习(教材第29页)
1.解:±=±1.2,±=0,±,± =±,±=±21,±=±14,±=±.
2.(1)±5　(2)5　(3)5
3.解:当a=5,b=12时,=13.
习题2.4(教材第29页)
1.解:它们的平方根依次是±13,±10-3,±,±,±.
2.提示:(1)19.　(2)-11.　(3)14或-14.
3.解:(1)x=±.　(2)x=±.
4.解:(1)4.　(2)4.　(3)0.8.
5.解:当c=25,b=24时,　=　=7.
6.解:不一定.当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.
　已知+(y+2)2+ =0,求x+y+z的值.
解:因为≥0,(y+2)2≥0, ≥0,且+(y+2)2+ =0 ,所以=0,(y+2)2=0, =0,解得x=,y=-2,z=-,所以x+y+z=-3.
　若x,y满足+y=5,求xy的值.
解:因为2x-1≥0,1-2x≥0,
所以 2x-1=0,解得 x=.
当 x=时,y=5,
所以 xy=×5=.
　求x+=5中的x.
解:因为x-5≥0,=5-x≥0 ,
所以x=5.
　ΔABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足+b2-4b+4=0,求c的取值范围.
解:由+b2-4b+4=0,
可得+(b-2)2=0.
因为 ≥0,(b-2)2≥0,
所以=0,(b-2)2=0,所以a=1,b=2.
由三角形三边关系定理有b-a　设a,b,c都是实数,且满足(2-a)2++|c+8|=0,ax2+bx+c=0,求式子x2+2x的算术平方根.
解:由题意得2-a=0,a2+b+c=0,c+8=0,
∴a=2,c=-8,b=4,
∴2x2+4x-8=0,
∴x2+2x=4,
∴式子x2+2x的算术平方根为2.
3　立方根
1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.了解开立方与立方运算互为逆运算,能用立方运算求某些数的立方根.
通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.
1.了解数学运算是如何逐步拓展的.
　　2.通过一些开立方运算的应用,体会数学应用的广泛性.
【重点】　立方根的概念及计算.
【难点】　能用开立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方运算互为逆运算.
【教师准备】　球形储气罐图片.
【学生准备】　复习平方根的概念和性质.
导入一:
传说很久很久以前,在古希腊的某个地方发生了大旱,地里的庄稼都旱死了,于是大家一起到神庙里去向神祈求,神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们做一个比它的体积大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍,可是神更加恼怒地说:“你们竟敢愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍,我要进一步惩罚你们!”
【问题探究】
(1)新做的祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍?
(2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛,它的棱长应是原来的多少倍?
导入二:
【问题】　(1)面积为2的正方形的边长为多少?
(2)体积为2 的正方体的棱长是多少?
请同学们回忆求解a2=2时的情境,那么a3=2呢?
[设计意图]　创新、新颖、有趣的问题情境,以故事的形式激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究立方根的概念埋下伏笔.
一、探索立方根的概念
思路一
　　[过渡语]　前面我们对应平方学习了平方根和算术平方根,那么对应立方来说呢?
来看一个实际问题:某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?(球的体积公式为V=πR3,R为球的半径)
【提问】　怎样求出半径R ?
思路二
体积为2 的正方体的棱长是多少?设正方体的棱长为a,则列出方程a3=2,如何求a呢?
[设计意图]　通过实际情境引入,让学生感受新知学习的必要性,激发学生的求知欲望.在思考问题的同时,学生既感受了数学的应用价值,激发了学生的学习热情,又很快将问题归结为如何确定一个数,从而顺利引入新课.
　　[过渡语]　依据前面的经验,我们是否能得到相应的概念呢?
【提问】　(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根?
(2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么?
(3)平方和开平方运算有何关系?
(4)算术平方根和平方根有何区别与联系?
【强调】　一个正数的平方根有两个,且互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.
(5)为了解决前面情境中的问题,需要引入一个新的运算,你将如何定义这个新运算?
类似于平方根(也叫做二次方根)的概念,我们定义:
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root, 也叫做三次方根).
[设计意图]　学生通过回顾上节课的学习内容,为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫,同时突出平方根与立方根的对比,以利于弄清两者的区别和联系.既复习了平方根的知识,又有利于学生用类比的学习方法学习立方根知识.
　　[过渡语]　知道了立方根的定义,应用如何呢?
【做一做】　怎样求下列括号内的数?各题中已知什么数?求什么数?
(1)(　　)3=0.001;　(2)(　　)3=-;
(3)(　　)3=0;　　　(4)23=(　　);
(5)(　　)3=8;　　　(6)(-3)3=(　　).
[设计意图]　通过练习,使学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性,计算中对a的取值分别选为正数、负数、0,这种设计意在此过程中渗透分类讨论的思想方法.
【议一议】　(1)正数有几个立方根?
(2)0有几个立方根?
(3)负数有几个立方根?
【学生小结】　正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数.
【想一想】　类比开平方的概念,你能总结出开立方的概念吗?
【学生总结】　求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数.
二、例题讲解
　求下列各数的立方根.
(1)-27;　(2);　(3)0.216;　(4)-5.
解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3.
(2)因为,所以的立方根是,即 .
(3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6.
(4)-5的立方根是.
　求下列各式的值.
(1);　　　(2);
(3)- ;　　(4)()3.
解:(1)=-2.
(2)=0.4.
(3)- =- =-.
(4)()3=9.
[设计意图]　例1着眼于弄清立方根的概念,因此这里不仅用立方的方法求立方根,而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法,学生在熟练以后可以简化写法.例2则巩固立方根的计算,引导学生思考立方根的性质.
[知识拓展]　平方根与立方根的区别与联系:
1.区别:(1)在用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数3不能省略;(2)平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有,并且每个数都只有一个立方根;(3)正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个.
2.联系:(1)开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算;(2)都可归结为非负数的非负方根来研究,平方根主要通过算术平方根来研究,而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究,即=-;(3)0的平方根和立方根都是0.
1.了解立方根的概念,会用三次根号表示一个数的立方根,能用开立方运算求一个数的立方根.
2.在学习中应注意以下5点:
(1)符号中的根指数“3”不能省略;
(2)对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有一个立方根;
(3)平方根和立方根的区别:正数有两个平方根,但只有一个立方根;负数没有平方根,但却有一个立方根;
(4)灵活运用公式:()3=a, =a,=-;
(5)立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根,或检验一个数是不是另一个数的立方根.
1.求下列各数的立方根.
(1)0.001;(2)-512;(3).
解:(1)0.1.　(2)-8.　(3).
2.(本课时引例)某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体,现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?如果储气罐的体积是原来的4倍呢?
解:设原来的半径为r,现在的半径为R,则=8·,则=2,
同理,如果储气罐的体积是原来的4倍时,.
3.求下列各式的值.
(1);　　(2);
(3);　　　 (4).
解:(1)0.5.　(2)-4.　(3)5.　(4)16.
4.一个正方体大木块,现在把它锯成8块大小相同的正方体小木块,那么小木块的棱长是原来的几分之几?
解:设大正方体的棱长a,则它的体积为a3,锯成8块后小木块的棱长为x,
则x3=,则x= ,
所以小木块的棱长是原来的.
3　立方根
1.探索立方根概念.
引例
定义
性质
2.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】
教材第31页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第32页习题2.5第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.填空.
(1)一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的　　　　倍;?
(2)体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的　　　　倍;?
(3)当x　　　　时,有意义;?
(4)若x是64的立方根,则x的平方根是　　　　;?
(5)若x是64的平方根,则x的立方根是　　　　.?
2.求下列各数的立方根.
-1,,8000.
3.若x2=25,y3=(-5)3,求x+y的值.
【能力提升】
4.(1)填表.
a
0.000001
0.001
1
1000
1000000
(2)由上表你发现了什么规律?(请你用语言叙述出来);
(3)根据发现的规律填空:
①已知=1.442,则=　　　　;?
②已知=0.07697,则=　　　　.?
【拓展探究】
5.观察下列各式.
(1) =2 ;
(2) =3 ;
(3) =4 .
探究①:判断上面各式是否成立.
(1)　　　　;(2)　　　　;(3)　　　　.?
探究②:猜想 =　　　　.?
探究③:用含有n的式子将规律表示出来,说明n的取值范围,并用数学知识说明你所写式子的正确性.
拓展: =2 , =3 , =4 ……
根据观察上面各式的结构特点,归纳一个猜想,并验证你的猜想.
【答案与解析】
1.(1)2　(2)　(3)为任意数　(4)±2　(5)±2(解析:(4)x是64的立方根,则x为4,4的平方根是±2;(5)x是64的平方根,则x为±8,±8的立方根是=±2.)
2.解:=-1, ,=20.
3.解:因为x2=25,y3=(-5)3,所以x=±5,y=-5,当x=5,y=-5时,x+y=0;当x=-5, y=-5时,x+y=-10.
4.解:(1)从左到右依次填入:0.01,0.1,1,10,100.
(2)从表中发现被开方数小数点向右移动三位,立方根向右移动一位.　(3)①14.42　②7.697
5.解:探究①:(1)成立　(2)成立　(3)成立　探究②:5 　探究③: =n (n≥2,且n为整数).理由如下: = = =n .
拓展猜想: = =n .
本课时注意渗透类比的思想方法,通过类比思想方法的使用让学生省时省力,在学习新知的同时巩固已学的知识,通过新旧对比更好地掌握知识.
对“议一议”“想一想”“比一比”的探究情况和学
生练习的完成情况关注度不够,没有足够关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的,是否会用根号正确地表示一个数的立方根.
在探究与思考中,将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习.
随堂练习(教材第31页)
1.解:　=0.5,　=-4,　=5,()3=16.
2.解:设这个正方体的棱长为x cm,则x3=8×33,所以x3=63,所以x==6.所以这个正方体的棱长为6 cm.
习题2.5(教材第32页)
1.解:它们的立方根依次是0.1,-1,-,20,,-8.
2.解:它们的值依次是2,,-3,125,-3.
3.解:如下表:
a
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.解:(1)对于正数k,随着k值的增大,它的算术平方根增大.　(2)对于正数k,随着k值的增大,它的立方根增大.如果k是一个负数,随着k值的增大,它的立方根增大.
5.解:设小木块的棱长为x cm,则8x3=1000,解得x=5.答:小木块的棱长是5 cm.
6.提示:2倍;3倍;10倍;倍.
　将一个体积为125 cm3的铜块改铸成8个相同大小的小立方体铜块,求每个小立方体铜块的表面积.
解:设每个小立方体铜块的边长为x cm,则x3×8=125,解得x=2.5,所以每个小立方体铜块的表面积为6×2.52=37.5(cm2).
4　估　算
1.能通过估算检验计算结果的合理性.
2.能估计一个无理数的大致范围.
3.通过估算比较两个数的大小.
通过教学过程的参与,培养学生学习数学的主动性,发展数感.
掌握估算的方法,形成估算的意识,发展数感.
【重点】　估计一个无理数的大致范围.
【难点】　通过估算比较两个数的大小.
【教师准备】　梯子模型.
【学生准备】　复习开平方和开立方及比较数的大小的方法.
导入一:
某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园,已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米,如图所示.
如果要求结果误差小于10米,那么它的宽在什么范围内呢?
导入二:
自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过,而比较两个无理数的大小,对无理数的估算,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如π,等,但这给它们的大小比较和估算带来了一定的困难,那么如何通过估算来比较两个无理数的大小呢?这节课我们就来研究它们.(板书:估算)
导入三:
“神舟”九号、“神舟”十号顺利升空.你知道火箭要把飞船送入太空绕地球飞行所需要的速度吗?要使飞船能绕地球运转,就必须克服地球引力,事实上,只要飞船的速度超过一定值时,就能做到这一点,我们把这个速度称为第一宇宙速度,其计算公式是v=,g为重力加速度,取g=9.8(米/秒2),R是地球半径,R=6370000米,请你估计出第一宇宙速度的值为　　　　.?
【提示】　v=≈7901(米/秒),7901米/秒≈7.9千米/秒.
一、引例探究
　　[过渡语]　通过前面的学习,知道无理数是无限不循环的小数,那我们如何估计结果呢?
某地开辟了一块长方形的荒地用来建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?
解:设公园的宽为x米,则它的长为2x米,
由题意得x·2x =400000,
2x2=400000,
x=.
那么=?
【问题】　(1)如果要求结果精确到10米,它的宽大约是多少?与同伴进行交流.
(2)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800平方米,如何估计它的半径?(结果精确到1米)
【问题解决】　(1)我们可以把这个长方形看做是由两个正方形拼接成的,那么,每个正方形的面积为200000平方米,大家估计一下,哪个数的平方是200000?100的平方为10000,1000的平方为1000000,所以公园的宽大约几百米,没有1000米宽,精确到10米,我们可以计算一下450的平方.
(2)圆形花圃的面积是800平方米,800除以3.14约等于255,大约为16的平方,所以圆形花圃的半径大约是16米.
[设计意图]　从现实情境引入,一方面让学生初步建立数感,另一方面让学生体会生活中的数学,从而激发学习的积极性.学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.
　　[过渡语]　我们如何估算一个无理数的结果呢?方法是什么呢?
【问题】　(1)下列结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流.
①≈0.066;
②≈96;
③≈60.4.
(2)怎样估算一个无理数的范围呢?你能估计的大小吗?( 结果精确到1)
【问题解决】　(1)这些结果都不正确.
(2) ≈10.
[设计意图]　同伴间进行交流,教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力.通过简单无理数大致范围的估计,初步积累一些解决问题的经验,为接下来的实际应用做好准备.
二、例题讲解
　　[过渡语]　学会了估算的方法,如何来解决实际问题呢?
　生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头吗?
〔解析〕　梯子能否达到5.6 m高的墙头,作示意图如右上图,梯子和墙面、地面构成了一个直角三角形,假设梯子稳定摆放时的高度为x m,利用勾股定理,可以求出梯子的顶端能达到的最大高度,从而得出结果.
解:设梯子稳定摆放时的高度为x m,此时梯子底端离墙的距离恰好为梯子长度的,根据勾股定理,有x2+=62,即,x2=32,x=,
因为5.62=31.36<32,所以>5.6,
因此,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.6 m高的墙头.
三、比较无理数的大小
【问题】　比较与的大小.
【问题解决】　与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了.因为5>4,即()2>22,所以>2,所以-1>1,所以.
[知识拓展]　1.确定无理数近似值的方法(估算法).
(1)当被开方数在1~1000以内时,可利用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分,然后根据所要求的误差大小确定小数部分.例如:估算的值(误差小于1),因为192<385<202,所以19<<20,所以的整数部分是19,由于误差小于1,所以的估算值是19或20,即约等于19或20.若要确定十分位上的数字,则可以采用试验值方法,即19.12=364.81,19.22=368.64,…,19.52=380.25,19.62=384.16,19.72=388.09,于是19.62<385<19.72,所以19.6<<19.7.
(2)当被开方数是正的纯小数或比1000大时,利用方根与被开方数的小数点之间的规律,移动小数点的位置,将其转化到被开方数在1~1000以内进行估算,即平方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动2n (n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位;立方根中的被开方数的小数点向左(或向右)每移动3n(n是正整数)位,其结果的小数点相应地向左(或向右)移动n位.例如:要确定的整数部分,因为≈1.111,把中的被开方数的小数点向右移动4位,得,其算术平方根1.111的小数点相应地向右移动两位,得111.1,所以的整数部分是111.
2.比较无理数大小的方法.
(1)估算法.例如:比较与的大小,因为3<<4,所以0<-3<1,所以.
(2)作差法.若->0,则;若-<0,则.例如:比较与的大小,也可以这样解:因为-<0,所以.
(3)平方法.把含有根号的两个无理数同时平方,根据平方后的数的大小进行比较.例如:比较2和3的大小,因为=24,=27,所以2<3.
(4)移动因式法.当a>0,b>0时,若a>b,则,因此可以把根号外的因式移到根号内进行比较大小.
另外还有倒数法、作商法.
比较两个无理数的大小,要根据它们的特点灵活选用上述方法.例如:比较和的大小,因为分子都是,所以只需比较分母的大小,因为3>2,所以.也就是说,对于两个正无理数,分子相同,分母大的反而小.
1.确定无理数近似值的方法——估算法.
2.比较无理数大小的方法:(1)估算法;(2)作差法;(3)平方法;(4)移动因式法;(5)倒数法;(6)作商法.
1.已知的整数部分为a,小数部分为b,求代数式a2-a-b的值.
解:因为9<13<16,所以3<<4,所以a=3,b=-3,所以原式=9-3-(-3)=6-+3=9-.
2.比较-1与1.5的大小.
解:用作差法可得-1-1.5=-2.5<0,所以-1<1.5.
4　估　算
1.引例探究.
2.例题讲解.
3.比较无理数的大小.
一、教材作业
【必做题】
教材第34页随堂练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题2.6第1,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结果正确吗?请说明理由.
(1)≈60.4;
(2) ≈351;
(3)≈35.1;
(4)≈10.6.
2.通过估算,比较下面各组数的大小.
(1) 与;
(2)与3.1.
【能力提升】
3.已知长方形的长与宽的比为3∶2,对角线长为 cm,求这个长方形的长与宽(结果精确到0.01 cm).
4.某开发区是一个长为宽的三倍的长方形,它的面积为120000000 m2.
(1)开发区的宽大约是多少米?它有10000 m吗?
(2)如果要求误差小于100 m,它的宽大约是多少米?
(3)开发区内有一个正方形的地块将用来建管理中心,它的规划面积是8500 m2,你能估计一下它的边长吗?(误差小于1 m)
5.设a=,b=,c=2,则a,b,c之间的大小关系是 (　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
6.观察下列一组等式,然后解答后面的问题.
(+1)(-1)=1,
()(-)=1,
()(-)=1,
()(-)=1……
(1)根据上面的规律,计算下列式子.
+…+·(+1).
(2)利用上面的规律,试比较-与-的大小.
【拓展探究】
7.先填写下表,通过观察后再回答问题.
a
…
0.000001
0.0001
0.01
1
100
10000
1000000
…
…
…
(1)被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律?
(2)已知=1800,-=-1.8,你能求出a的值吗?
(3)试比较与a的大小.
【答案与解析】
1.解:(1)错误.因为显然小于60.　(2)错误.因为显然小于100.　(3)正确.因为35.12=1232.01.　(4)正确.因为10.63≈1191,10.73≈1225,所以≈10.6.
2.解:(1) 因为3<<3.2, 所以1<<1.1,而1>,所以.　(2)因为3.13=29.791,而30>29.791,所以>3.1.
3.解:设长方形的长为3x cm,宽为2x cm,由题意得(2x)2 +(3x)2=,即4x2+9x2=39,13x2 =39,x2 =3,x=.所以长为3x =3≈5.20(cm),宽为2x=2≈3.46(cm).
4.解:(1)设开发区的宽为x m,则长为3x m,由题意得3x2=120000000,x2=40000000,x=×1000.因为<10,可见开发区的宽约为几千米,没有10000 m.　(2)因为≈6.3,所以开发区的宽大约为6.3×103 m.　(3)设正方形的边长为y m,由题意得y2=8500,y=×10,因为81<85<100,所以,即9<<10,所以的整数部分为9,又因为84.64<85<86.49,所以9.2<<9.3,所以92<<93.即管理中心的边长约为92 m或93 m.
5.D(解析:∵a2=2000+2,b2=2000+2,c2=4004=2000+2×1002,1003×997=1000000-9=999991,1001×999=1000000-1=999999,10022=1004004,∴c>b>a.故选D.)
6.解:(1)由上面的规律可直接写出-,则+…+·(+1)=[(-1)+(-)+(-)+…+(-)]·(+1)=(-1)(+1)=2012.
(2)∵,,又,∴,∴--.
7.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000.(1)有规律,当被开方数a的小数点每向左(或向右)移动两位时,算术平方根的小数点相应地向左(或向右)移动1位.　(2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000.　(3)当0a;当a=1或0时,=a;当a>1时,这节课的内容是让学生掌握估算的方法,训练他们的估算能力.由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少,所以比较陌生,学习起来难度就比较大,因此在教学中选取学生熟悉的问题情境引入,激发学生的学习兴趣.比如,本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题情境引入,与学生平时的生活密切联系,容易把学生的积极性调动起来.
由于误差的原因,不少学生对自己的估计结果
产生了怀疑,所以提前明确精确度,让学生掌握估算的方法,找到解决问题的信心.
在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值,了解到“数学既来源于生活,又回归到生活,为生活服务”.作为教师,一定要尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.设计一些误差影响较小的题目,或者估算前明确精确度,并举例说明.
随堂练习(教材第34页)
1.解:(1)≈3.7.　(2)≈9.
2.解:因为6<6.25,所以,而=2.5,所以<2.5.
习题2.6(教材第34页)
1.提示:(1)≈6.　(2)≈5.1.
2.解:(1)因为<2,所以-1<1,所以.　(2)因为3.852=14.8225<15,所以>3.85.
3.提示:要比较与的大小,只要比较4(-1)与5的大小即可,即4与9的大小,而(4)2=80<92,所以4<9,所以.
4.解:(1)不正确.因为显然大于10.　(2)不正确.因为显然小于100.
5.提示:约为4 m.
6.解:有5 m,可以设梯子长为x m,则有x2=+4.82,解得x=>5.
　估计+1的值在 (　　)
A.2到3之间　　　　　B.3到4之间
C.4到5之间 D.5到6之间
〔解析〕　利用“夹逼法”得出的取值范围,继而便可得出+1的取值范围.因为22<<32,所以2<<3,所以3<+1<4.故选B.
　已知a,b为两个连续整数,且a<〔解析〕　因为4<<5,所以a=4,b=5,所以a+b=9.故填9.
5　用计算器开方
会用计算器求平方根和立方根.
1.让学生自己进行实践、尝试、试误,摸索出用计算器进行开方运算的方法.
2.通过练习和例题来巩固用计算器进行开方运算的方法,提高计算速度.
1.经历用计算器探求数学规律的过程,发展合情推理的能力,了解数学中并非都是演绎推理,合情推理也是发现规律数学的重要方法.
　　2.正确认识用计算器计算与计算能力培养的关系.
【重点】　掌握用计算器求平方根和立方根的方法.
【难点】　掌握用计算器求平方根和立方根的按键顺序.
【教师准备】　多媒体课件,计算器.
【学生准备】　根据自身条件,一人或两人用一个计算器.
导入一:
　　[过渡语]　由于无理数是无限不循环小数,用计算器能帮助我们解决问题.
提出问题:你能计算吗?
由于计算器的型号不同,使用方法略有不同,根据不同型号,我们练习一下.
导入二:
给出任意一个很大的数,利用计算器对它进行开平方运算,将所得的结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么?
　　[过渡语]　请同学们仔细阅读计算器使用说明书,找到关于开方运算的说明,并按说明书上的范例操作,然后与组内成员进行讨论,说一说利用计算器怎样进行开方运算.
1.开方运算要用到键和键SHIFT.
2.对于开平方运算,按键顺序为:被开方数=S?D.
3.对于开立方运算,按键顺序为:SHIFT被开方数=.
【问题】　用计算器求下列各式的值.
(1);　(2) ;　(3) ;
(4) +1;　(5) -π.
[处理方式]　学生在阅读了各自的计算器使用说明书后,在计算器上尝试操作,再在小组内交流成功或失败的经验,便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法.
学生在小组内自我纠错,自我更正,教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况,提供相应的帮助.
【问题解决】
按键顺序
显示结果
+1
-π
2.42693222
0.658633756
-10.87178969
3.236067977
3.339148045
　　[设计意图]　明确使用计算器进行开方运算的按键顺序,并进行实际操作.
【做一做】　利用计算器,求下列各式的值(结果精确到0.00001).
(1);　(2) ;
(3);　(4).
【问题解决】
(1)≈28.28427.
(2) ≈1.63864.
(3)≈0.76158;
(4) ≈ -0.75595.
　利用计算器比较和的大小.
解:按键:,显示1.44224957.
按键:,显示1.414213562.
所以,.
[设计意图]　熟悉用计算器进行开方运算.有了上个环节的铺垫,此环节操作很顺利.
[知识拓展]　用不同型号的计算器进行开方运算,按键顺序可能有所不同.有的计算器在进行开平方运算的时候,先按被开方数,再按开平方键.
【议一议】　(1)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么?
(2)改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似规律.
[设计意图]　这是一个蕴含极限思想的数学问题,教学中重点让学生动手去探索规律,而不必作其他的拓展.
【问题解决】　(1) 随着开平方次数的增加,运算结果越来越接近1.
(2)仍有类似(1)中的规律.
1.如何使用计算器进行开方运算?
2.利用计算器比较数的大小,寻找数的变化规律.
1.利用计算器求下列各式的值(精确到0.001).
(1);　(2)-;
(3);　(4);　(5)-.
解:(1)3.018.　(2)-1.811.　(3)5.666.　(4)4.362.　(5)-4.642.
2.利用计算器比较下列各组数的大小.
(1)π-3.14,3-;
(2),.
解:(1)π-3.14<3-.
(2).
3.(1)用计算器求3651的算术平方根的按键顺序是什么?
(2)用计算器求-31.25的立方根的按键顺序是什么?
解析:对于开平方运算,按键顺序为:,被开方数,=,S?D;对于开立方运算,按键顺序为SHIFT,,被开方数,=.
解:(1)在计算器上依次键入,3,6,5,1,=,S?D,显示60.42350536.　(2)在计算器上依次键入SHIFT,,(-),3,1,·,2,5,=,显示-3.149802625.
5　用计算器开方
1.学习使用计算器求平方根和立方根.
2.做一做.
3.议一议(对任一正数一直进行开平方运算会发现什么规律).
一、教材作业
【必做题】
教材第37页随堂练习.
【选做题】
教材第37页习题2.7第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.利用计算器求下列各式的值.
(1)(精确到1);
(2)(精确到0.1).
2.利用计算器,比较下面各组数的大小.
(1),;
(2),2.85.
【能力提升】
3.用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)
(1)1972;　(2)-86.73.
【拓展探究】
4.(1)利用计算器,将下列各数按从小到大排列起来.
,,,,,.
(2)上面各数有什么共同的特征?能由此得出什么规律?
(3)利用这个规律,猜想-与-的大小,再选择一些具体的数代入验证这个猜想.
思路点拨:(3)中-,-与(1)中形式不一致,能否转化为(1)中和的形式?
【答案与解析】
1.解:(1)≈6.　(2)≈11.2.
2.解:(1)∵≈0.366,=0.5,∴.
(2)∵≈3.87,3.87>2.85,∴>2.85.
3.解:(1)≈12.54.　(2)≈-4.43.
4.解:(1)按从小到大的顺序是:,,,,,.　(2)它们都是两个算术平方根和的形式,而且根号内两数的和都是13,当根号内两数比较接近时,和比较大.　(3)比较-与-的大小,可以转化为比较与的大小.这样两个式子也是两个平方根和的形式了,而且根号内两数的和相等,前面式子中根号内两数相等,因此,猜想,那么,--.具体的数字代入也支持这个猜想.
这节课学生通过自己阅读计算器的使用说明书学会了操作步骤,利用计算器得到了某些数的估计值,并根据结果比较两数的大小、两式的大小.
由于计算器的型号不同,计算方法可能不同,课堂略显混乱.
考虑不同型号的计算器,设计不同小组进行教学.
随堂练习(教材第37页)
解:(1).　(2).
习题2.7(教材第37页)
1.提示:(1)49.07138.　(2)-2.70443.　(3)1.82827.　(4)8.21584.　(5)9.08331.　(6)0.02804.
2.解:(1).　(2).
3.解:随着开立方次数的增加,结果越来越趋向于1或-1.
4.解:(1)结果越来越小,趋向于0.　(2)结果越来越大,但也趋向于0.
　借助计算器计算下列各题.
(1)=　　　　;?
(2)=　　　　;?
(3)=　　　　;?
(4)=　　　　.?
仔细观察上面几道题及其计算结果,试猜想=　　　　.?
　　〔答案〕　(1)5　(2)55　(3)555　(4)5555　
[解题策略]　用计算器得出(1)~(4)的结果后,仔细观察便可得出规律:被开方数是两个正整数的平方和,这两个数分别是由数字4和3组成的,且数字4的个数和数字3的个数相等,得到的结果是由数字5组成的,且数字5的个数与数字4或3的个数相等,因此当被开方数是2013个4组成的数和2013个3组成的数的平方和时,所得结果应为由2013个5组成的数.
6　实　数
1.了解实数的概念和意义,并能按要求对实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应,知道实数的绝对值、相反数的意义,会求已知数的绝对值和相反数.
通过用类比的方法探索发现实数性质的过程,培养学生类比联想的能力,以及观察、分析、解决问题的能力.
通过介绍我国古代数学家祖冲之关于圆周率的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
【重点】　实数的意义及分类.
【难点】
1.实数的分类.
2.把无理数在数轴上表示出来.
【教师准备】　预设学生在实数分类的过程中会遇到的困难.
【学生准备】　复习有理数和无理数的有关概念和性质.
导入一:
　　[过渡语]　现在复习一下有理数和无理数的有关知识.
(1)什么是有理数?有理数怎样分类?
(2)什么是无理数?带根号的数都是无理数吗?
[设计意图]　回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入实数的概念做准备.学生主动思考并积极回答,通过相互补充完善,较为全面地复习了旧知识,通过对有理数分类的复习,使学生进一步明确了分类要按同一标准才能不重不漏.通过举例明确了无理数的表示形式,也为后续判断或者对实数进行分类提供了认知准备.
导入二:
如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿它们
的一条对角线剪开,得到四个全等的等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形.容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为.你能在数轴上找到表示的点吗?
一、实数的概念
1.把下列各数分别填入相应的集合内.
,,,π,-,, ,-,-, ,0,0.3737737773……(相邻两个3之间的7的个数逐次加1).
知识整理:有理数和无理数统称为实数,即实数可分为有理数和无理数.
[设计意图]　通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.学生动手填写,并进行小组交流讨论,对带根号的数是否是无理数有了进一步认识.
2.你能把上面各数填入下面相应的集合内吗?
无理数和有理数一样,也有正负之分.
　　[过渡语]　总结一下,实数可以怎样分类呢?
1.从符号考虑,实数可以分为正实数,0,负实数,即:
实数
2.另外从实数的概念也可以进行如下分类:
实数
[设计意图]　在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类.上面的数中有0,0不能放入上面的任何一个集合中,此处强调0是实数,但它既不是正数也不是负数,应单独作为一类.提醒学生分类可以有不同的方法,但要按同一标准分类才能不重不漏.让学生讨论回答,达成共识.
二、实数的相关概念
1.有理数a的相反数是什么?绝对值是什么?当a不为0时,它的倒数是什么?
2.的相反数是什么?的倒数是什么?,0,-π的绝对值分别是什么?
总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
[设计意图]　从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.学生类比有理数的相关概念,体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义.
【想一想】　(1)a是一个实数,它的相反数为　　　　,绝对值为　　　　;?
(2)如果a≠0,那么它的倒数为　　　　.?
【知识整理】
(1)相反数:a与-a互为相反数;0的相反数仍是0.
(2)倒数:当a≠0时,a与互为倒数(0没有倒数).
(3)绝对值:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
即|a|=
[设计意图]　加深学生对相关概念的理解.学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识.
三、实数的运算
　　[过渡语]　回忆有理数的运算法则和运算律,比较一下,在实数范围内,这些运算法则和运算律是否适用呢?
1.在有理数范围内,能进行哪些运算(如加、减、乘、除、乘方)?适用哪些运算律?
2.判断下列各式是否成立.
··;
···;
4+7=(4+7)=11.
总结:实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
[设计意图]　从复习入手,类比有理数的运算法则及运算律,得到有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.
四、实数与数轴上的点的一一对应关系
　　[过渡语]　我们知道有理数能用数轴上的点表示,那么实数呢?
【议一议】　(1)如图所示,OA=OB,数轴上点A对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?
(2)你能在数轴上找到对应的点吗?与同伴进行交流.
【知识整理】
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
[知识拓展]　1.无理数是指无限不循环小数,并不是带根号的数都是无理数.
2.数的范围从有理数扩充到实数后,要注意有理数与无理数的区别.
1.在实数范围内,相反数、倒数和绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数和绝对值的意义完全一样.
2.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律对实数仍然适用.
3.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数与数轴上的点是一一对应的.
4.在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
1.判断下列说法是否正确.
(1)无限小数都是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
解:(1)不正确.　(2)正确.
2.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1);　(2);　(3) ;　(4) 2-.
解:(1)=-3,的相反数是3,倒数是-,绝对值是3.
(2)=5,的相反数是-5,倒数是,绝对值是5.
(3)的相反数是-,倒数是,绝对值是.
(4)2-的相反数是-(2-)=-2,倒数是,绝对值是2-.
6　实　数
1.实数的概念.
2.实数的相关概念.
3.实数的运算.
4.实数与数轴上的点的一一对应关系.
一、教材作业
【必做题】
教材第39页随堂练习第1,3题,第40页习题2.8第1,2,3.
【选做题】
教材第40页习题2.8第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法不正确的是 (　　)
A.有理数和无理数统称为实数
B.无理数是无限不循环小数
C.无理数包括正无理数、零、负无理数
D.无理数都可以用数轴上的点来表示
2.-的倒数是 (　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
3.下列各组数中,互为相反数的是 (　　)
A.-2与- B.|-2|与2
C.-2与 D.-2与
4.把下列各数分别填在相应的集合里.
-,0 ,0.16 ,3 ,0.15,,-,, ,3.1415 ,-0.78 ,- .
有理数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
无理数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
正实数集合{　　　　　　　　　　　　　…};
负实数集合{　　　　　　　　　　　　　…}.
【能力提升】
5.如图所示,以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以表示2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是 (　　)
A.- B.2-
C.1- D.-2
6.一个等腰直角三角形的三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如图所示,顶点C和A在数轴上的位置表示的实数分别为-1和1.那么当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是　　　　.?
7.在数轴上作出和-对应的点.
【拓展探究】
8.如图所示,已知A,B,C三点分别对应数轴上的数a,b,c.
(1)化简|a-b|+|c-b|+|c-a|;
(2)若a=,b=-z2,c=-4mn,且满足x与y互为相反数,z是绝对值最小的负整数,m,n互为倒数,试求98a+99b+100c的值;
(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D,到点A,C的距离之和为10,且点D表示整数,并求出所有这些整数的和.
【答案与解析】
1.C
2.B
3.C
4.有理数集合-,0 ,0.16 ,3 ,0.15 , ,3.1415,-0.78 ,…;无理数集合 ,- , , - , … ;正实数集合0.16 ,3 ,0.15 ,,,3.1415 ,…;负实数集合- ,- , , -0.78 ,- ,… .
5.B(解析: 由勾股定理得正方形的对角线长为,设点A表示的数为x,则2-x=,解得x=2-.故选B.)
6.3+2(解析: 在等腰直角三角形ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=2,则当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实
数是3+2.故填3+2.)
7.解:如图所示,点C是对应的点,点G是-对应的点.
8.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c.　(2)由题意可知x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴98a+99b+100c=-99-400=-499.　(3)满足条件的点D表示的整数为-7或3,它们的和为-4.
本节课作为有理数的扩张,关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这样学生比较容易接受.
八年级的学生的认知状况不同,这种借助类比思想学习实数的有关知识,对有些学生来说比较困难,因为这样的设计使课堂容量增大不少.
根据学生的认知状况,借助类比学习实数的有关知识,如果学生整体认知水平较高,教学过程可以更加开放,在讨论了实数的两个分类标准之后,引导学生尝试自主地进行实数的分类,再进行交流.
随堂练习(教材第39页)
1.解:(1)不正确.　(2)正确.　(3)不正确.
2.解:(1)的相反数是-,倒数是,绝对值是.　(2)的相反数是2,倒数是-,绝对值是2.　(3)的相反数是-7,倒数是,绝对值是7.
3.解:如图所示.
习题2.8(教材第40页)
1.(1)7.5,4,,,0.31,0.　(2) ,　,-π　(3)7.5, ,4,　,,0.31,0.　(4),-π
2.解:(1)-3.8,,3.8.　(2),-,.
(3)π,-,π.　(4)-,,.　(5)-,,.
3.解:如图所示,点A就是-对应的点.
4.解:如图所示,ΔABC为钝角三角形,且面积为3,AB=AC=,BC=6.(答案不唯一)
　-的绝对值是 (　　)
A.　　　　　　　B.-
C. D. -
〔解析〕　|-|=.故选A.
　如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有 (　　)
A.6个 B.5个
　　C.4个 D.3个
〔解析〕　因为1<<2,5<5.1<6,所以A,B两点之间表示整数的点所对应的数为2,3,4,5,共有4个.故选C.
[解题策略]　根据数轴的特点把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,在学习中要注意数形结合思想的应用.
　如图所示,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是　　　　.?
〔解析〕　因为OB=,所以OA=OB=,因为点A在数轴上原点的左边,所以点A表示的数是-.故填-.
7　二次根式
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.
2.探究并掌握二次根式的性质.
3.会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算,并解决简单的实际问题.
1.从具体实例出发,通过类比把有理数的运算律推广到实数范围.
2.从具体实例出发,归纳出无理数的运算律.
3.通过例题和练习,熟悉和巩固无理数的运算律.
发展学生的运算技能,关注解决问题方式的多样性,提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
【重点】　利用化简对实数进行简单的四则运算.
【难点】　掌握有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
第课时
1.了解二次根式和最简二次根式的概念.
2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的基础上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.
在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.
【重点】　利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【难点】　利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.
【教师准备】　预设学习过程中学生会遇到的问题.
【学生准备】　复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.
导入一:
问题1
,,, ,(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征?
【问题解决】　都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.
二次根式的定义:一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.
强调条件:a≥0.
问题2
二次根式有哪些性质呢?
这是我们本节课要解决的新问题.
[设计意图]　通过问题,回顾旧知识,为学习新知识打好基础.
导入二:
电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,R≈6400 km.若某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?
【问题探究】　由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=.那么如何快速计算呢?
一、活动探究
【做一做】
(1)计算下列各式,你能得到什么猜想?
=　　　　,=　　　　;?
=　　　　,=　　　　;?
=　　　　,=　　　　.?
(2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流.
与, 与.
问题1
观察上面的结果,你得出什么结论?
问题2
从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?
【问题解决】　·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0).
积的算数平方根,等于算数平方根的积;
商的算数平方根,等于算数平方根的商.
[设计意图]　最终归纳出·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0).
说明:公式中字母a≥0,b≥0(或b>0)这一条件是公式的一部分,不可忽略.
二、例题讲解
　化简.
(1);
(2);
(3) .
〔解析〕　直接运用两个公式·(a≥0,b≥0), (a≥0, b>0)进行计算.
解:(1)=9×8=72.
(2)=5.
(3) .
观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?
[设计意图]　由于现在还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.
例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
　化简.
(1);　(2) ;　(3) .
解:(1)=5.
(2) .
(3) .
[设计意图]　例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵活的化为最简二次根式.
【议一议】　(1)你是怎么发现的被开方数含有开得尽方的因数的?你是怎么判断是最简二次根式的?
(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会?与同伴进行交流.
策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断是最简二次根式.
说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.
反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一部分移到了根号外面,具体来说是能开得尽方的因?