【完全解读】2016年秋八年级数学上册 13 全等三角形教学案 （新版）冀教版

第十三章　全等三角形
1.了解逆命题与逆定理的含义,能够判断真命题与假命题,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
2.了解全等图形的概念,能识别全等多边形(三角形)的对应顶点、对应角、对应边,知道全等多边形(三角形)的对应边、对应角分别相等.
3.熟练掌握三角形全等的判定方法,并会运用这些判定方法判定两个三角形全等.
4.了解尺规作图的步骤,能利用基本作图方法作三角形.
5.在教学中,注意知识的形成过程和所学内容与现实生活的联系;注重让学生经历操作、观察、推理、想象等探索过程.
1.通过探究知识的过程,了解全等图形和全等三角形的判定,以及尺规作图之间的内在联系.
2.使学生有效地使用逻辑推理的方式认识几何图形,知道证明的过程可以有不同的表达方式,学会演绎推理证明的格式.
3.掌握全等三角形的证明思路和方法.
1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真的学习态度,激发学生的学习热情.
2.利用小组合作学习的方法,在学习中多与同学进行交流,多种感官参与教学,主动探索,发现规律,归纳概括,形成能力,养成学数学、爱数学的情感.
学生已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识,这些为学习命题和全等三角形的有关内容做了准备.通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识.全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握了全等三角形的相关知识,并且能够灵活运用它,才能学好以后要学的四边形.在本章中,全等三角形的判定既是重点,也是难点,同时也是中考的热点.全等三角形在中考中主要考查全等三角形的判定证明,并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去,如把某些问题转化为三角形的问题求解,能从复杂的图形中寻求全等的三角形以获得自己需要的信息也是中考的要点.
【重点】
1.命题、定理的有关概念.
2.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.
3.证明的基本过程.
4.尺规作图.
【难点】
1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.
2.证明的格式.
1.在命题与证明的教学中,要让学生通过大量的例子,分清命题的条件和结论,让学生逐步熟悉命题的形式,要通过学生自主探索、合作交流,让学生归纳出举反例判断假命题的方法,在进行定理的教学时,还应让学生确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理,成为以后证明的依据.
2.对全等三角形的教学时,要引导学生正确分类,能根据所给数据画出三角形,通过比较,直观感知全等三角形的判定方法,同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性.在证明的过程中要指导学生注意规范书写格式,规范推理过程,让学生的推理过程有理有据,同时要注重分析思路,让学生学会思考问题,让学生学会对问题有清晰的思路过程.有必要养成固定的思考过程模式,如:证等角——全等三角形——找到相关三角形——找全等条件——联系已知条件.
3.在教学尺规作图时,应要求学生采用先画草图分析作法,再进行尺规作图;对于“作一个角等于已知角”的教学时,要注意引导学生进行分析,要让学生先自主探究,后合作交流,同时要让学生在动手操作的基础上总结作图的步骤.
13.1命题与证明
1课时
13.2全等图形
1课时
13.3全等三角形的判定
4课时
13.4三角形的尺规作图
1课时
回顾与思考
1课时
13.1　命题与证明
1.理解逆命题的概念,能够判断命题的真假.
2.会把命题改写成“如果……那么……”的形式.
3.了解逆定理及证明的概念,会对一个真命题进行证明.
1.感受几何中推理的严谨性,掌握推理的方法.
2.通过对几何问题的演绎推理,体会证明的必要性,培养学生的逻辑推理能力.
通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严谨性,并培养与他人合作的意识.
【重点】
1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式.
2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明.
【难点】　理解证明的必要性.
【教师准备】　课件1~5.
【学生准备】　复习以前学过的几何定理等知识.
导入一:
情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小亮:“哈!这个黑客终于被逮住了.”
小刚:“是的,现在网络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…”.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着.
“这个黑客是小偷吗?”
“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”
你听完这节片段的故事,有何想法?
同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流.同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明.
导入二:
在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗?显然是错误的,你知道这个荒谬的结论错在哪里吗?学完本节课“命题与证明”你就会明白了.
[设计意图]　通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫.
导入三:
师:我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确.
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.两直线平行,同位角相等.
3.同旁内角相等,两直线平行.
4.平行四边形的四条边相等.
5.直角都相等.
[设计意图]　通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假,初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知.
活动一:真假命题与互逆命题
思路一
【课件1】　观察下面两个命题:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等.
引导学生思考:
(1)在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?
(2)请再举例说明两个具有这种关系的命题.
归纳:像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.
在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
让学生完成教材第32页“做一做”,指出原命题和逆命题的真假性.
教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性.
[知识拓展]　每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言.
强调:每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了.
例如:“若,则a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判断这个命题是假命题.如:,但5≠-5.
让学生举出反例说明:“如果a+b>0,那么a-b>0”是个假命题.
[设计意图]　明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力.
思路二
　　[过渡语]　刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题.
1.命题的条件和结论
教师讲解:在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式,用“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.
有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”.
【课件2】　下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)对顶角相等.
(2)如果a>b,b>c,那么a=c.
引导学生把(1)先改写成“如果……那么……”的形式,再确定条件和结论.
解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.
(2)条件:a>b,b>c,结论:a=c.
2.真假命题
　　[过渡语]　命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题.
【课件3】　判断下列句子是否正确.
(1)三角形的内角和是180度.
(2)同位角相等.
(3)同角的余角相等.
(4)一个锐角与一个钝角的和是180度.
让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由.
3.互逆命题
教师讲解:例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题.
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题.
活动二:证明与互逆定理
　　[过渡语]　要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明.
【课件4】　证明:平行于同一条直线的两条直线平行.
让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法.
说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求.
已知:如图所示,直线a,b,c,a∥c,b∥c.
求证:a∥b.
证明:如图所示,作直线d,分别与直线a,b,c相交.
∵a∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵b∥c(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
即平行于同一条直线的两条直线平行.
一般地,证明命题按如下步骤进行:
(1)依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形)语言;(2)根据图形写出已知、求证;(3)根据基本事实、已有定理等进行证明.
教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理.
你能举出我们学过的一些互逆定理吗?
一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
指导学生完成教材第33页“做一做”.
【课件5】　已知:如图所示,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
求证:OD⊥OE.
证明:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC,
∴∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=180°=90°,
即∠DOE=90°,
∴OD⊥OE.
[设计意图]　通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.
命题的组成
每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
注意:对每一个讨论的命题,其条件和结论不一定只有一个.
真命题、假命题、反例
正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题;举一个例子,其具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
注意:要说明一个命题是假命题,通常举出反例来说明.
互逆命题与互逆定理
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意:任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理.
证明的一般步骤
(1)画图;(2)写出已知、求证;(3)证明.
注意:证明要做到有理有据.
1.下列命题的逆命题一定成立的是 (　　)
①对顶角相等;
②同位角相等,两直线平行;
③若a=b,则|a|=|b|;
④若x=3,则x2-3x=0.
A.①②③ B.①④ C.②④ D.②
解析:①对顶角相等,逆命题为:相等的角为对顶角,错误;②同位角相等,两直线平行,逆命题为:两直线平行,同位角相等,正确;③若a=b,则|a|=|b|,逆命题为:若|a|=|b|,则a=b,错误;④若x=3,则x2-3x=0,逆命题为:若x2-3x=0,则x=3,错误.故选D.
2.命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等.其中假命题有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:对顶角相等,所以①为真命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,所以②为假命题;相等的角不一定是对顶角,所以③为假命题;两直线平行,同位角相等,所以④为假命题.故选C.
3.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命题的是　　　　.(填写所有真命题的序号)?
解析:分析所给命题是否为真命题,需要分析条件是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.故填①②④.
4.命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件是　　　　,结论是　　　　,这是　　　　命题(填“真”或“假”).?
解析:命题写成“如果…,那么…”的形式时,“如果”后面接的部分是条件,“那么”后面接的部分是结论.依此可写出命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件和结论.根据偶数的定义可知该命题是真命题.
答案:n是整数　2n是偶数　真
5.如图所示,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个条件中,请你选择其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明.
①AB⊥BC,CD⊥BC,②BE∥CF,③∠1=∠2.
解析:可以由①②得到③:由AB⊥BC,CD⊥BC得到AB∥CD,利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB,又BE∥CF,所以∠EBC=∠FCB,所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,即∠1=∠2.
解:(答案不唯一)已知:如图所示,AB⊥BC,CD⊥BC,BE∥CF.
求证:∠1=∠2.
证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,
又∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB,
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,
∴∠1=∠2.
13.1　命题与证明
活动一:真假命题与互逆命题
活动二:证明与互逆定理
一、教材作业
【必做题】
教材第34页练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题第1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句中,不是命题的是 (　　)
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.连接A,B两点
2.举一个反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,其中错误的是 (　　)
A.设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°
B.设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60°
C.设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60°
D.设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50°
3.以下说法正确的有:　　　　(只填序号).?
①垂线段最短;
②在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”;
④过一点有且只有一条直线平行于已知直线.
4.已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的两个角一定是一个锐角,另一个是钝角;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直.其中正确命题的序号是　　　　.?
【能力提升】
5.命题:若a>b,则.
(1)请判断这个命题的真假,若是真命题,请证明;若是假命题,请举一个反例.
(2)若这个命题是假命题,请你适当修改命题的条件,使其成为一个真命题.
【拓展探究】
6.对于有理数a,b,规定一种新运算:a??b=a·b+b.有下列命题:
①(-3)??4=-8;
②a??b=b??a;
③方程(x-4)??3=6的解为x=5;
④(4??3)??2=4??(3??2).
其中正确命题的序号是　　　　.(把所有正确命题的序号都填上)?
7.如图所示,现有以下3个条件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请以其中2个作为条件,第3个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题?
(2)你构造的命题是真命题还是假命题?请加以证明.
【答案与解析】
1.D(解析:命题是能够判断出正确或错误的句子,所以它必须对某件事情进行判断.)
2.B(解析:反例一般是举符合条件但结论不成立的例子.)
3.①②③(解析:垂线段最短,所以①正确;在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以②正确;“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”,所以③正确;过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,所以④错误.)
4.③④(解析:①相等的角是对顶角,错误,因为对顶角既要考虑大小,还要考虑位置;②互补的两个角,一个为锐角,另一个为钝角,错误,还有可能是两个直角;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,是平行公理,正确;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直,正确.所以只有③④命题正确.)
5.解:(1)假命题.如a=1,b=-2符合a>b,但不满足.　(2)改成:若a>b>0,则或若0>a>b,则.
6.①③(解析:(-3)??4=-3×4+4=-8,所以①
正确;a??b=ab+b,b??a=ab+a,所以②错误;方程(x-4)??3=6可化为3(x-4)+3=6,解得x=5,所以③正确;(4??3)??2=(4×3+3)??2=15??2=15×2+2=32,4??(3??2)=4??(3×2+2)=4??8=4×8+8=40,所以④错误.故填①③.)
7.解:(1)①②为条件,③为结论;①③为条件,②为结论;②③为条件,①为结论.　(2)∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠C=∠CDF,∴CE∥BF,∴∠E=∠F,所以由①②为条件,③为结论组成的命题是真命题.∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∴∠B=∠C,所以由①③为条件,②为结论组成的命题是真命题.∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠B=∠CDF,∴AB∥CD,所以由②③为条件,①为结论组成的命题是真命题.
本节课的主要内容是命题、定理、证明.为此,在导入时让学生通过生动的情境导入,提高了学生学习的兴趣,激发了学生的好奇心.整个过程以学生与学生、学生与教师之间的“对话”“讨论”为出发点,以互助、合作为手段,以解决问题为目的,让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向,判断发现的价值.本课的内容比较简单,但概念较多,因此在学习之后设计了大量练习,让学生在练习中巩固所学知识,加深对概念的理解和运用.
本节涉及的概念较多,在概念的传授上,教师没有做到成功引导,虽然有引导的内容,但实际效果不佳.在判断一些较难命题的条件和结论时判断不够准确,语言表达不够清晰,对于定理部分的内容介绍较少.
1.加强对概念的剖析和引导,要注意它们的联系和区别,可组织学生讨论发现,这样学生通过小组的研讨,能够增强他们对概念的认识和理解.
2.通过多举例,让学生发现命题、定理的区别,掌握定理的应用价值.
3.对于命题的剖析,要让学生尽量做到语言表述的严谨性,鼓励学生互相补充,同时,多加练习.
练习(教材第34页)
1.解:(1)如果两个角相等,那么这两个角是直角.它是假命题,如∠1=50°,∠2=50°,∠1=∠2≠90°.
(2)如果两个角的和是平角,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角.它是假命题,如∠1=90°,∠2=90°,∠1+∠2=180°,但∠1和∠2都是直角.　(3)如果两个角相等,那么这两个角是同角(或等角)的余角.它是假命题,如∠α=∠β=130°>90°,∠α和∠β不可能是某个角(或某两个相等的角)的余角.　(4)如果两个角相等,那么这两个角是同角(或等角)的补角.它是假命题,如∠α=∠β=200°>180°,∠α和∠β不可能是某个角(或某两个相等的角)的补角.　(5)如果两个数的和等于0,那么这两个数是互为相反数的两个非0数.它是假命题,如a=0,b=0,a+b=0,但a,b不为非0数.　(6)能被2整除的数一定是偶数.它是真命题.(证明略)
2.证明:如图所示,∵∠1+∠2=180°(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3+∠2=180°(等量代换),∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
习题(教材第34页)
1.证明:∵点C是线段AD的中点(已知),∴AD=2CD(线段中点的定义).又∵点D是线段CB的中点,∴CB=2CD(线段中点的定义),∴AD=CB(等量代换).
2.证明:∵∠AOB=∠A'O'B'(已知),∠1=∠3(已知),∴∠AOB-∠1=∠A'O'B'-∠3(等式的性质),即∠2=∠4.
3.解:∵DE∥BC(已知),∠ADE=50°(已知),∠C=70°(已知),∴∠B=∠ADE=50°(两直线平行,
同位角相等),∠DEC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠DEC=180°-∠C=180°-70°=110°.
1.初中数学命题的三个特征
命题是对某一事件作出正确或不正确判断的语句.正确理解命题的关键是要抓住它的三个特征,下面举例分析.
　下列各语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)相等的角是直角.
(2)直线是没有长度的.
(3)明天会下雨吗?
(4)两条直线被第三条直线所截.
(5)作直线AB∥CD.
解:(1)(2)是命题,因为它们都是具有判断性的语句.(3)(4)(5)都不是命题,因为它们都不是判断性语句,(3)是疑问句,(5)是叙述一个过程的语句.
2.数学命题有真假之分
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.要判断一个命题是真命题需要进行证明,而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以.
　下列各命题是真命题还是假命题?
(1)有公共顶点的两个角是对顶角.
(2)四边形的内角和是360度.
(3)内错角相等.
解:不能认为肯定的命题就是真命题,否定的命题就是假命题.(1)假命题.如图1所示,∠1和∠2是有公共顶点的两个角,但∠1和∠2并不是对顶角.　(2)真命题.如图2所示,一条对角线可以把一个四边形分成两个三角形,由每个三角形内角和是180度可知四边形内角和是360度.　(3)假命题.如图3所示,若直线AB与CD不平行,则∠1≠∠2.
3.命题的结构有固定的形式
每个命题都是由题设(条件)和结论两部分构成的,有些命题常常写成“如果…,那么…”的形式,具有这种形式的命题中,“如果”部分是条件,就是命题证明中的“已知”;“那么”部分是结论,就是命题证明中的“求证”.
　如图所示,下列六个条件:①∠1=∠E;②∠2=∠F;③∠A+∠1=180°;④∠B+∠2=180°;⑤∠DCE+∠E=180°;⑥∠CDF+∠F=180°.从中选取两个作为条件,使得命题“如果　　　　,　　　　,那么AB∥EF”是一个真命题,并证明你的结论.(填序号)?
解:(本题答案不唯一)可选①④.如果∠1=∠E,∠B+∠2=180°,那么CD∥EF,AB∥CD,∴AB∥EF.
13.2　全等图形
1.了解全等图形以及全等图形的对应点、对应线段、对应角.
2.了解全等三角形,知道全等三角形的对应边相等,对应角也相等.
通过观察图形,找到全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形对应边相等,对应角相等的性质进行简单的推理和计算.
培养学生的观察和动手能力,发展学生的几何观念.
【重点】　掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质.
【难点】　用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
【教师准备】　课件1~7.
【学生准备】　搜集日常生活中形状、大小相同的图形.
导入一:
1.做一做:指导学生画边长为4 cm的等边三角形和边长为4 cm的正方形,并将它们剪下来.
2.交流讨论:同桌两人为一组,将剪下的图形放在一块,观察重合情况.
3.得出结论:两个三角形完全重合,两个正方形完全重合.
4.出示教材第35页图13-2-1中(1)(4)(5),及思考“观察与思考”中的两个问题.
5.如图所示,找出图中全等的图形:　　　　和　　　　全等.?
6.学生画三边长分别为4 cm、5 cm、6 cm的三角形,剪下后两人一组放在一起,观察讨论,两个三角形是否全等?
[设计意图]　让学生观察图形,对图形有一个感性的认识.通过学生的动手操作,感知图形的全等,培养学生的操作能力.
导入二:
【课件1】　教师出示图片　观察思考:如图所示,每组的两个图形有什么特点?
教师多媒体演示,实际操作把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图形叠放在一起.
学生讨论.
生1:每组的两个图形大小都一样.
生2:每组的两个图形都可以重合.
师:同学们的观察力很棒,上面的两组图形,每组中的两个图形能够完全重合.那么现实生活中还有哪些能够完全重合的图形的例子呢?
学生举例.
师:很好,我们今天就来学习全等图形的相关知识(板书课题).
[设计意图]　通过简单的生活图例和教师的演示,导出本节课的教学内容,有利于提高学生学习的积极性.
导入三:
如图所示,正方形网格中有12棵树,请你把这个正方形网格划分为四小块,要求每块的形状、大小都相同,并且每块中恰好有三棵树.
要想划分相等的几部分,就需要用到全等的有关知识,也就是我们今天要学习的内容.
[设计意图]　通过问题情境的设计,激发学生对全等知识的探究欲望,从而积极地投入到本节课的教学中.
　　[过渡语]　图形的形状和大小是几何研究的重要内容,全等图形研究的是图形形状和大小的相互关系.
探究一:全等图形的概念
思路一
师:我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
【课件2】　观察下面两组图形,它们是不是全等图形?并指出它们的相同点与不同点.
学生观察讨论.
生:它们不是全等图形.
师:为什么?
生:在图(1)里的两个图形都是八边形,但是它们的大小不相等.在图(2)中的两个图形都是由三个大小相同的小正方形组合而成的,它们的大小相等,但形状不相同.
师:回答得很好,这位同学不仅观察力很棒,并且语言组织能力也很强.同学们也要像他一样不仅要善于观察更要善于总结.如果上面两组图形不是全等图形,那么全等图形有什么样的特征呢?
生:全等图形的形状、大小都相同.
师:全等图形的形状、大小都相同.当两个全等的图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
【课件3】　观察下面的全等图形,找出图形的对应边、对应点和对应角.
[设计意图]　理解和掌握全等图形的定义,明确全等图形必须具备的条件:一是形状相同;二是大小相等.另外通过练习让学生明确两个全等图形点、角、边的对应关系.
思路二
师:我们身边经常看到“一模一样”的图形,比如两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片,用两张纸重叠在一起剪出的两张窗花等,你还能举一些这样的“一模一样”的例子吗?
问题:几何中,我们把上面所列举的“一模一样”的图形叫做“全等图形”,那么我们怎么给“全等图形”下一个几何定义呢?是:
(1)形状相同的两个图形?
(2)大小相等的两个图形?
(3)能够完全重合的两个图形?
讨论结果:能够完全重合的两个图形叫全等图形.
【课件4】　(1)你能把如图(a)所示的长方形分成2个全等图形吗?把如图(b)所示的等边三角形分成3个全等三角形吗?把如图(c)所示的长方形分成4个全等三角形吗?
(2)你会把下图(d)和(f)分别分成四个全等的图形吗?试一试.(保留你画的痕迹)
指导学生小组讨论完成.
说明:当两个全等的图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
[知识拓展]　两个全等图形,它们的形状和大小应该是完全相同的,缺一不可.两个全等图形与它们的相对位置无关.全等多边形是全等图形的特例,所以如果两个全等多边形能够达到重合状态,那么它们重合的边(对应边)、重合的角(对应角)分别相等.
探究二:全等三角形
　　[过渡语]　在全等多边形中,最常见的就是全等三角形,下面我们来研究一下全等三角形的有关知识.
1.全等三角形的性质的探究
思路一
1.全等三角形的定义及性质
(1)定义:全等三角形是能够完全重合的两个三角形,是形状相同、大小相等的两个三角形.
(2)反例:举出不全等的三角形的例子,利用教师和学生手中的含有30度角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等图形,强调定义的条件.
师:请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形?
学生在生活中找图形.
(3)对应元素及性质:教师结合手中的教具说明全等三角形的对应边、对应角、对应顶点,引导学生发现全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2.学习全等三角形的表示符号
解释“≌”的含义及读法,并强调对应顶点写在对应位置上.
　　举例说明:
如图所示,∵ΔABC≌ΔDFE(已知),∴AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).
教师小结:
在书写全等三角形时,如果将对应顶点写在对应位置上,那么将两个三角形的顶点同时按顺序轮换,可写出所有对应边和对应角相等的式子,而不会找错,并节省观察图形的时间.
总结寻找全等三角形对应元素的方法,渗透全等变换的思想.
思路二
学生动手制作,先做一个三角形,然后将做好的三角形按在纸上沿它的各边做第二个三角形.
师:与学生交流,做好的同学试着把你们手中的两个三角形叠放在一起看看,它们会怎样?
生:完全重合.
师:嗯,对.我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【课件5】　出示将ΔABC沿直线平移后得到的ΔA'B'C'(如图所示).
师:现在请同学们认真观察并指出图中的对应顶点、对应边、对应角.
学生小组讨论后得出:
对应顶点是A和A',B和B',C和C'.
对应边是AB和A'B',BC和B'C',AC和A'C'.
对应角是∠A和∠A',∠B和∠A'B'C',∠C和∠C'.
师:ΔABC与ΔA'B'C'全等记作ΔABC≌ΔA'B'C'.想一想:全等三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?
生:全等三角形的对应边相等、对应角相等.
师:非常准确,这就是全等三角形的性质.知道两三角形全等,那么我们就可以得出以上结论,三组对应边分别相等,三组对应角分别相等.可是在找全等三角形的对应元素时,一般有什么规律呢?
教师多媒体出示【课件6】
有公共边的,公共边是对应边.
　
有公共角的,公共角是对应角.有对顶角的,对顶角是对应角.
在两个全等的三角形中:一对最长的边是对应边,一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角.
[设计意图]　通过教师的多媒体演示和学生的观察学习及小组的合作交流,认识全等三角形的性质.
2.例题讲解
　　[过渡语]　刚才通过探究我们学习了全等三角形的性质,利用这个性质我们可以求边的长度和角的大小.
【课件7】
　已知:如图所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=78°,∠B=35°,BC=18.
(1)写出ΔABC和ΔDEF的对应边和对应角.
(2)求∠F的度数和边EF的长.
让学生说出对应边和对应角.
引导学生分析:∠F的对应角是∠ACB,可先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数.
[设计意图]　通过例题的讲解,使学生进一步掌握全等三角形的性质,并能熟练应用性质解决相关问题,培养学生分析问题和解决问题的能力.
1.全等图形:能够完全重合的两个图形叫做全等图形,这里的重合是指完全重合,这里的全等不等同于相等,全等指两个图形完全重合,而相等是对两个量而言,可以是长度、重量,也可以是面积、体积.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,这些性质是探讨全等三角形的基础,也是今后探索其他较复杂图形的性质的重要依据.在利用全等三角形的性质进行计算和证明时,要注意对应元素相等.
1.如图所示,ΔABC≌ΔAEF,AB和AE,AC和AF是对应边,那么∠EAF等于 (　　)
A.∠ACB
B.∠BAC
C.∠F
D.∠CAF
解析:∵ΔABC≌ΔAEF,∴∠EAF=∠BAC.故选B.
2.下列说法正确的是 (　　)
A.面积相等的两个图形全等
B.周长相等的两个图形全等
C.形状相同的两个图形全等
D.全等图形的形状和大小都相同
解析:根据全等图形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行分析即可.故选D.
3.如图所示的四个图形中,全等的图形是(　　)
A.①和② B.①和③
C.②和③ D.③和④
解析:③和④可以完全重合,因此全等的图形是③和④.故选D.
4.如图所示,若ΔABE≌ΔACF,且AB=5,AE=3,则EC的长为 (　　)
A.2 B.3 C.5 D.2.5
解析:∵ΔABE≌ΔACF,AB=5,∴AC=AB=5,∵AE=3,∴EC=AC-AE=5-3=2.故选A.
5.如图所示,已知ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,则另外两组相等的对应边为　　　　,另外两组相等的对应角为　　　　.?
解析:∵ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,∴AC=AE,BC=DE,∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE.
答案:AC=AE,BC=DE　∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE
6.如图所示,若ΔOAD≌ΔOBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,求∠C的度数.(提示:四边形的内角和为360°)
解析:根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,再根据三角形的内角和等于180°表示出∠OBC,然后利用四边形的内角和等于360°列式求解即可.
解:∵ΔOAD≌ΔOBC,
∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,
∵∠O=65°,
∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C,
在四边形AOBE中,
∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°,
∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°,
∴∠C=35°.
13.2　全等图形
探究一:全等图形的概念
探究二:全等三角形
1.全等三角形的定义及性质
(1)能够完全重合的三角形叫做全等三角形
(2)全等三角形的对应边相等、对应角相等
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第36~37页练习第1,2题.
2.教材第37页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第37页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在如图所示的各组图形中,是全等图形的是 (　　)
2.如图所示,ΔABC≌ΔAEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=50°,∠C=30°,则∠E的度数为 (　　)
A.30° B.50° C.60° D.100°
4.如图所示,点F,A,D,C在同一条直线上,ΔABC≌ΔDEF,AD=4,CF=10,则AC等于 (　　)
A.7 B.6.5 C.6 D.5
5.如图所示,ΔABC≌ΔDBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,请写出三组对应边:
(1)　　　　;(2)　　　　;(3)　　　　;另一组对应角:(4)　　　　.?
【能力提升】
6.根据下列解题过程填空.
(1)如图1所示,已知直线EF与AB,CD都相交,且AB∥CD,试说明∠1=∠2的理由.
解:∵AB∥CD(已知),
∴∠2=∠3(　　　　),?
∵∠1=∠3(　　　　),?
∴∠1=∠2(　　　　).?
(2)如图2所示,已知ΔAOC≌ΔBOD,试说明AC∥BD成立的理由.
解:∵ΔAOC≌ΔBOD,
∴∠A=　　　　(　　　　),?
∴AC∥BD(　　　　).?
7.如图所示,已知ΔEAB≌ΔDCE,AB,EC分别是两个三角形的最长边,∠A=∠C=35°,∠CDE=100°,∠DEB=10°,求∠AEC的度数.
【拓展探究】
8.如图所示,ΔEFG≌ΔNMH,∠F和∠M是对应角,在ΔEFG中,FG是最长边,在ΔNMH中,MH是最长边,EF=2.1 cm,EH=1.1 cm,NH=3.3 cm.
(1)写出其他对应边及对应角;
(2)求线段NM及线段HG的长度.
【答案与解析】
1.C(解析:由全等图形的概念可以判断C中图形完全相同,符合全等图形的要求,A,B,D中图形很明显不相同,A中大小不一致,B,D中形状不同.)
2.C(解析:∵ΔABC≌ΔAEF,∴AC=AF,故①正确;∠EAF=∠BAC,∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB,故②错误;EF=BC,故③正确;∠EAB=∠FAC,故④正确.综上所述,结论正确的是①③④,共3个.)
3.D(解析:∵ΔABC≌ΔDEF,∠A=50°,∠C=30°,∴∠F=∠C=30°,∠D=∠A=50°,∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-50°-30°=100°.)
4.A(解析:∵ΔABC≌ΔDEF,∴AC=FD,即CD+AD=AF+AD,∴AF=DC,∵AD=4,CF=10,∴DC=(CF-AD)=(10-4)=3,∴AC=AD+DC=4+3=7.)
5.(1)AB和DB　(2)AC和DC　(3)BC和BC　(4)∠ACB和∠DCB(解析:根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上写出对应边和对应角即可.)
6.(1)两直线平行,同位角相等　对顶角相等　等量代换　(2)∠B　全等三角形的对应角相等　内错角相等,两直线平行
7.解:∵ΔEAB≌ΔDCE,∴∠BEA=∠CDE=100°,∵∠A=∠C=35°,∠CDE=100°,∴∠DEC=180°-100°-35°=45°,∵∠DEB=10°,∴∠BEC=45°-10°=35°,∴∠AEC=100°-35°=65°.
8.解析:(1)根据ΔEFG≌ΔNMH,∠F与∠M是对应角,FG,MH分别为两个三角形的最长边可得到两个三角形中对应相等的三边和三角;(2)根据(1)中的相等关系即可得线段MN和HG的长度.解:(1)∵ΔEFG≌ΔNMH,∠F与∠M是对应角,FG和MH分别为两个三角形的最长边,∴对应边为EF和NM,EG和NH,FG和MH,其他的对应角为∠E和∠N,∠EGF和∠NHM.　(2)∵EF=NM,EF=2.1 cm,∴MN=2.1 cm.∵EG=NH,EH+HG=EG,EH=1.1 cm,HN=3.3 cm,∴HG=EG-EH=HN-EH=3.3-1.1=2.2(cm).
本节课采用探究教学法,充分发挥了学生的主体作用.在探究活动中,充分发挥学生的想象力和集体的智慧,使不同的学生有不同的发展,在实践中给学生充分的时间和空间,特别是从身边生活中的例子入手,激发每一个学生的求知欲.从熟悉的几何图形、实物图形入手,让学生对图形全等有一个感性的认识,调动学生的积极性,很快抓住学生的注意力,激起学生的探索欲,为实践活动做好充分的准备.教师创造机会,给学生充分的自由,把学生看成学习的主人,学生的积极性高涨,自然会有新的突破.
在学生观察图形的过程中,教师没有让学生自
己总结出全等图形的概念,对学生分割图形的时候,也没有充分发挥学生的想象力,指导不够到位,以至于学生没有考虑出其他的分割方法.另外对概念和性质的分析不够全面.
1.应该更多地关注学生在学习过程中的学习热情,及时引导,使之更好地表达和交流,增强学生的自信心.
2.对于概念和性质的教学,教师要注意突出关键词语,重点加以指导,明确它们的区别和联系.
3.要通过练习逐步加以强化学生对知识的理解和掌握,对于学生容易出现的问题要提前预知,重点训练.
练习(教材第36页)
1.解:(1)AB与ED,BC与DF,AC与EF,∠A与∠E,∠B与∠D,∠C与∠F.　(2)AB与HG,BC与GE,CD与EF,AD与HF,∠A与∠H,∠B与∠G,∠C与∠E,∠D与∠F.
2.解:AB=AC,BM=CM.
习题(教材第37页)
A组
1.解:(1)ΔACD≌ΔBCD,ΔADE≌ΔBDF,ΔCED≌ΔCFD.　(2)四边形AMGD≌四边形BMGC,四边形DEHG≌四边形CFHG,四边形EAMH≌四边形FBMH.
2.解:AO与BO,OC与OD,AC与BD,∠A与∠B,∠AOC与∠BOD,∠C与∠D.
B组
1.解:∵ΔABC≌ΔDCB,∴∠ABC=∠DCB,∠DBC=∠ACB,∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,∴∠DBA=∠ACD.
2.解:如图所示.
在学习本节知识时,要多画图形,把知识点融入到图形中,这有利于知识的学习和掌握,要深入体会全等三角形中的“对应”,即对应边、对应角、对应顶点.要注意区分对应边、对应角和对边、对角的区别:对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的,对边是指角的对边,对角是指边的对角.全等三角形的对应边一定相等,对应角一定相等,但是相等的边不一定是对应边,相等的角不一定是对应角.
　如图所示,已知ΔABC≌ΔDEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=30°,∠C=60°.
(1)求线段AE的长度;
(2)求∠ABC的度数.
〔解析〕　根据全等三角形的性质进行解答.
解:(1)∵ΔABC≌ΔDEB,
∴AB=DE=7,BE=BC=4,
∴AE=AB-BE=7-4=3.
(2)∵ΔABC≌ΔDEB,∴∠A=∠D=30°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°.
　如图所示的是两个全等的五边形,∠β=115°,d=5,指出它们的对应顶点、对应边与对应
角,并说出图中标的a,b,c,d,e,∠α各字母所表示的值.
〔解析〕　根据能够完全重合的两个图形叫做全等形,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角可得对应顶点,对应边与对应角,进而可得a,b,c,d,e,∠α各字母所表示的值.
解:对应顶点:A和G,E和F,D和J,C和I,B和H.对应边:AB和GH,AE和GF,ED和FJ,CD和JI,BC和HI.对应角:∠A和∠G,∠B和∠H,∠C和∠I,∠D和∠J,∠E和∠F.∵两个五边形全等,∴a=12,c=8,b=10,d=5,e=11,∠α=90°.
13.3　全等三角形的判定
1.熟练掌握边边边定理、边角边定理、角边角定理、角角边定理.
2.会用这些判定方法判定两个三角形全等.
1.让学生通过分类讨论和作图的方法探索三角形全等的判定定理,并让学生用运动变换的方法证实.
2.在探索全等三角形的判定方法的过程中,渗透分类的思想.
3.培养学生观察、概括、归纳的能力.
1.让学生体验分类的思想,培养学生的合作精神.
2.培养学生学习数学的兴趣,体验研究问题的思想和方法.
【重点】　全等三角形的判定方法.
【难点】　能用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.
第课时
1.掌握“边边边”基本事实的内容.
2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.
3.了解三角形的稳定性.
1.利用观察、猜想、操作,归纳获得数学结论.
2.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考及简单的说理.
3.使学生初步探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.
通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
【重点】
1.经历对三角形全等条件的分析与画图验证的过程.
2.能够应用“边边边”去判定两个三角形全等.
3.了解三角形的稳定性.
【难点】　探索三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~8.
【学生准备】　复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.
导入一:
【提出问题】
【课件1】
(1)全等三角形　　　　相等,　　　　相等.?
(2)全等三角形有哪些性质?如图甲所示已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=　　　　,　　　　=∠2,对应边AC=　　　　,　　　　=OB,　　　　=OD.?
(3)如图乙所示,已知ΔAOC≌ΔDOB,则∠A=∠D,∠C=　　　　,　　　　=∠2,对应边AC=　　　　,OC=　　　　,AO=　　　　.?
(4)如图丙所示,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,则Δ　　　　≌Δ　　　　.?
(5)判定两个三角形全等,依定义必须满足(　　)
A.三边对应相等
B.三角对应相等
C.三边对应相等和三角对应相等
D.不能确定
[设计意图]　通过复习,让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定方法打下基础.
导入二:
1.通过前面的学习,我们知道如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能少呢?一个条件行吗?两个条件呢?
2.如果给出三个条件画三角形,有哪几种可能的情况?
学生以小组为单位,分工合作,在经历画图的过程中,经过交流总结得出:(1)仅给出一个条件或两个条件时,能画出无数种符合条件的三角形.(2)仅给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
[设计意图]　鼓励学生通过画图、比较、交流,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论,由此引入课题.
　　[过渡语]　刚才通过复习我们已经完全掌握了全等三角形的性质,下面我们来研究判定三角形全等的方法.
活动一:“边边边”基本事实的探究
思路一
思考:三角形六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等吗?
根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?
组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,汇总归纳.对学生的良好表现进行鼓励.(使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望)
出示探究1:
【课件2】　先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个,你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?
(1)三角形的两个角分别是30°,50°.
(2)三角形的两条边分别是4 cm,6 cm.
(3)三角形的一个角为30°,一条边为3 cm.
学生剪下按不同要求画出的三角形,比较三角形能否和原三角形重合.
教师引导学生按条件画三角形,再通过画一画,剪一剪,比一比的方式得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
出示探究2:
【课件3】　已知ΔABC,再任意画出一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?
让学生充分交流后,教师明确已知三边画三角形的方法,并作出ΔA'B'C',通过比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.
强调在应用时的简写方法:“边边边”或“SSS”.
[设计意图]　学生通过动手操作、自主探索、交流,获得新知,增强了动手能力,同时也渗透了分类的思想.
实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架和用四根木条钉成的四边形的框架,在拉动时,它的大小和形状是否发生变化?
学生经过观察、思考、交流后,独立回答:
(1)三角形具有稳定性,而四边形不具有.
(2)由三角形全等的判定条件“SSS”可知,只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就确定了,因此三角形具有稳定性.
想一想:你有什么办法可以使四边形框架在拉动时的形状不发生变化?
可用一根木条连接不相邻的两个顶点.
鼓励学生举出生活中三角形具有稳定性的例子.
[设计意图]　教学中让学生亲自进行操作,能让学生深刻地体会到三角形这一特殊的性质,使学生产生浓厚的学习兴趣,体验数学在生活中应用的广泛性.
思路二
　　[过渡语]　画出任意的几个三角形,有些是全等的,有些不是全等的,大家知道如果ΔABC与ΔA'B'C'满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'这六个条件,就能保证ΔABC≌ΔA'B'C'.请同学们思考能不能找到方法,用较少的条件来判定两个三角形全等呢?下面就一起来找找这些条件.(板书课题:三角形全等的判定)
【课件4】　先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?
【课件5】　小组讨论下面问题:
(1)在两个三角形中,有一个角对应相等,或一条边对应相等,这两个三角形是否一定全等?有两个角对应相等,或两条边对应相等,或一个角和一条边分别对应相等,情况怎样?有三个角对应相等的情况呢?
(2)用来判断两个三角形全等的条件,只有以下三种情况才有可能:三条边对应相等,或两条边和一个角分别对应相等,或两个角和一条边分别对应相等.你认为这些说法对吗?
通过画图可以发现,满足上述六个条件中的一个或两个,ΔABC与ΔA'B'C'不一定全等.满足上述六个条件中的三个,能保证ΔABC与ΔA'B'C'全等吗?我们分情况进行讨论.
【课件6】　分小组活动:
(1)用一根长13 cm的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm的三角形.把你做的三角形和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗?
(2)和同学一起每人用一根13 cm长的细铁丝,余下1 cm,用其余部分折成一个边长分别是3 cm,4 cm,5 cm的三角形,再和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗?
(3)每人用一根细铁丝,任取一组能构成三角形的三边长的数据,和同桌分别按这些数据折三角形,折成的两个三角形能重合吗?
(4)先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?
如图所示,已知ΔABC,画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.
①画线段B'C'=BC;
②分别以B',C'为圆心,线段AB,AC长为半径画弧,两弧交于点A';
③连接A'B',A'C'.如图所示.
(1)师生互动:
师:通过咱们的试验,可以得出什么结论呢?
生:只要三角形三边的长度确定,这个三角形的形状和大小就完全确定了.
(2)归纳总结基本事实:
如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.
师:我们把这句话简化一下,用几个字概括,同学们认为什么最合适呢?
生:边边边.
师:可用字母记作“SSS”.
三角形全等的表示:
【课件7】
　将三根木条钉成一个三角形框架,在拉动时,这个三角形框架的形状、大小就不变了.就是说,三角形的三边确定了,这个三角形的形状、大小也就确定了.这里就用到了上面的结论.
用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
用四根木条钉成四边形框架时,在拉动时,它的形状会改变,所以四边形具有不稳定性.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　我们已经了解了用“边边边”基本事实可以判定两个三角形全等,利用它可以解决生活中的一些实际问题.
【课件8】
　(补充例题)如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.
〔解析〕　要证ΔABD≌ΔACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在ΔABD和ΔACD中,
∴ΔABD≌ΔACD(SSS).
从例题可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
[知识拓展]　(1)有的题目可以直接从图中找到全等的条件,而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中,所以一定要认真读图,准确把握题意,找准所需的条件.
(2)数形结合思想:将“数”与“形”结合起来进行分析、研究,这是解决问题的一种思想方法.
[设计意图]　培养学生的逻辑推理能力,学会用“SSS”条件判断三角形全等.
教师引导学生回顾“作一个角等于已知角”.
已知:∠AOB,求作∠A'O'B'=∠AOB.
教师和学生一起操作.
解:(1)如图所示,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D';
(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
想一想,为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的?
讨论尺规作图的方法,作一个角等于已知角的理论依据是什么?
[设计意图]　通过复习一个角等于已知角的画法,拓展“边边边”的应用.
两个三角形如果三边对应相等,那么这两个三角形全等,称为“边边边”基本事实,从而可知三角形具有稳定性这一性质,利用两三角形全等,可进行一些相关的计算和证明.
1.如图所示,B,D,C,E在一条直线上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,则BD=　　　　,ΔACE≌　　　　,理由是　　　　.?
解析:∵BC=BD+CD,DE=EC+CD,BC=DE,∴BD=EC.又∵AC=FD,AE=FB,∴ΔACE≌ΔFDB(SSS).
答案:EC　ΔFDB　SSS
2.如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,BE=CF,请添加一个条件:　　　　,使ΔABC≌ΔDEF(SSS).?
解析:添加AC=DF.∵BE=CF,∴BC=EF,∵在ΔABC和ΔDEF中,∴ΔABC≌ΔDEF(SSS).故填AC=DF.
3.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定　　　　.(填序号)?
①ΔABD≌ΔACD;　　②ΔBDE≌ΔCDE;
③ΔABE≌ΔACE.
解析:AE为ΔABE与ΔACE的公共边,∵AB=AC,BE=CE,AE=AE,∴ΔABE≌ΔACE.故填③.
4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证∠B=∠D.
解析:先连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴可利用“SSS”证明ΔABC≌ΔADC,∴∠B=∠D.
证明:连接AC,在ΔABC和ΔADC中,
∴ΔABC≌ΔADC,∴∠B=∠D.
第1课时
活动一:“边边边”基本事实的探究
三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”)
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第40页练习第1,2题.
2.教材第40页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第40页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,AC=DB,AB=DC,可以由“SSS”判定全等的三角形是　　　　.?
2.如图所示,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定ΔABC≌ΔCDA,则添加直接条件是　　　　.?
3.如图所示,PA=PB,PC是ΔPAB的中线,∠A=55°,求∠B的度数.
解:∵PC是AB边上的中线,
∴AC=　　　?(中线的定义),?
在　　　　中,?
∴　　　　≌　　　　(　　　　)?
∴∠A=∠B(　　　　).?
∵∠A=55°(已知),
∴∠B=55°(　　　　).?
【能力提升】
4.如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.
求证∠A=∠B.
【拓展探究】
5.(1)如图(1)所示,AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD,BC相交于点M,N,那么∠1与∠2有什么关系?请说明理由;
(2)若将过O点的直线旋转至图(2)(3)的情况,其余条件不变,那么图(1)中的∠1与∠2的关系还成立吗?请说明理由.
【答案与解析】
1.ΔABD与ΔDCA,ΔABC与ΔDCB(解析:可以由“SSS”判定全等的三角形是ΔABD与ΔDCA,ΔABC与ΔDCB.∵在ΔABD和ΔDCA中,∴ΔABD≌ΔDCA(SSS).∵在ΔABC和ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).)
2.AB=CD(解析:要利用“SSS”判定两三角形全等,现有AD=CB,AC=CA,则再添加AB=CD即满足条件.)
3.BC　ΔACP和ΔBCP　ΔACP　ΔBCP　SSS　全等三角形的对应角相等　等量代换.
4.解析:根据中点定义求出AC=BC,然后利用“SSS”证明ΔACD和ΔBCE全等,再根据全等三角形对应角相等证明即可.证明:∵C是AB的中点,∴AC=BC,在ΔACD和ΔBCE中,∴ΔACD≌ΔBCE(SSS),∴∠A=∠B.
5.解:(1)∠1与∠2相等.理由如下:在ΔADC与ΔCBA中,∴ΔADC≌ΔCBA(SSS).∴∠DAC=∠BCA.∴DA∥BC.∴∠1=∠2.　(2)成立.②③图形由(1)同理可证ΔADC≌ΔCBA,∴∠DAC=∠BCA,∴DA∥BC,∴∠1=∠2.
教学中教师引导学生观察、操作贯穿教学的始终,让学生感受“边边边”基本事实的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等”这一判定方法.通过画一画、动一动、剪一剪等活动,极大地调动了学生学习的好奇心和积极性,有利于学生对知识的掌握和提高.在探究三角形的稳定性时,注重联系所学的知识让学生加以说明,提高了学生对知识的应用能力.
1.没能更大限度地给学生创造展示自己的空间,学生的思想的闪光点没有得到充分体现.
2.没能更好地调动学生的积极性,使学生参与课堂学习的程度不够.
3.对例题的讲解没有完全放手让学生自己去解决和操作.
在学生操作的过程中,要让小组合作,用集体的合力去完成,及时展示,及时总结.对于问题的解决和探讨尽量让学生都参与进来,多提问学生.在例题的研究上,以现在学生的能力足可以将例题解决,如果再增加几个例题一起交给学生去研究,研究解决的方法和各个题的结构特点,由学生做一个简单的总结:每种情况应如何做?应注意什么问题?这样会给学生更大的思维空间,也有利于知识的理解和掌握.另外练习的方式、方法应多种多样,不仅可以编制题组进行训练,也可以总结题型之后,由学生自己进行编题,这样不仅能够让学生更加熟悉题型的结构,同时也有助于学生的思维能力的提高,从根本上改进计算不准确的不足,也能更好地调动学生参与的积极性.
练习(教材第40页)
1.证明:在ΔABD和ΔCBD中,∴ΔABD≌ΔCBD.
2.解:三角形具有稳定性.
习题(教材第40页)
A组
1.证明:在ΔABC和ΔDBC中,∴ΔABC≌ΔDBC.
2.证明:∵BF=CD,∴BF+FC=CD+FC,即BC=FD.在ΔABC和ΔEFD中,∴ΔABC≌ΔEFD,∴∠A=∠E.
3.解:∠B=∠C.证明如下:在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD,∴∠B=∠C.
B组
1.证明:在ΔABC和ΔADE中,∴ΔABC≌ΔADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
2.证明:在ΔABD和ΔCDB中,∴ΔABD≌ΔCDB,∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD.
　如图所示,已知AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=BD,能得到∠A=∠D吗?为什么?
〔解析〕　要得到∠A=∠D,可证明它们所在的两个三角形全等,但缺少条件,所以不能直接得到,又AB=DC,AC=BD,若连接BC,则可得到ΔABC≌ΔDCB.
解:能得到∠A=∠D.理由如下:如图所示,连接BC,在ΔABC和ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS),∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
　如图所示,已知AB=DC,AC=BD.求证∠ABO=∠DCO.
〔解析〕　因为BC是ΔABC和ΔDCB的公共边,所以可直接利用“SSS”证全等.
　　证明:在ΔABC与ΔDCB中,
∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.
∴∠ABO=∠DCO.
[方法提示]　在用“边边边”判定两个三角形全等时,要注意公共边这一隐含的条件,当没有公共边时,也可以利用作辅助线的方法构造出公共边.
第课时
1.掌握“边角边”基本事实的内容.
2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.
1.使学生初步探索三角形全等的过程,体验操作、归纳得出数学结论的过程.
2.体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程.
通过探究三角形全等的基本事实的活动,培养
学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
【重点】　“边角边”基本事实的理解和应用.
【难点】　指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~5,直尺、圆规和剪刀.
【学生准备】　直尺、圆规和剪刀.
导入一:
【提出问题】
【课件1】
1.怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定(SSS)的内容是什么?
2.如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示:
[设计意图]　复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.
导入二:
在社会主义新农村的建设中,工人师傅要做一个和原来同样大小的三脚架,于是他测量了原三脚架的两边的长度和这两边所夹的角的度数.这样就可以做出一个和原来形状大小完全相同的三脚架,你们知道这是为什么吗?学了这节课的内容,同学们一定会有所收获,现在就和老师一起去探索吧!揭示课题——“边角边”判定三角形全等.
导入三:
某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.请问如果只准带一块碎片,应该带哪一块去?能试着说明理由吗?
利用今天要学的“边角边”知识,带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.
[设计意图]　导入二与导入三通过现实中实际的问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.
　　[过渡语]　刚才通过讨论我们知道两边一角有两种情况,首先我们先研究其中的两边一夹角.
活动一:“边角边”基本事实的探究
思路一
1.先任意画一个ΔABC,如图1所示,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)
说明:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.
解:如图2所示.(1)画∠DA'E=∠A;
(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;
(3)连接B'C'.
肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)
2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.
得出结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.
用符号语言表述为:
在ΔABC与ΔA'B'C'中,
∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SAS).
[知识拓展]　“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.
3.【课件2】　问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?
根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.
通过反例证明:已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例)
思路二
1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30°.(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)
【课件3】　如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ΔABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ΔABD.这个试验说明了什么?
教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角分别相等时,这两个三角形不一定全等.
2.画一个ΔABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°.比较小组内成员所画的三角形是否全等.
出示教材第41页“一起探究”和观察与思考.
(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而让学生发现“边角边”定理)
【提出问题】　通过刚才的操作,你能得出什么结论?
学生交流后得出基本事实:即“如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等”.
简记为“边角边”或“SAS”.
出示教材第42页“大家谈谈”,说明全等三角形的性质在生活中的广泛应用.在判定两个三角形全等时,经常要用到对顶角、公共角或公共边.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　根据“SAS”我们可以判定两个三角形全等,在判定的时候要先确定相等的两组边和这两条边所夹的角.
【课件4】
　已知:如图所示,AD∥BC,AD=CB.求证:ΔADC≌ΔCBA.
〔解析〕　根据两直线平行,内错角相等得到∠1=∠2.再根据“SAS”进行判定,注意AC是两个三角形的公共边.
(学生写出推理过程,教师找一名学生到黑板板演,然后教师讲评)
【课件5】
　(补充例题)如图所示,为了测量出池塘两端A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形,如果要证全等三角形,还需要哪些条件?
〔解析〕　此题只需说明ΔABC≌ΔADC即可,这两个三角形都是直角三角形,而且夹直角的两边对应相等.
想一想:在题目中哪两个角相等?依据的是什么?
解:因为∠ACB=90°,
所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.
又因为BC=DC,AC=AC,
所以ΔABC≌ΔADC(SAS),
所以AB=AD(全等三角形的对应边相等).
小结:从例2可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
[知识拓展]　在利用“SAS”判定两个三角形全等时,要注意这个角是不是两个三角形的公共角、对顶角.
巩固练习:
如图所示,根据题目条件,判断每组中的三角形是否全等.
(1)在图(1)中,AC=DF,∠C=∠F,BC=EF;
(2)BC=BD,∠ABC=∠ABD.
解:(1)全等.　(2)全等.
[设计意图]　通过例题和练习使学生掌握用“边角边”判定两个三角形全等的方法.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“边角边”或“SAS”.
注意:三角形全等的基本事实“SAS”中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
1.如图所示,已知AB∥CD,A,E,F,D在一条直线上,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.0对
解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∵AB=CD,AE=FD,∴ΔABE≌ΔDCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,∴∠BEF=∠CFE,∵EF=FE,∴ΔBEF≌ΔCFE(SAS),∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE,∴ΔABF≌ΔDCE(SSS).∴全等的三角形共有3对.故选C.
2.如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠E,则下列能直接应用“SAS”判定ΔABC≌ΔDEF的条件可以是 (　　)
A.BF=EC B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF D.∠A=∠D
解析:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).在ΔABC中,夹∠B的两边是AB,BC,在ΔDEF中,夹∠E的两边是DE,EF,而BC=BF+FC,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BF=EC.故选A.
3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ΔABD≌ΔACE,需补充的条件可以是 (　　)
A.∠B=∠C B.∠D=∠E
C.∠1=∠2 D.∠CAD=∠DAC
解析:∵AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的夹角,∴A不可以作为条件;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可以作为条件;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以作为补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,∴D不可以作为条件.故选C.
4.看图填空:
已知:如图所示,BC∥EF,AD=BE,BC=EF.
试说明ΔABC≌ΔDEF.
解:∵AD=BE,
∴　　　　=BE+DB,?
即　　　　=　　　　.?
∵BC∥EF,
∴∠　　　　=∠　　　　(两直线平行,同位角相等).?
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(SAS).
解析:由AD=BE,利用等式性质,可得AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质,可得∠ABC=∠DEF,又BC=EF,所以利用“SAS”可得ΔABC≌ΔDEF.
答案:AD+DB　AB　DE　ABC　DEF　AB=DE　∠ABC=∠DEF　BC=EF
第2课时
活动一:“边角边”基本事实的探究
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)
活动二:例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第43页练习第1,2,3题.
2.教材第43页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第44页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,已知∠1=∠2,要使ΔABC≌ΔADE,还需条件 (　　)
A.AB=AD,BC=DE
B.BC=DE,AC=AE
C.∠B=∠D,∠C=∠E
D.AC=AE,AB=AD
2.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明ΔAOB≌ΔDOC,还需 (　　)
A.AB=DC B.OB=OC
C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC
3.如图所示,如果AB=AC,　　　　,根据“SAS”,即可判定ΔABD≌ΔACE.?
【能力提升】
4.完成下面的证明过程:
如图所示,已知AD∥BC,A,E,F,C在一条直线上,AD=CB,AE=CF.
求证:∠D=∠B.
证明:∵AD∥BC,
∴∠A=∠　　　　(两直线平行,　　　　相等).?
∵AE=CF,
∴AF=　　　　.?
在ΔAFD和ΔCEB中,
∴ΔAFD≌ΔCEB(SAS),
∴　　　　=　　　　.?
【拓展探究】
5.(1)如图所示,方格纸中的ΔABC的三个顶点分别在小正方形的格点(顶点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.
在图①中画出与ΔABC全等且有一个公共顶点的格点三角形A'B'C';
在图②中画出与ΔABC全等且有一条公共边的格点三角形A″B″C″.
(2)先阅读,然后回答问题:
如图所示,D是ΔABC中BC边上的一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,∠BAE=∠CAE,试说明ΔAEB≌ΔAEC.
解:在ΔAEB和ΔAEC中,
因为AB=AC,∠BAE=∠CAE,EB=EC,…第1步
所以根据“SAS”可以知道ΔAEB≌ΔAEC.…第2步
上面的解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.
【答案与解析】
1.D(解析:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE,A,B选项都不是夹∠BAC和∠DAE的两个对应边,故A,B选项错误;C.根据三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故C选项错误;D.是夹∠BAC和∠DAE的两个对应边,故本选项正确.)
2.B(解析:还需OB=OC.∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴ΔAOB≌ΔDOC(SAS).)
3.AD=AE(解析:AB=AC,∠A为两三角形的公共角,又AD=AE,∴ΔABD≌ΔACE(SAS).)
4.C　内错角　CE　∠D　∠B
5.解:(1)答案不唯一,如图所示. 　(2)上面的解题过程错误,错在第1步.在ΔAEB和ΔAEC中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,EA=EA,∴ΔAEB
≌ΔAEC(SAS).
这节课是三角形全等判定的第二节新课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边及一角”对应相等的三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯,本节教学比较成功的地方有以下几点:(1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好;(4)体现了新课程的理念.从学生角度来说:(1)学生自己动手操作,由感性认识上升到理性认识,训练了思维能力;(2)在课堂上能合作交流,不止学习了知识,情感也得到了释放和发展;(3)对三角形全等的判定(SAS)掌握得较好.
1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不
够认真,导致在观察比较的时候产生偏差.
2.学生在探讨两边一对角对应相等的两个三角形不一定全等的时候,对其理解得不够好,教师指导点拨不够到位.
对于学生的作图,教师一定要随时检查学生的情况,及时指导,不能太放手,要进行必要的巡视指导.对于已知两边及一角的两个三角形是否全等的分析讨论中,尽量让学生讲题说理,通过图形观察得到结论.明确现实生活中存在的问题,从而得到已知两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.当学生无法举出反例时,可指导学生画图操作,通过已知条件作出两个完全不同的图形,从而让学生明确已知两边及一对角对应相等的两个三角形不一定全等的道理.
练习(教材第43页)
1.证明:在ΔABC和ΔDCB中, ∴ΔABC≌ΔDCB(SAS).
2.证明:在ΔAOB和ΔCOD中, ∴ΔAOB≌ΔCOD,∴AB=CD.
3.证明:∵BD=FC,∴BD+DC=FC+DC,即BC=FD,∵AC∥DE,∴∠ACB=∠EDF.在ΔABC和ΔEFD中,∴ΔABC≌ΔEFD,∴∠B=∠F,∴AB∥FE.
习题(教材第43页)
A组
1.提示:(1)全等,SAS.　(2)全等,SAS.　(3)全等,SSS.
2.证明:在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴∠B=∠C.
3.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在ΔABC和ΔADE中,∴ΔABC≌ΔADE,∴∠B=∠D.
B组
1.证明:在ΔAEB和ΔAEC中,∴ΔAEB≌ΔAEC,∴∠BAE=∠CAE.在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD,∴BD=CD.
2.(1)解:如图所示.
　(2)证明:∵∠ACB=∠DCE,在ΔACB和ΔDCE中, ∴ ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴ DE=AB.
本节课的重点和难点就是理解并掌握“SAS”.在教学时可以引导学生进行讨论:如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.在“边边角”这种情况下,还可以再细分“角是哪一条边所对的角”,进一步让学生理解“夹角”和“对角”的含义,全班学生可根据已知的两条线段和一个角,分别以“这个角为这两条边的夹角”和“以长的线段为已知角的邻边,短的线段为已知角的邻边”画两个三角形,然后全班同学进行比较,让学生明确如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.
　如图所示,在ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ΔABD≌ΔAEC.
〔解析〕　根据∠BAC=∠DAE,可得∠BAD=∠CAE,再根据三角形全等的条件得出结论.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠BAD=∠CAE,
在ΔABD和ΔAEC中,
∴ΔABD≌ΔAEC(SAS).
　如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使ΔABC≌ΔDEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)
〔解析〕　先求出BC=EF,添加条件AC=DF,根据“SAS”证出两三角形全等即可.
解:添加AC=DF.证明如下:
∵BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,
∴BC=EF,
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF.
第课时
1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.
2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.
使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.
通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.
【重点】　“角边角”及“角角边”的内容.
【难点】　分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~5,直尺、圆规等.
【学生准备】　直尺、圆规等.
导入一:
教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.
这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边.
[设计意图]　让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.
导入二:
1.复习旧知:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
(三个角、三个边、两边一角、两角一边)
(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?
2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.
导入三:
【课件1】　如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?
要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.
[设计意图]　激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.
　　[过渡语]　在两角一边中有两种情况,下面我们就来研究这两种情况,即两角一夹边,两角一对边.
活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究
思路一
做一做:
【课件2】　三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.
同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?
【学生活动】　自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.
【教师活动】　检查指导,帮助有困难的同学.
活动结果展示:
以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).
师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?
生:能.
学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.
生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;
(2)画线段A'B',使A'B'=AB;
(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;
(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.
将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.
教师出示图形:
于是我们发现规律:
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
这又是一个判定两个三角形全等的方法.
[知识拓展]　“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边.
书写格式:
在ΔABC和ΔA'B'C'中,所以ΔABC≌ΔA'B'C'.
出示探究问题:
【课件3】　如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,ΔABC与ΔDEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
〔解析〕　如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明ΔABC和ΔDEF全等,由三角形内角和定理可以证明∠C=∠F.
证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°,∠A=∠D,∠B=∠E,
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F.
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
于是得规律:
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[知识拓展]　“角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.
思路二
一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性
1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:
(1)ΔABC,其中∠A=35°,∠B=65°,AB=5 cm;
(2)ΔDEF,其中∠D=70°,∠E=50°,∠E的对边DF=4 cm.
注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.
2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.
结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.
3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.
结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
二、证明“ASA”定理
教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.
教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:
如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).
三、证明“AAS”定理
教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:
【课件4】　如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.
教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.
证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?
教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.
教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS”(或角角边).
学生证明后,教师边讲解边板书.
教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同.
活动二:例题讲解
【课件5】
　已知:如图所示,AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF.求证:ΔABC≌ΔDEF.
[师生共析]　根据AD=BE,得到AB=DE;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA”即可得到ΔABC≌ΔDEF.
证明:∵AD=BE(已知),
∴AB=DE(等式的性质).
∵BC∥EF(已知),
∴∠ABC=∠E(两直线平行,同位角相等).
在ΔABC和ΔDEF中,
∵
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.
【学生活动】　自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.
知识点一:“角边角”判定三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.
知识点二:“角角边”判定三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
该判定是通过“ASA”推导得出的,今后可以直接用“AAS”来判定两个三角形全等,它是“ASA”的一个推论.
1.如图所示,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DE
其中,能证明ΔABC≌ΔDEF的条件共有 (　　)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
解析:①符合“SSS”,②符合“SAS”,③符合“ASA”,这3组都能证明ΔABC≌ΔDEF;④不符合“AAS”,不能证明ΔABC≌ΔDEF,故本组不正确.所以有3组条件能证明ΔABC≌ΔDEF.故选C.
2.如图所示,在ΔABC与ΔDEF中,给出以下六个条件:
(1)AB=DE;(2)BC=EF;
(3)AC=DF;(4)∠A=∠D;
(5)∠B=∠E;(6)∠C=∠F.
以其中三个作为已知条件,不能判断ΔABC与ΔDEF全等的是 (　　)
A.(1)(5)(2) B.(1)(2)(3)
C.(4)(6)(1) D.(2)(3)(4)
解析:A.正确,符合判定方法“SAS”;B.正确,符合判定方法“SSS”;C.正确,符合判定方法“AAS”;D.不正确,不符合全等三角形的判定方法.故选D.
3.如图所示,已知∠CAE=∠DAB,AC=AD.给出下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能判定ΔABC≌ΔAED的条件为　　　　.(注:把你认为正确的答案序号都填上)?
解析:∵∠CAE=∠DAB,∴∠CAE+∠EAB=∠DAB+∠EAB,即∠CAB=∠DAE.又AC=AD,∴要判定ΔABC≌ΔAED,可添加的条件为:①AB=AE(SAS);③∠C=∠D(ASA);④∠B=∠E(AAS).故填①③④.
4.如图所示,点E,C,D,A在同一条直线上,AB∥DF,ED=AB,∠E=∠CPD.求证ΔABC≌ΔDEF.
解析:首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B,再利用“ASA”证明ΔABC≌ΔDEF.
证明:∵AB∥DF,
∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,
∵∠E=∠CPD,∴∠E=∠B,
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
第3课时
活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第46~47页练习第1,2题.
2.教材第47页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第47~48页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各条件中,不能判定两个三角形必定全等的是 (　　)
A.两边及其夹角对应相等
B.三边对应相等
C.两角及一角的对边对应相等
D.两边及一边的对角对应相等
2.如图所示,ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列一个条件无法证明ΔABC≌ΔDEF的是 (　　)
A.AC∥DF B.∠A=∠D
C.AC=DF D.∠ACB=∠F
3.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①ΔBCD≌ΔCBE;②ΔBAD≌ΔBCD;③ΔBDA≌ΔCEA;④ΔBOE≌ΔCOD;⑤ΔACE≌ΔBCE.上述结论一定正确的是(提示:等腰三角形的两底角相等;在三角形中,两个相等的角所对的边相等) (　　)
A.①②③ B.②③④
C.①③⑤ D.①③④
4.如图所示,下列各组条件,不能判定ΔABC≌ΔA'B'C'的一组的是 (　　)
A.AC=A'C',∠B=∠B',BC=B'C'
B.A=∠A',∠B=∠B',AC=A'C'
C.AB=A'B',∠A=∠A',AC=A'C'
D.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
【能力提升】
5.如图所示,有两个四边形ABCD,EFGH,其中甲、乙、丙、丁分别表示ΔABC,ΔACD,ΔEFG,ΔEGH.若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°,∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°,则下列叙述正确的是 (　　)
A.甲、乙全等,丙、丁全等
B.甲、乙全等,丙、丁不全等
C.甲、乙不全等,丙、丁全等
D.甲、乙不全等,丙、丁不全等
6.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上(如图所示),可以说明ΔEDC≌ΔABC,得ED=AB,因此测出ED的长就是AB的长,判定ΔEDC≌ΔABC最恰当的理由是 (　　)
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.边边角
7.如图所示,∠ABC=∠DEF,AB=DE,试说明ΔABC≌ΔDEF,
(1)若以“SAS”为依据,还需添加的一个条件为　　　　;?
(2)若以“ASA”为依据,还需添加的一个条件为　　　　;?
(3)若以“AAS”为依据,还需添加的一个条件为　　　　.?
【拓展探究】
8.如图所示,AB∥CD,∠ACD的平分线CP交AB于点E,在线段CE上取一点F,连接AF.要使ΔACF≌ΔAEF,还需要添加一个什么条件?请你写出这个条件,并证明ΔACF≌ΔAEF.(只要给出一种情况即可,图中不再增加字母和线段)
【答案与解析】
1.D(解析:A.符合“SAS”;B.符合“SSS”;C.符合“AAS”;D.符合“SSA”,所以不能够判定两三角形一定相等.)
2.C(解析:∵AB=DE,∠B=∠DEF,∴添加AC∥DF,得出∠ACB=∠F,即可证明ΔABC≌ΔDEF,故A,D都正确;当添加∠A=∠D时,根据“ASA”,也可证明ΔABC≌ΔDEF,故B正确;但添加AC=DF时,没有“SSA”定理,所以不能证明ΔABC≌ΔDEF,故C不正确.)
3.D(解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE.∴①ΔBCD≌ΔCBE(ASA);
③ΔBDA≌ΔCEA(ASA);④ΔBOE≌ΔCOD(AAS或ASA).)
4.A(解析:A.根据“SSA”不能证得ΔABC≌ΔA'B'C',故本选项符合题意;B.根据“AAS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C';C.根据“SAS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C';D.根据“SSS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C'.故B,C,D不符合题意.)
5.B(解析:∵∠ACB=CAD=70°,∠BAC=∠ACD=50°,AC为公共边,∴ΔABC≌ΔCDA,即甲、乙全等;ΔEHG中,∠EGH=70°≠∠EHG=50°,即EH≠EG,虽然∠EFG=∠EGH=70°,∠EGF=∠EHG=50°,但ΔEFG不全等于ΔEGH,即丙、丁不全等.综上所述,甲、乙全等,丙、丁不全等,B正确.)
6.B(解析:∵BF⊥AB,DE⊥BD,∴∠ABC=∠BDE=90°,又∵CD=BC,∠ACB=∠DCE,∴ΔEDC≌ΔABC(ASA).)
7.(1)BC=EF或BE=CF　(2)∠A=∠D　(3)∠ACB=∠DFE
8.解析:添加的条件可以是AF⊥CE,首先根据角平分线的性质可得∠ACP=∠PCD,再根据平行线的性质可得∠AEC=∠PCD,进而得到∠ACE=∠AEC,再根据AF⊥CE,可得∠AFC=∠AFE=90°.再加上条件AF=AF可利用“AAS”证明ΔACF≌ΔAEF.解:答案不唯一,添加的条件可以是AF⊥CE.证明如下:∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD.∵AB∥CD,∴∠AEC=∠PCD.∴∠ACE=∠AEC.∵AF⊥CE,∴∠AFC=∠AFE=90°.在ΔACF和ΔAEF中,∴ΔACF≌ΔAEF(AAS).
本节课的教学教师分别对两角一边的两种情况(两角一夹边和两角一对边)的两个三角形是否全等进行讨论,通过学生的作图与操作,让学生自主探索、合作交流,让学生总结出“角边角”基本事实的内容,以加深学生对“角边角”的理解,然后通过对比“角边角”,证明归纳出“角角边”定理,通过对例题的讲解进一步巩固了学生对知识的理解和掌握,提高了学生对“角边角”和“角角边”的理解和应用能力.教师在课堂教学中尽量为学生提供“做中学”的空间,让学生进行小组合作学习,在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法,遵循“教是为了不教”的原则,让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理.在整个教学过程中,注重体现第十三章　全等三角形
1.了解逆命题与逆定理的含义,能够判断真命题与假命题,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
2.了解全等图形的概念,能识别全等多边形(三角形)的对应顶点、对应角、对应边,知道全等多边形(三角形)的对应边、对应角分别相等.
3.熟练掌握三角形全等的判定方法,并会运用这些判定方法判定两个三角形全等.
4.了解尺规作图的步骤,能利用基本作图方法作三角形.
5.在教学中,注意知识的形成过程和所学内容与现实生活的联系;注重让学生经历操作、观察、推理、想象等探索过程.
1.通过探究知识的过程,了解全等图形和全等三角形的判定,以及尺规作图之间的内在联系.
2.使学生有效地使用逻辑推理的方式认识几何图形,知道证明的过程可以有不同的表达方式,学会演绎推理证明的格式.
3.掌握全等三角形的证明思路和方法.
1.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真的学习态度,激发学生的学习热情.
2.利用小组合作学习的方法,在学习中多与同学进行交流,多种感官参与教学,主动探索,发现规律,归纳概括,形成能力,养成学数学、爱数学的情感.
学生已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识,这些为学习命题和全等三角形的有关内容做了准备.通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识.全等三角形是研究图形的重要工具,学生只有掌握了全等三角形的相关知识,并且能够灵活运用它,才能学好以后要学的四边形.在本章中,全等三角形的判定既是重点,也是难点,同时也是中考的热点.全等三角形在中考中主要考查全等三角形的判定证明,并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去,如把某些问题转化为三角形的问题求解,能从复杂的图形中寻求全等的三角形以获得自己需要的信息也是中考的要点.
【重点】
1.命题、定理的有关概念.
2.全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法.
3.证明的基本过程.
4.尺规作图.
【难点】
1.根据不同条件合理选用三角形全等的判定方法,特别是对“SSA”不能判定三角形全等的认识.
2.证明的格式.
1.在命题与证明的教学中,要让学生通过大量的例子,分清命题的条件和结论,让学生逐步熟悉命题的形式,要通过学生自主探索、合作交流,让学生归纳出举反例判断假命题的方法,在进行定理的教学时,还应让学生确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理,成为以后证明的依据.
2.对全等三角形的教学时,要引导学生正确分类,能根据所给数据画出三角形,通过比较,直观感知全等三角形的判定方法,同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性.在证明的过程中要指导学生注意规范书写格式,规范推理过程,让学生的推理过程有理有据,同时要注重分析思路,让学生学会思考问题,让学生学会对问题有清晰的思路过程.有必要养成固定的思考过程模式,如:证等角——全等三角形——找到相关三角形——找全等条件——联系已知条件.
3.在教学尺规作图时,应要求学生采用先画草图分析作法,再进行尺规作图;对于“作一个角等于已知角”的教学时,要注意引导学生进行分析,要让学生先自主探究,后合作交流,同时要让学生在动手操作的基础上总结作图的步骤.
13.1命题与证明
1课时
13.2全等图形
1课时
13.3全等三角形的判定
4课时
13.4三角形的尺规作图
1课时
回顾与思考
1课时
13.1　命题与证明
1.理解逆命题的概念,能够判断命题的真假.
2.会把命题改写成“如果……那么……”的形式.
3.了解逆定理及证明的概念,会对一个真命题进行证明.
1.感受几何中推理的严谨性,掌握推理的方法.
2.通过对几何问题的演绎推理,体会证明的必要性,培养学生的逻辑推理能力.
通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严谨性,并培养与他人合作的意识.
【重点】
1.让学生弄清命题的条件和结论,熟悉命题的形式.
2.理解逆定理和证明的概念,能进行简单的证明.
【难点】　理解证明的必要性.
【教师准备】　课件1~5.
【学生准备】　复习以前学过的几何定理等知识.
导入一:
情境:小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小亮:“哈!这个黑客终于被逮住了.”
小刚:“是的,现在网络广泛应用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…”.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着.
“这个黑客是小偷吗?”
“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”
你听完这节片段的故事,有何想法?
同学们各抒己见,老师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法:在日常生活中,我们会遇到许多概念,假如不对这些概念下定义,别人就无法理解这些概念的含义,以致无法正常地进行交流.同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义.本节我们就一起学习命题与证明.
导入二:
在电影《流浪者》中,法官和流浪者有这样一段对话,法官说:“贼的儿子永远是贼,因为你是贼的儿子,所以永远是贼.”同学们,法官这个推理对吗?显然是错误的,你知道这个荒谬的结论错在哪里吗?学完本节课“命题与证明”你就会明白了.
[设计意图]　通过风趣幽默的对话,让学生感知证明的重要性,从而激发学生的求知欲望,能够更好地投入到本节课的学习之中,为学习本节课的知识做好铺垫.
导入三:
师:我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”“三条边相等的三角形是等边三角形”等.根据我们已学过的图形的特性,试判断下列句子是否正确.
1.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.两直线平行,同位角相等.
3.同旁内角相等,两直线平行.
4.平行四边形的四条边相等.
5.直角都相等.
[设计意图]　通过对以前学过知识的掌握能够判断一个命题的真假,初步感知真命题和假命题,从而自然地引入新知.
活动一:真假命题与互逆命题
思路一
【课件1】　观察下面两个命题:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线平行,那么同位角相等.
引导学生思考:
(1)在这两个命题中,其中一个命题的条件和结论,与另一个命题的条件和结论有怎样的关系?
(2)请再举例说明两个具有这种关系的命题.
归纳:像这样,一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题.
在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.
让学生完成教材第32页“做一做”,指出原命题和逆命题的真假性.
教师在学生思考的基础上指导学生注意语言的规范性和逻辑性.
[知识拓展]　每一个命题都有逆命题,只要将原命题的条件改成结论,并将结论改成条件,便可得到原命题的逆命题,但有很多命题的逆命题并不是简单地将原命题的条件与结论互换,必须正确运用数学语言.
强调:每个命题都有逆命题,但原命题正确,它的逆命题未必正确.要说明一个命题是假命题,只要举出反例就可以了.
例如:“若,则a=b”这个命题是假命题,只要举出两个数的绝对值相等,但这两个数不相等的情况就可以判断这个命题是假命题.如:,但5≠-5.
让学生举出反例说明:“如果a+b>0,那么a-b>0”是个假命题.
[设计意图]　明确真、假命题与互逆命题,通过区分两类概念,从中体会要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例就可以了,培养学生举反例进行说明的能力.
思路二
　　[过渡语]　刚才通过实例,我们初步了解了推理的重要性,首先我们来学习真假命题与互逆命题.
1.命题的条件和结论
教师讲解:在数学中,许多命题是由已知条件、结论两部分组成的.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题常可以改写成“如果……那么……”的形式,用“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.
有的命题的条件和结论不十分明显,可以将它写成“如果……那么……”的形式,就可以分清它的条件和结论了.例如:命题“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”.
【课件2】　下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)对顶角相等.
(2)如果a>b,b>c,那么a=c.
引导学生把(1)先改写成“如果……那么……”的形式,再确定条件和结论.
解:(1)条件:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.
(2)条件:a>b,b>c,结论:a=c.
2.真假命题
　　[过渡语]　命题有真命题和假命题,真命题就是条件成立,结论也一定成立的命题;而假命题是条件成立时,不能保证结论总是成立的命题.请同学们看下面的问题.
【课件3】　判断下列句子是否正确.
(1)三角形的内角和是180度.
(2)同位角相等.
(3)同角的余角相等.
(4)一个锐角与一个钝角的和是180度.
让学生根据已有的知识进行判断,并说明理由.
3.互逆命题
教师讲解:例如“两直线平行,内错角相等”这个命题,条件为“如果两条直线被第三条直线所截,且两直线平行”,结论是“那么内错角相等”.如果把这个命题的条件和结论互换一下位置,新句子也是一个命题,这时条件为“如果两条直线被第三条直线所截,内错角相等”,结论变为“那么这两条直线平行”.这样我们就说后一个命题是前一个命题的逆命题,前一个命题也是后一个命题的逆命题.这两个命题互为逆命题.
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做这个原命题的逆命题.
活动二:证明与互逆定理
　　[过渡语]　要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已经学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理叫做证明.
【课件4】　证明:平行于同一条直线的两条直线平行.
让学生首先判断这个命题的真假性,引导学生分析讨论证明的方法.
说明:教师要重点关注学生的证明过程的书写是否符合要求.
已知:如图所示,直线a,b,c,a∥c,b∥c.
求证:a∥b.
证明:如图所示,作直线d,分别与直线a,b,c相交.
∵a∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵b∥c(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).
∴∠1=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
即平行于同一条直线的两条直线平行.
一般地,证明命题按如下步骤进行:
(1)依据题意画图,将文字语言转换为符号(图形)语言;(2)根据图形写出已知、求证;(3)根据基本事实、已有定理等进行证明.
教师讲解:如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理.这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是真命题,所以它们都是定理,因此它们就是互逆定理.
你能举出我们学过的一些互逆定理吗?
一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如:“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
指导学生完成教材第33页“做一做”.
【课件5】　已知:如图所示,点O在直线AB上,OD,OE分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
求证:OD⊥OE.
证明:∵OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
∴∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC,
∴∠COD+∠COE=(∠AOC+∠BOC)=180°=90°,
即∠DOE=90°,
∴OD⊥OE.
[设计意图]　通过做一做锻炼学生的逻辑思维能力,巩固所学的知识,同时培养学生的合作探究精神和归纳总结的能力,让学生理解定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据.
命题的组成
每一个命题都是由条件和结论两部分组成的,条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.
注意:对每一个讨论的命题,其条件和结论不一定只有一个.
真命题、假命题、反例
正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题;举一个例子,其具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例.
注意:要说明一个命题是假命题,通常举出反例来说明.
互逆命题与互逆定理
一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也就成了定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意:任何一个命题都有逆命题,但任何一个定理不一定有逆定理.
证明的一般步骤
(1)画图;(2)写出已知、求证;(3)证明.
注意:证明要做到有理有据.
1.下列命题的逆命题一定成立的是 (　　)
①对顶角相等;
②同位角相等,两直线平行;
③若a=b,则|a|=|b|;
④若x=3,则x2-3x=0.
A.①②③ B.①④ C.②④ D.②
解析:①对顶角相等,逆命题为:相等的角为对顶角,错误;②同位角相等,两直线平行,逆命题为:两直线平行,同位角相等,正确;③若a=b,则|a|=|b|,逆命题为:若|a|=|b|,则a=b,错误;④若x=3,则x2-3x=0,逆命题为:若x2-3x=0,则x=3,错误.故选D.
2.命题:①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等.其中假命题有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:对顶角相等,所以①为真命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,所以②为假命题;相等的角不一定是对顶角,所以③为假命题;两直线平行,同位角相等,所以④为假命题.故选C.
3.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内,下列四个命题:
①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;
②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;
③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;
④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.
其中真命题的是　　　　.(填写所有真命题的序号)?
解析:分析所给命题是否为真命题,需要分析条件是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.故填①②④.
4.命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件是　　　　,结论是　　　　,这是　　　　命题(填“真”或“假”).?
解析:命题写成“如果…,那么…”的形式时,“如果”后面接的部分是条件,“那么”后面接的部分是结论.依此可写出命题“如果n是整数,那么2n是偶数”的条件和结论.根据偶数的定义可知该命题是真命题.
答案:n是整数　2n是偶数　真
5.如图所示,直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个条件中,请你选择其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题并证明.
①AB⊥BC,CD⊥BC,②BE∥CF,③∠1=∠2.
解析:可以由①②得到③:由AB⊥BC,CD⊥BC得到AB∥CD,利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB,又BE∥CF,所以∠EBC=∠FCB,所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,即∠1=∠2.
解:(答案不唯一)已知:如图所示,AB⊥BC,CD⊥BC,BE∥CF.
求证:∠1=∠2.
证明:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,
又∵BE∥CF,∴∠EBC=∠FCB,
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB,
∴∠1=∠2.
13.1　命题与证明
活动一:真假命题与互逆命题
活动二:证明与互逆定理
一、教材作业
【必做题】
教材第34页练习第1,2题.
【选做题】
教材第34页习题第1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句中,不是命题的是 (　　)
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.连接A,B两点
2.举一个反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题,其中错误的是 (　　)
A.设这个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°
B.设这个角是30°,它的余角是60°,但30°<60°
C.设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<60°
D.设这个角是50°,它的余角是40°,但40°<50°
3.以下说法正确的有:　　　　(只填序号).?
①垂线段最短;
②在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”;
④过一点有且只有一条直线平行于已知直线.
4.已知下列命题:①相等的角是对顶角;②互补的两个角一定是一个锐角,另一个是钝角;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直.其中正确命题的序号是　　　　.?
【能力提升】
5.命题:若a>b,则.
(1)请判断这个命题的真假,若是真命题,请证明;若是假命题,请举一个反例.
(2)若这个命题是假命题,请你适当修改命题的条件,使其成为一个真命题.
【拓展探究】
6.对于有理数a,b,规定一种新运算:a??b=a·b+b.有下列命题:
①(-3)??4=-8;
②a??b=b??a;
③方程(x-4)??3=6的解为x=5;
④(4??3)??2=4??(3??2).
其中正确命题的序号是　　　　.(把所有正确命题的序号都填上)?
7.如图所示,现有以下3个条件:①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请以其中2个作为条件,第3个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题?
(2)你构造的命题是真命题还是假命题?请加以证明.
【答案与解析】
1.D(解析:命题是能够判断出正确或错误的句子,所以它必须对某件事情进行判断.)
2.B(解析:反例一般是举符合条件但结论不成立的例子.)
3.①②③(解析:垂线段最短,所以①正确;在平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以②正确;“同旁内角互补,两直线平行”的条件是“同旁内角互补”,结论是“两直线平行”,所以③正确;过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线,所以④错误.)
4.③④(解析:①相等的角是对顶角,错误,因为对顶角既要考虑大小,还要考虑位置;②互补的两个角,一个为锐角,另一个为钝角,错误,还有可能是两个直角;③在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行,是平行公理,正确;④互为邻补角的两角的平分线互相垂直,正确.所以只有③④命题正确.)
5.解:(1)假命题.如a=1,b=-2符合a>b,但不满足.　(2)改成:若a>b>0,则或若0>a>b,则.
6.①③(解析:(-3)??4=-3×4+4=-8,所以①
正确;a??b=ab+b,b??a=ab+a,所以②错误;方程(x-4)??3=6可化为3(x-4)+3=6,解得x=5,所以③正确;(4??3)??2=(4×3+3)??2=15??2=15×2+2=32,4??(3??2)=4??(3×2+2)=4??8=4×8+8=40,所以④错误.故填①③.)
7.解:(1)①②为条件,③为结论;①③为条件,②为结论;②③为条件,①为结论.　(2)∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠C=∠CDF,∴CE∥BF,∴∠E=∠F,所以由①②为条件,③为结论组成的命题是真命题.∵AB∥CD,∴∠B=∠CDF,∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∴∠B=∠C,所以由①③为条件,②为结论组成的命题是真命题.∵∠E=∠F,∴CE∥BF,∴∠C=∠CDF,∵∠B=∠C,∴∠B=∠CDF,∴AB∥CD,所以由②③为条件,①为结论组成的命题是真命题.
本节课的主要内容是命题、定理、证明.为此,在导入时让学生通过生动的情境导入,提高了学生学习的兴趣,激发了学生的好奇心.整个过程以学生与学生、学生与教师之间的“对话”“讨论”为出发点,以互助、合作为手段,以解决问题为目的,让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向,判断发现的价值.本课的内容比较简单,但概念较多,因此在学习之后设计了大量练习,让学生在练习中巩固所学知识,加深对概念的理解和运用.
本节涉及的概念较多,在概念的传授上,教师没有做到成功引导,虽然有引导的内容,但实际效果不佳.在判断一些较难命题的条件和结论时判断不够准确,语言表达不够清晰,对于定理部分的内容介绍较少.
1.加强对概念的剖析和引导,要注意它们的联系和区别,可组织学生讨论发现,这样学生通过小组的研讨,能够增强他们对概念的认识和理解.
2.通过多举例,让学生发现命题、定理的区别,掌握定理的应用价值.
3.对于命题的剖析,要让学生尽量做到语言表述的严谨性,鼓励学生互相补充,同时,多加练习.
练习(教材第34页)
1.解:(1)如果两个角相等,那么这两个角是直角.它是假命题,如∠1=50°,∠2=50°,∠1=∠2≠90°.
(2)如果两个角的和是平角,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角.它是假命题,如∠1=90°,∠2=90°,∠1+∠2=180°,但∠1和∠2都是直角.　(3)如果两个角相等,那么这两个角是同角(或等角)的余角.它是假命题,如∠α=∠β=130°>90°,∠α和∠β不可能是某个角(或某两个相等的角)的余角.　(4)如果两个角相等,那么这两个角是同角(或等角)的补角.它是假命题,如∠α=∠β=200°>180°,∠α和∠β不可能是某个角(或某两个相等的角)的补角.　(5)如果两个数的和等于0,那么这两个数是互为相反数的两个非0数.它是假命题,如a=0,b=0,a+b=0,但a,b不为非0数.　(6)能被2整除的数一定是偶数.它是真命题.(证明略)
2.证明:如图所示,∵∠1+∠2=180°(已知),∠1=∠3(对顶角相等),∴∠3+∠2=180°(等量代换),∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
习题(教材第34页)
1.证明:∵点C是线段AD的中点(已知),∴AD=2CD(线段中点的定义).又∵点D是线段CB的中点,∴CB=2CD(线段中点的定义),∴AD=CB(等量代换).
2.证明:∵∠AOB=∠A'O'B'(已知),∠1=∠3(已知),∴∠AOB-∠1=∠A'O'B'-∠3(等式的性质),即∠2=∠4.
3.解:∵DE∥BC(已知),∠ADE=50°(已知),∠C=70°(已知),∴∠B=∠ADE=50°(两直线平行,
同位角相等),∠DEC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠DEC=180°-∠C=180°-70°=110°.
1.初中数学命题的三个特征
命题是对某一事件作出正确或不正确判断的语句.正确理解命题的关键是要抓住它的三个特征,下面举例分析.
　下列各语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)相等的角是直角.
(2)直线是没有长度的.
(3)明天会下雨吗?
(4)两条直线被第三条直线所截.
(5)作直线AB∥CD.
解:(1)(2)是命题,因为它们都是具有判断性的语句.(3)(4)(5)都不是命题,因为它们都不是判断性语句,(3)是疑问句,(5)是叙述一个过程的语句.
2.数学命题有真假之分
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.要判断一个命题是真命题需要进行证明,而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以.
　下列各命题是真命题还是假命题?
(1)有公共顶点的两个角是对顶角.
(2)四边形的内角和是360度.
(3)内错角相等.
解:不能认为肯定的命题就是真命题,否定的命题就是假命题.(1)假命题.如图1所示,∠1和∠2是有公共顶点的两个角,但∠1和∠2并不是对顶角.　(2)真命题.如图2所示,一条对角线可以把一个四边形分成两个三角形,由每个三角形内角和是180度可知四边形内角和是360度.　(3)假命题.如图3所示,若直线AB与CD不平行,则∠1≠∠2.
3.命题的结构有固定的形式
每个命题都是由题设(条件)和结论两部分构成的,有些命题常常写成“如果…,那么…”的形式,具有这种形式的命题中,“如果”部分是条件,就是命题证明中的“已知”;“那么”部分是结论,就是命题证明中的“求证”.
　如图所示,下列六个条件:①∠1=∠E;②∠2=∠F;③∠A+∠1=180°;④∠B+∠2=180°;⑤∠DCE+∠E=180°;⑥∠CDF+∠F=180°.从中选取两个作为条件,使得命题“如果　　　　,　　　　,那么AB∥EF”是一个真命题,并证明你的结论.(填序号)?
解:(本题答案不唯一)可选①④.如果∠1=∠E,∠B+∠2=180°,那么CD∥EF,AB∥CD,∴AB∥EF.
13.2　全等图形
1.了解全等图形以及全等图形的对应点、对应线段、对应角.
2.了解全等三角形,知道全等三角形的对应边相等,对应角也相等.
通过观察图形,找到全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形对应边相等,对应角相等的性质进行简单的推理和计算.
培养学生的观察和动手能力,发展学生的几何观念.
【重点】　掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质.
【难点】　用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
【教师准备】　课件1~7.
【学生准备】　搜集日常生活中形状、大小相同的图形.
导入一:
1.做一做:指导学生画边长为4 cm的等边三角形和边长为4 cm的正方形,并将它们剪下来.
2.交流讨论:同桌两人为一组,将剪下的图形放在一块,观察重合情况.
3.得出结论:两个三角形完全重合,两个正方形完全重合.
4.出示教材第35页图13-2-1中(1)(4)(5),及思考“观察与思考”中的两个问题.
5.如图所示,找出图中全等的图形:　　　　和　　　　全等.?
6.学生画三边长分别为4 cm、5 cm、6 cm的三角形,剪下后两人一组放在一起,观察讨论,两个三角形是否全等?
[设计意图]　让学生观察图形,对图形有一个感性的认识.通过学生的动手操作,感知图形的全等,培养学生的操作能力.
导入二:
【课件1】　教师出示图片　观察思考:如图所示,每组的两个图形有什么特点?
教师多媒体演示,实际操作把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图形叠放在一起.
学生讨论.
生1:每组的两个图形大小都一样.
生2:每组的两个图形都可以重合.
师:同学们的观察力很棒,上面的两组图形,每组中的两个图形能够完全重合.那么现实生活中还有哪些能够完全重合的图形的例子呢?
学生举例.
师:很好,我们今天就来学习全等图形的相关知识(板书课题).
[设计意图]　通过简单的生活图例和教师的演示,导出本节课的教学内容,有利于提高学生学习的积极性.
导入三:
如图所示,正方形网格中有12棵树,请你把这个正方形网格划分为四小块,要求每块的形状、大小都相同,并且每块中恰好有三棵树.
要想划分相等的几部分,就需要用到全等的有关知识,也就是我们今天要学习的内容.
[设计意图]　通过问题情境的设计,激发学生对全等知识的探究欲望,从而积极地投入到本节课的教学中.
　　[过渡语]　图形的形状和大小是几何研究的重要内容,全等图形研究的是图形形状和大小的相互关系.
探究一:全等图形的概念
思路一
师:我们把能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
【课件2】　观察下面两组图形,它们是不是全等图形?并指出它们的相同点与不同点.
学生观察讨论.
生:它们不是全等图形.
师:为什么?
生:在图(1)里的两个图形都是八边形,但是它们的大小不相等.在图(2)中的两个图形都是由三个大小相同的小正方形组合而成的,它们的大小相等,但形状不相同.
师:回答得很好,这位同学不仅观察力很棒,并且语言组织能力也很强.同学们也要像他一样不仅要善于观察更要善于总结.如果上面两组图形不是全等图形,那么全等图形有什么样的特征呢?
生:全等图形的形状、大小都相同.
师:全等图形的形状、大小都相同.当两个全等的图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
【课件3】　观察下面的全等图形,找出图形的对应边、对应点和对应角.
[设计意图]　理解和掌握全等图形的定义,明确全等图形必须具备的条件:一是形状相同;二是大小相等.另外通过练习让学生明确两个全等图形点、角、边的对应关系.
思路二
师:我们身边经常看到“一模一样”的图形,比如两张由同一底片冲印出来的完全相同的照片,用两张纸重叠在一起剪出的两张窗花等,你还能举一些这样的“一模一样”的例子吗?
问题:几何中,我们把上面所列举的“一模一样”的图形叫做“全等图形”,那么我们怎么给“全等图形”下一个几何定义呢?是:
(1)形状相同的两个图形?
(2)大小相等的两个图形?
(3)能够完全重合的两个图形?
讨论结果:能够完全重合的两个图形叫全等图形.
【课件4】　(1)你能把如图(a)所示的长方形分成2个全等图形吗?把如图(b)所示的等边三角形分成3个全等三角形吗?把如图(c)所示的长方形分成4个全等三角形吗?
(2)你会把下图(d)和(f)分别分成四个全等的图形吗?试一试.(保留你画的痕迹)
指导学生小组讨论完成.
说明:当两个全等的图形重合时,互相重合的点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
[知识拓展]　两个全等图形,它们的形状和大小应该是完全相同的,缺一不可.两个全等图形与它们的相对位置无关.全等多边形是全等图形的特例,所以如果两个全等多边形能够达到重合状态,那么它们重合的边(对应边)、重合的角(对应角)分别相等.
探究二:全等三角形
　　[过渡语]　在全等多边形中,最常见的就是全等三角形,下面我们来研究一下全等三角形的有关知识.
1.全等三角形的性质的探究
思路一
1.全等三角形的定义及性质
(1)定义:全等三角形是能够完全重合的两个三角形,是形状相同、大小相等的两个三角形.
(2)反例:举出不全等的三角形的例子,利用教师和学生手中的含有30度角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等图形,强调定义的条件.
师:请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形?
学生在生活中找图形.
(3)对应元素及性质:教师结合手中的教具说明全等三角形的对应边、对应角、对应顶点,引导学生发现全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2.学习全等三角形的表示符号
解释“≌”的含义及读法,并强调对应顶点写在对应位置上.
　　举例说明:
如图所示,∵ΔABC≌ΔDFE(已知),∴AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).
教师小结:
在书写全等三角形时,如果将对应顶点写在对应位置上,那么将两个三角形的顶点同时按顺序轮换,可写出所有对应边和对应角相等的式子,而不会找错,并节省观察图形的时间.
总结寻找全等三角形对应元素的方法,渗透全等变换的思想.
思路二
学生动手制作,先做一个三角形,然后将做好的三角形按在纸上沿它的各边做第二个三角形.
师:与学生交流,做好的同学试着把你们手中的两个三角形叠放在一起看看,它们会怎样?
生:完全重合.
师:嗯,对.我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【课件5】　出示将ΔABC沿直线平移后得到的ΔA'B'C'(如图所示).
师:现在请同学们认真观察并指出图中的对应顶点、对应边、对应角.
学生小组讨论后得出:
对应顶点是A和A',B和B',C和C'.
对应边是AB和A'B',BC和B'C',AC和A'C'.
对应角是∠A和∠A',∠B和∠A'B'C',∠C和∠C'.
师:ΔABC与ΔA'B'C'全等记作ΔABC≌ΔA'B'C'.想一想:全等三角形的对应边有什么关系?对应角有什么关系?
生:全等三角形的对应边相等、对应角相等.
师:非常准确,这就是全等三角形的性质.知道两三角形全等,那么我们就可以得出以上结论,三组对应边分别相等,三组对应角分别相等.可是在找全等三角形的对应元素时,一般有什么规律呢?
教师多媒体出示【课件6】
有公共边的,公共边是对应边.
　
有公共角的,公共角是对应角.有对顶角的,对顶角是对应角.
在两个全等的三角形中:一对最长的边是对应边,一对最短的边是对应边.一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角.
[设计意图]　通过教师的多媒体演示和学生的观察学习及小组的合作交流,认识全等三角形的性质.
2.例题讲解
　　[过渡语]　刚才通过探究我们学习了全等三角形的性质,利用这个性质我们可以求边的长度和角的大小.
【课件7】
　已知:如图所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=78°,∠B=35°,BC=18.
(1)写出ΔABC和ΔDEF的对应边和对应角.
(2)求∠F的度数和边EF的长.
让学生说出对应边和对应角.
引导学生分析:∠F的对应角是∠ACB,可先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数.
[设计意图]　通过例题的讲解,使学生进一步掌握全等三角形的性质,并能熟练应用性质解决相关问题,培养学生分析问题和解决问题的能力.
1.全等图形:能够完全重合的两个图形叫做全等图形,这里的重合是指完全重合,这里的全等不等同于相等,全等指两个图形完全重合,而相等是对两个量而言,可以是长度、重量,也可以是面积、体积.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,这些性质是探讨全等三角形的基础,也是今后探索其他较复杂图形的性质的重要依据.在利用全等三角形的性质进行计算和证明时,要注意对应元素相等.
1.如图所示,ΔABC≌ΔAEF,AB和AE,AC和AF是对应边,那么∠EAF等于 (　　)
A.∠ACB
B.∠BAC
C.∠F
D.∠CAF
解析:∵ΔABC≌ΔAEF,∴∠EAF=∠BAC.故选B.
2.下列说法正确的是 (　　)
A.面积相等的两个图形全等
B.周长相等的两个图形全等
C.形状相同的两个图形全等
D.全等图形的形状和大小都相同
解析:根据全等图形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等图形进行分析即可.故选D.
3.如图所示的四个图形中,全等的图形是(　　)
A.①和② B.①和③
C.②和③ D.③和④
解析:③和④可以完全重合,因此全等的图形是③和④.故选D.
4.如图所示,若ΔABE≌ΔACF,且AB=5,AE=3,则EC的长为 (　　)
A.2 B.3 C.5 D.2.5
解析:∵ΔABE≌ΔACF,AB=5,∴AC=AB=5,∵AE=3,∴EC=AC-AE=5-3=2.故选A.
5.如图所示,已知ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,则另外两组相等的对应边为　　　　,另外两组相等的对应角为　　　　.?
解析:∵ΔABC≌ΔADE,∠C=∠E,AB=AD,∴AC=AE,BC=DE,∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE.
答案:AC=AE,BC=DE　∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE
6.如图所示,若ΔOAD≌ΔOBC,且∠O=65°,∠BEA=135°,求∠C的度数.(提示:四边形的内角和为360°)
解析:根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,再根据三角形的内角和等于180°表示出∠OBC,然后利用四边形的内角和等于360°列式求解即可.
解:∵ΔOAD≌ΔOBC,
∴∠C=∠D,∠OBC=∠OAD,
∵∠O=65°,
∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C,
在四边形AOBE中,
∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°,
∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°,
∴∠C=35°.
13.2　全等图形
探究一:全等图形的概念
探究二:全等三角形
1.全等三角形的定义及性质
(1)能够完全重合的三角形叫做全等三角形
(2)全等三角形的对应边相等、对应角相等
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第36~37页练习第1,2题.
2.教材第37页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第37页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在如图所示的各组图形中,是全等图形的是 (　　)
2.如图所示,ΔABC≌ΔAEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,ΔABC≌ΔDEF,∠A=50°,∠C=30°,则∠E的度数为 (　　)
A.30° B.50° C.60° D.100°
4.如图所示,点F,A,D,C在同一条直线上,ΔABC≌ΔDEF,AD=4,CF=10,则AC等于 (　　)
A.7 B.6.5 C.6 D.5
5.如图所示,ΔABC≌ΔDBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,请写出三组对应边:
(1)　　　　;(2)　　　　;(3)　　　　;另一组对应角:(4)　　　　.?
【能力提升】
6.根据下列解题过程填空.
(1)如图1所示,已知直线EF与AB,CD都相交,且AB∥CD,试说明∠1=∠2的理由.
解:∵AB∥CD(已知),
∴∠2=∠3(　　　　),?
∵∠1=∠3(　　　　),?
∴∠1=∠2(　　　　).?
(2)如图2所示,已知ΔAOC≌ΔBOD,试说明AC∥BD成立的理由.
解:∵ΔAOC≌ΔBOD,
∴∠A=　　　　(　　　　),?
∴AC∥BD(　　　　).?
7.如图所示,已知ΔEAB≌ΔDCE,AB,EC分别是两个三角形的最长边,∠A=∠C=35°,∠CDE=100°,∠DEB=10°,求∠AEC的度数.
【拓展探究】
8.如图所示,ΔEFG≌ΔNMH,∠F和∠M是对应角,在ΔEFG中,FG是最长边,在ΔNMH中,MH是最长边,EF=2.1 cm,EH=1.1 cm,NH=3.3 cm.
(1)写出其他对应边及对应角;
(2)求线段NM及线段HG的长度.
【答案与解析】
1.C(解析:由全等图形的概念可以判断C中图形完全相同,符合全等图形的要求,A,B,D中图形很明显不相同,A中大小不一致,B,D中形状不同.)
2.C(解析:∵ΔABC≌ΔAEF,∴AC=AF,故①正确;∠EAF=∠BAC,∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB,故②错误;EF=BC,故③正确;∠EAB=∠FAC,故④正确.综上所述,结论正确的是①③④,共3个.)
3.D(解析:∵ΔABC≌ΔDEF,∠A=50°,∠C=30°,∴∠F=∠C=30°,∠D=∠A=50°,∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-50°-30°=100°.)
4.A(解析:∵ΔABC≌ΔDEF,∴AC=FD,即CD+AD=AF+AD,∴AF=DC,∵AD=4,CF=10,∴DC=(CF-AD)=(10-4)=3,∴AC=AD+DC=4+3=7.)
5.(1)AB和DB　(2)AC和DC　(3)BC和BC　(4)∠ACB和∠DCB(解析:根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上写出对应边和对应角即可.)
6.(1)两直线平行,同位角相等　对顶角相等　等量代换　(2)∠B　全等三角形的对应角相等　内错角相等,两直线平行
7.解:∵ΔEAB≌ΔDCE,∴∠BEA=∠CDE=100°,∵∠A=∠C=35°,∠CDE=100°,∴∠DEC=180°-100°-35°=45°,∵∠DEB=10°,∴∠BEC=45°-10°=35°,∴∠AEC=100°-35°=65°.
8.解析:(1)根据ΔEFG≌ΔNMH,∠F与∠M是对应角,FG,MH分别为两个三角形的最长边可得到两个三角形中对应相等的三边和三角;(2)根据(1)中的相等关系即可得线段MN和HG的长度.解:(1)∵ΔEFG≌ΔNMH,∠F与∠M是对应角,FG和MH分别为两个三角形的最长边,∴对应边为EF和NM,EG和NH,FG和MH,其他的对应角为∠E和∠N,∠EGF和∠NHM.　(2)∵EF=NM,EF=2.1 cm,∴MN=2.1 cm.∵EG=NH,EH+HG=EG,EH=1.1 cm,HN=3.3 cm,∴HG=EG-EH=HN-EH=3.3-1.1=2.2(cm).
本节课采用探究教学法,充分发挥了学生的主体作用.在探究活动中,充分发挥学生的想象力和集体的智慧,使不同的学生有不同的发展,在实践中给学生充分的时间和空间,特别是从身边生活中的例子入手,激发每一个学生的求知欲.从熟悉的几何图形、实物图形入手,让学生对图形全等有一个感性的认识,调动学生的积极性,很快抓住学生的注意力,激起学生的探索欲,为实践活动做好充分的准备.教师创造机会,给学生充分的自由,把学生看成学习的主人,学生的积极性高涨,自然会有新的突破.
在学生观察图形的过程中,教师没有让学生自
己总结出全等图形的概念,对学生分割图形的时候,也没有充分发挥学生的想象力,指导不够到位,以至于学生没有考虑出其他的分割方法.另外对概念和性质的分析不够全面.
1.应该更多地关注学生在学习过程中的学习热情,及时引导,使之更好地表达和交流,增强学生的自信心.
2.对于概念和性质的教学,教师要注意突出关键词语,重点加以指导,明确它们的区别和联系.
3.要通过练习逐步加以强化学生对知识的理解和掌握,对于学生容易出现的问题要提前预知,重点训练.
练习(教材第36页)
1.解:(1)AB与ED,BC与DF,AC与EF,∠A与∠E,∠B与∠D,∠C与∠F.　(2)AB与HG,BC与GE,CD与EF,AD与HF,∠A与∠H,∠B与∠G,∠C与∠E,∠D与∠F.
2.解:AB=AC,BM=CM.
习题(教材第37页)
A组
1.解:(1)ΔACD≌ΔBCD,ΔADE≌ΔBDF,ΔCED≌ΔCFD.　(2)四边形AMGD≌四边形BMGC,四边形DEHG≌四边形CFHG,四边形EAMH≌四边形FBMH.
2.解:AO与BO,OC与OD,AC与BD,∠A与∠B,∠AOC与∠BOD,∠C与∠D.
B组
1.解:∵ΔABC≌ΔDCB,∴∠ABC=∠DCB,∠DBC=∠ACB,∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,∴∠DBA=∠ACD.
2.解:如图所示.
在学习本节知识时,要多画图形,把知识点融入到图形中,这有利于知识的学习和掌握,要深入体会全等三角形中的“对应”,即对应边、对应角、对应顶点.要注意区分对应边、对应角和对边、对角的区别:对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的,对边是指角的对边,对角是指边的对角.全等三角形的对应边一定相等,对应角一定相等,但是相等的边不一定是对应边,相等的角不一定是对应角.
　如图所示,已知ΔABC≌ΔDEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=7,BC=4,∠D=30°,∠C=60°.
(1)求线段AE的长度;
(2)求∠ABC的度数.
〔解析〕　根据全等三角形的性质进行解答.
解:(1)∵ΔABC≌ΔDEB,
∴AB=DE=7,BE=BC=4,
∴AE=AB-BE=7-4=3.
(2)∵ΔABC≌ΔDEB,∴∠A=∠D=30°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°.
　如图所示的是两个全等的五边形,∠β=115°,d=5,指出它们的对应顶点、对应边与对应
角,并说出图中标的a,b,c,d,e,∠α各字母所表示的值.
〔解析〕　根据能够完全重合的两个图形叫做全等形,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角可得对应顶点,对应边与对应角,进而可得a,b,c,d,e,∠α各字母所表示的值.
解:对应顶点:A和G,E和F,D和J,C和I,B和H.对应边:AB和GH,AE和GF,ED和FJ,CD和JI,BC和HI.对应角:∠A和∠G,∠B和∠H,∠C和∠I,∠D和∠J,∠E和∠F.∵两个五边形全等,∴a=12,c=8,b=10,d=5,e=11,∠α=90°.
13.3　全等三角形的判定
1.熟练掌握边边边定理、边角边定理、角边角定理、角角边定理.
2.会用这些判定方法判定两个三角形全等.
1.让学生通过分类讨论和作图的方法探索三角形全等的判定定理,并让学生用运动变换的方法证实.
2.在探索全等三角形的判定方法的过程中,渗透分类的思想.
3.培养学生观察、概括、归纳的能力.
1.让学生体验分类的思想,培养学生的合作精神.
2.培养学生学习数学的兴趣,体验研究问题的思想和方法.
【重点】　全等三角形的判定方法.
【难点】　能用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.
第课时
1.掌握“边边边”基本事实的内容.
2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.
3.了解三角形的稳定性.
1.利用观察、猜想、操作,归纳获得数学结论.
2.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考及简单的说理.
3.使学生初步探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.
通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
【重点】
1.经历对三角形全等条件的分析与画图验证的过程.
2.能够应用“边边边”去判定两个三角形全等.
3.了解三角形的稳定性.
【难点】　探索三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~8.
【学生准备】　复习全等三角形的性质,准备直尺和圆规.
导入一:
【提出问题】
【课件1】
(1)全等三角形　　　　相等,　　　　相等.?
(2)全等三角形有哪些性质?如图甲所示已知ΔAOC≌ΔBOD,则∠A=∠B,∠C=　　　　,　　　　=∠2,对应边AC=　　　　,　　　　=OB,　　　　=OD.?
(3)如图乙所示,已知ΔAOC≌ΔDOB,则∠A=∠D,∠C=　　　　,　　　　=∠2,对应边AC=　　　　,OC=　　　　,AO=　　　　.?
(4)如图丙所示,已知∠B=∠D,∠1=∠2,∠3=∠4,AB=CD,AD=CB,则Δ　　　　≌Δ　　　　.?
(5)判定两个三角形全等,依定义必须满足(　　)
A.三边对应相等
B.三角对应相等
C.三边对应相等和三角对应相等
D.不能确定
[设计意图]　通过复习,让学生进一步掌握全等三角形的性质,为下一步学习全等三角形的判定方法打下基础.
导入二:
1.通过前面的学习,我们知道如果两个三角形具备三条边和三个角分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.但是要想画一个三角形与已知的三角形全等一定需要六个条件吗?条件能否尽可能少呢?一个条件行吗?两个条件呢?
2.如果给出三个条件画三角形,有哪几种可能的情况?
学生以小组为单位,分工合作,在经历画图的过程中,经过交流总结得出:(1)仅给出一个条件或两个条件时,能画出无数种符合条件的三角形.(2)仅给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
[设计意图]　鼓励学生通过画图、比较、交流,在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论,由此引入课题.
　　[过渡语]　刚才通过复习我们已经完全掌握了全等三角形的性质,下面我们来研究判定三角形全等的方法.
活动一:“边边边”基本事实的探究
思路一
思考:三角形六个元素分别相等,这样的两个三角形一定全等吗?
根据上面的结论,提出问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足上述六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?
组织学生进行讨论交流,经过学生逐步分析,各种情况逐渐明朗,汇总归纳.对学生的良好表现进行鼓励.(使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望)
出示探究1:
【课件2】　先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个,你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?
(1)三角形的两个角分别是30°,50°.
(2)三角形的两条边分别是4 cm,6 cm.
(3)三角形的一个角为30°,一条边为3 cm.
学生剪下按不同要求画出的三角形,比较三角形能否和原三角形重合.
教师引导学生按条件画三角形,再通过画一画,剪一剪,比一比的方式得出结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.
出示探究2:
【课件3】　已知ΔABC,再任意画出一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?
让学生充分交流后,教师明确已知三边画三角形的方法,并作出ΔA'B'C',通过比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.
强调在应用时的简写方法:“边边边”或“SSS”.
[设计意图]　学生通过动手操作、自主探索、交流,获得新知,增强了动手能力,同时也渗透了分类的思想.
实物演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架和用四根木条钉成的四边形的框架,在拉动时,它的大小和形状是否发生变化?
学生经过观察、思考、交流后,独立回答:
(1)三角形具有稳定性,而四边形不具有.
(2)由三角形全等的判定条件“SSS”可知,只要三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就确定了,因此三角形具有稳定性.
想一想:你有什么办法可以使四边形框架在拉动时的形状不发生变化?
可用一根木条连接不相邻的两个顶点.
鼓励学生举出生活中三角形具有稳定性的例子.
[设计意图]　教学中让学生亲自进行操作,能让学生深刻地体会到三角形这一特殊的性质,使学生产生浓厚的学习兴趣,体验数学在生活中应用的广泛性.
思路二
　　[过渡语]　画出任意的几个三角形,有些是全等的,有些不是全等的,大家知道如果ΔABC与ΔA'B'C'满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'这六个条件,就能保证ΔABC≌ΔA'B'C'.请同学们思考能不能找到方法,用较少的条件来判定两个三角形全等呢?下面就一起来找找这些条件.(板书课题:三角形全等的判定)
【课件4】　先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使ΔABC与ΔA'B'C'满足上述六个条件中的一个或两个.你画出的ΔA'B'C'与ΔABC一定全等吗?
【课件5】　小组讨论下面问题:
(1)在两个三角形中,有一个角对应相等,或一条边对应相等,这两个三角形是否一定全等?有两个角对应相等,或两条边对应相等,或一个角和一条边分别对应相等,情况怎样?有三个角对应相等的情况呢?
(2)用来判断两个三角形全等的条件,只有以下三种情况才有可能:三条边对应相等,或两条边和一个角分别对应相等,或两个角和一条边分别对应相等.你认为这些说法对吗?
通过画图可以发现,满足上述六个条件中的一个或两个,ΔABC与ΔA'B'C'不一定全等.满足上述六个条件中的三个,能保证ΔABC与ΔA'B'C'全等吗?我们分情况进行讨论.
【课件6】　分小组活动:
(1)用一根长13 cm的细铁丝,折成一个边长分别是3 cm,4 cm,6 cm的三角形.把你做的三角形和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗?
(2)和同学一起每人用一根13 cm长的细铁丝,余下1 cm,用其余部分折成一个边长分别是3 cm,4 cm,5 cm的三角形,再和同学做的三角形进行比较,它们能重合吗?
(3)每人用一根细铁丝,任取一组能构成三角形的三边长的数据,和同桌分别按这些数据折三角形,折成的两个三角形能重合吗?
(4)先任意画出一个ΔABC,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把画好的ΔA'B'C'剪下,放到ΔABC上,它们全等吗?
如图所示,已知ΔABC,画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.
①画线段B'C'=BC;
②分别以B',C'为圆心,线段AB,AC长为半径画弧,两弧交于点A';
③连接A'B',A'C'.如图所示.
(1)师生互动:
师:通过咱们的试验,可以得出什么结论呢?
生:只要三角形三边的长度确定,这个三角形的形状和大小就完全确定了.
(2)归纳总结基本事实:
如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等.
师:我们把这句话简化一下,用几个字概括,同学们认为什么最合适呢?
生:边边边.
师:可用字母记作“SSS”.
三角形全等的表示:
【课件7】
　将三根木条钉成一个三角形框架,在拉动时,这个三角形框架的形状、大小就不变了.就是说,三角形的三边确定了,这个三角形的形状、大小也就确定了.这里就用到了上面的结论.
用上面的结论可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.
用四根木条钉成四边形框架时,在拉动时,它的形状会改变,所以四边形具有不稳定性.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　我们已经了解了用“边边边”基本事实可以判定两个三角形全等,利用它可以解决生活中的一些实际问题.
【课件8】
　(补充例题)如图所示,ΔABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证ΔABD≌ΔACD.
〔解析〕　要证ΔABD≌ΔACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在ΔABD和ΔACD中,
∴ΔABD≌ΔACD(SSS).
从例题可以看出,证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.
[知识拓展]　(1)有的题目可以直接从图中找到全等的条件,而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中,所以一定要认真读图,准确把握题意,找准所需的条件.
(2)数形结合思想:将“数”与“形”结合起来进行分析、研究,这是解决问题的一种思想方法.
[设计意图]　培养学生的逻辑推理能力,学会用“SSS”条件判断三角形全等.
教师引导学生回顾“作一个角等于已知角”.
已知:∠AOB,求作∠A'O'B'=∠AOB.
教师和学生一起操作.
解:(1)如图所示,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于点D';
(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
想一想,为什么这样作出的∠A'O'B'和∠AOB是相等的?
讨论尺规作图的方法,作一个角等于已知角的理论依据是什么?
[设计意图]　通过复习一个角等于已知角的画法,拓展“边边边”的应用.
两个三角形如果三边对应相等,那么这两个三角形全等,称为“边边边”基本事实,从而可知三角形具有稳定性这一性质,利用两三角形全等,可进行一些相关的计算和证明.
1.如图所示,B,D,C,E在一条直线上,且BC=DE,AC=FD,AE=FB,则BD=　　　　,ΔACE≌　　　　,理由是　　　　.?
解析:∵BC=BD+CD,DE=EC+CD,BC=DE,∴BD=EC.又∵AC=FD,AE=FB,∴ΔACE≌ΔFDB(SSS).
答案:EC　ΔFDB　SSS
2.如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,BE=CF,请添加一个条件:　　　　,使ΔABC≌ΔDEF(SSS).?
解析:添加AC=DF.∵BE=CF,∴BC=EF,∵在ΔABC和ΔDEF中,∴ΔABC≌ΔDEF(SSS).故填AC=DF.
3.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可以判定　　　　.(填序号)?
①ΔABD≌ΔACD;　　②ΔBDE≌ΔCDE;
③ΔABE≌ΔACE.
解析:AE为ΔABE与ΔACE的公共边,∵AB=AC,BE=CE,AE=AE,∴ΔABE≌ΔACE.故填③.
4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.求证∠B=∠D.
解析:先连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴可利用“SSS”证明ΔABC≌ΔADC,∴∠B=∠D.
证明:连接AC,在ΔABC和ΔADC中,
∴ΔABC≌ΔADC,∴∠B=∠D.
第1课时
活动一:“边边边”基本事实的探究
三边分别相等的两个三角形全等(简写为“边边边”或“SSS”)
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第40页练习第1,2题.
2.教材第40页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第40页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,AC=DB,AB=DC,可以由“SSS”判定全等的三角形是　　　　.?
2.如图所示,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定ΔABC≌ΔCDA,则添加直接条件是　　　　.?
3.如图所示,PA=PB,PC是ΔPAB的中线,∠A=55°,求∠B的度数.
解:∵PC是AB边上的中线,
∴AC=　　　?(中线的定义),?
在　　　　中,?
∴　　　　≌　　　　(　　　　)?
∴∠A=∠B(　　　　).?
∵∠A=55°(已知),
∴∠B=55°(　　　　).?
【能力提升】
4.如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.
求证∠A=∠B.
【拓展探究】
5.(1)如图(1)所示,AB=CD,AD=BC,O为AC中点,过O点的直线分别与AD,BC相交于点M,N,那么∠1与∠2有什么关系?请说明理由;
(2)若将过O点的直线旋转至图(2)(3)的情况,其余条件不变,那么图(1)中的∠1与∠2的关系还成立吗?请说明理由.
【答案与解析】
1.ΔABD与ΔDCA,ΔABC与ΔDCB(解析:可以由“SSS”判定全等的三角形是ΔABD与ΔDCA,ΔABC与ΔDCB.∵在ΔABD和ΔDCA中,∴ΔABD≌ΔDCA(SSS).∵在ΔABC和ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).)
2.AB=CD(解析:要利用“SSS”判定两三角形全等,现有AD=CB,AC=CA,则再添加AB=CD即满足条件.)
3.BC　ΔACP和ΔBCP　ΔACP　ΔBCP　SSS　全等三角形的对应角相等　等量代换.
4.解析:根据中点定义求出AC=BC,然后利用“SSS”证明ΔACD和ΔBCE全等,再根据全等三角形对应角相等证明即可.证明:∵C是AB的中点,∴AC=BC,在ΔACD和ΔBCE中,∴ΔACD≌ΔBCE(SSS),∴∠A=∠B.
5.解:(1)∠1与∠2相等.理由如下:在ΔADC与ΔCBA中,∴ΔADC≌ΔCBA(SSS).∴∠DAC=∠BCA.∴DA∥BC.∴∠1=∠2.　(2)成立.②③图形由(1)同理可证ΔADC≌ΔCBA,∴∠DAC=∠BCA,∴DA∥BC,∴∠1=∠2.
教学中教师引导学生观察、操作贯穿教学的始终,让学生感受“边边边”基本事实的得出过程,并通过学生的自主交流,让学生总结出“如果两个三角形的三边对应相等,那么这两个三角形全等”这一判定方法.通过画一画、动一动、剪一剪等活动,极大地调动了学生学习的好奇心和积极性,有利于学生对知识的掌握和提高.在探究三角形的稳定性时,注重联系所学的知识让学生加以说明,提高了学生对知识的应用能力.
1.没能更大限度地给学生创造展示自己的空间,学生的思想的闪光点没有得到充分体现.
2.没能更好地调动学生的积极性,使学生参与课堂学习的程度不够.
3.对例题的讲解没有完全放手让学生自己去解决和操作.
在学生操作的过程中,要让小组合作,用集体的合力去完成,及时展示,及时总结.对于问题的解决和探讨尽量让学生都参与进来,多提问学生.在例题的研究上,以现在学生的能力足可以将例题解决,如果再增加几个例题一起交给学生去研究,研究解决的方法和各个题的结构特点,由学生做一个简单的总结:每种情况应如何做?应注意什么问题?这样会给学生更大的思维空间,也有利于知识的理解和掌握.另外练习的方式、方法应多种多样,不仅可以编制题组进行训练,也可以总结题型之后,由学生自己进行编题,这样不仅能够让学生更加熟悉题型的结构,同时也有助于学生的思维能力的提高,从根本上改进计算不准确的不足,也能更好地调动学生参与的积极性.
练习(教材第40页)
1.证明:在ΔABD和ΔCBD中,∴ΔABD≌ΔCBD.
2.解:三角形具有稳定性.
习题(教材第40页)
A组
1.证明:在ΔABC和ΔDBC中,∴ΔABC≌ΔDBC.
2.证明:∵BF=CD,∴BF+FC=CD+FC,即BC=FD.在ΔABC和ΔEFD中,∴ΔABC≌ΔEFD,∴∠A=∠E.
3.解:∠B=∠C.证明如下:在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD,∴∠B=∠C.
B组
1.证明:在ΔABC和ΔADE中,∴ΔABC≌ΔADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
2.证明:在ΔABD和ΔCDB中,∴ΔABD≌ΔCDB,∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD.
　如图所示,已知AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=BD,能得到∠A=∠D吗?为什么?
〔解析〕　要得到∠A=∠D,可证明它们所在的两个三角形全等,但缺少条件,所以不能直接得到,又AB=DC,AC=BD,若连接BC,则可得到ΔABC≌ΔDCB.
解:能得到∠A=∠D.理由如下:如图所示,连接BC,在ΔABC和ΔDCB中,∴ΔABC≌ΔDCB(SSS),∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
　如图所示,已知AB=DC,AC=BD.求证∠ABO=∠DCO.
〔解析〕　因为BC是ΔABC和ΔDCB的公共边,所以可直接利用“SSS”证全等.
　　证明:在ΔABC与ΔDCB中,
∴ΔABC≌ΔDCB(SSS).
∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.
∴∠ABO=∠DCO.
[方法提示]　在用“边边边”判定两个三角形全等时,要注意公共边这一隐含的条件,当没有公共边时,也可以利用作辅助线的方法构造出公共边.
第课时
1.掌握“边角边”基本事实的内容.
2.能初步应用“边角边”判定两个三角形全等.
1.使学生初步探索三角形全等的过程,体验操作、归纳得出数学结论的过程.
2.体会利用转化的数学思想和方法解决问题的过程.
通过探究三角形全等的基本事实的活动,培养
学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
【重点】　“边角边”基本事实的理解和应用.
【难点】　指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~5,直尺、圆规和剪刀.
【学生准备】　直尺、圆规和剪刀.
导入一:
【提出问题】
【课件1】
1.怎样的两个三角形是全等三角形?全等三角形的性质是什么?三角形全等的判定(SSS)的内容是什么?
2.如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况,一种是角夹在两条边的中间,形成两边一夹角,一种是角不夹在两边的中间,形成两边一对角,如图所示:
[设计意图]　复旧导新,激发学生的学习兴趣,为下面学习做好铺垫,让学生感知“两边一角”的两种情况,建立分类讨论的思想.
导入二:
在社会主义新农村的建设中,工人师傅要做一个和原来同样大小的三脚架,于是他测量了原三脚架的两边的长度和这两边所夹的角的度数.这样就可以做出一个和原来形状大小完全相同的三脚架,你们知道这是为什么吗?学了这节课的内容,同学们一定会有所收获,现在就和老师一起去探索吧!揭示课题——“边角边”判定三角形全等.
导入三:
某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块(如图所示),现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃.请问如果只准带一块碎片,应该带哪一块去?能试着说明理由吗?
利用今天要学的“边角边”知识,带黑色的那块.因为它完整地保留了两边及其夹角,一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定下来了.
[设计意图]　导入二与导入三通过现实中实际的问题,让学生感受数学知识在生活中的应用,从而产生探索知识的欲望,增强学生学习数学的兴趣,树立爱数学、学数学的良好情感.
　　[过渡语]　刚才通过讨论我们知道两边一角有两种情况,首先我们先研究其中的两边一夹角.
活动一:“边角边”基本事实的探究
思路一
1.先任意画一个ΔABC,如图1所示,再画一个ΔA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,∠A'=∠A.(即两边和它们的夹角相等)
说明:要画三角形,首先要确定三角形的三个顶点.
解:如图2所示.(1)画∠DA'E=∠A;
(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC;
(3)连接B'C'.
肯定学生中好的画法,并让学生与教材中的画法进行比较,确定正确的画法.(进一步学习三角形的画法,从实践中体会两个三角形全等的条件)
2.引导学生剪下三角形,看是不是与原三角形全等.
得出结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
也就是说,三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了,这个三角形的形状、大小就确定了.
用符号语言表述为:
在ΔABC与ΔA'B'C'中,
∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SAS).
[知识拓展]　“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.
3.【课件2】　问题:如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其中一边的对角相等”,那么这两个三角形还全等吗?
根据学生的讨论,教师应该及时点拨,必要时可以画反例图形.
通过反例证明:已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等不一定成立.(让学生了解推翻一个结论可以通过举反例)
思路二
1.引导学生画一个三角形,使它的两条边分别是1.5 cm,2.5 cm,并且使长为1.5 cm的这条边所对的角是30°.(小组交流后比较画出的图形是否全等,小组内选代表发言)
【课件3】　如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出ΔABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到ΔABD.这个试验说明了什么?
教师让学生观察运动过程,并加以分析.指出:两个三角形的两条边和其中一条边的对角分别相等时,这两个三角形不一定全等.
2.画一个ΔABC,使AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°.比较小组内成员所画的三角形是否全等.
出示教材第41页“一起探究”和观察与思考.
(让学生动手操作,提高学生的动手能力和小组合作学习的能力,从而让学生发现“边角边”定理)
【提出问题】　通过刚才的操作,你能得出什么结论?
学生交流后得出基本事实:即“如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等”.
简记为“边角边”或“SAS”.
出示教材第42页“大家谈谈”,说明全等三角形的性质在生活中的广泛应用.在判定两个三角形全等时,经常要用到对顶角、公共角或公共边.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　根据“SAS”我们可以判定两个三角形全等,在判定的时候要先确定相等的两组边和这两条边所夹的角.
【课件4】
　已知:如图所示,AD∥BC,AD=CB.求证:ΔADC≌ΔCBA.
〔解析〕　根据两直线平行,内错角相等得到∠1=∠2.再根据“SAS”进行判定,注意AC是两个三角形的公共边.
(学生写出推理过程,教师找一名学生到黑板板演,然后教师讲评)
【课件5】
　(补充例题)如图所示,为了测量出池塘两端A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间的距离.你能说明其中的道理吗?
教师引导学生把实际问题转化为数学问题,观察图形中有没有全等的三角形,如果要证全等三角形,还需要哪些条件?
〔解析〕　此题只需说明ΔABC≌ΔADC即可,这两个三角形都是直角三角形,而且夹直角的两边对应相等.
想一想:在题目中哪两个角相等?依据的是什么?
解:因为∠ACB=90°,
所以∠ACD=180°-∠ACB=90°.
又因为BC=DC,AC=AC,
所以ΔABC≌ΔADC(SAS),
所以AB=AD(全等三角形的对应边相等).
小结:从例2可以看出:因为全等三角形的对应边相等、对应角相等,所以证明线段相等或角相等时,可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
[知识拓展]　在利用“SAS”判定两个三角形全等时,要注意这个角是不是两个三角形的公共角、对顶角.
巩固练习:
如图所示,根据题目条件,判断每组中的三角形是否全等.
(1)在图(1)中,AC=DF,∠C=∠F,BC=EF;
(2)BC=BD,∠ABC=∠ABD.
解:(1)全等.　(2)全等.
[设计意图]　通过例题和练习使学生掌握用“边角边”判定两个三角形全等的方法.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“边角边”或“SAS”.
注意:三角形全等的基本事实“SAS”中的相等的角必须是夹角,否则这两个三角形不一定全等,即有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
1.如图所示,已知AB∥CD,A,E,F,D在一条直线上,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.0对
解析:∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∵AB=CD,AE=FD,∴ΔABE≌ΔDCF(SAS),∴BE=CF,∠BEA=∠CFD,∴∠BEF=∠CFE,∵EF=FE,∴ΔBEF≌ΔCFE(SAS),∴BF=CE,∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE,∴ΔABF≌ΔDCE(SSS).∴全等的三角形共有3对.故选C.
2.如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠E,则下列能直接应用“SAS”判定ΔABC≌ΔDEF的条件可以是 (　　)
A.BF=EC B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF D.∠A=∠D
解析:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS).在ΔABC中,夹∠B的两边是AB,BC,在ΔDEF中,夹∠E的两边是DE,EF,而BC=BF+FC,EF=CE+CF,要使BC=EF,则BF=EC.故选A.
3.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,欲证ΔABD≌ΔACE,需补充的条件可以是 (　　)
A.∠B=∠C B.∠D=∠E
C.∠1=∠2 D.∠CAD=∠DAC
解析:∵AB=AC,AD=AE,∠B=∠C不是已知两边的夹角,∴A不可以作为条件;∠D=∠E不是已知两边的夹角,∴B不可以作为条件;由∠1=∠2得∠BAD=∠CAE,符合“SAS”,可以作为补充的条件;∠CAD=∠DAC不是已知两边的夹角,∴D不可以作为条件.故选C.
4.看图填空:
已知:如图所示,BC∥EF,AD=BE,BC=EF.
试说明ΔABC≌ΔDEF.
解:∵AD=BE,
∴　　　　=BE+DB,?
即　　　　=　　　　.?
∵BC∥EF,
∴∠　　　　=∠　　　　(两直线平行,同位角相等).?
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(SAS).
解析:由AD=BE,利用等式性质,可得AB=DE,再由BC∥EF,利用平行线性质,可得∠ABC=∠DEF,又BC=EF,所以利用“SAS”可得ΔABC≌ΔDEF.
答案:AD+DB　AB　DE　ABC　DEF　AB=DE　∠ABC=∠DEF　BC=EF
第2课时
活动一:“边角边”基本事实的探究
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)
活动二:例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第43页练习第1,2,3题.
2.教材第43页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第44页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,已知∠1=∠2,要使ΔABC≌ΔADE,还需条件 (　　)
A.AB=AD,BC=DE
B.BC=DE,AC=AE
C.∠B=∠D,∠C=∠E
D.AC=AE,AB=AD
2.如图所示,BD,AC交于点O,若OA=OD,用“SAS”说明ΔAOB≌ΔDOC,还需 (　　)
A.AB=DC B.OB=OC
C.∠BAD=∠ADC D.∠AOB=∠DOC
3.如图所示,如果AB=AC,　　　　,根据“SAS”,即可判定ΔABD≌ΔACE.?
【能力提升】
4.完成下面的证明过程:
如图所示,已知AD∥BC,A,E,F,C在一条直线上,AD=CB,AE=CF.
求证:∠D=∠B.
证明:∵AD∥BC,
∴∠A=∠　　　　(两直线平行,　　　　相等).?
∵AE=CF,
∴AF=　　　　.?
在ΔAFD和ΔCEB中,
∴ΔAFD≌ΔCEB(SAS),
∴　　　　=　　　　.?
【拓展探究】
5.(1)如图所示,方格纸中的ΔABC的三个顶点分别在小正方形的格点(顶点)上,称为格点三角形.请在方格纸上按下列要求画图.
在图①中画出与ΔABC全等且有一个公共顶点的格点三角形A'B'C';
在图②中画出与ΔABC全等且有一条公共边的格点三角形A″B″C″.
(2)先阅读,然后回答问题:
如图所示,D是ΔABC中BC边上的一点,E是AD上一点,AB=AC,EB=EC,∠BAE=∠CAE,试说明ΔAEB≌ΔAEC.
解:在ΔAEB和ΔAEC中,
因为AB=AC,∠BAE=∠CAE,EB=EC,…第1步
所以根据“SAS”可以知道ΔAEB≌ΔAEC.…第2步
上面的解题过程正确吗?若正确,请写出每一步推理的依据;若不正确,请指出错在哪一步,并写出你认为正确的过程.
【答案与解析】
1.D(解析:∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,∴∠BAC=∠DAE,A,B选项都不是夹∠BAC和∠DAE的两个对应边,故A,B选项错误;C.根据三个角对应相等,不能判定两三角形全等,故C选项错误;D.是夹∠BAC和∠DAE的两个对应边,故本选项正确.)
2.B(解析:还需OB=OC.∵OA=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴ΔAOB≌ΔDOC(SAS).)
3.AD=AE(解析:AB=AC,∠A为两三角形的公共角,又AD=AE,∴ΔABD≌ΔACE(SAS).)
4.C　内错角　CE　∠D　∠B
5.解:(1)答案不唯一,如图所示. 　(2)上面的解题过程错误,错在第1步.在ΔAEB和ΔAEC中,∵AB=AC,∠BAE=∠CAE,EA=EA,∴ΔAEB
≌ΔAEC(SAS).
这节课是三角形全等判定的第二节新课,目的是让学生掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法,经历探索“已知两边及一角”对应相等的三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题,培养学生合作精神,通过画图、比较、验证,培养学生注重观察、善于思考、不断总结的良好思维习惯,本节教学比较成功的地方有以下几点:(1)目标明确,重点突出;(2)方法得当,充分调动了学生学习的积极性;(3)关注每一位学生,知识落实好;(4)体现了新课程的理念.从学生角度来说:(1)学生自己动手操作,由感性认识上升到理性认识,训练了思维能力;(2)在课堂上能合作交流,不止学习了知识,情感也得到了释放和发展;(3)对三角形全等的判定(SAS)掌握得较好.
1.学生作图的过程不够规范,有的学生作图不
够认真,导致在观察比较的时候产生偏差.
2.学生在探讨两边一对角对应相等的两个三角形不一定全等的时候,对其理解得不够好,教师指导点拨不够到位.
对于学生的作图,教师一定要随时检查学生的情况,及时指导,不能太放手,要进行必要的巡视指导.对于已知两边及一角的两个三角形是否全等的分析讨论中,尽量让学生讲题说理,通过图形观察得到结论.明确现实生活中存在的问题,从而得到已知两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.当学生无法举出反例时,可指导学生画图操作,通过已知条件作出两个完全不同的图形,从而让学生明确已知两边及一对角对应相等的两个三角形不一定全等的道理.
练习(教材第43页)
1.证明:在ΔABC和ΔDCB中, ∴ΔABC≌ΔDCB(SAS).
2.证明:在ΔAOB和ΔCOD中, ∴ΔAOB≌ΔCOD,∴AB=CD.
3.证明:∵BD=FC,∴BD+DC=FC+DC,即BC=FD,∵AC∥DE,∴∠ACB=∠EDF.在ΔABC和ΔEFD中,∴ΔABC≌ΔEFD,∴∠B=∠F,∴AB∥FE.
习题(教材第43页)
A组
1.提示:(1)全等,SAS.　(2)全等,SAS.　(3)全等,SSS.
2.证明:在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴∠B=∠C.
3.证明:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在ΔABC和ΔADE中,∴ΔABC≌ΔADE,∴∠B=∠D.
B组
1.证明:在ΔAEB和ΔAEC中,∴ΔAEB≌ΔAEC,∴∠BAE=∠CAE.在ΔABD和ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD,∴BD=CD.
2.(1)解:如图所示.
　(2)证明:∵∠ACB=∠DCE,在ΔACB和ΔDCE中, ∴ ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴ DE=AB.
本节课的重点和难点就是理解并掌握“SAS”.在教学时可以引导学生进行讨论:如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?此时应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角.在“边边角”这种情况下,还可以再细分“角是哪一条边所对的角”,进一步让学生理解“夹角”和“对角”的含义,全班学生可根据已知的两条线段和一个角,分别以“这个角为这两条边的夹角”和“以长的线段为已知角的邻边,短的线段为已知角的邻边”画两个三角形,然后全班同学进行比较,让学生明确如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.
　如图所示,在ΔABC和ΔDAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证ΔABD≌ΔAEC.
〔解析〕　根据∠BAC=∠DAE,可得∠BAD=∠CAE,再根据三角形全等的条件得出结论.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠BAD=∠CAE,
在ΔABD和ΔAEC中,
∴ΔABD≌ΔAEC(SAS).
　如图所示,点C,F在线段BE上,BF=EC,∠1=∠2,请你添加一个条件,使ΔABC≌ΔDEF,并加以证明.(不再添加辅助线和字母)
〔解析〕　先求出BC=EF,添加条件AC=DF,根据“SAS”证出两三角形全等即可.
解:添加AC=DF.证明如下:
∵BF=EC,∴BF-CF=EC-CF,
∴BC=EF,
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF.
第课时
1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.
2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.
使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.
通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.
【重点】　“角边角”及“角角边”的内容.
【难点】　分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.
【教师准备】　课件1~5,直尺、圆规等.
【学生准备】　直尺、圆规等.
导入一:
教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.
这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边.
[设计意图]　让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.
导入二:
1.复习旧知:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
(三个角、三个边、两边一角、两角一边)
(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?
2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.
导入三:
【课件1】　如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?
要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.
[设计意图]　激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.
　　[过渡语]　在两角一边中有两种情况,下面我们就来研究这两种情况,即两角一夹边,两角一对边.
活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究
思路一
做一做:
【课件2】　三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.
同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?
【学生活动】　自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.
【教师活动】　检查指导,帮助有困难的同学.
活动结果展示:
以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).
师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?
生:能.
学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.
生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;
(2)画线段A'B',使A'B'=AB;
(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;
(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.
将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.
教师出示图形:
于是我们发现规律:
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
这又是一个判定两个三角形全等的方法.
[知识拓展]　“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边.
书写格式:
在ΔABC和ΔA'B'C'中,所以ΔABC≌ΔA'B'C'.
出示探究问题:
【课件3】　如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,ΔABC与ΔDEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?
〔解析〕　如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明ΔABC和ΔDEF全等,由三角形内角和定理可以证明∠C=∠F.
证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°,∠A=∠D,∠B=∠E,
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F.
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
于是得规律:
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[知识拓展]　“角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.
思路二
一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性
1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:
(1)ΔABC,其中∠A=35°,∠B=65°,AB=5 cm;
(2)ΔDEF,其中∠D=70°,∠E=50°,∠E的对边DF=4 cm.
注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.
2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.
结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.
3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.
结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.
二、证明“ASA”定理
教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.
教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:
如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).
三、证明“AAS”定理
教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:
【课件4】　如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.
教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.
证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?
教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.
教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS”(或角角边).
学生证明后,教师边讲解边板书.
教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同.
活动二:例题讲解
【课件5】
　已知:如图所示,AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF.求证:ΔABC≌ΔDEF.
[师生共析]　根据AD=BE,得到AB=DE;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA”即可得到ΔABC≌ΔDEF.
证明:∵AD=BE(已知),
∴AB=DE(等式的性质).
∵BC∥EF(已知),
∴∠ABC=∠E(两直线平行,同位角相等).
在ΔABC和ΔDEF中,
∵
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.
【学生活动】　自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.
知识点一:“角边角”判定三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.
这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.
知识点二:“角角边”判定三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
该判定是通过“ASA”推导得出的,今后可以直接用“AAS”来判定两个三角形全等,它是“ASA”的一个推论.
1.如图所示,给出下列四组条件:
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;
④∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DE
其中,能证明ΔABC≌ΔDEF的条件共有 (　　)
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
解析:①符合“SSS”,②符合“SAS”,③符合“ASA”,这3组都能证明ΔABC≌ΔDEF;④不符合“AAS”,不能证明ΔABC≌ΔDEF,故本组不正确.所以有3组条件能证明ΔABC≌ΔDEF.故选C.
2.如图所示,在ΔABC与ΔDEF中,给出以下六个条件:
(1)AB=DE;(2)BC=EF;
(3)AC=DF;(4)∠A=∠D;
(5)∠B=∠E;(6)∠C=∠F.
以其中三个作为已知条件,不能判断ΔABC与ΔDEF全等的是 (　　)
A.(1)(5)(2) B.(1)(2)(3)
C.(4)(6)(1) D.(2)(3)(4)
解析:A.正确,符合判定方法“SAS”;B.正确,符合判定方法“SSS”;C.正确,符合判定方法“AAS”;D.不正确,不符合全等三角形的判定方法.故选D.
3.如图所示,已知∠CAE=∠DAB,AC=AD.给出下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能判定ΔABC≌ΔAED的条件为　　　　.(注:把你认为正确的答案序号都填上)?
解析:∵∠CAE=∠DAB,∴∠CAE+∠EAB=∠DAB+∠EAB,即∠CAB=∠DAE.又AC=AD,∴要判定ΔABC≌ΔAED,可添加的条件为:①AB=AE(SAS);③∠C=∠D(ASA);④∠B=∠E(AAS).故填①③④.
4.如图所示,点E,C,D,A在同一条直线上,AB∥DF,ED=AB,∠E=∠CPD.求证ΔABC≌ΔDEF.
解析:首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B,再利用“ASA”证明ΔABC≌ΔDEF.
证明:∵AB∥DF,
∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE,
∵∠E=∠CPD,∴∠E=∠B,
在ΔABC和ΔDEF中,
∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).
第3课时
活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第46~47页练习第1,2题.
2.教材第47页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第47~48页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各条件中,不能判定两个三角形必定全等的是 (　　)
A.两边及其夹角对应相等
B.三边对应相等
C.两角及一角的对边对应相等
D.两边及一边的对角对应相等
2.如图所示,ΔABC和ΔDEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列一个条件无法证明ΔABC≌ΔDEF的是 (　　)
A.AC∥DF B.∠A=∠D
C.AC=DF D.∠ACB=∠F
3.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:①ΔBCD≌ΔCBE;②ΔBAD≌ΔBCD;③ΔBDA≌ΔCEA;④ΔBOE≌ΔCOD;⑤ΔACE≌ΔBCE.上述结论一定正确的是(提示:等腰三角形的两底角相等;在三角形中,两个相等的角所对的边相等) (　　)
A.①②③ B.②③④
C.①③⑤ D.①③④
4.如图所示,下列各组条件,不能判定ΔABC≌ΔA'B'C'的一组的是 (　　)
A.AC=A'C',∠B=∠B',BC=B'C'
B.A=∠A',∠B=∠B',AC=A'C'
C.AB=A'B',∠A=∠A',AC=A'C'
D.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
【能力提升】
5.如图所示,有两个四边形ABCD,EFGH,其中甲、乙、丙、丁分别表示ΔABC,ΔACD,ΔEFG,ΔEGH.若∠ACB=∠CAD=∠EFG=∠EGH=70°,∠BAC=∠ACD=∠EGF=∠EHG=50°,则下列叙述正确的是 (　　)
A.甲、乙全等,丙、丁全等
B.甲、乙全等,丙、丁不全等
C.甲、乙不全等,丙、丁全等
D.甲、乙不全等,丙、丁不全等
6.要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上(如图所示),可以说明ΔEDC≌ΔABC,得ED=AB,因此测出ED的长就是AB的长,判定ΔEDC≌ΔABC最恰当的理由是 (　　)
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.边边角
7.如图所示,∠ABC=∠DEF,AB=DE,试说明ΔABC≌ΔDEF,
(1)若以“SAS”为依据,还需添加的一个条件为　　　　;?
(2)若以“ASA”为依据,还需添加的一个条件为　　　　;?
(3)若以“AAS”为依据,还需添加的一个条件为　　　　.?
【拓展探究】
8.如图所示,AB∥CD,∠ACD的平分线CP交AB于点E,在线段CE上取一点F,连接AF.要使ΔACF≌ΔAEF,还需要添加一个什么条件?请你写出这个条件,并证明ΔACF≌ΔAEF.(只要给出一种情况即可,图中不再增加字母和线段)
【答案与解析】
1.D(解析:A.符合“SAS”;B.符合“SSS”;C.符合“AAS”;D.符合“SSA”,所以不能够判定两三角形一定相等.)
2.C(解析:∵AB=DE,∠B=∠DEF,∴添加AC∥DF,得出∠ACB=∠F,即可证明ΔABC≌ΔDEF,故A,D都正确;当添加∠A=∠D时,根据“ASA”,也可证明ΔABC≌ΔDEF,故B正确;但添加AC=DF时,没有“SSA”定理,所以不能证明ΔABC≌ΔDEF,故C不正确.)
3.D(解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE.∴①ΔBCD≌ΔCBE(ASA);
③ΔBDA≌ΔCEA(ASA);④ΔBOE≌ΔCOD(AAS或ASA).)
4.A(解析:A.根据“SSA”不能证得ΔABC≌ΔA'B'C',故本选项符合题意;B.根据“AAS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C';C.根据“SAS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C';D.根据“SSS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C'.故B,C,D不符合题意.)
5.B(解析:∵∠ACB=CAD=70°,∠BAC=∠ACD=50°,AC为公共边,∴ΔABC≌ΔCDA,即甲、乙全等;ΔEHG中,∠EGH=70°≠∠EHG=50°,即EH≠EG,虽然∠EFG=∠EGH=70°,∠EGF=∠EHG=50°,但ΔEFG不全等于ΔEGH,即丙、丁不全等.综上所述,甲、乙全等,丙、丁不全等,B正确.)
6.B(解析:∵BF⊥AB,DE⊥BD,∴∠ABC=∠BDE=90°,又∵CD=BC,∠ACB=∠DCE,∴ΔEDC≌ΔABC(ASA).)
7.(1)BC=EF或BE=CF　(2)∠A=∠D　(3)∠ACB=∠DFE
8.解析:添加的条件可以是AF⊥CE,首先根据角平分线的性质可得∠ACP=∠PCD,再根据平行线的性质可得∠AEC=∠PCD,进而得到∠ACE=∠AEC,再根据AF⊥CE,可得∠AFC=∠AFE=90°.再加上条件AF=AF可利用“AAS”证明ΔACF≌ΔAEF.解:答案不唯一,添加的条件可以是AF⊥CE.证明如下:∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD.∵AB∥CD,∴∠AEC=∠PCD.∴∠ACE=∠AEC.∵AF⊥CE,∴∠AFC=∠AFE=90°.在ΔACF和ΔAEF中,∴ΔACF≌ΔAEF(AAS).
本节课的教学教师分别对两角一边的两种情况(两角一夹边和两角一对边)的两个三角形是否全等进行讨论,通过学生的作图与操作,让学生自主探索、合作交流,让学生总结出“角边角”基本事实的内容,以加深学生对“角边角”的理解,然后通过对比“角边角”,证明归纳出“角角边”定理,通过对例题的讲解进一步巩固了学生对知识的理解和掌握,提高了学生对“角边角”和“角角边”的理解和应用能力.教师在课堂教学中尽量为学生提供“做中学”的空间,让学生进行小组合作学习,在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法,遵循“教是为了不教”的原则,让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理.在整个教学过程中,注重体现