【完全解读】2016年秋八年级数学上册 14 实数教学案 （新版）冀教版

第十四章　实　数
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根.
2.会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求数的平方根与立方根.
3.了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点的一一对应关系.
4.了解在实数范围,相反数、倒数和绝对值的意义.
5.会进行实数大小的比较和实数的近似计算.
6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
1.类比有理数的有关概念和运算律来学习实数,体现了知识的前后联系以及数系发展的规律.
2.让学生感受现实生活中存在无理数,从而认识到学习无理数的必要性.
1.通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣.
2.鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,增加学生的自我意识和集体责任感.
本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.
本章通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.
学习本章之后,数的范围扩充到了实数,今后若无特别说明,所研究的数与代数的内容(一元一次不等式、二次根式、函数等)一般都在实数范围内进行.因此,本章内容是学习后继内容的前提和基础,对于发展学生的数感、用数学思想理解和解释现实问题、提高学生的数学素养有着重要的意义.
另外,本章是中考的重要内容,常考的考点有求一个非负数的算术平方根、平方根的概念和性质、立方根的意义及运算、比较两个实数的大小、无理数的识别等.题型以填空题、选择题为主,也有与其他知识相综合的解答题,一般难度不大.
【重点】
1.平方根、算术平方根的意义,立方根的意义.
2.无理数的意义以及实数的概念.
【难点】
1.平方根、算术平方根的概念,二者之间的区别和联系.
2.实数的概念.
1.概念的形成过程也是一个思考的过程,所以要关注学生对概念的理解和认识,引导学生积极参与探究活动,经历归纳概括、发现新知的过程,逐步提高学生的思维水平.
2.关注学生的探究和发现过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生在小组间通过合作与交流的方式解决问题.
3.注意知识间的相互联系和区别,实数的概念、运算法则、运算律等,都可以通过类比有理数来获得,这样能较好地体现新旧知识的联系.如实数的绝对值、相反数和倒数等概念都是类比有理数直接得出的.同时,也要注意到它们之间的区别,如无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数,有理数和数轴上的点不是一一对应的,而实数和数轴上的点是一一对应的等.
4.教师在学生活动的过程中,要鼓励学生积极大胆地发表自己的意见,特别是学生与众不同的意见,要有意识地培养学生求异思维的能力和不断创新的欲望.
5.在解决实际问题的过程中,如果遇到复杂的计算问题,应允许学生用计算器进行计算.
6.在进行实数的大小比较以及用有理数估计无理数的范围等问题中,要控制好问题的难度,不要超出教材的要求.
14.1平方根
2课时
14.2立方根
1课时
14.3实　数
3课时
14.4近似数
1课时
14.5用计算器求平方根与立方根
1课时
回顾与反思
1课时
14.1　平方根
1.了解一个数的平方根、算术平方根及开平方的意义.
2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根.
1.通过探究,了解开平方与平方是互逆运算.
2.会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根.
通过学习,体验数学知识来源于实践,是由于生活或生产的需要而产生、发展的.
【重点】　平方根、算术平方根的概念及求法.
【难点】　有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.
第课时
1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.
2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.
3.知道±表示的是非负数a的平方根.
在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.
1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.
2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.
【重点】　平方根、算术平方根的概念及求法.
【难点】　有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.
【教师准备】　课件1~7.
【学生准备】　平方的相关计算.
导入一:
我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.
[设计意图]　新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.
导入二:
小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁
的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.
几秒之后提问:同学们,你们知道吗?
[设计意图]　设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.
导入三:
玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100 cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125 dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.
[设计意图]　好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.
活动一:做一做——感知平方根
　　[过渡语]　通过导入一我们知道当护栏的边长是10 m时,正方形花圃的面积是100 m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.
思路一
【课件1】
1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?
2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?
3.满足x2=25的x的值是多少?
解:1.,100.　2.,-,10,-10.　3.5,-5.
教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.
因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.
归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根.
你能说出49,144的平方根吗?
(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)
[设计意图]　使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.
【课件2】　填写下表:
x
…
-3
-
-1
0
1
3
…
x2
…
…
　　学生填完表格后,引导学生观察:
(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?
(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?
(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?
(4)负数有平方根吗?
学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:
(1)它们的平方相等.
(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
(3)0有一个平方根,是0本身.
(4)负数没有平方根.
说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.
教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;±记作±,读作“正、负根号a”.
【课件3】　观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.
[设计意图]　理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.
思路二
说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10 m.
教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
因为52=25,所以5是25的一个平方根.
说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.
问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?
学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.
问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?
(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)
【课件4】　求100的平方根.
问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?
问2:你能正确书写解题过程吗?
解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).
说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.
【课件5】　试一试.
(1)144的平方根是什么?
(2)0.0001的平方根是什么?
(3)0的平方根是什么?
讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?
总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.
2.0的平方根是0.
由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.
[设计意图]　进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.
问1:-4有没有平方根?为什么?
学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.
结论:
1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.
2.0的平方根只有一个,为0.
3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)
问2:a有没有平方根?为什么?
结合问1:当a≥0时,a有平方根;当a<0时,a没有平方根.
[设计意图]　引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.
注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.
说明:正数a的两个平方根记为±,其中a叫做被开方数.如4的平方根为±,被开方数是4;0.01的平方根为±,被开方数是0.01.
活动二:例题讲解
　　[过渡语]　我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.
【课件6】
　求下列各数的平方根.
(1)81;　(2);　(3)0.04.
指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.
解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.
(2)因为,所以的平方根为±,即±=±.
(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±=±0.2.
教师规范书写格式.
思考:±表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?
-又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?
学生讨论回答.
【课件7】
(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.
-64,0,(-4)2.
学生分组讨论,选派一名代表回答.
解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.
[知识拓展]　(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.
(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);②已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.
[设计意图]　通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.
平方根的定义
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
表示方法
当a为正数时,a的平方根为±.
平方根的性质
(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
(2)0只有一个平方根,是0本身.
(3)负数没有平方根.
1.(2015·黄冈中考)9的平方根是 (　　)
A.±3 B.±
C.3 D.-3
解析:9的平方根是±=±3.故选A.
2.(2015·威海模拟)(-2)2的平方根是 (　　)
A.-2 B.2 C.±2 D.4
解析:(-2)2=4,4的平方根为±2.故选C.
3.下列说法正确的是 (　　)
A.-81的平方根是±9
B.任何数的平方是非负数,因而任何数的平方根也是非负数
C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D.2是4的平方根
解析:A.由于负数没有平方根,故A选项错误;B.任何数的平方为非负数,正确,但只有非负数才有平方根,且平方根有正负之分(0的平方根为0),故选项B错误;C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数,不一定正确,如:当0a,故选项C错误;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故选项D正确.故选D.
4.下列各数中没有平方根的是 (　　)
A.0 B.-82
C. D.-(-3)
解析:A.0的平方根是0,故错误;B.-82=-64<0,没有平方根,故正确;C.,有平方根,故错误;D.-(-3)=3,有平方根,故错误.故选B.
5.“4的平方根是±2”翻译成数学语言是 (　　)
A.=±2 B.-=-2
C.-=2 D.±=±2
解析:4的平方根是±2,可以写成±=±2.故选D.
6.下列说法正确的是 (　　)
A.0.25是0.5的一个平方根
B.72的平方根是7
C.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0
D.负数有一个平方根
解析:A.±=±0.25,故A错误;B.±=±7,故B错误;C.一个正数的平方根互为相反数,互为相反数的两个数的和为0,故C正确;D.负数没有平方根,故D错误.故选C.
7.求下列各数的平方根.
(1)0;　(2);　(3).
解析:直接进行开平方运算即可.注意0的平方根为0,一个正数的平方根有两个,且互为相反数.
解:(1)0的平方根为0.
(2)的平方根为±=±.
(3)的平方根为±=±.
8.一个正数x的平方根是3a-4与8-a,则a和这个正数是多少?
解析:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得出3a-4+8-a=0,求出a的值,即可求出答案.
解:根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,则这个正数为(-10)2=100.
第1课时
活动一:做一做——感知平方根
活动二:例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第62页练习第1,2,3题.
2.教材第62页习题A组第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第63页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.3的平方根是 (　　)
A.9 B. C.- D.±
2.以下叙述中错误的是 (　　)
A.±=±0.5 B.±=0.5
C.0的平方根是0 D.1是1的平方根
3.的平方根是 (　　)
A.± B.± C. D.
4.若x满足x2=,则x的值为 (　　)
A. B.- C.± D.±
5.下列说法正确的是 (　　)
A.-4是-16的平方根
B.4是(-4)2的平方根
C.(-6)2的平方根是-6
D.的平方根是±4
【能力提升】
6.求下列各数的平方根.
(1)36;　(2);　(3)1;　(4)1;　(5)0.09.
7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根.
8.求下列各式中的x的值.
(1)4(x-1)2=25;　(2)9(x2+1)=10.
【拓展探究】
9.已知x2+2015的一个平方根是,求x2的平方根.
10.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5,求m+3n的平方根.
【答案与解析】
1.D(解析:∵(±)2=3,∴3的平方根为±.故选D.)
2.B(解析:±表示0.25的平方根,为±0.5,故B错误.故选B.)
3.A(解析:∵,∴的平方根是±,∴ 的平方根是±.故选A.)
4.C(解析:∵x2=,∴x=±.故选C.)
5.B(解析:A.因为-16<0,所以-16没有平方根,故A选项错误;B.因为(-4)2=16,42=16,所以4是(-4)2的平方根,故B选项正确;C.因为(-6)2=36,所以(-6)2的平方根是±6,故C选项错误;D.因为=4,所以的平方根是±2,故D选项错误.故选B.)
6.解:(1)∵(±6)2=36,∴36的平方根是±6,即±=±6.　(2)∵,∴的平方根是±,即±=±.　(3)∵(±1)2=1,∴1的平方根是±1,即±=±1.　(4)∵±2==1,∴1的平方根是±,即±=±.　(5)∵(±0.3)2=0.09,∴0.09的平方根是±0.3,即±=±0.3.
7.解:∵(a-2)2+|b-8|=0,∴a=2,b=8,∴,∴±=±.
8.解:(1)4(x-1)2=25,开平方得2(x-1)=±5,解得x=3.5或-1.5.　(2)9(x2+1)=10,9x2=1,x2=,x=±.
9.解:根据题意得x2+2015=2016,即x2=1,则1的平方根为±1.
10.解:∵2m+2的平方根是±4,∴2m+2=16,解得m=7.∵3m+n+1的平方根是±5,∴3m+n+1=25,即21+n+1=25,解得n=3,∴m+3n=7+3×3=16,∴m+3n的平方根为±4.
本堂课一开始直接从现实生活中提出问题,由问题引入新知识,从而激发学生研究问题、解决问题的欲望.
然后在一系列练习中提出问题,直观地得出一个非负数的平方根的特点,加深对概念的理解,其间不断组织学生自主思考、互相交流,培养学生独立思考的能力和团队协作的精神.
1.对于平方根性质的得出,教师没有进行适当的归类,在知识的总结上学生感觉到吃力.
2.教学的过程中,在求平方根的时候,部分学生书写还不够规范,教师示范不够到位.
3.教材中涉及的求平方根的计算题,都是直接能够得到有理数的,没有体现知识的拓展和迁移,知识呈现过于局限.
1.对于平方根性质的得出,教师要在设计题型上进行归纳,多举些例子,让学生发现、总结规律.
2.在规范书写格式上,教师要通过多媒体展示、个别指导等方式,通过练习,使学生的书写格式做到规范.
3.对于平方根的计算,可出几个开平方开不尽的数,如求2的平方根等,使学生认识到2的平方根就是±,不能再进行化简.
练习(教材第62页)
1.±6　±7　±11　±0.4　±0.08　±104
2.解:(1)±=±5.　(2)±=±12.　(3)±=±0.7.　(4)±=±0.9.　(5)± =±.　(6)± =±.
3.解:(1)12是144的平方根.　(2)169的负的平方根是-13.　(3)±0.3不是0.9的平方根.因为(±0.3)2=0.09≠0.9,所以±0.3不是0.9的平方根.
习题(教材第62页)
A组
1.解:第一行依次填±0.3,±7,±14.第二行依次填25,64,.
2.解:(1)正确.因为12=1,所以1是1的平方根.　(2)不正确.因为(±1)2=1,所以1的平方根是±1.　(3)不正确.因为(-2)2=4,(-2)2的平方根即为4的平方根,所以(-2)2的平方根为±2.
(4)不正确.因为-1没有平方根.
3.解:(1)±=±15.　(2)±=±40.　(3)±=±.　(4)±=±0.6.　(5)±=±0.12.
4.解:设较大的鱼池的边长为x m,根据题意得x2-602=4500,即x2=8100,因为(±90)2=8100,所以x=±90,又因为x>0,所以x=90.答:这个较大的鱼池的边长为90 m.
B组
1.解:(1)± =±.　(2)±=±140.　(3)±=±1.7.　(4)±=±10-3.
2.解:设每块地板砖的边长是x m.根据题意得50x2=18,解得x2=0.36,因为(±0.6)2=0.36,所以x=±0.6,又因为x>0,所以x=0.6.答:每块地板砖的边长为0.6 m.
教学时通过情境使学生认识到平方根产生于实际需要,对于开平方这一运算要多与平方运算相联系,从根本上理解开平方运算.让学生体会用平方运算求一个非负数的平方根,用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程.对于平方根的性质,要让学生自己去发现规律并用自己的语言加以表述,从而加深对平方根概念的认识.尽量让学生多举一些求平方根的例子,自己总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;一个负数没有平方根”.
　求下列各式中的x的值.
(1)x2+5=7;　(2)2(x-1)2-8=0.
〔解析〕　(1)根据移项法则把原式化为x2=2的形式,根据平方根的概念解答即可;(2)根据移项法则把原式化为(x-1)2=4的形式,根据平方根的概念解答即可.
解:(1)x2+5=7,
x2=7-5,
x2=2,
x1=,x2=-.
(2)2(x-1)2-8=0,
2(x-1)2=8,
(x-1)2=4,
x-1=±2,
x1=3,x2=-1.
　(1)正数x的平方根为a+2和2a-8,求x的值;
(2)如果a+3与2a-15是m的平方根,求m的值.
〔解析〕　(1)根据一个正数的平方根互为相反数列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)这两个平方根互为相反数或相等,分别列式进行求解即可.
解:(1)根据题意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16.
(2)①当a+3与2a-15是同一个平方根时,a+3=2a-15,解得a=18,此时m=(18+3)2=441;②当a+3与2a-15是两个平方根时,a+3+2a-15=0,解得a=4,此时m=(4+3)2=49.
　如果x<0,y>0,x2=4,y2=9,求x+y的值.
〔解析〕　根据x<0,y>0,x2=4,y2=9,就可确定x,y的值,进而求解.
解:∵x2=4,y2=9,∴x=±2,y=±3,又∵x<0,y>0,∴x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1.
第课时
1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
2.理解算术平方根与平方根的联系与区别.
1.通过教学过程中学生的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.
2.通过举例使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系.
1.学生通过积极参与教学活动获取新知,通过小组活动发展独立思考和竞争意识.
2.通过主动参与使学生勇于面对困难并能够解决困难,发展合作交流意识.
【重点】　算术平方根的概念和性质.
【难点】　对算术平方根意义的理解.
【教师准备】　课件1~6.
【学生准备】　复习平方根的意义以及平方根的性质.
导入一:
【课件1】　学校要举行美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
师:怎样算出画布的边长为5 dm的呢?(思考1分钟)
【课件2】　填表:
正方形面积
1
9
16
36
正方形边长
　　教师在学生完成的基础上与学生共同总结:已知正方形的面积求边长,本质上就是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢?下面我们来共同探讨这个问题.
[设计意图]　从正方形的面积,引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫.
导入二:
同学们,2003年10月15日是我们每个中国人值得骄傲的日子.因为这一天,“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功,实现了中华民族千年的飞天梦想(多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面).那么你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,v2=2gR,怎样求v1,v2呢?这就要用到算术平方根的概念,也就是本节要学习的内容.
[设计意图]　“神舟”五号成功发射和安全着陆,标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步,是我们伟大祖国的荣耀.此内容有感染力,使学生对本章知识的应用价值有一个感性认识,同时激发学生的好奇心和学习的兴趣.这里的计算实际上是已知幂和指数求底数的问题,是乘方的逆运算,学生以前没有见过,由此引出了本章所要研究的主要内容,以及研究这些内容的大体思路.
导入三:
【课件3】
1.(1)625的平方根是多少?这两个平方根的和是多少?
(2)-7和7是哪个数的平方根?
(3)正数m的平方根怎样表示?
(4)求下列各数的平方根.
①64;　②0;　③(-0.4)2;　;　⑤16;　⑥(-4)3.
2.已知正方形的面积等于a,那么它的边长等于多少?
解:设正方形的边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,得x=±.因为正方形的边长是正数,所以正方形的边长是.
[设计意图]　复习巩固平方根的知识,进一步掌握平方根的计算方法,为学习算术平方根做准备.
活动一:感知——算术平方根的定义
思路一
　　[过渡语]　上面的问题,可以归纳为“已知一个正数的平方,求这个正数”的问题.实际上是乘方运算中,已知一个数的指数和它的幂求这个数.
一个正数的两个平方根互为相反数,我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式x2=a(x≥0)中,规定x=.
思考:这里的数a应该是怎样的数呢?
试一试:你能根据等式112=121说出121的算术平方根吗?并用等式表示出来.
解:121的算术平方根是11,用等式表示为=11.
[知识拓展]　平方根与算术平方根的区别和联系.
区别:(1)概念不同:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根.
(2)表示方法不同:正数a的平方根表示为±;正数a的算术平方根表示为.
(3)个数及取值不同:一个正数的算术平方根只有一个,是正数;一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数.
联系:(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个.
(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都只有非负数才有.
(3)0的平方根、算术平方根都是0.
(4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算.
思路二
说明:正数a有两个平方根(表示为±),我们把其中正的平方根,叫做a的算术平方根,表示为.
0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即=0.
几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,面积为a(a>0)、边长为的正方形,边长就表示a的算术平方根.
“”是算术平方根的符号,就表示a的算术平方根.
思考:的被开方数是什么样的数?它的结果又是怎样的数?
的意义有两点:
(1)被开方数a表示非负数,即a≥0;
(2)也表示非负数,即≥0.
也就是说,非负数的算术平方根是非负数,负数不存在算术平方根,即a<0时,无意义.
如:=3,8是64的算术平方根,无意义.
强调:这里需要说明的是,算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号,如a≥0时,表示非负数a进行开平方运算,也是一个性质符号,即表示非负数a的非负平方根.
例如,表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.
[设计意图]　让学生在小组间进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.
活动二:强化——算术平方根的计算
　　[过渡语]　理解了算术平方根的意义以及表示方法,我们就可以求出一个非负数的算术平方根.
【课件4】　(教材第63页做一做)求下列各数的算术平方根.
(1)144;　(2)0.01;　(3);　(4)132;　(5)(-16)2.
1.引导学生正确应用算术平方根的表示方法计算.
2.学生口述过程.
解:(1)12.　(2)0.1.　(3).　(4)13.　(5)16.
观察“做一做”中(4)和(5)的结果,你有什么发现?
小组讨论得出:
语言表述:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
说明:首先让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式,应该用怎样的符号来表示,在此基础上再求出结果.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后直接写出结果.
【课件5】
　计算下列各式.
(1);　(2)-;　(3)±;
(4)-.
说明:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和算术平方根的概念进行求解,注意解题格式.
解:(1)=1.3.　(2)-=-=-15.　(3)±=±=±.　(4)-=-=-17.
【课件6】
　某小区有一块长方形草坪,为了加强保护,小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍,草坪的面积是900 m2,求所需篱笆的总长度.
〔解析〕　(1)如果设所需篱笆的宽为x m,它的长是多少?怎样列方程?(2)怎样求出x的值?
解:设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m.
因为长方形草坪的面积是900 m2,所以4x·x=900,即x2=225.
所以x=±=±=±15.
x=-15不合题意,舍去.
所以x=15,2×(15+4×15)=150(m).
答:所需篱笆的总长度是150 m.
[设计意图]　体会平方根和算术平方根的实际意义,理解实际情境中值的取舍;规范步骤,让学生养成良好的书写习惯.
算术平方根的定义
一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.
算术平方根的表示方法
(a≥0)(即非负数有算术平方根)
的意义
表示一个数的平方的算术平方根,它等于这个数的绝对值.即:
注意的问题
(1)只有非负数有算术平方根;(2)算术平方根具有双重非负性,一个是被开方数是非负数,二是结果是非负数;(3)(a≥0)的最小值是0.
1.(2015·日照中考)的算术平方根是 (　　)
A.2 B.±2 C. D.±
解析:∵=2,2的算术平方根是,∴的算术平方根是.故选C.
2.(2015·大庆中考)a2的算术平方根一定是 (　　)
A.a B.|a| C. D.-a
解析:一个数的平方的算术平方根是这个数的绝对值.故选B.
3.下列各等式中,正确的是 (　　)
A.-=-3 B.±=3
C.()2=-3 D.=±3
解析:A.-=-3,故A正确;B.±=±3,故B错误;C.被开方数是非负数,故C错误;D.=3,故D错误.故选A.
4.若,则a为 (　　)
A.正数 B.非负数 C.1或0 D.0
解析:∵,∴a≥0,a=,即a的算术平方根等于它本身,∴a=1或0.故选C.
5.求下列各数的算术平方根.
(1)49;　(2)0.36;　(3).
解析:根据开平方运算,可得一个数的算术平方根.
解:(1)=7.　(2)=0.6.　(3).
6.计算.
(1);　(2)-.
解析:(1)先算被开方数中的减法,再根据算术平方根的定义计算即可;(2)先求出每一部分的值,再算减法即可.
解:(1).　(2)-=2-=1.
7.已知2a-7的平方根是±5,2a+b-1的算术平方根是4,求a+b的算术平方根.
解析:根据平方根的定义先求出a的值,再根据算术平方根的定义求出b的值,然后再求出a+b的算术平方根.
解:∵2a-7的平方根是±5,∴2a-7=25,∴a=16,∵2a+b-1的算术平方根是4,∴2a+b-1=16,∴b=-15,∴a+b=16-15=1,∴a+b的算术平方根是1.
第2课时
活动一:感知——算术平方根的定义
活动二:强化——算术平方根的计算
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第64~65页练习第1,2,3题.
2.教材第65页习题A组第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第65页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法中正确的是 (　　)
A.-9的平方根是-3 B.9的平方根是3
C.9的算术平方根是±3 D.9的算术平方根是3
2.下列说法错误的是 (　　)
A.42的算术平方根为4
B.的算术平方根为
C.的算术平方根是
D.的算术平方根是9
3.的值等于 (　　)
A.2 B.-2 C.- D.
4.当x=-3时,的值是 (　　)
A.±3 B.3 C.-3 D.9
【能力提升】
5.若=a,则a的值为 (　　)
A.1 B.-1 C.0或1 D.±1
6.一个自然数的平方根为a,则它的相邻的下一个自然数的算术平方根是 (　　)
A. B.a+1
C.a2+1 D.
7.计算.
(1)-;　(2);　(3);　(4)±.
【拓展探究】
8.先填写下表,通过观察后再回答问题.
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)x=　　　　,y=　　　　;?
(2)从表格中探究a与数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题.
①已知≈3.16,则≈　　　　;?
②已知=1.8,若=180,则a=　　　　.?
【答案与解析】
1.D(解析:A.-9没有平方根,故A选项错误;B.9的平方根是±3,故B选项错误;C.9的算术平方根是3,故C选项错误.D.9的算术平方根是3,故D选项正确.故选D.)
2.D(解析:=9,因为9的算术平方根是3,所以的算术平方根是3,此选项错误.故选D.)
3.A(解析:原式==2.故选A.)
4.B(解析:∵x=-3,∴=3.故选B.)
5.C(解析:∵=a,∴a≥0.当a=0时,=a;当0a;当a=1时,=a;当a>0时,6.D(解析:设这个自然数为x,∵x的平方根为a,∴x=a2,∴与之相邻的下一个自然数为a2+1,其算术平方根为.故选D.)
7.解:(1)-=-3.　(2)=3.　(3).
(4)±=±0.5.
8.(1)0.1　10　(2)①31.6　②32400
算术平方根的教学是在学生认识了非负数的平方根的基础上进行的,一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根.教学中首先让学生由正方形的面积,得到它的边长,感知求边长就是求这个正数的正的平方根,从而引出算术平方根的定义.通过算术平方根与平方根的对比,让学生更进一步认识它们之间的联系与区别.通过“做一做”及例题,让学生通过练习强化计算算术平方根的能力,达到了对知识的理解和掌握.教学设计环节紧凑,学生参与热情高,小组合作意识强,突出了本节课的重点.
因为有平方根的知识的铺垫,所以学生比较容易理解算术平方根的概念.在本节中,教师在总结的结果时,例题较少,忽略了让学生发现问题、总结规律这个环节.
对于这一问题的探究,教师可侧重安排计算正数、0、负数的平方的算术平方根,从这三种类题中让学生发现规律,然后通过小组的合作讨论,最后总结出规律.
练习(教材第64页)
1.解:(1)=16.　(2) .　(3)± =±.　(4)-=-0.4.　(5)=50.　(6)-=-0.07.
2.解:(1) .　(2)=0.01.　(3)=30.　(4) .　(5)=2-1=.　(6)=2.
3.解:(1)x=±8.　(2)x=±.　(3)x=±1.1.
习题(教材第65页)
A组
1.解:(1)=16.　(2)=0.4.　(3) .　(4) .　(5) .
2.解:(1)x2=49.因为49的平方根是±7,所以x=
±7.　(2)x2-36=0,化为x2=36.因为36的平方根是±6,所以x=±6.　(3)9x2=25,化为x2=.因为的平方根是±,所以x=±.　(4)4x2-81=0,化为x2=.因为的平方根是±,所以x=±.
3.解:(1)=90.　(2)- =- =-.　(3)± =±.　(4)=0.11.
4.解:(1)这个正数为=14.　(2)这个负数为-=-.　(3)这个数为±=±1.2.
B组
1.解:设这个正方体的棱长为x.根据题意得6x2=486,即x2=81.因为x>0,所以x=9.答:这个正方体的棱长为9.
2.解:能拼成边长为3的大正方形,如图所示.
1.教师在进行教学活动时,要注意以下几个方面的问题:
(1)通过具体问题引导学生进一步明晰平方根与算术平方根的联系与区别.
(2)对于教材中的两个例题的相关内容,教师可适当补充,鼓励学生自己完成,让学生进行必要的合作与交流,以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解.
2.例题中解题的过程主要是给学生提供书写的一般要求,在以后的学习中,可以进一步简化.
　已知M=是a+b+3的算术平方根,N=是a+6b的算术平方根,求M·N的值.
〔解析〕　根据题意列出关于a与b的方程组,求出方程组的解,即可得到a与b的值,进而可求出所求式子的值.
解:根据题意得
解得a=4,b=2,
∴M·N==3×4=12.
　如图所示,在长和宽分别是a,b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形,当a
=8,b=6,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积的时,求正方形的边长x的值.
〔解析〕　根据题意列出等式4x2=(ab-4x2),把8和6代入,得4x2=(8×6-4x2),即可求解.
解:∵剪去部分的面积等于剩余部分的面积的,
∴4x2=(ab-4x2),
∴4x2=(8×6-4x2),
∴x2=3,
∵x表示边长,不能为负数,
∴x=.
14.2　立方根
1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.
2.了解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根,分清一个数的立方根与平方根的区别.
1.帮助学生了解数的立方根的概念和性质,会用三次根号表示数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.
2.帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系,掌握用立方运算求一个数的立方根的方法,帮助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.
3.通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.
1.通过立方根的学习,认识数学与人类生活的密切联系,激发学生的学习兴趣.
2.通过探究活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心,激发学生的探索热情.
【重点】　立方根的概念和性质.
【难点】　区别立方根和平方根.
【教师准备】　课件1~9.
【学生准备】　正数、0、负数的立方运算.
导入一:
师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的?它的符号怎么表示?
生:如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根).符号表示:±,其中a≥0.(教师板书)
师:我们还学习了一种新的运算,是什么运算呢?它是怎么定义的?
生:开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方,与平方互为逆运算.
师:那么平方根有什么样的性质呢?
生:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根.
教师引导学生回忆,并回答出平方根的定义、符号表示及性质,对定义及符号进行板书,性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比.
被开方数
平方根
正数
2个,互为相反数
0
0
负数
无
　　[设计意图]　通过对平方根的复习,可以增加学生对平方根的印象,同时,教师也能通过学生复习过程的表现,间接了解学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较.
导入二:
传说很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干了,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们给我做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降下雨水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的边长是原祭坛的2倍,可是神更加恼怒,他说:“你们竟愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的2倍,我要惩罚你们!”
要做一个体积是原来2倍的新祭坛,它的边长应该是原来的多少倍呢?学完这节课,同学们一定会有所收获.
[设计意图]　通过故事情境的导入,让学生对本节内容的学习充满了期待,能更加积极地投入到本节的学习之中.一个良好的学习态度,是学生学习知识的基础,学生积极性的调动,更是一节课成功的灵魂.
活动一:感知立方根
【课件1】　(教材第66页观察与思考)如图所示,已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少?反过来,如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢?
(1)想一想:正方体的体积公式是什么?
体积=棱长3
(2)你能解答这道题吗?
指名口述:由正方体的体积公式可知,棱长是2的正方体的体积是23=8.因为33=27,所以当x3=27时,x=3.
说明:将此题转化为求一个数,使它的立方是27,得出这个数是3.
活动二:立方根的定义
　　[过渡语]　我们知道了平方根的定义,那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题.
【课件2】　(教材第66页试着做一做)求满足下列各式的x的值.
(1)x3=-1;　(2)x3=64;　(3)x3=0.008;　(4)x3=-.
指导学生独立完成,然后指名回答.
解:(1)x=-1.　(2)x=4.　(3)x=0.2.　(4)x=-.
本题是已知一个数x的立方,求这个数的值,而平方根是已知一个数的平方,求这个数,从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.
师:对比平方根的定义,你能归纳出立方根的定义是什么吗?
学生谈论思考,教师引导归纳概念:
概念归纳:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.(教师板书)
师:在上面问题中,因为33=27,所以3是27的立方根.
类比开平方的运算,我们也可以定义出开立方运算:求一个数的立方根的运算,叫做开立方.(板书)
正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.因此,我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根.
[设计意图]　联系平方根的概念,让学生类比,给出立方根的概念,学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别.
活动三:立方根的性质及表示方法
1.立方根的性质
思路一
探究:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点?
教师将题目板书出来,然后要求学生口答,最后让学生观察、讨论,归纳出立方根的性质.
【课件3】
①因为23=8,所以8的立方根是(2);
②因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是(0.5);
③因为(-0.5)3=-0.125,所以-0.125的立方根是(-0.5);
④因为03=0,所以0的立方根是(0);
⑤因为=-,所以-的立方根是.
【课件4】　(教材第67页大家谈谈)
1.一个正数有几个立方根?正数的立方根是正数还是负数?
2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数?
3.0的立方根是什么数?
生:一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数;一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数;0的立方根是0.
归纳:任何数(正数、负数、0)都有立方根,并且只有一个.
教师根据学生的回答将以下的表格填写完整,可以清晰地看出平方根和立方根的区别,同时要求学生记在笔记上.
被开方数
平方根
立方根
正数
两个,互为相反数
有一个,是正数
0
0
0
负数
无
有一个,是负数
　　教师还要指导学生:我们发现,进行立方运算,当底数互为相反数时,它们的幂也互为相反数,这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数,但它们的幂相等,故一个正数的平方根有两个,但一个正数的立方根却只有一个.
[设计意图]　让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根,以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算,求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理.
思路二
想一想:平方根的性质是什么?
学生思考后得出:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根.
　　[过渡语]　那么立方根又有怎样的性质呢?下面我们共同探讨一下.
【课件5】　求下列各组数的立方根.
(1)125,0.004,,3;
(2)0;
(3)-125,-0.004,-,-3.
说明:引导学生说出以上三组数的立方根,并讨论能得出哪些结论?
教师根据学生的回答进行归纳:
【总结归纳】
大多数同学也会得到,互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,教师也要及时加以表扬和肯定.
[规律总结]
(1)求一个数的立方根时要注意:一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,这和一个正数有两个平方根,一个负数没有平方根不同.
(2)立方根等于它本身的数只有三个:0,-1,1.
(3)当一个分数是带分数时,先将它化为假分数再求它的立方根.
2.立方根的表示方法
　　[过渡语]　通过计算我们会发现,这样表述一个数的立方根太复杂了,是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示呢?
类似于平方根,一个数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a”,其中,a是被开方数,3是根指数.
师:现在我们学习了立方根的符号表示,就可以用立方根的符号表示一个数的开立方运算.
【课件6】
　求下列各数的立方根.
(1);　(2)-8;　(3)-0.064.
解:(1)因为,所以的立方根为,即.
(2)因为(-2)3=-8,所以-8的立方根为-2,即=-2.
(3)因为(-0.4)3=-0.064,所以-0.064的立方根为-0.4,即=-0.4.
教师在书写过程中要重点强调:“”的根指数3不能省略,同时3的书写位置也要重点注意.此处教师可以通过举反例的方法来引起学生的注意.
问题1:学习了立方根的符号后,大家是否有个疑问,立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢?如果有,它的根指数是多少?
教师通过学生的回答情况,强调:算术平方根也有根指数,且为2,因此也可以读作“二次根号a”,但是这里的根指数可以省略.
问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数,那么立方根的符号中的a的取值有什么限制吗?
生:立方根的符号中的a没有限制,可以取任何数.
教师通过这个问题总结出:任何数都有立方根,且它的立方根都只有一个,但只有非负数才有平方根.
[知识拓展]　平方根与立方根的联系与区别.
联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算;②0的平方根与立方根都是它本身.
区别:①用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数不能省略;②平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.如-8没有平方根,但有立方根,为-2;③正数的平方根有2个,而正数的立方根只有1个.如2的平方根是±,而立方根只有.
【课件7】　探究:因为=　　　　,-=　　　　,所以　　　　-.?
因为=　　　　,-=　　　　,所以　　　　-.?
问题3:请同学们计算出上式,看看你能得出什么结论?
学生计算出各题的答案后,能得出两者是相等的,教师再引导学生总结出一般规律:=0;=-.
开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验结果的正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即=-.(互为相反数的两个数的立方根也互为相反数)
问题4:想一想:一个数a的立方的立方根等于多少?请举出几个例子加以说明.
教师指导学生举正数、负数、0的立方的立方根,从中发现规律.
归纳:一个数的立方的立方根等于它本身,即=a.
【课件8】
　求下列各式的值.
(1);　(2).
〔解析〕　教师分析出每题的含义,然后再求解.
含义:(1)表示-0.027的立方根.(2)表示-的立方根.
解:(1)=-=-=-0.3.
(2)=-=-=-.
【课件9】　拓展练习.
(1);　(2);　(3).
教师重点关注学生的解题格式,以及第二题的计算顺序是否正确,再将第三题与之对比,让学生体会其中的区别.同时,教师要向学生强调混合运算中的计算顺序问题.
解:(1)=-=-.
(2).
(3)=-2+3=1.
[设计意图]　在了解立方根的性质的同时,让学生掌握立方根的表示方法;通过对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用.例题着重于弄清立方根的概念,不仅让学生会求立方根,还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中寻找解题途径.
立方根的定义
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.
立方根的表示方法
一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”,其中,a是被开方数,3是根指数.
立方根的性质
(1)一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数;
(2)一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数;
(3)0的立方根是0.
1.(2015·酒泉中考)64的立方根是 (　　)
A.4 B.±4 C.8 D.±8
解析:∵4的立方等于64,∴64的立方根等于4.故选A.
2.(2015·百色中考)化简等于 (　　)
A.±2 B.-2 C.2 D.
解析:因为23=8,所以8的立方根等于2,即=2.故选C.
3.如果一个有理数的平方根和立方根相同,那么这个数是 (　　)
A.±1 B.0 C.1 D.0和1
解析:0的平方根和立方根相同.故选B.
4.-125开立方的结果是 (　　)
A.±5　　B.5　　C.-5　　D.±
解析:-125开立方,就是求-125的立方根,即=-5.故选C.
5.的立方根是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.±1
解析:一个数的立方的立方根是它本身.故选A.
6.下列说法中,不正确的是 (　　)
A.10的立方根是
B.-2是4的一个平方根
C.的平方根是
D.0.01的算术平方根是0.1
解析:的平方根是±,故错误.故选C.
7.求下列各数的立方根:0.001,-1,-216,8000,-512.
解析:根据立方根的定义求解.
解:=0.1,=-1,=-6,=20,=8.
8.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的立方根是4,求a+b的平方根.
解析:先根据平方根、立方根的定义列出关于a,b的二元一次方程组,再代入进行计算求出a+b的值,然后根据平方根的定义求解.
解:∵2a-1的平方根是±3,∴2a-1=9,∴a=5,
∵3a+b-1的立方根是4,
∴3a+b-1=64,∴b=50,
∴a+b=55,∴a+b的平方根是±.
14.2　立方根
活动一:感知立方根
活动二:立方根的定义
活动三:立方根的性质及表示方法
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第68页练习第1,2题;
2.教材第68页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第68页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是 (　　)
A.2 B.±2 C.-2 D.2
2.的立方根等于 (　　)
A.4 B.-4 C.±4 D.2
3.下列说法正确的是 (　　)
A.任何数都有两个平方根
B.若a2=b2,则a=b
C.=±2
D.-8的立方根是-2
4.下列说法不正确的是 (　　)
A.-1的立方根是-1 B.-1的平方是1
C.-1的平方根是-1 D.1的平方根是±1
5.下列运算中正确的是 (　　)
A.=- B.
C. D.=-
6.(2015·随州中考)4的算术平方根是　　　　,9的平方根是　　　　,-27的立方根是　　　　.?
7.-64的立方根与的平方根之和是　　　　.?
8.若x2=16,则x=　　　　;若x3=-8,则x=　　　　;的平方根是　　　　.?
9.将棱长为a cm和b cm的两个正方体铁块熔化,制成一个大正方体铁块,这个大正方体铁块的棱长为　　　　.(不计损耗)?
【能力提升】
10.求下列各数的立方根.
(1)-64;　(2)1;　(3)106.
11.求下列各式中x的值.
(1)3(x-1)3=24;
(2)(x-0.7)3=0.027.
【拓展探究】
12.我们知道a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述结论是否成立;
(2)若与互为相反数,求1-的值.
13.已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.
14.(1)填表.
a
0.000008
0.008
8
8000
8000000
(2)由上表你发现了什么规律?(请你用语言叙述出来)
(3)根据你发现的规律填空.
①已知≈1.442,则≈　　　　.?
②已知≈0.07697,则≈　　　　.?
【答案与解析】
1.A(解析:由-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,得解得m-3n=2-3×(-2)=2+6=8,所以m-3n的立方根是 =2.故选A.)
2.D(解析:=8,8的立方根为2.故选D.)
3.D(解析:A.负数没有平方根,0的平方根是0,只有正数有两个平方根,故本选项错误;B.当a=2,b=-2时,a2=b2,但a和b不相等,故本选项错误;C.=2,故本选项错误;D.-8的立方根是-2,故本选项正确.故选D.)
4.C(解析:-1没有平方根,故选项C错误.故选C.)
5.D(解析:因为=-,所以A,B错误;C.等式左边=-,等式右边,等式左、右两边不相等,故C错误.故选D.)
6.2　±3　-3
7.-2或-6(解析:∵-64的立方根是-4,=4,4的平方根是±2,∴-4+2=-2或-4+(-2)=-6,∴-64的立方根与的平方根之和是-2或-6.故填-2或-6.)
8.±4　-2　±(解析:若x2=16,则x=±4;若x3=-8,则x=-2;=3,3的平方根是±.)
9.(解析:正方体的棱长是体积的立方根.
故填.)
10.解:(1)∵(-4)3=-64,∴-64的立方根为-4.
(2)∵=1,∴1的立方根为.　(3)∵(102)3=106,∴106的立方根为102.
11.解:(1)3(x-1)3=24,(x-1)3=8,x-1=2,x=3.　(2)(x-0.7)3=0.027=(0.3)3,∴x-0.7=0.3,x=1.
12.解:(1)∵2+(-2)=0,而且23=8,(-2)3=-8,有8-8=0,∴结论成立.　(2)由(1)验证的结果知1-2x+3x-5=0,∴x=4,∴1-=1-2=-1.
13.解:∵x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,∴x-2=4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8,∴x2+y2=62+82=100,∴x2+y2的平方根是±10.
14.解:(1)从左至右依次填入0.02,0.2,2,20,200.
(2)从表中发现被开方数的小数点向右移动三位,立方根的小数点向右移动一位.　(3)①14.42　②7.697
立方根是在学生学习了平方根、平方根的性质和算术平方根等知识的基础上学习的.本节从内容上看与上一节平方根的内容基本平行,主要研究立方根的概念、立方根的性质和求法;从知识的展开顺序上看也基本相同,本节也是先从具体的计算出发归纳给出立方根的概念,在探究新知的环节,主要采取类比学习的方法,并结合问题,由学生归纳得出立方根的概念及表示方法.然后讨论立方与开立方的互逆关系,研究立方根的特征.整节过程中,学生能积极参与教学的全过程,小组讨论热烈,学生学得轻松,对知识的理解和掌握较好.
1.教学过程中教师按事先设计好的路线让学生进行学习,不能发挥学生学习的主动性.
2.在教学中,对立方和开立方互为逆运算体现的不够.
1.学生已经会的、简单的就少讲,觉得不好理解的就多讲,应该根据学生的实际情况来定,把学生放出去,让学生多讲多思考.
2.应该让学生进一步体会立方运算的结果是幂,开立方的结果是立方根.通过填空题的形式,反复体现它们之间的关系.同时可以增加有关立方根的实际应用问题,体现立方根在实际生活中的应用.
练习(教材第68页)
1.解:(1) =-.　(2)=0.2.　(3)=-5.　(4) .
2.解:(1)=-3.　(2)-=-10.　(3) =-.
(4)=0.7.
习题(教材第68页)
A组
1.解:(1)=-6.　(2)=-0.5.　(3) .　(4) .
2.解:(1)=-9.　(2) =-.　(3)- =-.
3.解:(1)x=0.7.　(2)x=4.　(3)x=-8.
B组
1.解:设第二个纸盒的棱长为x cm,由题意可知x3=63+127,整理得x3=343,解得x=7.答:第二个纸盒的棱长是7 cm.
2.解:设这个长方体的底面边长为x cm,则表面积为2x2+4x·2x=10x2,根据题意得x2·2x=432,解得x=6.所以表面积为10×62=360(cm2).答:这个长方体的表面积为360 cm2.
立方根的性质
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
平方根等于它本身的数是0;算术平方根等于它本身的数是0和1;而立方根等于它本身的数是0,1,-1.
如果两个数相等,那么这两个数的立方根也相等;反之,如果两个数的立方根相等,那么这两个数也相等.即若a=b,则;若,则a=b.
如果两个数互为相反数,那么这两个数的立方根也互为相反数;反之,如果两个数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数.即若a+b=0,则=0;若=0,则a+b=0.
　把一个长为6 cm,宽为4 cm,高为9 cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块,求锻造后正方体铁块的棱长.(不计损耗)
〔解析〕　首先根据长方体的体积公式求出铁块的总体积,然后根据正方体的体积公式求出正方体铁块的棱长.
解:设正方体铁块的棱长为a cm,根据题意得长方体铁块的体积为6×4×9=216(cm3),
前后体积不变,故有a3=216,解得a=6.答:锻造后正方体铁块的棱长为6 cm.
[解题策略]　本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题,解决本题的关键是理解锻造前后总体积不变,需注意正方体的棱长应是体积的三次方根.
　已知A=是n-m+3的算术平方根,B=是m+2n的立方根,求B-A的平方根.
〔解析〕　根据题意得出关于m,n的方程组,求出方程组的解,根据平方根的定义求出B-A的平方根.
解:∵A=是n-m+3的算术平方根,B=是m+2n的立方根,∴解得∴A==1,B==2,∴B-A=1,∴B-A的平方根是±1.
[解题策略]　本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用,关键是求出m,n的值.
14.3　实　数
1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.
2.了解实数的意义,知道实数与数轴上的点是一一对应的.
3.能够对实数进行大小比较.
4.掌握估算的基本方法,会用有理数估计一个无理数的大致范围.
1.让学生亲自动手进行拼图活动,感受无理数存在的现实性和合理性,培养学生的动手操作能力和合作精神.
2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.
1.激励学生积极参与教学活动,提高学生学习数学的热情.
2.引导学生进行交流、讨论与探索等教学活动,培养学生的合作与钻研精神.
3.了解有关无理数发现的过程,鼓励学生大胆质疑,培养学生为真理奋斗的精神.
【重点】　实数的意义及分类、大小比较.
【难点】　无理数的概念、实数和数轴上的点一一对应的关系.
第课时
1.理解和掌握无理数和实数的概念.
2.能正确识别无理数.
3.能正确地对实数进行分类.
通过实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.
经历从有理数逐步扩充到实数的过程,体会人类对数的认识是不断发展的,认识到数学的发展源于生活实际,又作用于生活实际.
【重点】　了解无理数和实数的概念.
【难点】　对无理数的认识.
【教师准备】　课件1~2.
【学生准备】　复习有理数及其分类、平方根及算术平方根、立方根的有关知识.
导入一:
1.复习提问:
(1)正数的平方根怎样表示?平方根的性质是什么?
(2)什么叫做算术平方根?什么样的数有算术平方根?
(3)立方根的概念是什么?它有怎样的性质?
2.(教材第69页一起探究)如图(1)所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图(2)所示的正方形.
这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等的?面积是多少?
让学生求出面积,提问:如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?
引导学生说出:x2=2,因为正方形的边长是正数,所以x是2的算术平方根,即.
是一个什么样的数呢?
[设计意图]　通过复习使前后知识衔接,为学习后续知识做铺垫;学生通过动手操作,培养学生的动手能力,学生在回答问题的过程中积极思考,加深对无理数的认识.
导入二:
几千年来,人们为了寻求圆周率π的精确的近似值付出了巨大的努力,我国南北朝时期伟大的数学家祖冲之,第一个将圆周率π精确到小数点后的第七位,这一记录保持了近一千年.进入电脑时代,圆周率的计算突飞猛进,1999年,日本学者金田安政及合作者在一台日立SR—800计算机上算得的π的值竟然精确到了2061亿多位.现在,计算π的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标,那么π到底是一个什么样的数呢?
[设计意图]　利用圆周率π ——这个学生早已熟悉的数,把数进一步扩充,使学生认识到这个数与以前学过的有理数不同,增加神秘感和学生的好奇心,使学生产生浓厚的学习兴趣.
导入三:
师:随着年龄的增长、学习的深入,我们对数的认识也在不断地更新,请同学们回忆一下,到目前为止,我们已经认识了哪些数?(举一个具体的例子)
生:(学生可能说出的数)自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数……
(让学生大胆地说,一个学生讲完,其他学生补充,教师在黑板上记录)
师:不得了,我们已经认识了这么多数,那么这些数与数之间有什么关系,你能不能帮我整理一下,理出一个思路呢?
比如:整数(板书),你能把属于整数的都找出来吗?
生:正整数、负整数、0、自然数、素数(质数)、合数、奇数、偶数.
(在开始记录的数的前方编号①)
师:同样,分数(板书),你能把属于分数的都找出来吗?
生:正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数.(在开始记录的数的前方编号②)
师:剩下还有一些数,它们是整数吗?是分数吗?
如果学生说到“小数”:首先小数有哪几类?
有限小数可以化为分数(如1.3);
无限循环小数可以化为分数(如0.);
还有没有其他的小数呢?(学生举例:π)它是整数吗?是分数吗?那到底是什么数呢?
如果学生说到“无限不循环小数π”,它是整数吗?是分数吗?谁知道π是多少?3.1415926…(追问:后面呢?)课件展示π,尽可能位数多一点,让学生观察其特点(无限、不循环).
这样的数,生活中还有吗?我们来玩一个拼图游戏.
[设计意图]　使学生重新认识以前学过的数,了解数的发展和扩充,逐步深化,最后引出无限不循环小数,即本节课要研究的内容——无理数.
活动一:无理数的初步感知
思路一
　　[过渡语]　这个数是客观存在的,导入一中直角边长是2的等腰直角三角形的斜边上的高以及边长是1的正方形的对角线长都是.
1.大家谈谈——初步感知
【课件1】
1.是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?
2.是分数吗?-,-,-,-,,,,的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?
3.会是有理数吗?
说明:引导学生在小组内交流,使学生认识到:
(1)整数的平方是整数,没有平方后得2的整数.
(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.
(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以不是以前熟悉的有理数.
想一想:到底是什么样的数呢?
2.计算机计算——强化认识
让学生用计算机计算,展示计算机计算的结果,学生观察,说出自己的看法.
可设置如下问题:
(1)小数可以分成几类?
学生得出:小数
(2)是什么样的小数?
(是无限不循环小数)
教师展示圆周率π=
3.1415926535897932384626433832795028841971….实际上,圆周率π也是一个无限不循环小数.
[设计意图]　对无理数有个初步的认识,和π都是无限不循环小数,让学生了解它们不是以前学过的有理数,渗透知识的形成过程.
思路二
(针对导入一)
1.活动:请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀,将小正方形沿着对角线剪开,设法重新拼成一个大正方形,大家动手试一试.
师:经过同学们的努力,基本都完成了任务,请一位学生把自己拼的图在黑板上展示出来.
师:你们知道这个大正方形的面积是多少吗?为什么?
生:它的面积为2,因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的.
师:你知道了这个图形的面积,对这个正方形,你还想知道它的一些什么信息呢?
生:边长.
师:你知道它的边长是多少吗?
如果有学生说出,先表扬(看来你对数学是很有兴趣的,肯钻研),那么是什么数呢?若回答1.414…(后面呢?);若回答无限不循环小数(你怎么知道的呢?).
2.为了便于探究这个问题,我们假设拼成的大正方形的边长为x,那么x2=2.
探究:(1)x是整数吗?
生:因为12=1,22=4,x是1和2之间的数,1(2)x是分数吗?
通过EXCEL,让学生寻找是否有这样的一个分数,它的平方正好是2?
找不到这样的一个分数,它的平方正好是2(直观感受),x也不是分数.
换个角度:如果x是分数,那么两个相同的分数相乘,积一定还是分数,不可能是2的.
(3)x是怎样的数?
1.5×1.5=2.25,1.41×1.41=1.9881,
1.4×1.4=1.96,1.42×1.42=2.0164,
1.4探索中,得到1.4按照这种方法探索下去,x的值是
1.414213562373095048801688724209698078569….
师:你们发现这个数和π有什么共同点吗?
生:无限、不循环.
[设计意图]　通过拼图得到,然后采用逐步逼近的方法,通过计算与类比让学生发现这个数是无限不循环小数,在操作的过程中,着重学生动手能力和计算能力的培养,让学生主动发现问题、研究问题,体现了知识的获取过程.
活动二:无理数概念的形成
1.形成概念
　　[过渡语]　通过刚才的探究和计算,我们已经知道了和π都是无限不循环小数,那么有理数可以化成怎样的小数呢?
想一想:(1)什么叫做有理数?
(2)整数和分数都可以化成怎样的小数?
说明:整数可以写成小数部分是0的小数.如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0等.
师:任何分数都可以化成怎样的小数?
让学生把-,-,,,-,,化成小数,并观察其特点.
归纳:分数可以写成有限小数或无限循环小数.
思考:任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数吗?请你利用计算器再计算几个分数.
得出结论:有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.
那么我们思考一下,是不是有理数?为什么?
通过前面的学习,学生可以知道=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.其实,无理数有很多,很多数的平方根和立方根都是无理数,如:=1.732…,=2.23606…,=1.25992…,=2.15443…等都是无限不循环小数,它们都是无理数.
[知识拓展]　(1)判断一个数是不是无理数,一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数,满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数.
(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:①特殊意义的数:如圆周率π及含π的一些数,如2-π等;②开方开不尽的数,如,-,等;③特殊结构的数,如2.01001000100001…(每两个1之间依次多一个0)等.
(3)带根号的数不一定是无理数,如=0,=3,它们不是无理数,而是有理数,无理数也不一定带根号,如π.
学习了有理数和无理数两个概念后,下面我写几个数,你们来判断一下,它是有理数还是无理数?
-3,1.1414,2π,0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0),-0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0).
师:你还能写出一个无理数吗?
教师说明:无理数包括正无理数和负无理数,你们可以举出一些实例吗?
强调:一般a是一个正无理数,那么-a是一个负无理数.
我们把有理数和无理数统称为实数.
想一想:有理数与无理数有什么区别?
(1)有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式,而无理数是无限不循环小数.
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能化成分数的形式.
[设计意图]　引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念.了解数的扩充的必要性和实数的意义,提高学生对数的理解.
2.历史背景
　　[过渡语]　实际上,第一个发现无理数的人却被抛进大海,你想知道这其中的故事吗?
【课件2】　小故事:2500年前,当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”,拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的,他所说的一切都是真理.但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,为此希伯索斯被投入大海.他为真理献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的.后来人们正视了希伯索斯的发现,也就是我们前面谈到的x2=2中的x不是有理数.
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些知识,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样,科学就会停滞不前,要向希伯索斯学习,学习他为追求真理而大无畏的精神.
[设计意图]　通过史实介绍,让学生受到思想教育,培养学生追求真理的精神,从而体现数学课堂中对学生的思想教育.
1.实数
2.无理数满足的三个条件:(1)首先是小数;(2)其次是小数中的无限小数;(3)并且是无限小数中的不循环小数.
1.(2015·绥化中考)在实数0,π,,,-中,无理数的个数有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:π,是无理数.故选B.
2.下列说法:①带根号的数是无理数;②不含根号的数一定是有理数;③无理数是开方开不尽的数;④无限小数是无理数;⑤π是无理数.其中正确的有 (　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:①带根号的数不一定是无理数,如;②不含根号的数不一定是有理数,如无限不循环小数;③开方开不尽的数是无理数;④无限不循环小数是无理数;⑤π是无理数,该说法正确.故选D.
3.(2015·扬州中考)实数0是 (　　)
A.有理数 B.无理数 C.正数 D.负数
解析:0是有理数.故选A.
4.下列分数中,能化为有限小数的是 (　　)
A. B. C. D.
解析:选项A,B,D是无限循环小数,C中的结果是0.2.故选C.
5.下列关于数的说法正确的是 (　　)
A.有理数都是有限小数
B.无限小数都是无理数
C.无理数都是无限小数
D.有限小数是无理数
解析:A.无限循环小数是有理数,故A错误;B.无限循环小数是有理数,故B错误;C.无理数是无限不循环小数,故C正确;D.无理数是无限不循环小数,故D错误.故选C.
6.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根及立方根中,无理数有　　　　个.?
解析:2的平方根及立方根均为无理数,共3个;3的平方根及立方根均为无理数,共3个;4的立方根是无理数,共1个;5的平方根及立方根均为无理数,共3个;6的平方根及立方根均为无理数,共3个;7的平方根及立方根均为无理数,共3个;8的平方根是无理数,共2个;9的立方根是无理数,共1个;10的平方根及立方根均为无理数,共3个.综上,可得无理数共22个.故填22.
7.面积为3的正方形的边长　　　　有理数;面积为4的正方形的边长　　　　有理数.(填“是”或“不是”)?
解析:∵正方形的面积为3,∴正方形的边长为,故面积为3的正方形的边长不是有理数,∵正方形的面积为4,∴正方形的边长为2,故面积为4的正方形的边长是有理数.
答案:不是　是
8.把下列各数填入相应的大括号内:,π,,1.14141,-,|-7|,,,.
有理数:{ …};
无理数:{ …};
解析:无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称,即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数,由此即可判定.
答案:有理数:{,,1.14141,|-7|,…};
无理数:{π,-,,,,…}.
第1课时
活动一:无理数的初步感知
1.大家谈谈——初步感知
2.计算机计算——强化认识
活动二:无理数概念的形成
1.形成概念
2.历史背景
一、教材作业
【必做题】
1.教材第71页练习第1,2题.
2.教材第71~72页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第72页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 (　　)
A.无限循环小数是无理数
B.0是整数,但不是正数,也不是负数
C.分数包括正分数、负分数和0
D.有理数不是正数就是负数
2.下列说法正确的是 (　　)
A.是无理数 B.是有理数
C.0.618是无理数 D.是无理数
3.把下列各数分别填在相应的大括号中:-,,-,0,-,,,0.,3.14.
有理数:{ …};
无理数:{ …}.
【能力提升】
4.阅读下列材料:设x=0.=0.333…①,则10x=3.333…②,由②-①得9x=3,即x=.所以0.=0.333…=.根据上述方法把下面两个数化成分数.
(1)0.=　　　　;　(2)1.=　　　　.?
5.若a,b都是无理数,且a+b=2,请写出一组a,b的值:a=　　　　,b=　　　　.?
【拓展探究】
6.体积为5的正方体的边长可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?请说明你的理由.
【答案与解析】
1.B(解析:A.无限循环小数是有理数,此选项错误;B.0是整数,但不是正数,也不是负数,正确;C.分数包括正分数、负分数,故此选项错误;D.有理数包括正数、负数、0,故此选项错误.故选B.)
2.A(解析:是无理数,0.618与都是有理数.故选A.)
3.有理数:-,-,0,,0.,3.14,…;无理数:,-,,….
4.(1)　(2)(解析:(1)设0.=x=0.777…①,则10x=7.=7.777…②,由②-①得9x=7,即x=;(2)根据已知条件0.=0.333…=,可以得到1.=1+0.=1+.)
5.　2-(解析:由于a,b都是无理数,且a+b=2,所以应先确定一个无理数,让2减去这个无理数即可得到另一个无理数,答案不唯一.)
6.解:∵正方体的体积为5,∴正方体的边长为,是无理数,故体积为5的正方体的边长不可能是整数、分数、有理数.
有理数可以化成有限小数和无限循环小数.在无限小数中无限不循环小数是无理数.在教学中教师让学生进行类比,感知它们的区别和联系,通过探究研讨、借助计算机的计算,加深对无理数的理解和掌握,同时充分发挥学生的探究能力,自己归纳出无理数的概念,通过列举实例让学生加深对知识的理解.在整个教学中,始终把学生的探究放在第一位,问题的设计清晰,环节紧凑,学生认识到了有理数和无理数的区别,并了解了实数的意义,在此过程中教师介绍了有关无理数的历史,让学生从中受到了思想道德教育,内容充实且恰到好处.
在教学过程中,教师给学生的讨论时间不够,节奏控制得不是很好,导致有的问题学生讨论得不够深入.另外,对于练习题,学生的讲题说理体现得不具体.
学生讨论的焦点应该是本节内容的重点和难点,所以在这里教师一定要控制好时间,让学生对问题的探讨逐步深入,有一个质的认识,不能流于形式,忽略了小组合作学习的重要性;另外,对于练习题中的问题,教师尽量让学生说明道理,以加强学生对知识的理解和深入,不但要让学生知其然,还要知其所以然.
练习(教材第71页)
1.解:(1)不正确.如0.是有理数.　(2)不正确.如7.070070007…(相邻两个7之间依次多1个0)是无理数.　(3)不正确,如,都是有理数.
(4)不正确.如,5π都是无理数.　(5)不正确,如0,-都是有理数.
2.解:,0.8482,-,0.01都是有理数;,π,,1.01001000100001…(每两个1之间依次多一个0)都是无理数.
习题(教材第71页)
A组
1.解:3.14,2.,,-,,0.205都是有理数,,,,都是无理数.
2.
3.解:设这个正方体的棱长为x.根据题意得x3=π
×12×4,x3≈3×1×4,解得x≈.答:这个正方体的棱长约为.
B组
1.解:正无理数:,,等.负无理数:-,-,-2π等.(答案不唯一)
2.解:设大正方体的棱长为x cm.根据题意,得x3=2×53,所以x=.答:大正方体的棱长为 cm.
为什么说不是有理数
我们可以用以下简单的推理来说明不是一个有理数.
显然,不是整数,我们再证明不是一个分数.
假设是一个分数,设(p,q是互质的正整数),由的意义可知=2,
即有=2,故q2=2p2.
请注意,2p2必定是一个偶数,因而q2也一定是一个偶数,进而q一定是偶数.于是,可设q=2k(k是正整数).由上式得(2k)2=2p2,
从而2k2=p2,所以p2必定是偶数,于是p也是偶数,这与p,q互质矛盾.
这个矛盾表明我们假设“是一个分数”不成立,所以既不是整数,也不是分数,也就是说,不是一个有理数.
1.对于“一起探究”中拼接正方形的过程,可以组织学生动手操作,进而提出问题,再通过“大家谈谈”,使学生明确认识到不是有理数,通过这样的活动,可以把学生的思维和学习积极性充分地调动起来,同时也可以使学生认识到:在现实生活中,确实存在着不是有理数的数.
2.在教学过程中,需要教师引导学生明确下面两个问题:
(1)无理数不都是带根号的数.
(2)无限循环小数可以化成分数.
3.在教学过程中,教师要通过大量的例子让学生发现有理数和无理数的特点,同时通过举例让学生认识到有理数和无理数与小数之间的关系.
第课时
1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.
2.能正确对实数进行分类.
3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数.
通过在数轴上画出表示π和的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思想.
引导学生积极参与教学活动,产生探求新知的欲望,增强学习数学的兴趣.
【重点】　实数的分类.
【难点】　实数与数轴上的点一一对应.
【教师准备】　课件1~9.
【学生准备】　复习无理数、实数的概念.
导入一:
当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢?
【课件1】
【提出问题】
(1)2的相反数是　　　　,-2的相反数是　　　　,0的相反数是　　　　;?
(2)=　　　　,=　　　　,|0|=　　　　;?
(3)5的倒数是　　　　,-的倒数是　　　　.?
(4)有理数可以用数轴上的点表示吗?
[设计意图]　复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备.
导入二:
【课件2】　阅读下面的一段对话.
小明说:“有理数和数轴上的点是一一对应的.”
小丽说:“你说得不对,应是实数和数轴上的点是一一对应的.”
同学们,两人到底谁说得对呢?我相信,当你认真学完本节后,答案自然能见分晓.
[设计意图]　以两人对话的形式引入本节课题,易提高学生的学习兴趣.
导入三:
【课件3】
1.填空:无限不循环小数叫做　　　　,有理数和　　　　统称为实数.?
2.判断对错:对的画“??”,错的画“×”.
(1)是有理数. (　　)
(2)-是无理数. (　　)
(3)是无理数. (　　)
(4)π是无理数. (　　)
(5)3.14159265是无理数. (　　)
(6)0.是无理数. (　　)
师:上节课我们学习了什么是实数,那么什么是实数呢?(出示下图)
师:初一的时候,我们学过有理数,有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新的数,什么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现,使数的范围扩大了.有理数和无理数合在一起统称为实数.
师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针对有理数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看.
[设计意图]　复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,设置疑问,确定本节课要研究的内容.
活动一:观察与思考——实数与数轴上的点的一一对应关系
思路一
　　[过渡语]　我们知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢?
【课件4】　(教材第73页观察与思考)
1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
(1)线段OA,OB的长分别是多少?
(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?
说明:让学生利用边长是面积的算术平方根,即边长=,求出两个正方形的边长.从而确定OA,BO的长和点A,B所对应的数.
通过探究得出:(1)线段OA,OB的长分别是,;(2)点A,B在数轴上对应的数分别是,.
根据上面的观察我们不难得到,这两个无理数可以用数轴上的点来表示,那么对于圆周率π是否可以用数轴上的点表示出来呢?
【课件5】
2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.
(1)线段OP'的长是多少?
(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?
根据圆的周长公式得到点P运动的距离就是直径为1的圆的周长π,所以线段OP'=π,点P'对应的数是π.
因此得到这样的结论,无理数π也可以用数轴上的点表示出来.
师:事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.因此可以猜想一下,数轴上的点与实数的关系是什么?
生:实数包括有理数和无理数,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,任何一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,总之,数轴上的点表示实数.
师:总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就一一对应了,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.
[知识拓展]　每个有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数;同样地,每个无理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示无理数.由此可以知道,实数和数轴上的点是一一对应的.
思路二
【课件6】　请你在数轴上表示出-1,0,,4,-1.5.
结论:每个有理数都可以用数轴上的点来表示.
师:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么每个无理数也可以用数轴上的点来表示吗?答案是肯定的,每个无理数也可以用数轴上的点来表示.
想一想,怎样表示和π这两个无理数呢?
如图所示,将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开,得到四个直角边都相等的三角形,即可拼成一个大正方形.
想一想:大正方形的面积是多少?它的边长是多少?()
这就是说,边长是1的正方形的对角线长是,利用这一事实,我们容易在数轴上画出表示的点.
那么如何在数轴上表示圆周率π呢?请你想一想直径是多少的圆,其周长是π.
学生经过讨论得出直径是1的圆的周长是π,因此可以利用圆滚动的距离来表示π.(利用多媒体演示圆运动的过程)
师:每个有理数、每个无理数都可以用数轴上的点来表示,这说明每个实数都可以用数轴上的点来表示.
师:(指准数轴)数轴是由密密麻麻的点组成的,可以想象,数轴上的每一个点,要么表示的是有理数,要么表示的是无理数.
于是我们可以得到这样的结论:每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,也就是实数与数轴上的点一一对应.
我们利用数轴来表示实数,将数和图形联系在一起,这给我们研究数学问题带来了方便,这也是数学中一个相当重要的思想——数形结合思想.
师:请大家把这个结论读两遍.(生读)
师:读了两遍有什么感觉?可能有同学会说:“这个结论读起来有点像绕口令,怎么感觉上半句话和下半句话的意思是一样的?”上半句话是,每一个实数都可以用数轴上的点表示,下半句话是,数轴上的每一个点都表示一个实数.上半句话和下半句话的意思一样吗?不一样.比如说,我们班每个同学都坐在电影院的一个座位上,反过来,电影院的每一个座位上都坐着我们班的一个同学.仔细体会,上半句话和下半句话的意思是不一样的.
【课件7】　判断对错:对的画“??”,错的画“×”.
(1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示. (　　)
(2)数轴上所有的点都表示有理数. (　　)
(3)所有的实数都可以用数轴上的点表示. (　　)
(4)数轴上所有的点都表示实数. (　　)
[设计意图]　通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的思想,让学生体会知识的迁移过程.
活动二:大家谈谈——实数的计算与分类
　　[过渡语]　我们已经学习了如何求一个有理数的相反数、绝对值和倒数.现在数扩充到了实数,怎样求实数的绝对值、相反数和倒数呢?
1.实数的计算
思路一
【课件8】　参照有理数的有关概念,谈谈实数的下列概念:
(1)实数的绝对值.
(2)实数的相反数.
(3)实数的倒数.
通过学生的交谈,使学生明确在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的.
【课件9】
(1)2的相反数是　　　　,|2|=　　　　,2的倒数是　　　　;?
(2)-π的相反数是　　　　,=　　　　,-π的倒数是　　　　;?
(3)0的相反数是　　　　,=　　　　.?
学生独立完成,并归纳总结出如何求一个实数的相反数,以及如何求一个实数的绝对值和倒数.
(1)当a为实数时,a的相反数为-a;
(2)当a为正实数时,=a,即正实数的绝对值是它本身;
(3)当a为负实数时,=-a,即负实数的绝对值是它的相反数;
(4)当a为0时,=0,即0的绝对值是0;
(5)当a≠0时,a的倒数是.
思路二
师:初一的时候,我们学过相反数和绝对值,谁还记得什么是相反数?什么是绝对值?
生:……
师:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数.(指准数轴上表示-4的点)数轴上表示-4的点与原点的距离叫做-4的绝对值,一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.
师:初一的时候,相反数和绝对值都是相对有理数说的,现在数的范围扩大了,对实数来说,也一样有相反数和绝对值.譬如,与-互为相反数(板书:与-互为相反数);的绝对值等于(板书:||=),-的绝对值也等于(板书:|-|=).
师:关于相反数和绝对值我们有下面的结论.
(1)数a的相反数是-a.
(2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.用字母表示:
师:请大家把这两个结论读一遍.(生读)
师:这两个结论对有理数来说是成立的,对实数来说也同样成立.其实不仅如此,倒数也是一样的,实数a的倒数是(a≠0).
[设计意图]　类比有理数和实数,明确两者之间的区别和联系.让学生明确有理数的一些运算对于实数同样成立.
2.做一做——体会实数的分类
　　[过渡语]　有理数、无理数统称为实数,你能把我们学过的数进行一下分类吗?
生1:实数
生2:实数
生3:无理数也像有理数一样,分为正无理数和负无理数,是正无理数,-是负无理数,因此我这样分类:
实数
点评:强调概念的实际背景,帮助学生进一步理解概念,改变机械记忆概念的学习习惯.
[设计意图]　类比有理数的分类方法,让学生总结出实数的分类方法,提高学生的分类归纳能力.
1.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的点来表示.反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.
2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义完全一样.
3.实数分类可以从定义上去分,也可以从正负上去分.
1.下列各组数中互为相反数的是 (　　)
A.3和 B.-和-3
C.-3和 D.-|-3|和-(-3)
解析:A.都是3,故A错误;B.互为倒数,故B错误;C.都是-3,故C错误;D.符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数,故D正确.故选D.
2.π-3的绝对值是 (　　)
A.π-3 B.3-π C. D.
解析:∵π>3,∴π-3>0,∴|π-3|=π-3.故选A.
3.|1-|的相反数为 (　　)
A.1- B.-1
C.1+ D.-1-
解析:∵|1-|=-1,∴|1-|的相反数为1-.故选A.
4.2是-2的 (　　)
A.倒数 B.算术平方根
C.绝对值 D.平方根
解析:因为-2是一个负数,所以它没有平方根,更没有算术平方根,所以选项B,D错误;因为1÷(-2)=-,所以-2的倒数是-,所以选项A错误;因为|-2|=2,所以2是-2的绝对值,所以选项C正确.故选C.
5.的相反数的绝对值是 (　　)
A. B.2 C.- D.-2
解析:的相反数是-,-的绝对值是.故选A.
6.如果是a-1的相反数,那么a的值是 (　　)
A.1- B.1+
C.- D.
解析:由是a-1的相反数,得+a-1=0,解得a=1-.故选A.
7.实数a在数轴上的位置如图所示,则下列说法不正确的是 (　　)
A.a的相反数大于2 B.a的相反数是2
C.|a|>2 D.2a<0
解析:由数轴可知a<-2,所以a的相反数大于2,故选项A正确,选项B错误;C.a的绝对值大于2,故本选项正确,不符合题意;D.2a<0,故本选项正确,不符合题意.故选B.
8.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1)3.8;　(2)-;　(3)-π;　(4);　(5).
解析:根据相反数、倒数、绝对值的定义解答即可.
解:(1)3.8的相反数是-3.8,倒数是,绝对值是3.8.
(2)-的相反数是,倒数是-,绝对值是.
(3)-π的相反数是π,倒数是-,绝对值是π.
(4)的相反数是-,倒数是,绝对值是.
(5),它的相反数是-,倒数是,绝对值是.
9.把下列各数填入相应的大括号中:-,π,-0.2121121112…(每两个2之间依次增加1个1),0,-(-5),-|-4|,-0..
正数:{ …};
负有理数:{ …};
整数:{ …};
无理数:{ …}.
解析:利用正数、负有理数、整数以及无理数的定义判断即可.
解:正数:{π,-(-5),…};
负有理数:{-,-|-4|,-0.,…};
整数:{0,-(-5),-|-4|,…};
无理数:{π,-0.2121121112…(每两个2之间依次增加1个1),…}.
第2课时
活动一:观察与思考——实数与数轴上的点的一一对应关系
活动二:大家谈谈——实数的计算与分类
一、教材作业
【必做题】
1.教材第74~75页练习第1,2题.
2.教材第75页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第75页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组数中互为相反数的是 (　　)
A.|-2|与2 B.-2与
C.-2与- D.-2与
2.绝对值等于的数是 (　　)
A. B.-
C.或- D.-
3.实数a的相反数为2,则实数a的绝对值为 (　　)
A.-2 B. C.- D.2
4.如图所示,以原点为顶点、数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴的原点为旋转中心,将过原点的对角线顺时针旋转,使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处,则点A表示的数是(　　)
A.1 B.1.4 C. D.
5.如图所示,直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右