【完全解读】2016年秋八年级数学上册 12 分式和分式方程教学案 （新版）冀教版

第十二章　分式和分式方程
1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.
2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.
3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.
4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.
1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.
2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.
3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.
1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.
本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.
分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.
本章内容呈现方式及特点:
(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.
(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.
(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一步使学生感悟数学思想,积累解决问题的经验.
【重点】
1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.
2.能解可化为一元一次方程的分式方程.
3.能用分式方程解决一般的实际问题.
【难点】
1.对分式概念及其基本性质的理解.
2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.
2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通过适当的运算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.
3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.
总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格按照课程标准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.
12.1分　式
2课时
12.2分式的乘除
2课时
12.3分式的加减
2课时
12.4分式方程
1课时
12.5分式方程的应用
2课时
回顾与思考
1课时
12.1　分　式
1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.
2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分法则.
经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等.
1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.
2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推测出分式、分式的基本性质及分式的约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.
【重点】　分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.
【难点】　分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.
第课时
1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.
2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.
3.使学生能求出分式有意义的条件.
4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.
启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.
1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.
2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.
【重点】
1.分式的概念,分式有意义的条件.
2.分式的基本性质.
【难点】　分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.
【教师准备】　相关课件.
　　【学生准备】　复习小学学过的分数和初中学习过的整式.
导入一:
某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?
怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?盒.
[设计意图]　通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.
导入二:
如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v(m/s),那么(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.
问题:如果知道中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?
[设计意图]　通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.
导入三:
面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要　　　　个月,实际完成一期工程用了　　　　个月.?
让学生讨论并填空:
生:原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.
[设计意图]　通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.
活动一:做一做——感知分式
　　[过渡语]　(针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.
(一)出示教材第2页做一做
1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?
(二)尝试对所列代数式分类
师:同学们能列出这两个问题中的相关代数式吗?
生:(列代数式、老师随时板书)
,;,;,.
师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分成两类吗?
预设:
生1:都是分数.
生2:按照分母是否含有字母分两类.
生3:按照分子是否含有字母分两类.
[设计意图]　通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.
活动二:大家谈谈——总结分式定义
　　[过渡语]　大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字母的式子下个定义吧!
思路一
问题:
1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?
2.不是整式的代数式有哪些共同特征?
教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法.
在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
类比分数剖析分式概念:
形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.
内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.
要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.
思路二
师:下面请同学们看一下这四个式子,看它们有什么相同点和不同点?
,,,.
学生根据自己的观察,说出:,是分数,是整式.
师:而另两个式子,看它们有什么特点?请同学们自己总结一下.
学生思考后说:分母中有字母.
引导学生归纳:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
活动三:例题讲解——深化对分式的认识
　指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.
x-2,,5x2,,,,.
思考:
1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)
2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)
学生分析,得出结论.
解:x-2,,5x2,都是整式;
因为,,的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
[设计意图]　通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.
活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗
在什么情况下,下列各分式无意义?
,,.
问题:
1.分数在什么情况下无意义?
2.分式中分母的字母可以任意取值吗?
3.在什么情况下上面的三个分式无意义?
[处理方式]　学生交流、老师总结强调.
(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.
(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.
[设计意图]　由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.
　(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?
(1);　(2);　(3)-.
〔解析〕　只有当分母不为零时,分式才有意义.
解:(1)要使有意义,必须使4x+1≠0,即x≠-.所以当x≠-时,有意义.
(2)要使有意义,必须使1-≠0,即x≠±1,所以当x≠±1时,有意义.
(3)要使-有意义,必须使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以当x≠-3且x≠2时,-有意义.
强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时,一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时,必须满足B≠0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B≠0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.
[知识拓展]　对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:
1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:
分式
分数
整式
区别
分母中含有字母
分子、分母中都不含有字母
分母中不含有字母
　　2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.
3.注意分母含π的代数式容易判断错误,如:不是分式,因为π不是字母,而是常数.
4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.
活动五:分式的基本性质
　　[过渡语]　刚才我们研究了分式有意义的条件,小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得,和三个数相等吗?
下面我们来看看分式是否具有类似的性质?
1.请看下面的问题:
填空:　
学生独立思考,根据分数的基本性质,的分子、分母同乘2,可得,的分子、分母同除以10,得.
思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值会怎样?
归纳:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
用式子表示为:,(M是不等于0的整式).
【注意】　因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.
2.“做一做”.
分式与相等吗?还有与它们相等的分式吗?如果有,请你写出两个这样的分式.
引导学生得到:把的分子、分母同除以(a-b)得到;把的分子、分母同除以b得到,所以两个分式相等.
学生举出具有同样特点的两个分式.
[知识拓展]　理解分式的基本性质应注意以下几点:
分式的基本性质与分数的基本性质类似,要特别注意“不等于0”“同乘(或除以)”这些关键词.“同乘(或除以)”说明分子与分母都乘或都除以,并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是对分子与分母乘或除以的整式的限制条件.若原分式的分子(或分母)是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子(或分母)用括号括上,再乘(或除以)非零整式.
知识总结
知识方
法要点
关键总结
注意事项
分式的
概念
一般地,把形如的代数式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
分母含π的代数式容易判断错误.
分式有意义或无意义或分式值为0的条件
(1)分式有意义:分母不为0;
(2)分式无意义:分母为0;
(3)分式值为0:分子为0且分母不为0.
判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.
分式的
基本
性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.
规律方法总结
1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.
2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.
(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.
(3)分式基本性质的研究方法:从分数→分式;从特殊→一般.
1.如果分式有意义,那么x的取值范围是 (　　)
A.任意数 B.x=1
C.x≠1 D.x=0
解析:分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.故选C.
2.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值 (　　)
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的
C.不改变
D.缩小为原来的
解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.
3.下列代数式是分式的有　　　　.(填序号)?
;;;;;ab-ac;.
解析:判断一个代数式是不是分式,看分母中是否含有字母,若分母含有字母,则是分式;若分母不含有字母,则不是分式.,,,中分母都含有字母,是分式,ab-ac和是整式,不是分式,因为π不是字母,而是常数.故填②③④⑤.
4.已知分式,当x=　　　　时,分式无意义.?
解析:根据分式无意义,分母等于0列式计算即可得解.根据题意,得x+3=0,解得x=-3.故填-3.
5.判断下列从左到右的变形是否正确.
(1). (　　)
(2). (　　)
(3). (　　)
(4). (　　)
解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得成立,因此(1)正确;分子、分母加上c,只有当c=0时一定成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误;当c=0时,不成立,因此(3)错误;在中,隐含c≠0,分子、分母同时除以c,式子成立,因此(4)正确.
答案:(1)??　(2)×　(3)×　(4)??
6.已知分式,当x=-3时,该分式没有意义;当x=-4时,该分式的值为0,求(m+n的值.
解析:分式没有意义时,分母为0;分式的值为0时,分子为0,分母不为0.
解:根据分式没有意义的条件,有x+m=0,则x=-m,当x=-3时,m=3,再根据分式的值为0的条件,可求得n的值为-4,所以(m+n)2016=(3-4)2016=1.
7.不改变分式的值,把式子的分子与分母的系数化为整数.
解析:利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.
解:.(答案不唯一)
第1课时
活动一:做一做——感知分式
活动二:大家谈谈——总结分式定义
分式定义
活动三:例题讲解——深化对分式的认识
例1
活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗?
例2
活动五:分式的基本性质
,(M是不等于0的整式)
一、教材作业
【必做题】
1.教材第3页练习第1题.
2.教材第4页习题第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.代数式的家中来了几位客人:,,,,,+y,其中属于分式家族成员的有 (　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
2.当分式没有意义时,x的值是 (　　)
A.2 B.1 C.0 D.-2
3.下列关于分式的判断,正确的是 (　　)
A.当x=2时,的值为零
B.当x≠3时,有意义
C.无论x为何值,不可能得整数值
D.无论x为何值,的值总为正数
【能力提升】
4.若是一个整数,则x的最大的整数值为(　　)
A.8 B.13 C.16 D.18
5.当x=3时,分式的值是　　　　.?
6.当m=　　　　时,分式的值为零.?
7.某工厂计划a天生产60件产品,则平均每天生产该产品　　　　件.?
8.观察下列式子:4=4-,5=5-,6=6-,设n表示正整数(n≥4),用含n的等式表示这个规律是　　　　.?
9.下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?两者有什么区别?
a,2x+y,,,,3a,5.
【拓展探究】
10.在学习中小明和小丽都遇到了“当x取何值时,有意义”?小明的做法是:先化简,要使有意义,必须x-2≠0,即x≠2;小丽的做法是:要使有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.如果你与小明和小丽在同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.
【答案与解析】
1.C(解析:分式与整式的区别主要在于分母中是否含有未知数.,,这3个式子分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选C.)
2.A(解析:分式无意义的条件:分母为零.)
3.D(解析:根据分式的值为0的条件,以及分式有意义的条件即可求解.当x=2时,无意义,故A错误;当x≠0时,有意义,故B错误;当x=2时,得整数值,故C错误;分母x2+1大于0,分子大于0,故无论x为何值,的值总为正数,故D正确.)
4.A(解析:如果是一个整数,那么x-3是5的约数,则x-3=±1或±5.即x=4或2或8或-2,所以x的最大整数值是8.)
5.1(解析:将x=3代入分式,即可求得分式的值.)
6.3(解析:由(m-1)(m-3)=0,m2-3m+2≠0,解得m=3.故填3.)
7.(解析:工作效率=工作总量÷工作时间,把相关数值代入即可.)
8.n=n-(解析:观察等式可得等号左边的第一个因数与第二个因数的分子、等号右边的被减数、等号右边减数的分子相同;等号左右两边的分母均为前面所得的数加1.)
9.解:整式:a,2x+y,,3a,5;不是整式:,.它们的区别在于分母中是否含有字母,若含有字母,则不是整式,若不含有字母,则是整式.
10.解:要使有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.故小丽的做法正确,小明的做法使原来的分式中字母x的取值范围扩大了,从而出错.
从相等分数的变形依据,分数的基本性质作为复习引入,类比到相等分式的变形依据,归纳概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究,实现了从“数”到“式”的提升.
1.在教学过程中,对于学生的指导还有些不够到位的地方,如:对分式有意义、无意义和值为零类解答题的解答过程示范不够到位.
2.让部分因式分解不熟练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.
1.注意加深整式和分式的区别,加强解答题目过程的示范,进一步关注数学与生活的紧密联系.
2.在例题选配上,还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点,增设判断从左到右的变形是否正确这一类例题.
练习(教材第3页)
1.解:(1)x≠1.　(2)x≠-.
2.解:(1)正确.　(2)不正确.　(3)正确.　(4)正确.
习题(教材第4页)
1.解:当v=20 m/s,d=10米/辆时,=2(辆/秒).
2.解:要使分式有意义,则必有x+1≠0,所以x≠-1,所以当x≠-1时,分式有意义.要使分式的值为0,则必有所以x=0,所以当x=0时,分式的值为0.
3.解:(1)是分子、分母同时乘x2得到的.　(2)是分子、分母同时除以x得到的.　(3)是分子、分母同时乘5得到的.　(4)是分子、分母同时除以x-2得到的.
4.解:答案不唯一.如,等.
重难点突破建议
分式是在学生学过分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似,但又有所不同,分数是分式的具体化,分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生还是比较欠缺的.但是八年级的学生具有一定独立思考、概括归纳的能力,也有很强的合作意识.本课时的重点为分式的概念,难点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破这一重、难点,为后续的学习奠定坚实的基础,所以本节的设计中,突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程,让学生真正地参与到学习中去,提高他们的学习兴趣.
　当x　　　　时,分式的值为负数.?
〔解析〕　分子x2+4>0,分子与分母异号时,分式的值为负数,即x-2<0,x<2.学生小组合作,并交流解析过程.故填<2.
[设计意图]　尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了学生解决问题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.
　下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
,,-,-,,x2+y,
〔解析〕　区分整式与分式的标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.
解:整式有:,,x2+y.分式有:,-,-.
[解题策略]　注意辨析一些特殊的代数式,如中π是常数,故是整式;-容易看出是分式,是整式,类比“一个整数减去一个分数结果是分数”得出-是分式.
　x取什么值时,分式有意义?
解:x≠-1且x≠-2时,分式有意义.
[解题策略]　要使分式有意义,应使分式的分母不为零,对(x+1)(x+2)≠0来说,欲使其成立,必须x≠-1,同时x≠-2,即x≠-1且x≠-2.
[方法提示]　只要分式中的分母不等于0,分式就有意义.
第课时
1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.
2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.
通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.
1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.
2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.
【重点】　运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.
【难点】　约分时,最简公因式的确定.
【教师准备】　课件1~11.
【学生准备】　复习分数的约分和分式的基本性质.
导入一:
【课件1】　怎样把分数,约分?你做这些题目的依据是什么?与相等吗?为什么?
学生将,约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式2mn,得到.
【教师点拨】　分式化为,这样的分式变形过程就是分式的约分.
导入二:
【课件2】　下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?
(1);　(2).
解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a≠0,b≠0.　(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
【课件3】　化简:(1),(2),并说出这是什么运算?运算的依据是什么?
解:(1).　(2).这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质.
师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么?
生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.
师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分.
导入三:
同学们,想一想,对分数怎样化简?
【课件4】　思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?
(1)(y≠0);　(2);
(3).
反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题)
[设计意图]　按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.
活动一:分式的约分和最简分式
　　[过渡语]　怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么?
思路一
1.分式的约分
分式能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么?
教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.
展示【课件5】
教师根据学生化简的过程进行讲解.
归纳:
(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.
(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式?
生讨论回答后总结:
约分的步骤:①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.
公因式的确定方法:①当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.②当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.
进一步理解以上几句话
【课件6】　找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):
(1);　(2);　(3);　
(4);　(5).
2.最简分式
学生思考并交流:如果几个分式约分后,分别得到了,,,这几个分式有什么特点?还能继续约分吗?
生交流讨论后回答:不能再约分了.
师总结:这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简分式.即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.
【课件7】　在化简分式时,小颖和小明的做法出现了分歧:
小颖:;
小明:.
你对他们俩的解法有何看法?说说看!
引导学生分析得出小颖在化简时,没有化成最简分式,她的做法是错误的.
思路二
【课件8】　我们观察:
(1)(b≠0);
(2)(a+b≠0).
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答)
生:(1)式分子与分母同乘3b,(2)式分子与分母同乘(a+b),根据的是分式的基本性质.
师:将以上两个式子倒过来,又是怎样变形的?根据的是什么?
生:(1)式分子与分母同除以3b,(2)式分子与分母同除以(a+b),根据的是分式的基本性质.
我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式.
由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答):
利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式,叫做最简分式.
【课件9】　是最简分式.这种说法对吗?为什么?
解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以不是最简分式.
[知识拓展]　分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.
【课件10】
　约分:
(1);　(2);　(3).
教师引导学生发现:①确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;②分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除1以外)没有公因式.
学生先练,教师再根据情况指导.
解:(1).
(2).
(3).
[方法归纳]　(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1外)不能再有公因式.
【课件11】　教材第6页“做一做”
指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单.
【拓展延伸】　约分,为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什么?
师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.
解:=-=-.
师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号,所以分式的值不变.
[设计意图]　通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是确定分子和分母的公因式.
1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.
2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.
3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.
1.化简的结果是 (　　)
A. B. C. D.
解析:.故选A.
2.下列约分正确的是 (　　)
A.=x3 B.=0
C. D.
解析:A.=x4,故A选项错误;B.=1,故B选项错误;C.,故C选项正确;D.,故D选项错误.故选C.
3.下列分式是最简分式的是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:A.不能约分,是最简分式,B.,C.,D.=-1.故选A.
4.下列各式中,正确的是 (　　)
A.=2 B.=0
C.=1 D.=-1
解析:A.=2,故此选项正确;B.,故此选项错误;C.=-1,故此选项错误;D.=1,故此选项错误.故选A.
5.将下列分式约分.
(1);(2);(3);(4).
解析:(1)根据分式的基本性质,分子、分母同时除以5a2bc;(2)约去分子、分母的公因式(a+b)即可;(3)先把分子中的(a-x)2转变成(x-a)2,再约分即可;(4)根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再约分即可.
解:(1)=-.
(2)=-.
(3).
(4).
6.在给出的三个多项式:x2+4xy+4y2,x2-4y2,x2+2xy中,请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式,并进行化简运算.
解析:任意选出两个多项式,一个作为分子,另一个作为分母,进行因式分解,再约分即可.
解:(本题答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子,x2-4y2作分母,则.
第2课时
活动一:分式的约分和最简分式
(1)把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.
(2)分式的分子、分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.
活动二:例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第6页练习第1,2题.
2.教材第6页习题第1题.
【选做题】
教材第6页习题第2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列式子是分式且不能再约分的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.下列各式不成立的是 (　　)
A.=-b B.
C.=2ab2 D.=a+b
3.化简的结果是 (　　)
A. B.
C. D.
4.下列各分式变形正确的是 (　　)
A. B.=a+b
C.=1-a D.
【能力提升】
5.当x<0时,的化简结果是 (　　)
A.x2-1 B.x2+1
C.-x2-1 D.-x2+1
6.约分.
(1);　(2);　(3);
(4).
7.若,求2a-3b的值.
【拓展探究】
8.将分式约分,再讨论x取哪些整数时,能使分式的值是正整数?
【答案与解析】
1.C(解析:A.=x,能约分;B.不是分式;C.分式的分母与分子中除1以外没有公因式,不能进行约分;D.=x+y,能约分.)
2.A(解析:A.原式==a-b,此选项错误.)
3.D(解析:.)
4.C(解析:A.,故本选项错误;B.是最简分式,不能化简为a+b,故本选项错误;C.正确;D.=-,故本选项错误.)
5.C(解析:因为x<0,所以=-x2-1.)
6.解:(1).　(2).　(3)=3a+b.　(4).
7.解:,即2a=3b,所以2a-3b=0.
8.解:,当x=-1,0,3,8时,分式的值是正整数.
本节课体现了学生是学习的主人,学习了类比的思想方法,培养了学生语言表达和概括知识的能力.在分数约分的基础上,学习分式约分的方法.这一过程由学生自己学习、归纳,这样学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性.
高估了学生的基础,部分学生求最大公约数不会,造成约分时学生对公因式的确定还不够准确.
针对一些对分数约分困难的学生,给予帮扶,为进一步学习分式的约分奠定基础,另外教师在讲分式约分前应先花一段时间复习因式分解,使得基础比较差的学生学习新知识时能较容易接受.
练习(教材第6页)
1.解:(1)正确.　(2)不正确,应为.　(3)不正确,应为.　(4)正确.
2.解:(1).　(2).　(3).
习题(教材第6页)
1.解:(1).　(2)=-.　(3)=x-3.　(4).　(5).　(6).
2.解:.当x=2,y=3时,原式=.
3.解:=(3ab)∶(6ab)==1∶2,所以小三角形与大三角形的面积比为1∶2.
　化简.
(1);　(2).
解:(1)原式=.
(2)原式=.
[解题策略]　本题考查了分式的约分的应用,解此题的关键是找出分式中分子和分母的公因式.
　李红在化简分式时,给出了两种不同的解法.
解法1:=x-y.
解法2:=
=x-y.
你认为这两种解法都正确吗?谈谈你的想法.
〔解析〕　解法1正确,解法2不正确,当x-y=0时,使分式没有意义.
解:解法1正确,解法2不正确,当x-y=0时,不能在分子、分母上乘(x-y).
12.2　分式的乘除
1.使学生掌握分式乘除法的运算法则.
2.会进行分式乘除法的运算.
3.进一步掌握分式的基本性质,并能用它化简分式或进行分式变形.
1.让学生类比分数乘除法的运算法则,探索分式乘除法的运算法则.
2.在分式乘除法的运算过程中,体会因式分解
在分式乘除法中的作用.
3.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力.
通过师生共同交流、探讨,使学生在掌握知识的基础上,认识事物之间的内在联系,获得成就感,培养学生的创新意识和应用数学的意识.
【重点】　掌握分式乘除法运算.
【难点】　分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
第课时
1.理解和掌握分式的乘法法则.
2.经历探索分式乘法法则的过程,体会分式乘法法则的合理性.
1.总结分式的乘法法则,会进行分式的乘法运算,进一步运用类比的数学思想去观察、分析问题.
2.在分式乘法的运算过程中,体会因式分解在分式乘法中的作用,发展有条理的思考和语言表达能力.
1.让学生通过类比,体会到获得成功的喜悦,激发学生的学习热情.
2.在探究分式乘法法则的过程中,进一步体会分类和转化的思想.
【重点】　分式的乘法法则.
【难点】　分子和分母是多项式的乘法.
【教师准备】　课件1~8.
【学生准备】　复习已学过的分数乘法和因式分解.
导入一:
用下面的话引入新课:
上节课,我们学习了分式的基本性质,我们可以发现它与分数的基本性质类似.那么,分式的运算是否也和分数的运算类似呢?下面我们看投影片,进行探索和交流.
【课件1】　观察下列算式:
,
回顾分数与分数相乘的法则.
(分数与分数相乘,用分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母)
猜一猜:=?与同伴交流.
【学生活动】　仔细观察,先独立思考,然后在组内交流.
导入二:
师:我们一起来看一道计算题,你会做吗?(黑板出示).
生:.(教师黑板书写答案)
师:你能用文字来叙述出你做这道题的思路吗?
生:分子乘分子得到分子,分母乘分母得到分母.
师:对,这就是小学所学的分数的乘法,这位同学说得很好.我们大家一起来看看分数的乘法法则.(多媒体出示分数乘法法则:两个分数相乘,分母与分母相乘的积作为积的分母,分子与分子相乘的积作为积的分子)
师:刚才我们做的是分数之间的乘法运算,那换成我们刚学过的分式,(黑板出示),大家来猜想一下应该等于多少呢?
生:等于.
师:同学们还有没有不同的答案?(让学生讨论)
师:对,分式的乘法与分数乘法类似,那你能说出分式乘法的法则吗?
[设计意图]　导入一和导入二运用类比的方法,让学生发现分式的乘法法则,体现知识迁移的过程.
导入三:
【课件2】　受节约能源宣传的影响,一向满不在乎的小刚也开始节约用水了,他想知道自己过去到底用了多少水,于是他通过调查资料得出一个信息:他平均每天的用水量是千克,而他自己的有效利用率为,他想了半天也没有弄明白每天实际有效利用多少水.你能告诉他吗?
列式为:·,提出问题:
(1)这个式子是分式的哪种运算?
(2)又应该怎样计算呢?
这节课我们就来学习——分式的乘法.(板书课题)
[设计意图]　通过情境引入,使学生会列分式的乘法算式,从而引出本节课的课题,为下面的学习设下悬念,引起学生的学习兴趣.
活动一:分式的乘法法则
　　[过渡语]　根据刚才导入的问题,我们不难得出:·.你能根据分数与分数相乘的法则,总结出分式与分式相乘的法则吗?
说明:以小组为单位,仔细观察,并归纳、交流,得出分式乘法的运算法则.
归纳:语言表述:分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
字母表述:·.
活动二:例题讲解
思路一
1.分式的分子和分母是单项式的乘法
【课件3】
　计算下列各式:
(1)·;　(2)·.
〔解析〕　(1)将算式对照分式的乘法运算法则,进行运算;(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要进行约分,使运算结果化为最简分式或整式.
【学生活动】　尝试独立完成,若有困难,再小组讨论解答.
说明:学生自己能完成的,一定要让学生自己完成.
解:(1)·.
(2)·.
　　[过渡语]　刚才我们接触到的是分式的分子和分母是单项式的乘法,如果遇到分式的分子和分母是多项式的时候又应该怎样计算呢?
回顾:(1)因式分解的概念;(2)因式分解的方法.
2.分子和分母是多项式的分式乘法
【课件4】
　计算下列各式:
(1)·;　(2)·.
师:(1)中的x2-4x和(2)中的a2-4与a2+6a+9是否能进行因式分解?能分解成什么?
生:x2-4x=x(x-4);a2-4=(a+2)(a-2);a2+6a+9=(a+3)2.
师:下面请你独立完成.
解:(1)·=x.
(2)·.
强调:当分式的分子和分母是多项式的时候,一定要注意多项式如果能进行因式分解的先因式分解,然后再按照分式的乘法法则进行计算,所得结果要化成最简分式或整式.
3.教材第8页做一做
【课件5】　计算下列各式:
(1)-3xy2·;　(2)·.
引导学生观察(1)这个分式怎样相乘.
生:-3xy2可以看成分母是1的整式,然后与后面的分式相乘.
解:(1)-3xy2·=-x2.
(2)·.
[设计意图]　通过“例题”和“做一做”让学生进一步感受分式乘法的两种形式,即一种是分子和分母是单项式的分式乘法;另一种是分子和分母是多项式的分式乘法.从而让学生掌握计算的方法,提高学生解题的能力.
思路二
【课件6】
　计算:·(分子、分母都是单项式).
【思路点拨】　应用分式乘法法则,转化成,然后找出分子、分母的最大公因式2xy,即,再约分即得.这里尽量不要各自字母约各自字母,容易漏约或丢失.
【教师活动】　操作投影仪,分析例3,并引导学生积极参与.
【学生活动】　参与教师的分析,对每一步骤说出其依据,归纳运用法则的方法是:(1)运用分式乘法法则;(2)确定分子、分母的最大公因式;(3)约分;(4)检查结果是否最简.(小组讨论、归纳运用法则的方法)
[设计意图]　通过教师启发,引导学生学会分析、学会应用法则,然后在小组讨论中归纳分式乘法运算的方法.
【课件7】
　计算:·(分子、分母都是多项式).
【思路点拨】　由于各分式分子、分母都是多项式,因此,首先应将这些多项式能分解因式的分解因式,而且要注意分解彻底,然后再应用分式的乘法法则进行运算.
【教师活动】　分析例4,引导学生正确运用分解因式、分式乘法法则进行运算.
【学生活动】　参与教师分析,领会法则的应用,小组讨论、归纳分式运算方法:(1)分子、分母分解因式;(2)运用分式乘法法则;(3)约分;(4)检验分式的运算结果是否最简.
【教师点评】　实际上,今后对分式乘法运算熟练之后,分式运算中的乘法法则可以忽略,直接进行约分.
解:.
在教师的引导下,共同完成例4,再以小组讨论的方式归纳总结分式运算的方法,感受良好的课堂氛围.
【课件8】　计算:(1)·;　(2)·
解:(1).　(2).
[知识拓展]　(1)分式乘法运算结果如果不是最简分式,要进行约分.
(2)根据分式乘法法则有:①分式与分式相乘时,如果分子与分母是多项式,那么应先分解因式,看能否约分,再与分式相乘.②整式与分式相乘时,可以直接把整式看成分母是1的代数式,再与分式相乘.③分式的乘法实质就是约分,所以计算结果如能约分,应约分,或通过分解因式后能约分的也要约分,把结果化为最简分式或整式.
[设计意图]　在学生独立完成的基础上,教师讲评,以“暴露”学生身上存在的问题,从而也让学生巩固了本节所学的知识.
1.分式的乘法法则:
分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
字母表述:·.
2.注意事项:
(1)在运算过程中,当分子、分母都是单项式时,可直接约分再计算;当分子、分母是多项式时,能分解因式的要先分解因式,再约分、计算.
(2)运算结果一定要化成最简分式或整式.
1.计算a3·的结果是 (　　)
A.a B.a5 C.a6 D.a4
解析:原式=a3·=a.故选A.
2.计算·的结果为 (　　)
A. B.
C. D.1
解析:原式=·.故选A.
3.化简·的结果是 (　　)
A. B.a C. D.
解析:原式=·=a.故选B.
4.计算的结果是 (　　)
A.- B.- C.- D.
解析:原式分子、分母分别立方,计算即可得到结果.原式=-=-.故选C.
5.计算·的结果是 (　　)
A.-m-1 B.-m+1
C.-mn+m D.-mn-m
解析:原式=·=-m+1.故选B.
6.计算·的结果为 (　　)
A.- B. C. D.-
解析:原式=-=-.故选A.
7.计算·,其结果为 (　　)
A. B.
C. D.-
解析:原式=·=-.故选D.
8.(2015·宁德中考)化简·.
解析:先把分子、分母分解因式,再进一步约分计算得出答案即可
解:原式=·.
9.计算·.
解析:先计算乘方,再计算乘法即可得到结果.
解:原式=-·=-.
10.计算.
(1)·;　(2)·.
解:(1)原式=·b.
(2)原式=·.
第1课时
活动一:分式的乘法法则
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第8页练习第1,2题.
2.教材第8~9页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第9页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简(a-2)·的结果是 (　　)
A.a-2　　B.a+2　　C.　　D.
2.计算·的结果是 (　　)
A.- B. C.- D.
3.计算·等于 (　　)
A.6xyz B.-6xy
C.- D.6x2yz
4.化简·的结果是 (　　)
A. B. C. D.
5.计算8x2y4··的结果是 (　　)
A.-3x B.3x
C.-12x D.12x
6.化简·(n-m)的结果为 (　　)
A. B.
C.- D.-
7.计算··的结果是 (　　)
A.- B. C.- D.-
【能力提升】
8.计算(xy-x2)·=　　　　.?
9.计算-·=　　　　.?
【拓展探究】
10.计算.
(1)·;
(2)·;
(3)·.
【答案与解析】
1.B(解析:原式==a+2.)
2.C(解析:原式=-·=-.)
3.B(解析:原式=-=-=-6xy.)
4.B(解析:·.)
5.C(解析:原式=-=-12x.)
6.C(解析:原式=·(n-m)==-.)
7.D(解析:原式=·=-.)
8.-x2y(解析:原式=-x(x-y)·=-x2y.)
9.ab4(解析:-·=-·=ab4.)
10.解:(1)··.　(2)··.　(3)··.
教学的设计以学生自主探索为主,通过复习、类比分数的乘法导入新课,通过设置相应的问题,让学生自主探索、合作交流,归纳出分式的乘法法则,加深了学生对分式的乘法法则的理解与记忆,通过对例题的讲解加深了学生对分式的乘法常见形式的理解,并能正确地加以运用和计算,培养了学生利用分式乘法法则解决问题的能力.本节中教师清晰地分出两种情况进行教学,即分子和分母是单项式的分式乘法;另一种是分子和分母是多项式的分式乘法,强调先因式分解再计算.为学生的学习指引了方向,学生的学习积极性较高,掌握了基本的解题技能.
(1)由于部分学生计算能力欠缺,或有些细节没注意到,计算上还出现问题.(2)时间安排不是太恰当,学生帮助学生解决问题时耽误了一些时间,导致最后设计的环节没完成.(3)学生答题的规范性还差了些,在黑板上的板书不到位.
(1)在以后的教学中还应加强计算能力的培养.(2)应加强细节的设置,提高课堂效率,在以后的教学中加强学生的答题规范性.(3)本节课用到转化、猜想、归纳的数学方法,以后在教学中提醒学生数学方法的应用.
练习(教材第8页)
1.解:(1)·.　(2)·.
2.解:(1)原式=·.　(2)原式=·.
习题(教材第8页)
A组
1.解:(1)原式=.　(2)原式=.　(3)原式=.　(4)原式=-x2y.
2.解:(1)原式=·.　(2)原式=·.　(3)原式=·.　(4)原式=·.
B组
1.解:(1)原式=14.　(2)原式=··.
2.解:(1)原式=.　(2)原式=.　(3)原式=.
分式的乘方的教学设计
思路一
根据乘方的意义和分式乘法的法则,填空:
(1)·=(　　);
(2)··=(　　);
(3)···=(　　).
教师提出问题.学生思考、交流,回答问题,师生再共同推导:
,即(n为正整数).
归纳分式乘方法则:分式乘方等于分子、分母分别乘方.
思路二
全班交流分析以下问题的求解思路,教师根据需要进行板书.
(1)正方形的面积原来为1,每次剪去它的,第1次余下的面积为;第2次余下的面积为;第3次余下的面积为;…;于是,第n次后余下的面积为.若正方形的面积原来为1,每次剪去它的,则第1次余下的面积为;第2次余下的面积为1-;第3次余下的面积为;…;于是,第n次后余下的面积为,即为,同时可以得出,因此,.
(2)若正方形的面积为1,每次剪去它的(a>b),则第1次余下的面积为;第2次余下的面积为;第3次余下的面积为;…;于是,第n次后余下的面积为,即为,同时可以得出,因此,.
引导学生归纳分式乘方法则:分式乘方等于分子、分母分别乘方.
　计算.
(1);　(2)··.
解:(1).
(2)····=-.
[解题策略]　(1)分式乘方时,一定要把分式加上括号,不要把写成,还应把分子、分母分别看成一个整体,如≠.　(2)分式乘方时,要首先确定乘方结果
的符号,负数的偶次方为正,负数的奇次方为负.　(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法时,应先算乘方,再算乘法,有多项式时应先分解因式,再约分.
第课时
1.理解和掌握分式的除法法则.
2.能通过类比的方法,得到分式的除法法则,并能正确加以计算.
1.经历分式除法转化为分式乘法的过程,体会转化的思想在数学中的应用.
2.培养学生解决问题的能力.
通过分式除法的教学,进一步培养学生克服困难的精神,树立学好数学的自信心.
【重点】　分式的除法法则的掌握.
【难点】　能应用分式的除法法则正确加以计算.
【教师准备】　课件1~5.
【学生准备】　复习分式的乘法法则.
导入一:
【课件1】　大拖拉机m天耕地a平方千米,小拖拉机n天耕地b平方千米,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
学生讨论先分别得出大拖拉机的工作效率是平方千米∕天,小拖拉机的工作效率是平方千米∕天,进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
从上面的问题可知,实际问题中有时需要运用分式的除法.本节课我们就一起来研究分式的除法运算.
[设计意图]　通过实际情境,让学生感受分式除法在实际生活中的应用,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活,体现了知识生成的过程.
导入二:
复习提问:
1.分数的除法法则是什么?计算.
2.什么是倒数?
学生计算并回答问题,教师及时纠正出现的错误.
我们在小学学习了分数的除法,对于分式如何来进行计算呢?这就是我们这节要学习的内容.
[设计意图]　温故而知新,通过复习分数的除法导入分式的除法,体现出了类比学习法的重要性.
活动一:观察与思考——探究分式的除法法则
　　[过渡语]　我们知道小学学过的分数的除法法则,它是将分数的除法转化为分数的乘法进行计算的.
思路一
【课件2】　观察下列运算:
.
说明:一个分数除以一个分数,是将除数的分子与分母颠倒位置后,与被除数相乘.
猜一猜:=?
教师提出问题.
学生思考后在小组内交流.经观察、类比发现:
·.
与同伴交流,根据分数的除法法则,你能总结一下分式的除法法则吗?
进一步归纳分式的除法法则:
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.
教师适时板书,并引导学生用字母表示.
[知识拓展]　根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.
[设计意图]　通过观察、猜想和小组讨论,归纳得出分式除法的法则.
思路二
师:请大家试一试:.
生:2=.
师:现在我们大家来试一试:·.
生:·.
师:如果上述的分式乘法改为除法,你会做吗?
生:·.
师:你能参照上面我们完成的分式的除法计算,猜想一下:=?
生:·.(教师书写学生的答案)
师:同学们有不同的答案吗?
你能用语言来叙述分式的除法运算法则吗?
生:除以一个分式等于乘这个分式的倒数.
师:说得很好,分式和分数一样,除以一个分式等于乘这个分式的倒数,也就是把除式的分子和分母的位置颠倒后再与被除式相乘,然后再按照乘法运算来进行计算,大家来看一下多媒体上的分式除法法则.
多媒体出示分式除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.
[设计意图]　让学生类比分数的除法法则,自己总结出分式的除法法则,实现学生主动参与,探究新知的目的,也体现了知识的迁移和转化的思想.
活动二:例题讲解——应用新知
　　[过渡语]　根据上面我们的观察,可以知道分式的除法运算是转化为分式的乘法运算来进行的.所以在进行分式除法运算时,只要将分式的除法运算转化为分式的乘法运算,然后再按照分式的乘法法则进行计算即可.
【课件3】
　计算下列各式:
(1);　(2);
(3).
引导学生分析:运用·,注意多项式能因式分解的先因式分解,运算结果应化为最简分式或整式.
解:(1)·=10y.
(2)·=2x+4.
(3)·.
说明:学生独立完成练习,教师关注学生能否准确、熟练地完成任务,适时加以指导.
归纳:分式的除法都是转化为分式的乘法进行计算的,(1)分式的分子、分母是单项式,直接根据分式的除法法则进行计算;(2)分式的分子、分母是多项式时,转化为乘法后,先要分解因式,然后再进行计算.
　　[过渡语]　下面来看一个分式的除法应用问题.
【课件4】
　八年级(一)班的同学在体育课上进行长跑训练,小芳跑完1000 m用了t s,小华用相同的时间跑完了800 m.这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的多少倍?
〔解析〕　小芳的平均速度是 m/s,小华的平均速度是 m/s,列式为.
解:小芳的平均速度为 m/s,小华的平均速度为 m/s.=1.25.
答:这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的1.25倍.
【课件5】
　(补充例题)如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
学生先独立思考,分小组讨论再交流.
【教师点拨】　因为a>1,所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1)<0,即(a-1)2解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是 kg,“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是kg.
因为a>1,所以(a-1)2>0,a2-1>0.
易得(a-1)2所以.
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2)·.
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.
[设计意图]　通过具体的问题,让学生自主探索,教师引导、探究,并进行充分的讨论,最后统一认识、总结、归纳出进行分式除法计算的具体步骤.
1.分式的除法法则:
语言叙述:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.
字母表示:·.
2.注意事项:
(1)运用法则时,注意符号的变化;
(2)因式分解在分式除法中的应用;
(3)步骤要完整,结果要化最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.
1.化简的结果是 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=.故选B.
2.计算a·的结果是 (　　)
A.a B.a2 C. D.
解析:原式=a··.故选D.
3.计算-的结果为 (　　)
A. B.- C.- D.-n
解析:原式=-=-n.故选D.
4.化简的结果是 (　　)
A.m B. C.m-1 D.
解析:原式=·=m.故选A.
5.化简(ab+b2)的结果是 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=b(a+b)·.故选A.
6.计算的结果是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:原式=··.故选C.
7.a÷bcd等于 (　　)
A.a B.
C. D.ab2c2d2
解析:原式=a.故选B.
8.计算.
(1);
(2).
解析:将分式的除法转化为分式的乘法,然后按照分式的乘法法则进行计算.
解:(1).
(2)·.
9.由甲地到乙地的一条铁路全程为v km,火车全程运行时间为a h;由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍,汽车全程运行时间为b h.那么火车的速度是汽车速度的多少倍?
解析:根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度,即可得出所求.
解:火车速度为 km/h,汽车速度为 km/h,
则·,即火车的速度是汽车速度的倍.
第2课时
活动一:观察与思考——探究分式的除法法则
活动二:例题讲解
例1
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
1.教材第10页练习.
2.教材第11页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第11页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简结果为 (　　)
A. B.
C. D.
2.计算(x2+y)·的结果是 (　　)
A. B.x2+y
C. D.
3.化简·,其结果是 (　　)
A. B.2
C.-2 D.
4.若=3,则a4b4的值是 (　　)
A.6 B.9 C.12 D.81
5.下列运算正确的是 (　　)
A.(a+b)=1 B.=a+1
C.=a-1 D.2ab=3b4
【能力提升】
6.兵兵、芳芳、婷婷和杨辉在做课外作业时,对于“计算下列分式:·;;;,其结果是分式的有哪些?”得到下面四种不同的结果.
兵兵:只有①;芳芳:只有②;婷婷:①②③;杨辉:①②③④.
你认为结果正确的是 (　　)
A.兵兵 B.芳芳 C.婷婷 D.杨辉
7.式子有意义,则x应满足的条件是 (　　)
A.x≠±2且x≠- B.x≠-2且x≠-
C.x≠2且x≠- D.以上都不对
8.下面的计算正确的是 (　　)
A.8a2=4a2b2
B.(a-b)(a-b)2=a-b
C.(a-b)(a-b)2=(a-b)5
D.15a2
9.化简.
10.计算·.
11.计算x÷(x-2)·时,小虎给出了他的解答过程如下:
解:x÷(x-2)·=x=x÷1=x.
试说明小虎的求解过程是否正确,如果不正确,请你指出错误之处,并写出你认为正确的解答过程.
【拓展探究】
12.当x取何值时,代数式·的值为负数?
【答案与解析】
1.B(解析:原式=·.)
2.A(解析:原式=(x2+y)··.)
3.C(解析:原式=-··=-2.)
4.B(解析:因为·=a2b2=3,所以a4b4=(a2b2)2=32=9.)
5.C(解析:A.(a+b)=,所以A选项不正确;B.,所以B选项不正确;C.·=a-1,所以C选项正确;D.2ab=2ab·,所以D选项不正确.)
6.B(解析:·,为整式;·,是分式;·,是整式;·,为整式.故是分式的只有②.)
7.A(解析:根据分式的意义:分母不为0,除数不为0,可得x+2≠0,x-2≠0,且2x+3≠0.即x≠±2且x≠-.)
8.C(解析:A.原式=8a2·,故A选项错误;B.原式=(a-b)·(a-b)2·(a-b)2=(a-b)5,故B选项错误,C正确;D.原式=15a2·=5ab,故D选项错误.)
9.解:原式=·.
10.解:原式=··.
11.解:不正确,错误之处在于先算了乘法,再算除法.正确的解答过程是原式=x··.
12.解:原式=··(x+2)(x-2)=,由代数式·的值为负数,得3x+3<0,解得x<-1,当x≠-2时,原代数式有意义.所以当x<-1且x≠-2时,代数式·的值为负数.
分式的除法的教学是在分数的除法的基础上,通过类比让学生总结出分式的除法法则.同时呈现了分子、分母是单项式的分式的除法,以及分子、分母是多项式的分式的除法.实际上分式的除法就是将分式的除法转化为分式的乘法进行计算,体现了转化的思想.同时在教学中,教师注重知识的归纳和总结,培养了学生的逻辑思维能力和类比迁移的能力,学生对分式的除法计算掌握较好,同时通过分式除法的应用,让学生理解分式的除法在实际问题中的应用,感受到数学与生活的密切联系.由于学生有了分式乘法的基础,所以本节课学生学得较为轻松.
(1)学生自主学习的空间过少,教师引导的太多,没有把自主权交给学生.
(2)有的题在完成的过程中,没有达到面向全体学生的目的,而是少部分学生代替了全部.
学生能独立完成的,千万不要小组合作完成.学生能做到的,一定要学生尝试做到,要相信学生.尤其是本节课,学生已经有了分式乘法的基础,所以教师一定要照顾到全体学生.每一道题的完成尽量全员参与,让每名学生通过做题发现自身存在的问题,从而通过教师的讲评改正自己的错误.
练习(教材第10页)
解:(1)·.　(2)(2x-x2)=·.　(3)·.
习题(教材第11页)
A组
1.解:(1)原式=.　(2)原式=.　(3)原式=.　(4)原式=.
2.解:(1)设变化后的圆锥的体积为V',则V'=·S·ah=ahS,V'÷V=ahSSh=a,即变化后的圆锥的体积是原来的a倍.　(2)根据题意,设变化后的圆锥的高是h',则体积为V=aSh'.而V=Sh,所以aSh'=Sh,即h'=h,所以变化后的圆锥的高是原来的.
B组
1.解:(1)原式=··.　(2)原式=x(y-x)··=-y.
2.解:a2-a=a(a-1)=0,所以a=0或a=1.因为a2-1≠0,所以a≠1,所以a=0.原式=··(a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)=a2-a-2.当a=0时,原式=-2.
　计算.
(1)(x+y)2·;
(2)·;
(3)(9-x2).
解:(1)原式=··.
(2)原式=-··.
(3)原式=-(x+3)(x-3)·=-x-3.
　许老师讲完了分式的乘除一节后,给同学们出了这样一道题,若x=-2016,求代数式·的值,一会儿,小明说:“老师这道题目中的x=-2016是多余的.”请你判断小明的说法是否正确.
解:·
=··
=1,
即不论x为何值,分式的值都是1,
所以小明的说法是正确的.
　某品牌汽车改进发动机技术后,平均每天可比原来节油,那么相同体积的油,改进发动机技术后使用的天数是原来的几倍?
解:设原来每天平均用油x升,改进发动机技术后,平均每天用油x升,
由题意得,
即改进发动机技术后,相同体积的油使用的天数是原来的倍.
12.3　分式的加减
1.使学生会运用同分母分式的加减法的法则进行运算.
2.使学生理解并学会通分,并能进行异分母分式的加减运算以及四则混合运算.
通过对计算过程的反思,获得解决问题的经验,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
激发学生强烈的求知欲望,培养学生对数学学习的感受,并使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.
【重点】　同分母的分式加减法及异分母的分式的加减法.
【难点】　分式的分母是多项式的分式的加减法.
第课时
1.会利用分式的基本性质对分式进行通分.
2.理解分式的加减法法则,并会运用它进行分式的加减法运算.
1.通过同分母、异分母分式的加减法运算,复习整式的加减法运算、多项式去括号的法则,培养学生分式运算的能力.
2.渗透类比、化归等数学思想方法,培养学生计算的能力.
在探究分式加减法法则的活动中,培养学生良好的学习习惯,培养学生运用数学的意识.
【重点】　运用分式加减法的运算法则进行分式的加减运算.
【难点】　异分母分式的加减法运算.
【教师准备】　课件1~8.
【学生准备】　复习分数的通分和分数的加减法法则.
导入一:
【课件1】　大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把42写成两个数的平方和的形式,即42=x2+y2,演算过程中出现了=16.由于16=42,于是他求得了一组解:x=,y=.这个问题还有其他的解吗?=16,用到了什么法则呢?你能计算吗?
[设计意图]　将数学问题融入具体故事情境,根据有趣味性的问题,使学生积极主动地投入到数学活动中去,从而调动学生学习的积极性.
导入二:
【课件2】　甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?
【思路点拨】　这是一道实际应用问题,主要是以“模型”的思想建立分式加减的代数式,首先应找出甲、乙工程队每一天的工作效率,分别是甲队为,乙队为,然后用和的运算得到两队共同工作一天的分式模型:.
【教师活动】　组织学生小组合作交流,引导学生回顾曾经学过的有关“工效”问题的应用题的列式方法,并提问个别学生.
【学生活动】　小组合作交流,对问题取得共识有下面两点:
(1)明确是“工效”(以前学过)模型;
(2)所列代数式是分式加法的形式,这是未学过的运算问题.
【提出问题】　那么,怎样来计算分式的加法呢?
[设计意图]　以实际问题引入新课,提高学生学习的兴趣,同时也为探究本节课的内容打下基础.
导入三:
　　[过渡语]　我们学习过分数的加减法,我们一起来回顾一下:
(1)什么叫通分?通分的作用是什么?
(2)通分的关键是什么?
(3)什么叫最简公分母?
教师提问,学生回忆,引出课题,并板书课题.
[设计意图]　复习旧知识,引出新知识,为本节课的学习做铺垫.
活动一:一起探究——同分母分式加减法
思路一
　　[过渡语]　下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则.
【课件3】　计算:,-.
学生计算,并说出分数的加减法法则.教师根据情况板演:,-.
【课件4】　类比同分母分数的加减法运算法则,完成下面同分母分式的加减运算:
(1)=　　　　;?
(2)=　　　　;?
(3)-=　　　　;?
(4)-=　　　　.?
答案:(1)　(2)　(3)　(4)
　　[过渡语]　同分母分式的加减法的实质与同分母分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则吗?
学生同桌之间互说,再全班交流.教师板书:
同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).
用式子表示为:.
思路二
师:想一想:
(1)同分母的分数如何加减?你能举例说明吗?
(2)你认为分母相同的分式应该如何加减?
【学生活动】　讨论得出如下内容:
同分母的分数的加减是分母不变,把分子相加减.例如:.
分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样,应该是分母不变,把分子相加减.
师:现在请你举出几个分母相同的分式的加减法,猜想一下,怎样进行计算?
【学生活动】　小组交流,举例说明.
师:你能将它推广,得出分式的加减法法则吗?
说明:教师提出问题,学生列出算式后,小组讨论,得到同分母分式的加减法法则.
归纳:同分母的分式加减法法则:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).
用式子表示为:.
教师根据学生归纳的情况,适当点评,并板书.
[设计意图]　从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比分数的加减法运算,学生很容易得出同分母的分式的加减法法则.
活动二:例题讲解
【课件5】
　计算下列各式:
(1)-;　(2);　(3).
〔解析〕　(1)和(2)可直接应用同分母分式的加减法法则进行计算;(3)中的第2个分母与其他两个分母互为相反数,可提取“-”号变成相同的.
说明:让学生独立完成,然后全班讲评.
解:(1)-.
(2).
(3)
=.
教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知识,可与最简分数相类比.引导学生总结:(1)分子如果是一个多项式,此时分数线还具有括号的作用;(2)最后结果应化成最简分式或整式.
[设计意图]　通过例题,进一步提高学生对同分母分式加减法的认识,为熟练进行异分母分式加减打下基础.
活动三:异分母分式相加减
　　[过渡语]　刚才我们研究了同分母分式的加减法,现在来看一下异分母分式的加减法.
1.观察与思考——法则的探究
【课件6】　观察与思考:
(1)异分母两个分数相加减,是将其化为同分母分数的加减法来进行的.如:
.
(2)类比异分母分数的加减,异分母分式的加减应当怎样进行呢?
(3)试计算:.
小组讨论,选派代表发言.
小组讨论后得出:与异分母分数加减类似,异分母分式相加减也应该先通分,化成同分母的分式,然后按同分母分式加减法法则进行计算,关键是如何通分.
【课件7】
教师根据上述内容进行说明,然后交代:
像这样,把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫做分式的通分,这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.
几个分式的公分母不止一个,通分时一般选取最简公分母.
[知识拓展]　确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数作为公分母的系数;(2)取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式;(3)各分母中出现的因式都必须出现在公分母中.如ac,mac(m为非0整式)都是分式,的公分母,但ac是最简公分母.
【提出问题】　请你根据异分母分数的加减法法则,总结一下异分母分式的加减法法则?
归纳:异分母的分式加减法法则.
语言表述:异分母的两个分式相加(减),先通分,化为同分母的分式,再相加(减).
字母表示为:.
活动四:例题讲解
【课件8】
　计算下列各式:
(1)-;　(2).
引导学生独立完成.
解:(1)--.
(2).
[设计意图]　通过讨论并解决分式的通分,使学生掌握把异分母分式转化为同分母分式的方法,培养学生转化的思想,提高学生解决问题的能力.
1.同分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.
2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.确定最简公分母的方法:①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;②如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因式三个方面去找.
3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的代数式,以便通分.
4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.
[设计意图]　及时反馈学生学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体验到学习数学的快乐.
1.(2015·义乌中考)化简的结果是 (　　)
A.x+1 B. C.x-1 D.
解析:原式=-=x+1.故选A.
2.(2015·济南中考)化简-的结果是 (　　)
A.m+3 B.m-3 C. D.
解析:原式==m+3.故选A.
3.(2015·江西中考)下列运算正确的是 (　　)
A.(2a2)3=6a6
B.-a2b2·3ab3=-3a2b5
C.=-1
D.·=-1
解析:A.原式=8a6,错误;B.原式=-3a3b5,错误;C.原式==-1,正确;D.原式=·,错误.故选C.
4.(2015·山西中考)化简-的结果是 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=--.故选A.
5.(2015·百色中考)化简-的结果为 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=-.故选C.
6.分式的计算结果是 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=.故选D.
7.计算-=　　　　.?
解析:原式=-.故填.
8.按要求化简.
解答过程
解答步骤说明
解题依据(用文字或字母填写知识的名称和具体内容,每空一个)
=
示例:通分
示例:分式的基本性质:分式的分子和分母都乘同一个不等于零的整式,分式的值不变(或异分母分式加(减)法法则:)
=
去括号
①　　　?
=
合并同
类项
此处不填
②=　　　?
③　　??
④　　　?
　　答案:①括号前面是“+”,去括号后括号内各项的符号不变;括号前面是“-”,去括号时,括号内各项的符号都要改变　　③约分　④分式的基本性质:分式分子、分母同时除以公因式,分式的值不变
9.计算.
(1)-;
(2)-;
(3)-x-1.
解析:(1)根据同分母分式减法法则计算即可.(2)首先通分,把异分母分式的减法转化为同分母分式的减法,然后根据同分母分式减法法则进行计算即可.
解:(1)-=-.
(2)---.
(3)-x-1=-.
10.已知:两个分式A=-,B=,其中x≠±1,下面三个结论:①A=B;②A,B互为倒数;③A,B互为相反数.这三个结论中哪一个结论正确?为什么?
解析:先对A式通分,B式分母分解因式,再比较A,B的关系.
解:因为A=,B=,所以A≠B.
因为A×B=≠1,
所以A,B不互为倒数.
因为A+B=-=0,
所以A,B互为相反数.
第1课时
活动一:一起探究——同分母分式加减法
活动二:例题讲解
活动三:异分母分式相加减
活动四:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第14页练习第1,2,3题.
2.教材第14页习题第1,2题.
【选做题】
教材第15页习题第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.计算-的结果是 (　　)
A.1 B.-1 C.0 D.a-5
2.下列运算中正确的是 (　　)
A.-=a+b
B.-
C.-=a+b
D.-
3.化简的结果是 (　　)
A.x+1 B.x-1 C.-x D.x
4.计算-的值是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
5.计算=　　　　.?
6.化简的结果是　　　　.?
【能力提升】
7.已知-,则的值是　　　　.?
8.计算-.
9.化简.
10.计算+a+2.
11.已知m>0,n>0,m≠n,试比较分式与分式的大小.
【拓展探究】
12.某同学在学习过程中,遇到这样的问题:求A=48的整数部分,百思而不得其解,于是向数学老师求教.数学老师进行了深入浅出的讲解:观察算式中每个分母中减数都是4,且被减数都在递增.
先看一般情形:
再看特殊情形:
当a=3时,;
当a=4时,.
老师讲解到这里时,该同学说:“老师我知道怎么做了.”
(1)请你通过化简,说明一般情形-=的正确性;
(2)请你完成该同学的解答.
【答案与解析】
1.A(解析:利用同分母分式的减法法则进行计算即可得到结果.原式==1.)
2.C(解析:-,故A选项错误;-,故B选项错误;-=a+b,故C选项正确;D.-=-,故D选项错误.)
3.D(解析:将分母化为同分母,再将分子因式分解、约分.原式=-=x.)
4.A(解析:先通分,然后计算减法.原式==0.)
5.1(解析:根据同分母分式相加,分母不变分子相加可得答案.原式==1.)
6.(解析:将原式通分,并利用同分母分式的加法法则进行计算即可得到结果.原式=.)
7.-2(解析:先把所给等式的左边通分,再相减,可得,可得ab=-2(a-b),再利用等式性质易求=-2.)
8.解:原式=-=-.
9.解:原式==1.
10.解:原式=+a+2=a-2+a+2=2a.
11.解:把两分式作差,得-.因为m>0,n>0,m≠n,所以>0,即.
12.解:(1)因为左边=-=,所以左边=右边,即原式成立.　(2)因为,所以A=481++…+-+…+=12×1+----=25-12×.因为12<12,所以A的整数部分是24.
本节课,以学生自主探索为主,通过复习类比分数的加减法导入新课,通过设置相应的题目,让学生自主探索、合作交流,从对同分母分数加减法法则类比出同分母分式的加减法法则,从对异分母分数的加减法法则类比出异分母分式的加减法法则.加深了学生对分式的加减法法则的理解与记忆,通过对例题的讲解加深了学生对同分母分式的加减法法则和异分母分式的加减法法则的理解,提高了学生运用分式的加减法解决问题的能力.本节课的教学始终低起点,顺应着学生的认知过程,阶梯式的设置台阶,使学生自然地归纳出法则,在运用法则的重点环节上,无论是例题的分析还是练习题的落实,以学生为中心,给足充分的时间让学生去演算,“暴露”问题,再指出问题所在,为后一步的教学打好基础.
在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好,但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想,很多学生对于分式的通分还很不熟练,也有学生对于计算结果应该为最简分式或整式理解不够,总是无法化到最简的形式.
1.强调最简公分母的确定方法,让学生通过各种题型,如填空题、选择题、辨析题,多加练习.
2.由于学生对整式与分式加减易混,所以增加训练的题目数量,反复强调易错点.
3.在讲解的过程中,要求学生对例题或练习题的讲题说理,加强学生对解题方法的理解和掌握.
练习(教材第14页)
1.解:(1)原式==1.　(2)原式=--=-.
2.解:(1)不正确.改正:原式=.　(2)不正确.改正:原式=-.
3.解:(1)原式=-.　(2)原式=.
习题(教材第14页)
1.解:(1)-.　(2)-=1.　(3).　(4)-.
2.解:(1)--.　(2)--.　(3)--.　(4)--.　(5)--=-.　(6)-.
3.解:-(盒).答:现在比原来可多买盒.
4.解:(1)小明平均每小时打千字,小华平均每小时打千字.　(2)·2+·3=(千字).　(3)-(千字).
本节课要求学生理解并掌握分式的加减运算法则,会运用它们进行分式加减运算.为了完成教学目标,先让学生做两道同分母和异分母分数加减法的计算题,让学生通过类比的方法,得出分式加减运算法则及注意事项,然后遵循由浅入深,由简到繁的原则,先讲同分母分式的加减.同分母分式的加减法比较容易,它是进一步学习异分母分式加减法的基础.异分母的分式加减运算与同分母分式的加减运算相比要困难一些,这里主要是做好“转化”工作,即把异分母的分式加减运算转化为同分母的分式的加减运算,“转化”的关键是通分,而最简公分母的寻找是通分的关键,因此可先通过异分母分数的加减方法,与异分母分式的加减相类比.
第课时
1.明确分式混合运算的运算顺序,熟练地进行分式的混合运算.
2.能灵活运用运算律简便运算.
1.类比数的混合运算探究出分式的混合运算法则.
2.灵活恰当地运用运算律进行计算.
渗透类比转化思想,让学生在学知识的同时学到方法,受到思维训练.
【重点】　熟练地进行分式的混合运算.
【难点】　熟练地进行分式的混合运算.
【教师准备】　课件1~7.
【学生准备】　复习数的混合运算.
导入一:
师:同学们,你能说出数的混合运算的运算顺序吗?
学生思考、交流,回答问题,并类比数的混合运算法则猜想分式的混合运算法则.
师:分式的混合运算是否也是这样进行呢?(板书课题)
[设计意图]　类比思考活动激活了学生原有知识,体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程.
导入二:
有一财主死后,几个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图看到上面有一段文字记录:计算-x的值,就是我留给你们的全部宝物.
老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考后干脆一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,他的儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习之后,你就会明白其中的道理.
[设计意图]　故事引入新课,让枯燥的计算问题变得更具吸引力,调动起了学生学习的积极性.
活动一:复习异分母分式的加减法
　　[过渡语]　上节课我们学习了异分母分式的加减法,下面我们通过例题来回顾一下异分母分式的加减法.
【课件1】
　计算下列各式:
(1)-;
(2)-.
【学生活动】　小组合作讨论,互相补充完成.
说明:教师巡视指导,发现问题及时纠正.
解:(1)-
=-
=
=
=.
(2)--
==-.
归纳:分母是多项式的异分母分式相加减时,如果分母当中的多项式能分解因式的先分解因式,然后再确定最简公分母进行通分.
[设计意图]　通过对例题的讲解,让学生回顾异分母分式相加减时,当分母是多项式时,要先进行因式分解,确定最简公分母后再进行通分,把异分母分式加减转化为同分母分式加减再进行计算,培养学生解决问题的能力和灵活应用知识的能力.
活动二:分式的混合运算
　　[过渡语]　经过探究我们掌握了分式加减法、乘除法的运算法则,那么当一个分式中含有加、减、乘、除运算时,又应该怎样进行计算呢?
思路一
【课件2】　教材第15页“试着做做”
计算:.
思考:观察上面的式子,应该按照怎样的运算顺序进行计算?
学生得出:先算括号内的加法,再计算除法.
让学生独立完成.
解:=ab.
　　[过渡语]　分式的混合运算与数的混合运算类似,在进行分式的加、减、乘、除混合运算时,一般要按照运算顺序进行:先算乘除,再算加减;如果有括号,要先算括号内的.
【课件3】
　计算:.
学生类比数的混合运算的运算顺序,独立练习,小组交流.
教师根据学生的情况讲解,并示范解答过程.
解:
=
=
=
=
=·.
[设计意图]　类比数的混合运算,建立起新旧知识之间的联系,学生自学容易弄懂,意在培养学生自学的能力.
【课件4】　教材第16页做一做:当a=-时,求-·的值.
〔解析〕　对于求值的问题,如果原式能化简的要先进行化简,然后再求值,这样可使计算简便.
解:原式化简得-.代入a=-得-.
思路二
师生回忆:我们已经学习了分式的哪些运算?
(1)分式的乘除运算主要是通过(　　)进行的,分式的加减运算主要是通过(　　)进行的.
(2)数的混合运算法则是先算(　　),再算(　　),有括号的先算(　　　).
下面先来试一试:
【课件5】
　计算:.
学生类比数的混合运算的运算顺序,独立练习,小组交流.
方法一:原式括号中第一项约分,再利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分即可得到结果.
解:原式=··=-.
方法二:将除法变为乘法,运用乘法分配律计算.
解:原式=··-·-=-.
【课件6】
　计算·-.
教师引导学生用笔标出运算的先后顺序,再由学生完成练习,教师适机讲解,并板书解题过程.
解:·-
=·-·
=--
=.
教师引导学生比较评价,总结完善归纳得出:式与数有相同的运算顺序,先乘方,再乘除,然后加减.
【课件7】
　计算m+2+·.
解:··
=··=-2m-6.
学生先确定运算顺序,教师给予分析.对于分式中重点分析将(m+2)化成.引导学生及时纠正练习中的错误.
[知识拓展]　进行分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点:
(1)数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用.
(2)分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理,结果中分子或分母的系数是负数时,要把“-”号提到分式本身的前边.
(3)注意括号的“添”或“去”.
(4)分式运算与数的运算一样,结果必须达到最简,能约分的要约分,保证结果是最简分式或整式.
[设计意图]　通过由简到繁,循序渐进的练习,考查学生对基础知识的掌握程度,培养和提高学生的运算能力.
本节课通过大量例题的练习,弄清了分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的;分式运算的最后结果分子、分母要进行约分,最后的结果化成最简分式或整式,恰当地使用运算律会使运算简便.
[设计意图]　学习结果让学生自我反馈,让他们体验到学习数学的快乐.
1.(2015·泰安中考)化简a+1-的结果等于 (　　)
A.a-2 B.a+2 C. D.
解析:原式=··=a+2.故选B.
2.(2015·益阳中考)下列等式成立的是 (　　)
A. B.
C. D.=-
解析:A.原式=,错误;B.原式不能约分,错误;C.原式=,正确;D.原式==-,错误.故选C.
3.化简的结果为 (　　)
A.1+a B. C. D.1-a
解析:原式=·=1+a.故选A.
4.下列各式的运算结果中,正确的是 (　　)
A.
B.·(x-3)=
C.·=4
D.·=ab
解析:A.·,故此选项错误;B.·(x-3)=·(x-3)-·(x-3)=1-·(x-3)=,故此选项正确;C.·=-(a+2)-(2-a)=-4,故此选项错误;D.··=-ab,故此选项错误.故选B.
5.计算的结果为 (　　)
A. B. C. D.
解析:原式=·.故选A.
6.计算1-·(m2-1)的结果是 (　　)
A.2m2+2m B.0
C.-m2-2m D.m2+2m+2
解析:原式=1-·(m+1)(m-1)=1+·(m+1)(m-1)=1+(m+1)2=m2+2m+2.故选D.
7.化简的结果是(　　)
A.x-4 B.x+1
C.x D.以上答案都不是
解析:原式=·=x-4.故选A.
8.化简的结果为　　　　.?
解析:先确定运算顺序:先算小括号内的,再将除法运算转化为乘法运算,在计算时要把分子或分母中的多项式进行因式分解,最后约分化简即可.原式=··=x-1.故填x-1.
9.先化简,再求值:a-2+,其中,a满足a-2=0.
解析:对括号里面的式子进行通分的同时,利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再根据运算顺序进行化简,最后代入求值.
解:原式=,由a-2=0,得a=2,所以原式=3.
10.有两个工人甲和乙,他们每小时分别制作零件a个,b个,现要赶制一批零件,若甲单独完成任务需要m小时,如果甲、乙两人同时工作,那么比甲单独完成任务提前多长时间?
解析:由甲单独完成任务的时间是m小时,可表示出两人合作完成任务的时间,即可确定出甲、乙两人同时工作比甲单独完成任务提前的时间.
解:甲单独完成任务的时间是m小时,甲、乙两人合作完成任务的时间是小时,则提前完成任务的时间是m-(小时),则甲、乙两人同时工作比甲单独完成任务提前小时.
第2课时
活动一:复习异分母分式的加减法
活动二:分式的混合运算
一、教材作业
【必做题】
1.教材第16页练习第1,2题.
2.教材第17页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第17页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列计算正确的是 (　　)
A. B.-=0
C.· D.(a2-a)=a2
2.计算所得结果正确的是 (　　)
A.x B. C. D.-
3.对于任意整数n(n≠0),按下列程序计算输出答案为 (　　)
n→平方→+n→÷n→-n→答案
A.n B.n2 C.1 D.2n
【能力提升】
4.使(x2-4x+4)的值为整数的整数x的个数为 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.计算并化简式子·-的结果为　　　　.?
6.化简=　　　　.?
7.先化简,再求值:-,其中a=-1.
8.已知,求式子的值.
9.已知非零数a满足a2+1=3a,求a2+的值.
【拓展探究】
10.(1)填空:比较大小:　　　?,　　　?,　　　?;(填“>”“<”或“=”)
(2)请你猜想与之间的大小关系(n>1且n为整数);
(3)请你对(2)中的猜想说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:A.应该等于,故不对;B.应该等于,故不对;C.正确;D.原式=a(a-1)·=(a-1)2,故不对.)
2.B(解析:先计算括号里的,再计算除法即可.原式=.)
3.C(解析:根据题意得(n2+n)÷n-n=n+1-n=1,则输出答案为1.)
4.D(解析:把所给式子化简,看整数解的个数即可.原式=(x-2)2=1-,要使原式的值是整数,则必须是整数2,-2,1,-1,所以x的值是0,1,3,4,共4个.)
5.(解析:先计算乘方,再计算乘除,最后计算减法.原式=·-·-.)
6.(解析:先将括号里面的分式的分子、分母分解因式,再通分进行分式减法计算后,最后进行分式的除法计算就可以得出结果.原式==-.)
7.解:原式=·=a(a-2).当a=-1时,原式=-1×(-1-2)=3.
8.解:原式=·=-.因为,所以.所以原式=-2=-.
9.解:因为a2+1=3a,所以a+=3,所以两边平方得a2++2=9,所以a2+=7.
10.解析:(1)因为,,所以;因为,,所以;因为,,所以.解:(1)<　<　<　(2)由(1)猜想　(3)因为-,n>1且n为整数,所以>0,所以.
本节课先让学生进行分母是多项式的异分母分式的加减运算,然后通过计算,让学生发现分式混合运算的方法,学生对运算顺序掌握较好,初步达到了教学目标,突出了重点,层层推进,突破难点.以学生为中心,为重心,给足充分的时间让学生去演算,去“暴露”问题,让他们留下深刻的印象.
(1)对于问题的探究过程没有完全放手让学生自主探讨,担心课堂时间紧迫,教学任务难以完成,这也是在新课程教学中经常会出现的问题.
(2)对于分式的混合运算,学生计算得还是不够准确,没有养成认真检查的良好习惯.
(1)整节课以练习为主,放手让学生自学,教师根据学生的典型错误点评,有针对性地讲解.
(2)加强练习,使学生逐步掌握运算方法,提高运算的准确度,提升学生的计算能力.
练习(教材第16页)
1.解:(1)原式=.　(2)原式=--=-.　(3)原式=·.　(4)原式=··=x-1.
2.解:原式=··,当x=时,原式==8.
习题(教材第17页)
A组
1.解:(1)原式=·.　(2)原式=·.　(3)原式=·.　(4)原式=·.　(5)原式=·=
.　(6)原式=--(x+y)=-+1=1.
2.解:(1)原式=1+·a=1+a+b.当a=-3,b=-5时,原式=1-3-5=-7.　(2)原式=·--.当x=-3,y=2时,原式=.
B组
1.解:(1)原式=-=0.　(2)原式==0.
2.解:(1)原式=-·-=-.　(2)原式=1-+1+1--1-=2·-=-.
整个教学过程先通过巩固分式的加减运算,同时也让学生感受到分式运算的应用,在此基础之上,引导学生进入分式混合运算的探讨和学习.在课内探讨过程中,以自学和小组合作的形式呈现给学生例题,让学生去感受体验,去发现分式混合运算的运算顺序,而不是把现成的结论提供给学生.学生兴趣高涨,每一个层次的练习完成之后让学生去总结一下在解题过程中的收获,在此基础上引导学生发现解题技巧,把学生的认知提升到一个高的层面上,通过分析题目的显著特点,来灵活运用方法技巧解决问题.同时把时间和空间留给学生,让他们多一些练习,多一些巩固.
　先化简:,再任选一个你喜欢的数x代入求值.
〔解析〕　本题考查分式的化简求值,先把分式进行化简后再用选取的x的值代入求值.
解:·=x-2.
由题意知所以x≠1且x≠2.
本题答案不唯一,如当x=0时,原式=0-2=-2.
[解题策略]　(1)分式化简时,为便于化简,分子、分母是多项式的应先因式分解,分式的乘除法运算要统一为分式的乘法运算;(2)代入求值时,字母的取值一定要使所有的分式都有意义,还要注意除式不能为0的情况.
12.4　分式方程
1.理解分式方程的概念及意义.
2.了解解分式方程的基本思路和解法.
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.
1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.
2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.
通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.
【重点】　可化为一元一次方程的分式方程的解法.
【难点】　理解解分式方程时可能无解的原因.
【教师准备】　课件1~9.
【学生准备】　复习一元一次方程的有关知识.
导入一:
【课件1】　小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2 km,才能到学校,路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.
教师提出问题:
(1)上述问题中有哪些等量关系?
(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.
(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?
在活动中教师要关注:
(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;
(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?
(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?
[设计意图]　先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.
导入二:
【课件2】　西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,