【完全解读】2016年秋八年级数学上册 6 数据的分析教学案 （新版）北师大版

第六章　数据的分析
1.理解平均数、中位数、众数的概念,会求一组数据的平均数、中位数、众数,了解它们是数据集中趋势的描述;能从条形统计图、折线统计图、扇形统计图等统计图中获取信息,求出相关数据的平均数、中位数、众数;能用计算器求一组数据的平均数.
2.知道权的差异对平均数的影响,能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象;了解平均数、中位数、众数的差别,体会它们在不同情境中的应用.
3.进一步经历数据的收集与处理的过程,发展数据的分析观念和数据的分析处理能力.
1.在统计活动中发展合作交流的意识与能力.
经历探索表示数据离散程度的过程,体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差.
2.能用计算器处理较为复杂的数据,解决简单的实际问题.
能通过分析数据解决简单的实际问题,形成一定的解决问题的能力,进一步体会数学的应用价值,发展应用意识.
一、《标准》要求
1.了解在现实生活中有许多题应当先做调查研究,收集数据,通过分析做出判断,体会数据中蕴含着的信息.
2.了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法.
3.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程;能用计算器处理较为复杂的数据.
4.理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述.
5.体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差.
6.体会统计方法的意义,发展数据分析观念,感受随机现象.
二、教材分析
刻画一组数据的两个常用指标是集中趋势与离散程度,前者反映了数据“平均水平”的高低,后者反映了数据的波动情况,刻画数据集中趋势的常用统计量有平均数、中位数、众数,这些内容构成了本章的前三节;刻画数据离散程度的统计量有极差、方差和标准差,这是本章第四节的学习内容.
学生已经学习过算术平均数,他们习惯用算术平均数描述一组数据的集中趋势,考虑到这一点,第一节首先利用一个学生熟悉的现实生活背景回顾算术平均数的概念,而后通过适当的变式引出加权平均数,并通过具体问题中权的自主设计,让学生了解权的差异对平均数的影响,在此基础上,第二节通过一个有争议的话题,引起学生对数据集中趋势的认识冲突,从而引入新的统计量——中位数、众数,并感受平均数、中位数、众数的各自的特点,尝试根据不同的背景要求选择适当的统计量刻画数据的集中趋势,形成多角度认识数据集中趋势的意识和能力,考虑到现实生活中的数据信息常常以统计图的形式呈现,于是教材设计了第三节,讨论如何从不同的统计图中分析数据的集中趋势.第四节通过具体问题让学生感受到仅依靠集中趋势难以准确地刻画数据,还需要关注数据的离散程度,进而引出刻画数据离散程度的三个统计量——极差、方差和标准差.
【重点】　理解平均数的意义,计算中位数、众数、加权平均数.
【难点】　对数据集中趋势和离散程度的描述.
1.注重学生的活动,特别是小组合作的活动.
统计活动往往非一人力量所能完成,需要同学间合作,而对统计结果的评价也是因人而异的,通过充分研讨,广泛交流,必能扩大学生的思维视角,深化学生对知识的理解.因此,教学中要加强活动的教学,特别是小组合作活动的组织与教学.在合作交流中,通过相互帮助,让所有学生都得到发展,达到共同进步的目的.
2.教学素材选材要广泛,有关数据要真实、可靠,呈现方式宜多种多样.
教学中尽可能组织学生开展一些调查或文献检索等活动,自己收集一些相关教学素材,也可以由教师提供一定的素材,让学生分析、评判教学素材,既可以是未经加工的原始材料,也可以是经过加工处理的各种统计图表等.同时,统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支,必然要求教学素材本身的真实性,以培养学生求真的态度.
3.鼓励学生思维的多样性,避免评价的统一性.
在教学过程中应鼓励学生思维的多样性,避免评价的统一性,只要学生的回答有一定的道理,就应给予肯定鼓励.例如,本章中根据统计图估计有关统计量的问题,学生的估计方法显然不可能完全相同,因此应根据学生的分析做出合理的激励性的评判.
4.鼓励学生使用计算器处理复杂的数据,注重其他课程资源(如信息技术、媒体)的开发与利用.
1　平均数
2课时
2　中位数与众数
1课时
3　从统计图分析数据的集中趋势
1课时
4　数据的离散程度
2课时
回顾与思考
1课时
1　平均数
掌握平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
根据有关平均数问题的解决,培养学生的判断能力和数据处理能力.
通过小组合作的活动,培养学生的合作意识和能力,让学生初步认识数学与人类生活密切联系及对人类历史发展的作用.
【重点】　掌握算术平均数、加权平均数的概念.
【难点】　理解加权平均数的概念,会求一组数据的加权平均数.
第课时
掌握算术平均数、加权平均数的概念.
通过生活中的统计问题,培养学生的理解数据的能力.
帮助学生认识数学与人们生活的密切联系.
【重点】　算术平均数和加权平均数的计算.
【难点】　利用算术平均数和加权平均数解决实际问题.
【教师准备】　教材中三个统计表的投影片.
【学生准备】　复习学过的计算平均数的方法.
导入一:
师:同学们,上次数学素质测试中,我们班的数学成绩比其他班级好,你知道学校是根据什么做出这一判断的吗?
生思考回答:应当根据各班的数学平均成绩.
师:很好!生活中常用平均数对数据进行分析.另外也常用中位数、众数、方差等对数据进行分析和刻画.请同学们交流下面这个问题:某小河平均水深1米,一个身高1.5米的小男孩在这条河里游泳是否安全?
生1:平均水深才1米,身高1.5米的小男孩在这条河里游泳应当安全!
生2:平均水深为1米,则可能有的地方水深不到1米,也可能有的地方水深2米多,还是有危险的.
师总结:大家一定要真正理解“平均水深1米”的含义!怎样才能更好地认识平均数呢?今天我们就来研究这一内容.(教师板书课题:1　平均数)
[设计意图]　创设接近学生生活的问题情境,让学生在轻松愉快的环境中,思考现实生活中的问题,并理解用数据的平均数做出判断的必要性.在课题引入中,激发学生学习本章新知识的兴趣,调动其积极性.
导入二:
通过播放一段CBA(中国男子篮球职业联赛)的视频引入本节课题,在学生观看了篮球比赛的片段后,请同学们思考:影响比赛成绩的有哪些因素?
1.如何衡量两个球队队员的身高?
2.要比较两个球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?
[处理方式]　本环节一要“有趣”,二要“紧凑”,达到引入课题,调动学生学习积极性的目的即可,不宜将时间拖得过长.
[设计意图]　创设接近学生生活的问题情境,让学生在轻松愉快的环境中,思考现实生活中收集数据、处理数据,并用数据的平均数做出判断的必要性.在课题引入中,激发学生学习本章新知识的兴趣,调动其积极性.
　　[过渡语]　大家会计算一组数据的平均数吗?
一、算术平均数
思路一
投影CBA(中国男子篮球职业联赛)2000~2001赛季冠、亚军球队队员的身高、年龄的表格,提出问题:“八一双鹿队”和“上海东方大鲨鱼队”两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?哪支球队队员更为年轻?你是怎样判断的?与同伴交流.
八一双鹿队
上海东方大鲨鱼队
号码
身高/米
年龄/岁
号码
身高/米
年龄/岁
4
1.78
31
4
1.85
24
5
1.88
23
5
1.96
21
6
1.96
32
6
2.02
29
7
2.08
20
7
2.05
21
8
2.04
21
8
1.88
21
9
2.04
22
9
1.94
29
10
2.00
31
10
1.85
24
11
1.98
27
11
2.08
34
12
1.93
24
12
1.98
18
13
1.98
29
13
1.97
18
14
2.14
22
14
1.96
23
15
2.02
22
15
2.23
21
16
1.98
24
17
1.86
26
18
2.02
16
　　教师小结:日常生活中我们常用平均数来表示一组数据的“平均水平”.
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为.【来源：21cnj*y.co*m】
[处理方式]　(1)学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流.(2)各小组之间竞争回答,答对的打上星,给予鼓励.(3)最后,这三个问题由三名中等学生口答完成.
[设计意图]　独立思考是合作探究的一个前提,所以在学习求算术平均数的过程中先让学生独立思考,然后再与同伴交流.小组之间竞争回答问题,让学生经历、体验竞争的过程,并以打星的方式给予评价,旨在激发学生学习的积极性.
思路二
师:篮球运动是大家喜欢的一种运动项目,尤其是男生们更是倍爱有加.下面播放一段CBA(中国男子篮球职业联赛)北京金隅队和广东东莞银行队的比赛视频片段,请同学们欣赏.
师:影响比赛成绩的有哪些因素?
生1:球员心理因素.
生2:球员技术因素.
生3:球员之间的配合问题.
生4:年龄因素.
生5:还有身高因素.
师:说得太好啦!在篮球比赛中,队员的身高是反映球队实力的一个重要因素,如何衡量两支球队队员的身高呢?怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”?
生:衡量两支球队队员的身高,就是分别求两支球队队员的平均身高,然后再做比较;“甲队队员的身高比乙队更高”是指甲队队员的平均身高要比乙队队员的平均身高高.
师:要比较两支球队队员的身高,需要收集哪些数据呢?
生:需要知道每队各个队员的身高.
师:下面是老师收集的两支球队队员的相关信息,如下表所示:
北京金隅队
号码
身高/cm
年龄/岁
3
188
35
6
175
28
7
190
27
8
188
22
9
196
22
10
206
22
12
195
29
13
209
22
20
204
19
21
185
23
25
204
23
31
195
28
32
211
26
51
202
26
55
227
29
广东东莞银行队
号码
身高/cm
年龄/岁
3
205
31
5
206
21
6
188
23
7
196
29
8
201
29
9
211
25
10
190
23
11
206
23
12
212
23
20
203
21
22
216
22
30
180
19
32
207
21
0
183
27
　　师:上述两支篮球队中,哪支球队队员的身高更高?哪支球队的队员更为年轻?你是怎样判断的?
生1:衡量两支球队队员的身高,就是分别求两支球队队员的平均身高,然后比较.
生2:衡量哪支球队队员更年轻,就是分别求两支球队队员的平均年龄,然后再比较.
师:下面各小组计算一下两支球队队员的平均身高和平均年龄,看哪一组计算既准又快,方法又多.
[处理方式]　学生先独立思考,计算出平均数,然后再小组交流.教师巡视、指导学生,学生完成后回答,分享学生的计算成果.www.21-cn-jy.com
生:广东东莞银行队队员的平均身高约为2.00米,平均年龄约为24.1岁;北京金隅队队员的平均身高约为1.98米,平均年龄为25.4岁.所以广东东莞银行队队员的身高更高,更为年轻.【版权所有：21教育】
师:能告诉老师求平均数的方法吗?
生:把一支队中的所有队员的年龄求和,再除以人数就是本队队员的平均年龄.
如北京金隅队队员的平均年龄:
(35+28+26+22+22+29+22+23+26+28+22+19+29+23+27)÷15=25.4(岁).
求平均身高类似.
师:这种求平均数的方法我们并不陌生,我们经常用到它,这种平均数叫算术平均数.
师:日常生活中我们常用平均数描述一组数据的集中趋势.
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为.读作“x拔”.www-2-1-cnjy-com
[设计意图]　引导学生体会现实生活中数据收集和数据处理的必要性.由此引出算术平均数的概念.通过小组讨论,培养学生合作交流的意识和能力.
二、求算术平均数的常用方法
出示教材想一想:
师:除了上面求平均数的方法之外,小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的:(多媒体展示)
年龄/岁
19
22
23
26
27
28
29
35
相应的队员数
1
4
2
2
1
2
2
1
　　平均年龄=(19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1)÷(1+4+2+2+1+2+2+1)=25.4(岁).
师:你能说说小明这样做的道理吗?
生:小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的,只是在求相同加数的和时用了乘法,这是一种求算术平均数的简便方法.
师:你们还有关于计算平均数的简便方法吗?
生:我通过变大为小的方法解决.如广东东莞银行队队员的身高数据都比较大,而且都在200左右,因此可以先将各个数减去200,再算出新的一组数据的平均数,最后加上200即可.
=(5+6-12-4+1+11-10+6+12+3+16-20+7-17)÷14+200≈200(cm).
师:你的方法很好,我们在以后做题中可以学习使用.
[设计意图]　“想一想”是从算术平均数到加权平均数的一个台阶,想让学生顺利完成新知识的建构.同时让学生经历运用多种方法解决问题的过程,培养学生的发散思维能力,激发和调动学生的学习积极性.
【小试身手】
师:下面是某班30位同学一次数学测试的成绩(单位:分),你有几种方法求出他们的平均分?(多媒体展示)
95,99,87,90,90,86,99,100,95,87,88,86,94,92,90,95,87,86,88,86,90,90,99,80,87,86,99,95,92,92
[处理方式]　学生独立思考,计算出平均数并交流.教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,学生完成后用实物投影,展示正确的答案,并给予鼓励.
生:平均分:=91(分).
师:很好,计算准确,还有不同求法吗?
生:=(95×4+99×4+90×5+86×5+87×4+88×2+92×3+100+94+80)÷30=91(分).
师:不错,计算简便,还有不同求法吗?
生:先取一个数90作为基准,则每个数分别与90的差为:5,9,-3,0,0,-4,…,2,2,求出以上新的一组数据的平均数为1,所以原数据的平均数为=90+1=91(分).
[设计意图]　总结求算术平均数的方法,将琐碎的知识纳入知识系统,同时强调一些细节,即计算要准确、方法要灵活选择、单位要注意.
三、加权平均数的概念和计算方法
师:当今社会是人才竞争的时代,每个人都应该不断地增强自己的综合素质,只有这样才会在竞争中立于不败之地,我们通过下面的例题来感受一下.
　某广告公司欲招聘广告策划人员一名,对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试.他们的各项测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩
A
B
C
创新
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言
88
45
67
　　师:如果你是该公司的老总,你打算聘用谁?说出你的理由.
[处理方式]　学生独立思考,并交流解决方法.教师巡视学生并与学生交流,实物投影展示学生正确的答案.
生1:聘用A,通过计算:
A的平均成绩为(72+50+88)=70(分).
B的平均成绩为(85+74+45)=68(分).
C的平均成绩为(67+70+67)=68(分).
因为A是平均成绩最高的,所以候选人A将被录用.
生2:聘用C,因为C的各方面都比较平均,而A,B都有一项不及格.
生3:聘用B,我认为广告策划关键看创新,且B的综合知识也比较扎实.
师:同学们的表现很棒!下面请大家结合这个职业的特点谈一谈对广告策划人员来说最重要的条件是什么.
生:创新.
师:其次呢?
生:综合知识.
师:根据实际需要,公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩,你能计算此时各人员的平均成绩吗?此时谁将被录用呢?
生1:A的测试成绩为=65.75(分).
B的测试成绩为=75.875(分).
C的测试成绩为=68.125(分).
因此候选人B将被录用.
生2:A的测试成绩为72×+50×+88×=65.75(分).
B的测试成绩为85×+74×+45×=75.875(分).
C的测试成绩为67×+70×+67×=68.125(分).
因此候选人B将被录用.
师:这两种算法结果一样,每种算法都可以.
师:上面两种情况中的结果为什么不一样呢?
生:测试的每一项的重要性不同,计算出的平均数就不同.
师:重要性的差异对结果的影响是很大的,所以有些时候我们要考虑重要性不同.这里的重要程度从哪里体现的?
生:4∶3∶1.
师:这说明在实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”.如例题中4,3,1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权,而称为A的三项测试成绩的加权平均数.(教师板书)
师:虽然A的成绩最低,但我们不能否认他也很优秀,可是他并不适合广告策划,你认为他适合哪一项工作?说说你的理由.
生:推销员.因为语言对于推销员来说最重要,其次是综合知识,最后是创新.
师:那么,请你也给每个数据一个“权”吧!
生:语言是5,综合知识是3,创新是2.
师:到底此时是不是A的成绩最高呢?请同学们通过计算加以验证.
[处理方式]　学生独立解决.教师巡视学生,对个别学生进行指导,鼓励学生板演.
生:A的成绩为73.4分,B的成绩为61.7分,C的成绩为67.9分.
师:你们很聪明,做得也很好.其实加权平均数并不是那么高深莫测,它就在我们身边.
师:通过以上的探究,大家讨论一下,算术平均数与加权平均数有什么区别与联系?
[处理方式]　学生讨论交流解决.对学生的总结进行补充.
生1:算术平均数就是把数字直接相加,然后除以个数,而加权平均数是各个数所占的比重不同,按照相应的权重计算出来的.
生2:算术平均数是加权平均数的特例,算术平均数每一项的权重均为1.
[设计意图]　例题是引导学生思考重要性的差异对结果(平均数)的影响,以引入加权平均数的概念并加以诠释.教学过程中要充分发挥学生的主观能动性,让他们积极思考,合作探究,学会新知.尤其认识到加权平均数的概念后让学生自己对例题中的权重加以更改,充分地调动了学生学习的积极性.
四、实际应用,升华新知
　　[过渡语]　请根据你学到的知识解决下面的问题.
[处理方式]　学生分析后独立作答,完成后,让学生校正答案、评价.教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,并规范解题步骤.
1.某次体操比赛,六位评委对某选手的打分如下(单位:分):
9.5,9.3,9.1,9.5,9.4,9.3.
(1)求这六个分数的平均分;
(2)如果规定:去掉一个最高分和一个最低分,余下分数的平均值作为这位选手的最后得分,那么该选手的最后得分是多少?
2.某校在期末考核学生的体育成绩时,规定:早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%,体育理论测试占30%,体育技能测试占50%.小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分,则小颖这学期的体育成绩是多少?
[设计意图]　这两题是算术平均数和加权平均数的直接应用,巩固本节课的“双基”内容.
[知识拓展]　算术平均数与加权平均数是既有联系又有区别的,一般而言,求一组数据的算术平均数,必须是该组数据中各数的“重要性”相当(“权”相等),且重复数据较少;求一组数据的加权平均数有两种情况:一是该组数据中各数据重要程度不一,所占比重不一样.二是该组数据中有多个数据多次出现.
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等),当实际问题中,各项的权不相等时,计算平均数时就要采用加权平均数;当各项的权相等时,计算平均数就要采用算术平均数,两者不可混淆.如:计算彩票的平均收益时,不是求各个等次奖金额的算术平均数,而应考虑不同等次奖金的获奖比重.
1.在演唱比赛中,5位评委给一位歌手的打分如下:8.2分,8.3分,7.8分,7.7分,8.0分,则这位歌手的平均得分是　　　　分.?
解析:根据算术平均数的计算公式,先求出这5个数的和,再除以5即可.(8.2+8.3+7.8+7.7+8.0)÷5=8(分).故填8.
2.有6个数,它们的平均数是12,再添加一个数5,求这7个数的平均数.
解:有6个数,它们的平均数是12,
那么这6个数的和为6×12=72.
再添加一个数5,
则这7个数的平均数是=11.
3.CBA(中国男子篮球职业联赛)2000~2001赛季亚军球队“上海东方大鳖鱼队”队员的年龄如下:
号码
4
5
6
7
8
9
10
年龄/岁
24
21
29
21
21
29
24
号码
11
12
13
14
15
16
17
18
年龄/岁
34
18
18
23
21
24
26
16
　　求这支球队的队员的平均年龄.
解析:计算算术平均数的基本方法是将数据总和除以总个数.考虑到这个队年龄相同的队员较多,故可以将数据做如下处理:
年龄/岁
16
18
21
23
24
26
29
34
相应的队员数
1
2
4
1
3
1
2
1
　　解:平均年龄=(16×1+18×2+21×4+23×1+24×3+26×1+29×2+34×1)÷(1+2+4+1+3+1+2+1)≈23.3(岁).
第1课时
一、算术平均数
二、求算术平均数的常用方法
三、加权平均数的概念和计算方法
四、实际应用,升华新知
一、教材作业
【必做题】
教材第138页习题6.1第1,2题.
【选做题】
教材第139页习题6.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.陕西省某市五月份第一周连续七天的空气质量指数分别为:111,96,47,68,70,77,105,则这七天空气质量指数的平均数是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.71.8 B.77 C.82 D.95.7
2.某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如图所示.那么这6天的日平均用水量是(　　)
A.30吨 B.31吨 C.32吨 D.33吨
3.为了解某中学八(2)班学生每天的睡眠时间,随机抽取了该班10名学生,在一段时间里,每人平均每天的睡眠时间统计如下(单位:小时):6,8,8,7,7,9,10,7,6,9,由此估计该班多数学生平均每天的睡眠时间为 (　　)
A.7小时 B.7.5小时
C.7.7小时 D.8小时
4.某学习小组共有8人,第一次数学测验中,得100分的1人,得90分的2人,得74分的4人,得64分的1人,那么这个小组的平均成绩是 (　　)
A.82分 B.80分 C.74分 D.90分
5.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:
时间/小时
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 (　　)
A.6.2小时 B.6.4小时
C.6.5小时 D.7小时
6.第十三届全国青年歌手大奖赛中,12位评委给通俗组某歌手打分的情况如下(单位:分):96.5,97.5,97.6,97.8,97.8,98.1,98.3,98.5,98.5,98.5,98.6,99.2.去掉一个最高分,去掉一个最低分,这位歌手的最后平均得分为　　　　.?
【能力提升】
7.某次能力测试中,10人的成绩统计如下表,则这10人成绩的平均数为　　　　分.?
分数/分
5
4
3
2
1
人数
3
1
2
2
2
8.某校欲招聘一名数学教师,学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录用.三位候选人的各项测试成绩如下表所示:
测试项目
测试成绩(分)
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)根据三项测试的平均成绩,谁将被录用?说明理由;
(2)根据实际需要,学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比重确定每人的成绩,谁将被录用?说明理由.
【拓展探究】
9.已知两组数据x1,x2,x3,…,xn和y1,y2,y3,…,yn的平均数分别是4和18.
(1)若x1,x2,x3的平均数为4,y1,y2,y3,y4的平均数为18,求x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4的平均数;
(2)求一组新数据6x1,6x2,…,6xn的平均数;
(3)求一组新数据mx1+ky1, mx2+ky2,…,mxn+kyn的平均数.
【答案与解析】
1.C
2.C(解析:(30+34+32+37+28+31)÷6=32(吨).)
3.C(解析:(6×2+8×2+7×3+9×2+10)÷10=7.7(小时).)
4.B
5.B
6.98.12分(解析:(97.5+97.6+97.8+97.8+98.1+98.3+98.5+98.5+98.5+98.6)÷10=98.12(分).)
7.3.1(解析:利用加权平均数的计算方法即可得解.×(5×3+4×1+3×2+2×2+1×2)=×(15+4+6+4+2)=×31=3.1(分).所以这10人成绩的平均数为3.1分.故填3.1.)
8.解:(1)甲的平均成绩为(85+70+64)÷3=73(分);乙的平均成绩为(73+71+72)÷3=72(分);丙的平均成绩为(73+65+84)÷3=74(分).所以丙的平均成绩最高,候选人丙将被录用.　(2)甲的测试成绩为(85×5+70×3+64×2)÷(5+3+2)=76.3(分),乙的测试成绩为(73×5+71×3+72×2)÷(5+3+2)=72.2(分),丙的测试成绩为(73×5+65×3+84×2)÷(5+3+2)=72.8(分),所以甲的综合成绩最高,候选人甲将被录用.
9.解:(1)因为x1,x2,x3的平均数是4,y1,y2,y3,y4的平均数是18,所以x1+x2+x3=4×3=12,y1+y2+y3+y4=18×4=72,所以x1,x2,x3,y1,y2,y3,y4的平均数是(12+72)÷7=12.　(2)因为x1,x2,…,xn的平均数是4,所以x1+x2+…+xn=4n,所以6x1,6x2,…,6xn的平均数是(6x1+6x2+…+6xn)=×6×(x1+x2+…+xn)=24.　(3)mx1+ky1,mx2+ky2,…,mxn+kyn的平均数是(mx1+ky1+mx2+ky2+…+mxn+kyn)=[m(x1+x2+…+xn)+k(y1+y2+…+yn)]=m·(x1+x2+…+xn)+k··(y1+y2+…+yn)=4m+18k.
教学中以提问的方式导入新课,通过设置的问题引导学生进行自主探索与小组间的合作交流,让学生理解算术平均数的意义.通过例题的讲解,让学生归纳、总结出加权平均数的计算方法,加深了学生对加权平均数的理解.
对加权平均数的定义没有充分介绍,对算术平均数和加权平均数的区别和联系涉及较少.
教学过程要加强练习,提高学生的计算能力,注意算术平均数与加权平均数的类比,提高学生分析问题和解决问题的能力.
随堂练习(教材第138页)
1.解:(1)×(9.5+9.3+9.1+9.5+9.4+9.3)=9.35(分).　(2)×(9.5+9.3+9.4+9.3)=9.375(分).
2.解:92×20%+80×30%+84×50%=84.4(分).
习题6.1(教材第138页)
1.解:×(550×21+650×79+750×108+850×92+950×76+1050×24)=798.75≈799(h).
2.解:=82.4(分).答:这两个班95名学生的平均分是82.4分.
3.可能有危险.
4.解:由已知得
==10.6(cm).
=9.9(cm).因为,所以甲种农作物长得高一些.
5.解:×(15+18+10+32+8+12+13+17+9+9+27+18+4+6+11+14+16+21+25+12)=14.85(字/min).
让学生通过具体的情境理解一组数据的算术平均数与加权平均数的意义,并学会计算这两个平均数,用计算器计算时,应指导学生熟悉计算器的操作程序,不同型号的计算器计算平均数的操作步骤可能是不一样的,要引导学生主动阅读说明书,了解计算器的使用方法,求加权平均数时要让学生体会到:当考虑不同的权重时,决策者的结论就有可能随之改变.教学中可以鼓励学生自己举出一些生活中的例子,以加深对知识的理解.
　在某校八年级中随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为1分,2分,3分,4分,共4个等级.将调查结果绘制成如下图所示的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息,这些学生的平均分数是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2.25分 B.2.5分 C.2.95分 D.3分
〔解析〕　总人数:12÷30%=40(人),得3分的人数:40×42.5%=17(人),得2分的人数:40-17-12-3=8(人).平均分为=2.95(分).故选C.
第课时
会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
通过有关平均数问题的解决,培养学生的判断能力和数据处理能力.
通过小组合作的活动,培养学生的合作意识和能力,让学生初步认识数学与人类生活密切联系及对人类历史发展的作用.
【重点】　准确用算术平均数、加权平均数的知识进行计算.
【难点】　理解加权平均数的概念,会求一组数据的加权平均数.
【教师准备】　教材第139页的表格.
【学生准备】　复习平均数、加权平均数的含义.
导入一:
问题1
【课件1】　小组互助学习是课堂教学的一大特色,下面是某校八年级一班一组同学一周的成绩表,请你算出一周得分的平均数.
日期
周一
周二
周三
周四
周五
得分
90
94
92
98
96
　　问题2
【课件2】　下表是一组的四位同学某节课的得分情况:
姓名(编号)
小亮(A)
小红(B)
小英(C)
小超(D)
得分
24
20
16
18
　　根据“互助小组”评价标准,A,B,C,D四位同学的得分按1∶2∶3∶4的比例确定小组的最后成绩,你能算出他们的最后得分吗?
[处理方式]　给学生5分钟的独立思考和解决问题的时间.学生得出问题1的答案为(90+94+92+98+96)÷5=94.学生也有可能采用选择“基数”的方法进行计算平均数.教师都应该给予中肯的评价,提倡利用简便算法方便自己的计算.然后进行追问“我们上节课学的算术平均数,谁来回顾一下定义”.
引导学生复习算术平均数的定义:一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为.学生得出问题2的答案为=18.4,然后借助这种求法,引出加权平均数,从而自然地与本节新授内容衔接.
[设计意图]　用学生身边发生的事创设情境,回顾上节课所学知识,更好地调动了学生学习的积极性,体会到数学与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望,引出课题.
导入二:
师:上个星期,某校进行了一次“爱满校园、情暖人心”的募捐活动.八年级一班的同学也慷慨解囊,下面是一组同学的捐款情况.(单位:元)
5,3,2,5,8,5,10,10.
师:这一组同学平均每人捐款多少元?
生:(5+3+2+5+8+5+10+10)÷8=6(元).
师:这是我们上节课学的算术平均数,谁来回顾一下定义?
生:一般地,对于n个数x1,x2,…,xn,我们把(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为.
师:班长把全班43名同学的捐款情况列表如下:
金额/元
2
3
5
8
10
20
人数/人
2
6
21
4
9
1
　　师:你能算出全班平均每人捐款多少元吗?
[处理方式]　学生根据自己的经验和上节课所学的加权平均数,迅速地在练习本或者黑板上列式,并计算出结果.
生:(展示)
≈6.26(元).
师:解释一下.
生:每个金额出现的次数不同,如捐3元钱的有6人,我就用6×3,捐5元钱的有21人,我就用5×21……最后除以所有人数的和.
师:这其实就是加权平均数,这节课我们将继续研究“权”与“平均数”的有关问题.(教师板书课题)
[设计意图]　用学生身边发生的事创设情境,回顾上节课所学知识,更好地调动了学生的学习积极性,体会到数学与生活的紧密联系,同时使学生受到爱心教育.
一、探究活动1
　　[过渡语]　平均数的不同计算方法会直接影响到统计的结果.
某学校进行广播操比赛,比赛打分包括以下几项:服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分).其中三个班级的成绩分别如下:
服装统一
进退场有序
动作规范
动作整齐
一班
9
8
9
8
二班
10
9
7
8
三班
8
9
8
9
　　师:若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播操比赛成绩,那么哪个班的成绩最高?
[处理方式]　学生先思考一会儿后,教师让一组学生在黑板上进行展示.
　　一组展示:
若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播操比赛成绩,则:
一班的广播操成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分).
二班的广播操成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分).
三班的广播操成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分).
因此,三班的广播操成绩最高.
师:你认为上述四项中,哪一项更为重要?
生1:服装统一.
生2:进退场有序.
生3:动作规范.
生4:动作整齐.
师:如果我们把服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项的百分比改一下,三班的成绩还最好吗?
生:(齐声回答)不一定.
师:这四项的百分比在加权平均数中称为什么?
生:“权”.
师:很好,请你按自己的想法改变“权重”,重新设计一个评分方案.根据你的评分方案,看看哪一个班的比赛成绩最高,与同伴合作进行.
[处理方式]　对于这一问题,让学生先在小组内各抒己见,然后全班交流体会,归纳.
　　二组展示设计方案:
我们组认为动作规范更为重要,所以将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,50%,20%的比例计算各班的广播操比赛成绩.
一班的广播操成绩为9×10%+8×20%+9×50%+8×20%=8.6(分).
二班的广播操成绩为10×10%+9×20%+7×50%+8×20%=7.9(分).
三班的广播操成绩为8×10%+9×20%+8×50%+9×20%=8.4(分).
因此,一班的广播操成绩最高.
师:很好,哪个组再展示一下?
　　三组展示设计方案:
我们组认为除了服装统一不重要,其余三项都很重要,所以将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,30%,30%,30%的比例计算各班的广播操比赛成绩.
一班的广播操成绩为9×10%+8×30%+9×30%+8×30%=8.4(分).
二班的广播操成绩为10×10%+9×30%+7×30%+8×30%=8.2(分).
三班的广播操成绩为8×10%+9×30%+8×30%+9×30%=8.6(分).
因此,三班的广播操成绩最高.
师:好像不论怎样算,二班都不赢.如果我非让二班胜出,谁有办法呢?
生:我能办到!如果让我定标准,我让谁赢谁就赢,让谁输谁就输.二班最好的是服装统一,我就让这一项占最大比重,给70%,其余的都只占10%.
一班的广播操成绩为9×70%+8×10%+9×10%+8×10%=8.8(分).
二班的广播操成绩为10×70%+9×10%+7×10%+8×10%=9.4(分).
三班的广播操成绩为8×70%+9×10%+8×10%+9×10%=8.2(分).
因此,二班的广播操成绩最高,三班的广播操成绩最差,哈哈!
师:赋予的“权”不同,其结果相同吗?
生:同一题中,不同的“权”有不同的结果.
师:明白“权”的重要性了吗?
生:明白了.
[设计意图]　通过学生计算,自己再设计方案和交流,确实让他们体会到权的差异对结果的影响,认识到权的重要性.以上四项所占的比例不同,即权有差异,得出的结果就会不同,也就是说权的差异对结果有影响.
二、探究活动2
小明骑自行车的速度是15 km/h,步行的速度是5 km/h.
(1)如果小明先骑自行车1 h,然后又步行了1 h,那么他的平均速度是多少?
(2)如果小明先骑自行车2 h,然后步行了3 h,那么他的平均速度是多少?
(3)你能从权的角度来理解这样的平均速度吗?
[处理方式]　找两个学生到黑板前展示计算过程,其余学生在下面独立完成.教师进行巡视其他学生解题情况.(1)=10(km/h);(2)=9(km/h).有些学生可能忘记单位或单位写错,要给予及时纠错,也可以让小组内互纠.学生完成(1)(2)问后要追问“为什么两个问题都是计算平均速度,结果却不同”,从而过渡到第(3)问.学生可能从“骑车与步行的时间不同”的角度考虑“一个骑1 h,一个骑2 h”,这时要引导学生理解权的问题.第(1)题中,骑车和步行速度的“权重”相等,平均速度等于它们的算术平均数:=10(km/h).第(2)题中,骑车和步行速度的“权”不同,所以求平均速度必须用加权平均数:=9(km/h).进而引导学生归纳:算术平均数其实是加权平均数的特殊情况.若各项“权”相等,就用算术平均数.
[设计意图]　通过这道题的练习,巩固了求加权平均数的方法,加深对权的意义的理解,体会算术平均数和加权平均数的联系和区别.
[知识拓展]　实际问题中,一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算某组数据的平均数时,往往给每个数据一个“权”.加权平均数中的“权”表示各个数据的比重,反映了各个数据在这组数据中的重要程度.
根据一些数据或项目的重要性不同,加权平均数会更倾向于对数据进行选择.
1.为了调查某一路口某时段的汽车流量,记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有2天是142辆,2天是145辆,6天是156辆,5天是157辆,那么这15天通过该路口汽车平均辆数为 (　　)
A.146 B.150 C.153 D.160
答案:C
2.下表中,若平均数为2,则x为 (　　)
分数
0
1
2
3
4
学生人数
x
5
6
3
2
　　A.0 B.1 C.2 D.3
答案:B
3.某市是一个严重缺水的城市,为鼓励市民珍惜每一滴水,某居委会表扬了100个节约用水模范户,5月份这100户节约用水的情况如下表:
每户节约用水量(单位:t)
1
1.2
1.5
节水户数
52
30
18
　　那么,5月份这100户平均每户节约用水的吨数为　　　　t.?
答案:1.15
4.某汽车配件厂在一个月(30天)中的零件产量如下:有2天是51件,3天是52件,5天是53件,9天是54件,6天是55件,4天是56件,1天是57件.则平均日产量是　　　　件.?
答案:54
第2课时
探究活动1
探究活动2
议一议
一、教材作业
【必做题】
教材第140页习题6.2第1,5题.
【选做题】
教材第140页习题6.2第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小明记录了今年元月某五天的最低温度(单位:℃):1,2,0,-1,-2,这五天的最低温度的平均值是 (　　)
A.1 ℃ B.2 ℃ C.0 ℃ D.-1 ℃
2.在一次“爱心互助”捐款活动中,某班第一小组8名同学捐款的金额如下表所示:
金额/元
5
6
7
10
人数/人
2
3
2
1
这8名同学平均每人捐款的金额为 (　　)
A.3.5元 B.6元 C.6.5元 D.7元
3.李大伯承包一个果园,种植了100棵樱桃树,今年已进入收获期,收获时,从中任选并采摘了10棵树的樱桃,分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表:2-1-c-n-j-y
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/kg
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查,市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元,用所学的知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别是多少.
【能力提升】
4.某校为了招聘一名优秀教师,对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核,现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下:
候选人
百分制
教学技能考
核成绩/分
专业知识考
核成绩/分
甲
85
92
乙
91
85
丙
80
90
(1)如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要,那么候选人　　　　将被录取;?
(2)校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要,因此分别赋予它们6和4的权.计算他们赋权后各自的平均成绩,并说明谁将被录取.
【拓展探究】
5.某学校对初中毕业班经过初步比较后,决定从九(1)、(4)、(8)这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班.现对这三个班进行综合素质考评,下表是它们五项素质考评的得分表(以分为单位,每项满分为10分).
班级
九(1)班
九(4)班
九(8)班
行为规范
10
10
9
学习成绩
10
8
10
校运动会
6
8
9
艺术获奖
10
9
6
劳动卫生
7
8
9
(1)各班五项考评分的平均数分别是多少?
(2)根据你对表中五个项目的重要程度的认识,设定一个各项考评内容的占分比例(比例的各项需满足:①均为整数;②总和为10;③不全相同),按这个比例对各班的得分重新计算,比较出大小关系,并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班.
【答案与解析】
1.C
2.C
3.解:(14+21+27+17+18+20+19+23+19+22)÷10=20(千克),20×100=2000(千克),2000×15=30000(元).答:总产量为2000千克,总收入为30000元.
4.解:(1)甲　(2)根据题意得:甲的平均成绩为(85×6+92×4)÷10=87.8(分),乙的平均成绩为(91×6+85×4)÷10=88.6(分),丙的平均成绩为(80×6+90×4)÷10=84(分).因为乙的平均成绩最高,所以乙将被录取.
5.解:(1)九(1)班的平均成绩:(10+10+6+10+7)÷5=8.6(分),九(4)班的平均成绩:(10+8×3+9)÷5=8.6(分),九(8)班的平均成绩:(9×3+10+6)÷5=8.6(分).　(2)设行为规范权为3,学习成绩、艺术获奖、劳动卫生权为2,校运动会权为1,则九(1)班的平均成绩:(10×3+10×2+6+10×2+7×2)÷10=9(分),九(4)班的平均成绩:(10×3+8×2+8+9×2+8×2)÷10=8.8(分),九(8)班的平均成绩:(9×3+10×2+9+6×2+9×2)÷10=8.6(分).九(1)班的平均成绩最高,推荐九(1)班作为市级先进班集体的候选班.
本课时是对加权平均数认识的进一步深化,通过本课时的活动,使学生认识到了统计中的各项数据的重要程度不一样,或者根据需要可以对相关的数据进行加权.
由于计算的数据比较简单,有的同学马虎大意,出现了计算性错误,直接影响到最后的统计结果,这样不利于养成学生追求科学的精神和认真做事的态度.
课堂例题教学中,可以征求学生的意见,重新拟定一个加权标准,这样更能调动学生的参与热情.同时提醒学生注重加权平均数的公平性和合理性,避免随意制定加权系数的行为.
随堂练习(教材第140页)
1.解:×(28+29×3+31×4+32×4+33×3+34×3+35×5+36×6+37×5+38×7+39×6+40×5+45×1)≈35.6(岁).
2.解:80×30%+70×30%+85×40%=79(分).
习题6.2(教材第140页)
1.解:=7650(kg/hm2).
3.解:估计该年级学生的平均身高在1.63 m到1.66 m之间,因为不知道学生的人数,所以不能具体计算出该年级的平均身高.
5.解:=7(分),=7.8(分),=6.4(分),因为最大,所以乙将被录用.
6.解:(1)一班成绩为95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75(分);二班成绩为90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75(分);三班成绩为85×15%+90×10%+95×35%+90×40%=91(分).所以三班的成绩最高.　(2)答案不唯一,合理即可.
　某次校园歌手大奖赛,最后3名选手的成绩统计如下:
　　(1)若按算术平均数计算平均分排出冠军、亚军、季军,则冠、亚、季军的获得者分别是谁?
(2)若按6∶3∶1的加权平均数来计算平均分排出冠、亚、季军,则获得者又是谁呢?
(3)若最后排出冠军、亚军、季军分别是小华、小明、小文,则权重可能是多少呢?此时三人的成绩分别是多少?
解:(1)小华的平均分是=86(分),小明的平均分是≈91.67(分),小文的平均分是≈93.33(分),冠、亚、季军排名为:小文、小明、小华.
(2)小华的平均分是=90.8(分),小明的平均分是=93(分),小文的平均分是=88(分).冠、亚、季军排名为:小明、小华、小文.
(3)答案不唯一,由题目给出排名是小华、小明、小文,因为小华的唱功分数最高,小明的唱功第二,小文的唱功最低,所以唱功的权重应远远大于其他两项,比如:可能权重为8∶1∶1.此时小华的平均分为=94.4(分);小明的平均分为=94(分);小文的平均分为=84(分).
[解题策略]　“权”的差异对结果的影响巨大,给出不同的“权”,得到的结果也会不同.
2　中位数与众数
掌握中位数、众数的概念,会求一组数据的中位数、众数,能结合具体情况体会平均数、中位数、众数三者的差别,能根据问题的背景选择合适的量描述一组数据的集中趋势.
从各类统计图中获取数据,巩固学生对各种信息的识别与获取能力,增强学生的数据处理和评判意识.
培养学生求真的科学态度,深刻体会现实世界离不开数学,同时培养学生的合作意识.
【重点】　掌握众数与中位数的定义.
【难点】　掌握众数和中位数、平均数三者的差别,并能在具体情境中选择恰当的数据代表,对数据作出自己的评判.【来源：21·世纪·教育·网】
【教师准备】　本课时的引例图片.
【学生准备】　复习平均数、加权平均数的定义.
导入一:
　　[过渡语]　初学游泳的小明来到河边,看到警示牌上写着“平均水深1.1米”,小明大胆地说:“我身高1.4米,一定可以安全畅游喽!”你认为小明有危险吗?
[处理方式]　这个问题由学生口答,必要时教师可以予以提示.很少学生认为没有危险,多数学生认为有危险,因为是平均深度为1.1米,只反映平均水深.21*cnjy*com
[设计意图]　体会数学来源于生活并应用于生活,同时体会平均数并不能客观地、准确地对数据进行评判.
　　[过渡语]　看来,平均数不足以反映数据的特点,本节课我们就来研究另外两种数据的代表:中位数和众数.
导入二:
马棚里住着一匹老马和一匹小马.有一天,老马对小马说:“你已经长大了,能帮妈妈做点事吗?”小马连蹦带跳地说:“怎么不能?我很愿意帮您做事.”老马高兴地说:“那好啊,你把这半口袋麦子驮到磨坊去吧.”小马驮起口袋,飞快地往磨坊跑去.跑着跑着,一条小河挡住了去路,河水哗哗地流着.小马为难了,心想:我能不能过去呢?如果妈妈在身边,问问她该怎么办,那多好啊!可是离家很远了.小马向四周望望,见河边竖着一块牌子,上面写着:“平均深度为1.1 m”,小马高兴了,心想,我身高都1.4 m了,一定不会出危险的!于是大踏步地向河中间跑去……
师:聪明的你想一想,小马一定不会遇到危险吗?
生:不一定,因为平均深度是1.1 m,可能会有深度超过1.4 m的河段,所以小马可能会有危险.
师:是的,有时候只用平均数并不能客观地、准确地对数据进行评判,今天我们将学习另外两种数据的代表——中位数和众数,学习后,我们将会选择恰当的数据代表对数据进行评判.(板书课题)
　　[过渡语]　从上面的事例来看,用平均数来衡量事物,有时会有比较大的偏差,那么用什么数据衡量更合理一些呢?
一、在具体情境中感知平均数、中位数、众数
师:认真研读教材第142页的表格和几个人的对话,思考并回答下列问题:
问题1
【课件1】　该公司员工月平均工资是多少?你是如何计算的?
问题2
【课件2】　经理所说的月平均工资为2700元,是否欺骗了应聘者?
问题3
【课件3】　平均月薪2700元,能反映该公司员工的平均收入吗?为什么会出现这种情况?
问题4
【课件4】　你认为用哪个数据表示员工的平均收入更合适?为什么?
[处理方式]　对于第一个问题,由学生举例回答,教师总结.第二、三、四个问题,学生可先小组内讨论,然后再说出自己的观点,教师不必做过多的评判,主要是为了让学生感知中位数、众数,引入本节内容设定的.
[设计意图]　设计这些问题的目的是为了自然地引入本节的知识,同时这样做也起到活跃课堂气氛的作用,激发学生探究问题的兴趣.
二、明确中位数、众数的定义及求法
思路一
一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
师:认真阅读以上定义,找出关键词.
(1)如果一组数据中数据个数为奇数,应该怎样求中位数?
(2)如果一组数据中数据个数是偶数,应该怎样求中位数?
(3)如果一组数据中每个数据出现的次数相同,众数是哪一个?
(4)如果一组数据中有两个数据出现的次数相同并且最多,众数是哪一个?
生1:如果一组数据中数据个数为奇数,将数据按照大小顺序排列后,最中间的那个数即是这组数据的中位数.
生2:如果一组数据中数据个数为偶数,将数据按照大小顺序排列后,最中间那两个数的平均数即是这组数据的中位数.
生3:如果每个数据出现的次数相同,可以理解为这组数据没有众数,如果有两个或多个数据出现的次数相同且最多,则这两个或多个数据都可以看作是这组数据的众数.
思路二
1.中位数
问题1
【课件1】　求一组数据的中位数,应该先做什么?
问题2
【课件2】　如果一组数据的个数是奇数,怎样求这组数据的中位数?
问题3
【课件3】　如果一组数据的个数是偶数,怎样求这组数据的中位数?
自学检测
下面两组数据的中位数分别是多少?
(1)5,6,2,3,2;
(2)5,6,2,4,3,5.
2.众数
问题1
【课件1】　一组数据的众数一定是这组数据中的数吗?
问题2
【课件2】　一组数据的众数唯一吗?
问题3
【课件3】　一组数据中可能每个数都是众数吗?
自学检测
下面这组数据的众数是多少?
5,2,6,7,3,3,4,3,7,6.
[处理方式]　学生小组合作讨论、探究尝试回答.
[设计意图]　充分地让学生感受求一组数的中位数要先排序,并掌握中位数、众数的概念,及时总结学习的经验.
三、体会平均数、中位数、众数的特征
师:平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的“平均水平”.大家能总结一下它们各有什么特征吗?
生1:计算平均数时,所有数据都参加运算,它能充分地利用数据所提供的信息,但它容易受极端数值的影响.
生2:中位数是一个位置代表值.如果知道一组数据的中位数,那么可以知道小于等于和大于等于这个中位数的数据约各占一半.它的优点是计算简单,受极值影响小,但不能充分利用所有数据的信息.
生3:一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关注的一个量,但各个数据的重复次数大致相当时,众数往往没有特别意义.
四、例题讲解
(多媒体出示)在一次马拉松比赛中,抽得12名选手的成绩如下(单位:min):
136　140　129　180　124　154
146　145　158　175　165　148
(1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少?
(2)一名选手的成绩是142 min,他的成绩如何?
解:(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列:124,129,136,140,145,146,148,154,158,165,175,180.
则这组数据的中位数为处于中间的两个数146,148的平均数,即=147(min).
因此样本数据的中位数是147 min.
(2)这名选手的成绩是142 min,小于中位数147 min,可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好.
[处理方式]　学生先独立思考后再小组内合作交流,小组代表发言,其他小组纠正,教师总结并用多媒体展示答案.
[设计意图]　理解中位数的定义,师生共同体会定义.
[知识拓展]　1.平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系,其中任何数据的变动都会引起平均数的变动,因此平均数可以充分反映这组数据包含的信息,但平均数的缺点是计算繁琐,易受个别极端数据的影响.
2.众数着眼于对各数据出现频率的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端数据的影响,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,可以选择众数进行描述.
3.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,当一组数据中个别数据差别较大时,可用中位数来描述这组数据的集中趋势.
4.平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量,它们从不同侧面刻画了一组数据的“平均水平”,从不同角度描述了一组数据的集中趋势,具体情况应该具体分析.
1.某次数学测验中,五位同学的分数分别是89,91,105,105,110,这组数据的中位数是　　　　,众数是　　　　,平均数是　　　　.?
解析:由小到大排列这5个数,可知105是中位数;五个数据中,105出现的次数最多,所以众数是105;×(89+91+105+105+110)=100.
答案:105　105　100
2.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况,某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计,并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中提供的信息,这50人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是 (　　)
A.6小时、6小时 B.6小时、4小时
C.4小时、4小时 D.4小时、6小时
解析:在50个数据中,锻炼时间为6小时的人数最多,将50个数据由小到大排列后,第25和26个都是6小时,∴众数和中位数都是6小时.故选A.21·世纪*教育网
2　中位数与众数
1.在具体情境中感知平均数、中位数、众数
2.明确中位数、众数的定义及求法
3.体会平均数、中位数、众数的特征
4.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第144页习题6.3第1,2题.
【选做题】
教材第144页习题6.3第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试,每人投篮六次,投中的次数统计如下:5,4,3,5,5,2,5,3,4,1,则这组数据的中位数、众数分别为(　　)21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4,5 B.5,4 C.4,4 D.5,5
2.已知一组从小到大的数据:0,4,x,10的中位数是5,则x等于 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.一组数据2,4,x,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数、中位数分别为 (　　)
A.3.5,3 B.3,4 C.3,3.5 D.4,3
4.某县6月1日到10日的每一天最高气温变化情况如图所示,则这10个最高气温的中位数和众数分别是 (　　)
A.33 ℃,33 ℃ B.33 ℃,32 ℃
C.34 ℃,33 ℃ D.35 ℃,33 ℃
5.某公司80名职工的月工资如下:
月工资/元
人数/人
18000
1
12000
2
8000
3
6000
4
4000
10
2500
20
2000
22
1500
12
1200
6
则该公司职工月工资数据中的众数是　　　　.?
6.某地一周的每一天的最高气温统计如下表:
最高气温/℃
25
26
27
28
天数/天
1
1
2
3
则这组数据的中位数是　　　　,众数是　　　　.?
【能力提升】
7.已知一组数据3,7,9,10,x,12的众数是9,则这组数据的中位数是 (　　)
A.9 B.9.5 C.3 D.12
8.小华班上比赛投篮,每人投6球,如图所示的是班上所有学生投进球数的扇形统计图.下列关于班上所有学生投进球数的统计量,说法正确的是 (　　)
A.中位数为3 B.中位数为2.5
C.众数为5 D.众数为2
9.一组数据3,4,6,8,x的中位数是x,且x是满足不等式组的整数,则这组数据的平均数是　　　　.?
【拓展探究】
10.某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平,随机抽取了50名工人加工的零件进行检测,统计出他们各自加工的合格品数是1~8这8个整数,现提供统计图的部分信息如图所示,请解答下列问题.
(1)根据统计图,求这50名工人加工出的合格品数的中位数;
(2)写出这50名工人加工出的合格品数的众数的可能取值;
(3)厂方认定,工人在单位时间内加工出的合格品数不低于3件为技能合格,否则,将接受技能再培训.已知该厂有同类工人400名,请估计该厂将接受技能再培训的人数.
【答案与解析】
1.A
2.B
3.A
4.A
5.2000元
6.27 ℃　28 ℃
7.A(解析:∵众数是9,∴x=9,按从小到大的顺序排列此组数据为3,7,9,9,10,12,∴这组数据的中位数是=9.故选A.)
8.D
9.5(解析:解不等式组得3≤x<5,∵x是整数,∴x=3或4,当x=3时,3,4,6,8,x的中位数是4,不合题意,舍去,当x=4时,3,4,6,8,x的中位数是4,符合题意,则这组数据的平均数是(3+4+6+8+4)÷5=5.故填5.)
10.解:(1)∵把合格品数从小到大排列,第25,26个数都为4,∴中位数为4.　(2)众数可能为4,5,6.　(3)这50名工人中,合格品低于3件的人数为2+6=8(名),故该厂将接受再培训的人数约有400×=64(名).
本课时的教学活动是围绕“中位数”和“众数”展开的,通过结合生活实际情境,使学生认识了平均数在统计中容易造成假象和失真,这就为引入新的统计概念“中位数”做了铺垫.结合教材的例题,对这两个概念进行了深入浅出的讲解,较好地实现了本课时的教学目标.
对中位数和众数的特点强调较少,会造成学生在运用的时候无从下手的情况.练习中习题的一些数据还比较简单,造成了学生只看不动手进行计算的情况.
由于教材中设置的例题较少,故补充一个具有生活情境的统计例题.这个例题选取中间两个数的平均数作为中位数.
习题6.3(教材第144页)
1.解:应多进领口大小为40 cm的衬衫.
2.解:(1)平均数为15岁,中位数为15岁,众数为15岁.平均数、中位数、众数均可描述该人群年龄的集中趋势.　(2)平均数为15岁,中位数为5.5岁,众数为6岁,中位数或众数可以较好描述该人群年龄的集中趋势.
3.提示:身高的平均数为200.3 cm,中位数是204 cm,众数是206 cm;年龄的平均数是24.1岁,中位数是23岁,众数是23岁.说法合理即可.
4.解:(1)平均收入为(4700×1+1900×2+1500×2+2200×2+1500×3+1400×8+1200×2)÷(1+2+2+2+3+8+2)=34000÷20=1700(元),收入的中位数为=1450(元),众数为1400元.　(2)用中位数描述饭店员工收入水平更为恰当(理由略).　(3)可能是厨师助理、迎宾、服务员或洗碗工等岗位上的员工.
　为了调查某小区居民的用水情况,随机抽查了若干户家庭的月用水量,结果如下表:
月用水量/吨
3
4
5
8
户数/户
2
3
4
1
　　则关于这若干户家庭的月用水量,下列说法错误的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.众数是4吨
B.平均数是4.6吨
C.调查了10户家庭的月用水量
D.中位数是4.5吨
〔解析〕　A.5出现了4次,出现的次数最多,则众数是5吨,故A选项错误;B.这组数据的平均数是(3×2+4×3+5×4+8×1)÷10=4.6(吨),故B选项正确;C.调查的户数是2+3+4+1=10(户),故C选项正确;D.把这组数据从小到大排列,最中间的两个数的平均数是(4+5)÷2=4.5(吨),则中位数是4.5吨,故D选项正确.故选A.
3　从统计图分析数据的集中趋势
1.结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别.
2.能根据统计图正确分析数据的集中趋势.
通过对统计图的分析、计算的过程,体会平均数、中位数、众数在实际生活中的应用.
培养学生对统计图从多角度进行全面的分析,从而避免机械地、片面地解释.
【重点】　能根据统计图分析数据,求出数据的平均数、中位数、众数.
【难点】　对统计图的正确分析.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习平均数、加权平均数、中位数、众数的定义.
导入一:
　　[过渡语]　同学们,前面我们学过了平均数、中位数和众数,哪位同学能说一说如何确定一组数据的平均数?
生1:平均数(x1+x2+…+xn).
生2:老师,还有加权平均数,加权平均数等于每个数据乘它们的权数的和,再除以总权数.
师:你补充得很棒!那如何确定中位数呢?
生:确定中位数,应先把这组数据按大小顺序排列,最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数即为中位数.
师:什么时候中位数取最中间位置的一个数据,什么时候取最中间两个数据的平均数?
生:当一组数据有奇数个时,中位数取最中间位置的一个数据;当一组数据有偶数个时,中位数取最中间两个数据的平均数.
师:又如何确定众数呢?
生:找一组数据中出现次数最多的那个数据.
师:同学们对于平均数、中位数和众数掌握得非常好!通过前面的学习,我们知道平均数、中位数和众数是描述数据集中趋势的统计量.在现实生活中,我们经常看到的是以统计图形式呈现的数据,对于这种方式呈现的数据,我们应该如何从中找到或大致估计出平均数、中位数和众数呢?今天让我们来共同学习从统计图中分析数据的集中趋势.(板书课题)
[设计意图]　通过复习让学生进一步加深对平均数、中位数和众数的理解,明确平均数、中位数和众数是描述数据集中趋势的统计量,为新课的学习做好铺垫.
导入二:
为了检查面包的质量是否达标,随机抽取了同种规格的面包10个,这10个面包的质量如图所示.请同学们讨论一下:
(1)这10个面包质量的众数、中位数分别是多少?
(2)估计这10个面包的平均质量,再具体算一算,看看你的估计水平如何.
[处理方式]　先让学生观察统计图.然后找一名学生回答这10个面包的各个质量,然后老师根据学生的回答,把这10个数据写在黑板上.再找学生回答这10个数据的众数、中位数.可能有的同学发现,在“100”这条线上的点最多,因此可以迅速得到众数是100,最后小组之间讨论估计这10个面包的平均质量,再具体算一算,检查自己的估算水平.另外计算平均数时也有技巧,比如有的同学可能这样算:以100 g为基准,超过100 g的记为正数,低于100 g的记为负数,求出平均数为-0.2 g,加上100 g后,得到平均质量为99.8 g.教师对于这种算法的学生应及时给予鼓励和表扬.
[设计意图]　通过学生读取随机抽取的同种规格面包的统计图的信息,复习平均数、中位数、众数的概念,初步体会估计相关数据的平均数、中位数、众数的过程,从而引入新课.另外此例引导学生根据散点图描述数据的集中趋势,让学生养成先直觉估计,后精确计算,进而进行校验的习惯.引例的解答要让学生自主参与,让学生带着积极的状态进入新课的学习.
一、从散点图分析数据的集中趋势
师:为了检查面包的质量是否达标,随机抽取了同种规格的面包10个,这10个面包的质量如图所示(多媒体出示).这10个面包质量的众数、中位数分别是多少?
[处理方式]　学生观察散点图,尝试确定众数和中位数,并在小组内讨论.学生完成后,教师组织学生展示.
生:众数为100 g,中位数也是100 g.
师:你是如何确定众数的?
生:根据统计图可以发现,在“100”这条线上的点最多.
师:你真棒!同学们,你能估计这10个面包的平均质量吗?你是怎样估计的?
生1:我估计平均质量为100 g.因为众数是100 g.
生2:我也估计平均质量为100 g.我从统计图中发现,其他的7个点都在100 g附近.
生3:我估计平均质量为99 g多,因为从统计图可以发现,高于100 g的有3个,低于100 g的有4个.
师:上面三个同学的估计方法都很好.现在,请同学们具体算一算,看看你的估计水平如何.(学生开始计算,计算完成后与自己的估计值相比较)
生:我计算的结果为99.8 g,比我的估计值少0.2 g.
……
[设计意图]　借助散点图呈现的数据信息,引导学生利用直观分析数据的集中趋势,让学生养成先直觉估计,后精确计算,进而进行校验的习惯.
二、从条形统计图分析数据的集中趋势
师:甲、乙、丙三支青年排球队各有12名队员,三队队员的年龄情况如图所示.


(1)观察三幅图,你能从图中分别看出三支球队队员年龄的众数吗?中位数呢?
(2)根据上图,你能大致估计出三支球队队员的平均年龄哪个大、哪个小吗?你是怎么估计的?与同伴交流.
(3)计算出三支球队队员的平均年龄,看看你的估计是否准确.
[处理方式]　学生分组讨论交流,小组交流之后,每个小组选个代表汇报交流结果.问题(2)估计平均年龄,方法不唯一,合理即可.另外对学有余力的学生,教师还可以鼓励他们进一步思考:“甲队队员年龄统计图”是一个对称的条形统计图,这时平均数、众数、中位数都恰好等于“中间的20”,那么对于其他一个对称的条形统计图,是否都有类似的结论呢?
[设计意图]　让学生学会从条形统计图中直观地感受数据信息,得到大致的判断,同时根据条形统计图中的数据,得出中位数、众数,能计算出平均数.
三、从扇形统计图分析数据的集中趋势
师:小明调查了班级里20名同学本学期计划购买课外书的花费情况,并将结果绘制成了如图所示的统计图.在这20名同学中,本学期计划购买课外书的花费的众数是多少?为什么?
[处理方式]　学生根据统计图以及所给的信息求平均花费,并在小组内交流做法.教师在学生完成后借助实物投影展示学生的做题过程.
生:(思考后)众数是50元,因为50元占的比重最大.
师:你们同意他的说法吗?
生:同意!
师:下面,请同学们计算这20名同学计划购买课外书的平均花费是多少.你是怎么计算的?与同伴交流.
生:题目中已经给出了总人数和各个数据对应的百分比,因此可以算出各个数据对应的人数,然后求平均数.过程如下:
20×10%=2,20×25%=5,20×40%=8,20×20%=4,20×5%=1,
20名同学的平均花费为(100×2+80×5+50×8+30×4+20×1)÷20=57(元).
师:同学们,你们同意他的做法吗?
生:(齐答)同意.
师:如果这道题不知道调查的总人数,你还能求平均数吗?
生:(齐答)不能.
师:(点拨引导)求平均花费的过程也可以如下:(板书)
20名同学的平均花费为:[100×(20×10%)+80×(20×25%)+50×(20×40%)+30×(20×20%)+20×(20×5%)]÷20=57(元).
师:如果把算式中的小括号去掉,你有什么发现?
生:(交流后)可以约去20.
师:同学们,约去20后可以写成100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%,其中的百分比就是扇形统计图中各项对应的百分比.事实上,这些百分比就是“权”,所以平均数也可以直接这样算:100×10%+80×25%+50×40%+30×20%+20×5%=57(元).给你们1分钟的时间体会理解.
[设计意图]　借助扇形统计图呈现的数据信息,描述数据的集中趋势.在培养学生几何直观的同时,在此背景下提出算术平均数的算法问题.【出处：21教育名师】
四、例题讲解
　某地连续统计了10天日最高气温,并绘制成如下图所示的扇形统计图.
(1)这10天中,日最高气温的众数是多少?
(2)计算这10天日最高气温的平均值.
[处理方式]　分析题意后,尝试让学生独立完成,完成后由学生汇报结果,对于不正确的结果,由其他同学加以补充,教师适时引导.
解:(1)根据扇形统计图,35 ℃占的比重最大,因此日平均气温的众数是35 ℃.
(2)这10天日最高气温的平均值是:32×10%+33×20%+34×20%+35×30%+36×20%=34.3(℃).
[设计意图]　通过该例题,进一步培养学生从扇形统计图中获取信息的能力,更进一步培养学生求出相关数据的众数、平均数的计算能力.
[知识拓展]　条形统计图、扇形统计图或折线统计图等统计图是进行数据整理的工具,是进行数据分析的前提,应用时要了解各类统计图的特点,根据统计图的各自特点,正确地进行提取数据分析,获取各组数据的平均数、中位数或众数等统计量,分析数据的集中趋势.
从不同的统计图中获取一组数据的平均数、众数、中位数,关键是根据统计图分析其中包含的信息,结合平均数、众数、中位数的定义进行判断或计算.
统计图分析数据
1.学校快餐店有2元、3元、4元三种价格的饭菜供师生选择(每人限购一份).如图所示的是某月的销售情况统计图,则该校师生购买饭菜费用的平均数和众数是 (　　)
A.2.95元,3元 B.3元,3元
C.3元,4元 D.2.95元,4元
解析:设本校共有师生x人,则买饭菜的费用是①2元:25%x×2=50%x;②3元:55%x×3=165%x;③4元:20%x×4=80%x.所以该校师生购买饭菜费用的平均数是(50%x+165%x+80%x)÷x=0.5+1.65+0.8=2.95(元).购买3元饭菜的人最多,所以众数为3元.故选A.
2.如下图所示的是某市5月份某一周的最高气温统计图,则这组数据(最高气温)的众数与中位数分别是 (　　)
A.28 ℃,29 ℃ B.28 ℃,29.5 ℃
C.28 ℃,30 ℃ D.29 ℃,29 ℃
解析:数据从小到大排列为(单位:℃)28,28,28,29,29,30,31.其中28 ℃出现了3次,故众数为28 ℃,最中间的数为29 ℃,故中位数为29 ℃.故选A.
3　从统计图分析数据的集中趋势
1.从散点图分析数据的集中趋势
2.从条形统计图分析数据的集中趋势
3.从扇形统计图分析数据的集中趋势
4.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第147页习题6.4第1,2题.
【选做题】
教材第148页习题6.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在某公益活动中,小明对本班同学的捐款情况进行了统计,绘制成如图所示的不完整的统计图.其中捐100元的人数占全班总人数的25%,则本次捐款的中位数是　　　　元.?
2.下图是某篮球队队员年龄结构统计图,根据图中信息解答下列问题:
(1)该队队员年龄的平均数是　　　　岁.?
(2)该队队员年龄的众数是　　　　岁,中位数是　　　　岁.?
【能力提升】
3.瑶寨中学食堂为学生提供了四种价格的午餐供其选择,这四种价格分别是:A.3元,B.4元,C.5元D.6元.为了了解学生对四种午餐的购买情况,学校随机抽样调查了甲、乙两班学生某天购买四种午餐的情况,依据统计数据制成如下的统计图表:　　21*cnjy*com
(1)求乙班学生人数;
(2)求乙班购买午餐费用的中位数;
(3)已知甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元,从平均数和众数的角度分析哪个班购买的午餐价格较高.
【拓展探究】
4.甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛,两校参赛人数相等.比赛结束后,发现学生成绩分别为7分,8分,9分,10分(满分为10分).依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表.
甲校成绩统计表
分数
7分
8分
9分
10分
人数
11
0
8

(1)在图①中,“7分”所在扇形的圆心角等于　　　　.?
(2)请你将图②的统计图补充完整.
(3)经计算,乙校的平均分是8.3分,中位数是8分,请写出甲校的平均分、中位数,并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好.
(4)如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛,为便于管理,决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手,请你分析,应选哪所学校?
【答案与解析】
1.20(解析:∵捐100元的15人占全班总人数的25%,∴全班总人数为15÷25%=60(人),∴捐款20元的有60-20-15-10=15(人),∴中位数是第30和第31人捐款的平均数,均为20元,∴中位数为20元.)
2.(1)21　(2)21　21(解析:(1)该队队员年龄的平均数=(17×1+18×2+21×3+23×2+24×2)÷10=21(岁).(2)21岁出现3次,众数为21岁;共10个数据,按从小到大排列,第5,6个数据都是21岁,故中位数是21岁.)
3.解:(1)因为乙班学生购买C午餐的人数为25人,所占百分比为50%,所以乙班学生人数为25÷50%=50(人).　(2)因为乙班学生人数共50人,所以乙班购买午餐费用的中位数应是第25与26人的平均数,所以乙班购买午餐费用的中位数是购买C午餐:5元.　(3)因为甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元,甲班购买午餐费用的众数是购买B午餐:4元,乙班购买午餐费用的众数是购买C午餐:5元,所以乙班购买的午餐价格较高.
4.解:(1)144°　(2)如图所示.　(3)甲校的平均分为(7×11+9×1+10×8)÷20=8.3(分),中位数为7分.由于两校平均分相等,乙校成绩的中位数大于甲校的中位数,所以从平均分和中位数的角度上判断,乙校的成绩较好.　(4)因为选8名学生参加市级口语团体赛,甲校得10分的有8人,而乙校得10分的只有5人,所以应选甲校.
本课时在向学生介绍三种统计图的时候,做到了问题分析和能力指导的有机结合.教师在教学的过程中,对每种统计图都做了问题提示来帮助学生思考,学生在观察、分析统计图表的过程中,较好地掌握了观察、分析统计图表的基本方法.
在分析三种统计图的时候,最后没有把三种统计
图的特点总结和强调出来,学生虽然会分析统计图,但在分析数据的过程中,不一定会选用恰当的统计图.
对扇形统计图表要强调图例的作用,必须在读懂图例的前提下去分析扇形统计图.对折线统计图和条形统计图要强调估测的数值要尽量准确.
随堂练习(教材第146页)
解:(1)平均数为3分,众数为3分,中位数为3分.　(2)平均数为3.42分,众数为3分,中位数为3分.
习题6.4(教材第147页)
1.解:众数为3分,中位数为3分,平均数为5×6%+4×24%+3×40%+2×16%+1×8%+0×6%=2.86(分).
2.解:平均成绩为×(9.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9+8.6+9+9+9.4)=×90=9(环).
3.解:(1)男生鞋号数据的平均数为(37×3+38×4+39×4+40×7+41×1+42×1)÷(3+4+4+7+1+1)=39.1(码),中位数为39码,众数是40码.　(2)鞋厂最感兴趣的是众数.
4.解:(1)九年级(2)班学生的体育成绩好一些.　(2)九年级(1)(2)两班学生体育成绩的众数为“中”.　(3)九年级(1)班的平均成绩为=75(分),九年级(2)班的平均成绩为=78(分).
(4)九年级(1)班的平均成绩为75分,中位数为75分,众数为75分,三者相等.
5.解:平均用电量为(35×2+45×3+55×8+65×4+75×3)÷20=56.5(kW·h).
通过探究活动,向学生提供充分从事数学活动的机会,使他们在自主探索和合作交流的过程中进一步理解平均数、中位数、众数的实际含义.学会从条形统计图、扇形统计图等统计图中获取信息,估计相关数据的平均数、中位数、众数,从而增强统计意识和数据处理能力,培养探索精神和创新意识.教师一定要鼓励学生积极探索,体验数学活动的趣味与应用价值,让学生在相互交流中,互相启发,共同进步.
通过提出问题串,让学生积极交流讨论并发表自己的看法,充分发挥学生的主动性、积极性,鼓励学生动脑、动手、动口,积极参与到学习的过程当中,体现学生的主体作用.
　如下图所示的是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况.
(1)找出该组数据的众数和中位数;
(2)计算这些车的平均速度;(结果精确到0.1千米/时)
(3)若某车以50.5千米/时的速度经过该路口,能否说该车的速度要比一半以上车的速度快?并说明理由.
解:(1)该组数据的众数为52千米/时,中位数为52千米/时.
(2)(50×2+51×5+52×8+53×6+54×4+55×2)÷(2+2+4+5+6+8)≈52.4(千米/时).
(3)不能.因为由(1)知该组数据的中位数为52千米/时,所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要大于52千米/时,有一半的车速要小于52千米/时,该车的速度是50.5千米/时,小于52千米/时,所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快.
4　数据的离散程度
通过具体的实例让学生全面理解极差、方差以及它们在现实生活中的应用,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.
通过描述一组数据离散程度的统计量:极差、方差、标准差的大小,对实际问题做出解释,培养学生解决问题的能力.
鼓励学生独立思考,培养实事求是的科学态度,培养学生学习数学的热情,体会数学与人类生活的密切联系.
【重点】　了解极差、方差、标准差的意义,并根据它们的定义计算一组数据的极差、方差、标准差.
【难点】　在具体情况下,具体分析方差对问题的影响.
第课时
通过具体的实例让学生全面理解极差、方差的定义,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力.
通过描述一组数据离散程度的统计量,掌握极差、方差的计算方法.
鼓励学生独立思考,培养实事求是的科学态度,培养学生学习数学的热情,体会数学与人类生活的密切联系.
【重点】　了解极差、方差、标准差的意义.
【难点】　方差的含义.
【教师准备】　教材图6-6的投影图片,计算器.
【学生准备】　复习比较反映数据集中程度的三种统计图的特点,有条件的同学准备计算器.
导入一:
　　[过渡语]　同学们,本章开头的折线统计图(投影展示)反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好?你是怎么判断的?
[处理方式]　学生自主思考完成.教师巡视,了解学生答题情况.
展示交流:
生:从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好,所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.
师:具体算一算甲、乙两位选手射击成绩的平均数.
生:通过计算,可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.
师:甲、乙的平均成绩相同,你认为哪个选手更稳定?你是怎么看出来的?
生:由图可知甲的最好成绩是10环,最差成绩是4环,而乙的最好成绩是9环,最差成绩是7环,所以甲的成绩差较大,故乙选手更稳定.
师总结:分析得很好!由此可知刻画一组数据的稳定性,用数据的集中趋势来解决是不适合的.我们这节课就来探究解决这个问题的方法.(板书课题)
[设计意图]　从学生熟悉的现实生活出发,容易激发学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,服务于生活的道理.
导入二:
　　[过渡语]　前几节我们已经研究过描述数据集中趋势的三个量,具备了一定的数据分析能力,但有时集中趋势还难以准确刻画一组数据.我们来看下面的问题.
为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿.现有2个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质也相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:
甲厂:75　74　74　76　73　76　75　77　77
74　74　75　75　76　73　76　73　78
77　72
乙厂:75　78　72　77　74　75　73　79　72
75　80　71　76　77　73　78　71　76
73　75
把这些数据表示成下图:

(1)你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗?
(2)从甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量分别是多少?在图中画出纵坐标等于平均质量的直线.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少?最小值呢?它们相差几克?
(4)如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应买哪个厂的鸡腿?说明你的理由.
[设计意图]　通过一个实际问题情境,让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析的,从而顺利引入研究数据的其他量度:极差.
　　[过渡语]　数据的分布不只是有集中的角度,我们还可以从离散的角度去研究数据.
一、刻画数据离散程度的统计量—极差
问题
【课件】　如何解决导入二中提出的问题呢?
[处理方式]　学生计算,自主完成.教师巡视,了解学生做题情况.
展示交流:
师:你能否根据所给的数据做出应该购买哪个厂的鸡腿的决定?
生:甲、乙两厂抽取的鸡腿规格为75 g的产品比例都是20%,所以不能做出决定.
师:把所给数据制成散点图,你能从图中估计出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗?
生:(思考)估计鸡腿的平均质量为75 g.
师:那么,你能求出甲、乙两厂抽取的鸡腿的平均质量吗?看看你的估计是否准确,并在教材图中画出纵坐标等于平均质量的直线.
生:根据给出的数据,计算得=75 g,=75 g.
师:同学们完成得很好.抽取的鸡腿的平均质量线表示如下图所示.(多媒体展示)
师:如果现在考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应该购买哪个厂的鸡腿?
生:因为甲厂鸡腿的数据相对于平均数的偏差较小,所以我认为应购买甲厂的鸡腿.
师:从哪些方面可以看出甲厂鸡腿的数据相对于平均数的偏差较小?
生:从图中可以知道,甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g,最小值是72 g,它们相差78-72=6(g);而从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是80 g,最小值是71 g,它们相差80-71=9(g).21世纪教育网版权所有
师:我们发现,仅用数据的集中趋势分析问题是不够的.实际生活中,人们往往还关注数据的离散程度,即它们相对于集中趋势的偏离情况.因此,我们引入一个新的统计量——极差,它是刻画数据离散程度的一个统计量.极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.(板书)
师:从这个问题中我们发现:极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
[设计意图]　通过实际问题创设教学情境,让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析的,引起认知冲突,从而顺利引入研究数据的量度:极差.这样,既吸引了学生的注意力,又激发了学生的求知欲,也能让学生感受到数学知识就在生活之中.
二、刻画数据离散程度的统计量——方差、标准差
思路一
随着市场的激烈竞争,丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,数据如下图所示.
对于甲、丙两厂,又该如何选择呢?
[处理方式]　学生计算,交流解决方法.教师巡视,参与学生交流.
展示交流:
生:可以对比两厂抽取鸡腿质量的平均数和极差.
生:设丙厂这20只鸡腿质量的平均数为,计算得=75.1 g,极差为79-72=7(g).
师:如图所示的粗线表示鸡腿的平均质量.你认为在甲、丙两厂中,外贸公司应该买哪个厂的鸡腿?
生:根据甲、丙两厂的有关数据,外贸公司应该买甲厂的鸡腿.
师:甲厂的有关数据是不是明显优于丙厂的有关数据?
生:不是.
[设计意图]　通过丙厂与甲厂的对比发现,仅有极差还不能准确刻画一组数据的离散程度,让学生产生一种急于解决问题的心情,从而引起积极探索新知的欲望.
思路二
如果丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,数据如下图所示:
(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少?
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距.21教育网
(3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么?
[处理方式]　将两个厂家的数据用一个统计图展示给学生,如果之前没有提及平均差的话,就让同桌之间按顺序分工完成题目中的甲厂和丙厂的问题,得出问题(1)中的数值后汇总就容易发现极差所不能解决的这个实际问题.在解决问题(2)的时候,学生找差距容易带有符号,这时应提出探讨74 g和76 g的鸡腿的偏离程度是否是一样的,因此提出用鸡腿质量和平均数的差的绝对值来刻画,可以将它们求和,也可以将它们求平均数(即平均差).问题(3)的处理可以借助图像直观得出结论,也可以用求和或者求平均差的方法解决.如果前面已经提及平均差的话就可以让学生自主分析选择哪一个更符合要求.
师:我们探讨了用极差和平均差来表示数据的离散程度,数据的离散程度还可以用方差或者标准差来刻画.请同学们阅读教材第150页,并思考计算一组数据的方差的步骤.
[处理方式]　阅读时间两分钟,学生独立完成阅读后总结计算方差的步骤,教师强调:方差是各个数据与平均数差的平方的平均数,即s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],其中是x1,x2,…,xn的平均数,s2是方差,而标准差(s)就是方差的算术平方根.一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.小组研究较简单的记忆方法,交流后让小组代表概括,如果小组代表的语言不够严谨,教师可引导学生完成,可以简单地记作:先平均,后求差,平方后,再平均.
完成交流后独立计算丙厂的方差,并与甲厂比较.等待学生完成后教师强调:(1)极差和标准差的单位和原单位一致;(2)方差的单位应该为原单位的平方,但是不具有什么实际意义,一般都省略不写.(3)计算器不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即可求出方差.
[设计意图]　在这里增加一个丙厂,目的是通过与前两个厂的对比,发现仅有极差刻画数据的离散程度是不够的,从而引出其他量.设计丙厂的数据时,让甲和丙的平均数和极差都完全相同,给学生离散程度的比较制造更大的难度,能够更大程度地激起学生的求知欲和探索交流的欲望,也为方差和标准差的呈现做好充分的准备.同时使学生在实际问题的解决过程中认识到离散程度的意义和影响,形成一定的数据意识和解决问题的能力,进一步体会数学的应用价值.
三、探索计算器的使用
思路一
由学生自主探索用计算器求下列一组数据的标准差:
98　99　101　102　100　96　104　99　101　100
请在你自己使用的计算器上探索求一组数据的标准差的具体操作步骤.
具体操作步骤是(以CZ1206为例):
1.进入统计计算状态,按2ndfSTAT.
2.输入数据然后按DATA,显示的结果是输入数据的累计个数.
3.按σ即可直接得出结果.
[设计意图]　学生自主探索用计算器求一组数据的标准差的操作步骤.在教师的指导下,学生能自主探索出标准差的求法.
【做一做】
1.分别计算从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
2.根据计算结果,你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规格?
[设计意图]　通过计算方差的练习,巩固对方差的计算熟练程度,并理解方差对数据的波动影响程度.通过用计算器能计算出甲、丙两厂抽取的20只鸡腿的方差,得出方差较小的甲厂的产品更符合要求.
思路二
　　[过渡语]　同学们回想一下,刚刚求方差的计算量如何?
生:方差的计算量太大了.
师:所以我们可以使用计算器来计算出一组数据的标准差与方差.如何使用计算器呢?请同学们结合甲、乙两位选手射击成绩的数据在自己的计算器上探索求标准差的具体操作.
注意:计算器一般不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即可求出方差.
[处理方式]　学生小组合作,积极探讨、交流计算器求标准差、方差的具体操作.教师巡视并指导学生探索求标准差、方差的具体操作.
生1:甲选手成绩的方差=3.29;
生2:乙选手成绩的方差=0.49.
师:祝贺大家学会使用计算器求标准差、方差的操作了!那么,现在你知道甲、乙哪个选手的成绩更稳定吗?
生:因为,所以乙选手的成绩更稳定.
[设计意图]　通过学生自主探索,学会用计算器求一组数据的标准差、方差的操作步骤.
【小试身手】
师:同学们,请你运用所学到的知识解决问题.
1.求数据2,6,4,3,5的极差、方差.
2.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位:cm)如下:
甲队:178　177　179　179　178　178　177　178　177　179
乙队:178　177　179　176　178　180　180　178　176　178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐?你是怎么判断的?
[处理方式]　学生先独立完成,完成后在小组内交流.教师巡视指导学生,鼓励学生板演,完成后,让学生校正答案、评价,并规范解题步骤.
[设计意图]　通过学生的简单练习,使教师及时了解学生对刻画数据离散程度的三个量度(极差、标准差和方差)的理解情况,以便教师及时对学生进行矫正.
[知识拓展]　1.方差是用来描述一组数据整体波动情况的特征数,方差的单位是原数据单位的平方.对于其意义及应用需掌握以下几点:
①方差越大,数据波动越大,越不稳定;方差越小,数据波动越小,越稳定.
②实际问题中,可能越稳定越好,也可能越不稳定越好.
③有时方差的大小只能说明一种波动大小,不能说明优势劣势.
2.使用计算器可以方便地计算一组数据的标准差,其大体步骤是:进入统计计算状态,输入数据,按键得出标准差.
注意:对于一组数据,有时只知道它的平均数还不够,还需要知道它的波动大小.描述一组数据的波动大小的量不止一种,最常用的有极差、方差、标准差.
1.计算下列一组数据的方差及标准差.(精确到0.01)
50　55　96　98　65　100　70　90　85　100
解:平均数为×(50+55+96+98+65+100+70+90+85+100)=80.9.方差为×[(50-80.9)2+(55-80.9)2+(96-80.9)2+(98-80.9)2+(65-80.9)2+(100-80.9)2+(70-80.9)2+(90-80.9)2+(85-80.9)2+(100-80.9)2]=334.69.
标准差为≈18.29.所以这组数据的方差为334.69,标准差约为18.29.
2.某班实行每周量化考核制,学期末对考核成绩进行统计,结果显示甲、乙两组的平均成绩相同,甲组成绩的方差是36,乙组成绩的方差是30,则两组成绩的稳定性相比,下列说法正确的是 (　　)
A.甲组比乙组的成绩稳定
B.乙组比甲组的成绩稳定
C.甲、乙两组的成绩一样稳定
D.无法确定
解析:方差小的比较稳定.故选B.
3.数据-2,-1,0,3,5的方差是　　　　.?
解析:这组数据-2,-1,0,3,5的平均数是(-2-1+0+3+5)÷5=1,故方差为[(-2-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(3-1)2+(5-1)2]=.故填.
第1课时
1.刻画数据离散程度的统计量——极差
2.刻画数据离散程度的统计量——方差、标准差
3.探索计算器的使用
一、教材作业
【必做题】
教材第151页习题6.5第1,2题.
【选做题】
教材第152页习题6.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知一组数据:15,13,15,16,17,16,14,15,则这组数据的极差与众数分别是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4,15 B.3,15 C.4,16 D.3,16
2.若将一组数据中的每一个数减去同一个非零常数,则该数据的 (　　)
A.平均数改变,极差不变
B.平均数改变,极差改变
C.平均数不变,极差不变
D.平均数不变,极差改变
3.将一组数据中的每个数据都减去同一个数,那么下列结论成立的是 (　　)
A.方差改变,平均数不变
B.方差和平均数都不变
C.方差改变,平均数改变
D.方差不变,平均数改变
4.天气预报说:今天最高气温是10 ℃,最低气温是零下2 ℃,今天气温的极差是 (　　)
A.6 ℃ B.8 ℃ C.10 ℃ D.12 ℃
5.若一组数据8,9,7,8,x,3的平均数是6,则这组数据的极差是　　　　.?
【能力提升】
6.甲、乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下:(单位:吨/公顷)
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
经计算,=10,=10,则根据这组数据估计　　　　种水稻的产量比较稳定.?
7.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5是互不相等的正整数,且平均数是3,中位数也是3,求这组数据的极差.
8.甲、乙两人在相同的条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示.
(1)他们的打靶成绩有什么差别?
(2)甲、乙两人打靶的平均成绩各是多少?在图中画出表示平均成绩的直线.
(3)甲打靶成绩的极差是多少?乙打靶成绩的极差是多少?哪个人的打靶成绩比较稳定?
9.小明和小兵参加体育项目训练,近期的8次测试成绩(单位:分)如下表:
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
小明
10
10
11
10
16
14
16
17
小兵
11
13
13
12
14
13
15
13
(1)根据上表中提供的数据填写下表:
平均数
众数
中位数
方差
小明
10
8.25
小兵
13
13
(2)若从中选一人参加市中学生运动会,你认为选谁去合适呢?请说明理由.
【拓展探究】
10.观察与研究.
(1)观察下列各组数据并填空.
A:1,2,3,4,5.=　　　　,=　　　　.?
B:11,12,13,14,15.=　　　　,=　　　　.?
C:10,20,30,40,50.=　　　　,=　　　　.?
D:3,5,7,9,11.=　　　　,=　　　　.?
(2)分别比较A,B,C,D的计算结果,你能发现什么规律?
(3)若一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,那么另一组数据3x1-2,3x2-2,…,3xn-2的平均数为　　　　,标准差为　　　　.?
【答案与解析】
1