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浙教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·花溪期中）二次函数 的最小值是 （ ）
A． 2 B．2 C． 1 D．1
2．（2024九上·岳阳期中）将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·浙江期中）已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
4．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
5．（2024九上·佛山期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A． B． C． D．
6．（2024九上·温州期中）如图，是的内接三角形，为的直径，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·杭州期中）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·兰溪期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
9．（2024九上·官渡期中）已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2023九上·合肥期中）如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·宁波期中）请判断：①任意三点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤每个内角都是120°的六边形是正六边形；⑥圆内接平行四边形是矩形；以上其中正确的结论是 ．（填序号）
12．（2023九上·良庆期中）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
13．（2023九上·渠县期中）如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为 ．
14．（2024九上·嵊州期中）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
15．（2024九上·杭州期中）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
16．（2024九上·罗庄期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州期中）一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个红球，2个黑球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸出1个红球，1个黑球．
（2）事件B：摸出2个黑球．
18．（2024九上·遂溪期中）2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，而对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹．如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，手 弹离手点离地面高度为米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远．
19．（2024九上·浙江期中）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
20．（2024九上·交城期中） 五一商场经销一种商品，每千克成本为50元.经销售发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量满足的四组值如下：
销售单价（元/千克） 55 60 65 70
销售量（千克） 70 60 50 40
（1）请确定与之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．（2023九上·蕲春期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦的长．
22．（2023九上·江岸期中）已知函数y＝﹣x2+2x+4．
（1）该函数的对称轴为 ，顶点为 ；
（2）当x 时，y随x增大而减小；
（3）当0＜x＜3时，函数值y的取值范围是 ．
23．（2023九上·江岸期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10．
（1）第5天，该商家获得的利润是 元；第40天，该商家获得的利润是 元；
（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 天？（直接填写结果）
24．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
25．（2023九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中点A的坐标为（1，3）．
（1）求双曲线和直线AB的表达式；
（2）将直线AB向下平移，当平移后的直线A'B'与双曲线只有一个交点时，请求出直线A'B'的解析式；
（3）在y轴上是否存在点P使得∠APD＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·花溪期中）二次函数 的最小值是 （ ）
A． 2 B．2 C． 1 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数y=（x-1）2+2的最小值为2.
故答案为：B
【分析】对于二次函数的顶点式y=a （x-h）+k，若此函数有最小值，则函数的最小值为k，可得到答案。
2．（2024九上·岳阳期中）将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】将 化为顶点式，得 .将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意先将抛物线的解析式根据公式y=a(x+)2+配成顶点式，再根据平移规律“左加右减、上加下减”可求解。
3．（2024九上·浙江期中）已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【答案】B
【解析】【解答】解：∵2x=5y，
∴=．
故选B．
【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．
4．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴ =25%，
解得：a=12．
故本题选A．
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即 =25%，即可即解得a的值．
5．（2024九上·佛山期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：C
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
6．（2024九上·温州期中）如图，是的内接三角形，为的直径，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∴，
∵为的直径，
∴，
由作图可得：平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：B．
【分析】过点G作于，由作图可得：平分，根据角平分线的性质得，设，则，然后证明，根据相似三角形对应边成比例得出，从而求出求出，接下来由勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
7．（2024九上·杭州期中）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出AB的长度，即可得到：， 然后根据相似三角形的性质得到：， 再根据相似三角形边的关系计算即可.
8．（2024九上·兰溪期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接，，
是的外接圆，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：B．
【分析】连接，，由圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”并结合∠A的度数可得∠BOC=2∠A，在等腰直角三角形BOC中，用勾股定理计算即可求解．
9．（2024九上·官渡期中）已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
对称轴为：，
，
则，①正确；
，
，②错误；
时，，对称轴为直线，
当时，，
，③错误；
，
，④正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
即，⑤正确；
正确的结论有①④⑤，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
10．（2023九上·合肥期中）如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】过点F作FG//CN交AB于点G，如图所示：
∵点M是DF的中点，
∴点N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF=2MN，
∵GF//CN，EF//AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH=GF=2MN，
设MH=MN=m，则GF=2m，
∵DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴BC=4DE，
∵EF//AB，DE//BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，
∵FG//CN，
∴，
∵，
∴，
∴CN=4GF=8m，
∴CH=CN-NH=8m-2m=6m，
∴CM=CH+MH=6m+m=7m，
∴，
故答案为：D.
【分析】设MH=MN=m，则GF=2m，先证出△ADE∽△ABC，可得，求出BC=4DE，再利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，求出CN=4GF=8m，再利用线段的和差求出CM=CH+MH=6m+m=7m，最后求出即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·宁波期中）请判断：①任意三点可以确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤每个内角都是120°的六边形是正六边形；⑥圆内接平行四边形是矩形；以上其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】④和⑥
【解析】【解答】解：①不在同一直线上的任意三点可以确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
②平分弦 (不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；
④同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
⑤每个内角都是 且每条边都相等的六边形是正六边形，故原命题错误，不符合题意；
⑥因为矩形的对角互补，符合圆内接四边形的性质；故圆的内接平行四边形是矩形正确，故此选项正确，符合题意；
正确的有④⑥，
故答案为：④⑥.
【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、圆的有关定义及性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
12．（2023九上·良庆期中）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
【答案】4π－8
【解析】【解答】解：连接OD，
∵D是的中点，AB是⊙O的直径
∴∠AOD＝90°
∴
∴阴影部分的面积＝
故答案为：.
【分析】
连接OD，先证明∠AOD＝90°，再计算，最后利用阴影部分的面积＝即可求得答案．
13．（2023九上·渠县期中）如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，
设、分别与交于点、 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即与的相似比为 ，
∴与的周长比为
故答案为：
【分析】本题考查网格图中的两个相似三角形周长之比.设、分别与交于点、 ，则 ，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：，在网格图中，利用正切的定义可得：，进而可推出，利用平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，利用勾股定理可求出、，进而可得，根据两个相似三角形周长之比等于相似比，据此可求出与的周长比 ．
14．（2024九上·嵊州期中）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
【答案】1≤a＜或a≤-2．
【解析】【解答】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b
∵点A(-1，0)，点B(1，1)，
∴
解得，
∴
∵抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0
∴△=9-8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤-2
∴a≤-2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤-2．
故答案为：1≤a＜或a≤-2．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征.设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b，将点A(-1，0)，点B(1，1)代入函数解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可得，根据抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，可得令=ax2-x+1，则2ax2-3x+1=0，利用一元二次方程根的判别式可求出a＜，分两种情况：a＞0，a＜0，根据题意列出不等式组，解方程组可求出a的取值范围．
15．（2024九上·杭州期中）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
4
由表知，共有16种等可能的结果数，其中两个数的和是4的为，，，有3种，
∴两个数的和是4的概率为，
故答案为：．
【分析】先列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
16．（2024九上·罗庄期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，且点C为的中点，
是的垂直平分线，，
，，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接、，根据垂直平分线判定定理可得是的垂直平分线，，则，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得CE，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州期中）一个不透明的箱子里装有3个只有颜色不同的球，其中1个红球，2个黑球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求下列事件发生的概率：
（1）事件A：摸出1个红球，1个黑球．
（2）事件B：摸出2个黑球．
【答案】（1）解：画树状图如下：
∴共有9种等可能的结果，其中摸出1个红球，1个黑球的结果有4种，
∴摸出1个红球，1个黑球的概率为；
（2）解：由（1）可知，摸出2个黑球的结果数有4种，
∴摸出2个黑球的概率为．
【解析】【分析】（1）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得摸出1个红球，1个黑球的结果数，进而利用概率公式进行求解；
（2）由（1）的树状图得到摸出2个黑球的结果数，最后利用概率公式进行求解.
（1）解：由题意画树状图如下；
∴共有9种等可能的结果，其中摸出1个红球，1个黑球共有4种等可能的结果，
∴摸出1个红球，1个黑球的概率为；
（2）解：由（1）可知，摸出2个黑球共4种等可能的结果，
∴摸出2个黑球的概率为．
18．（2024九上·遂溪期中）2021年国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，而对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹．如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为9米，此时水平飞行距离为8米，手 弹离手点离地面高度为米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远．
【答案】（1）解：根据题意可得：米，米，米，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：
，解得：，
∴，则，
∴志愿军同志的手榴弹扔了17米．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；
（2）根据函数解析式，求得点F的坐标，即可得出答案。
（1）解：根据题意可得：米，米，米，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴，则，
∴志愿军同志的手榴弹扔了17米．
19．（2024九上·浙江期中）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
20．（2024九上·交城期中） 五一商场经销一种商品，每千克成本为50元.经销售发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量满足的四组值如下：
销售单价（元/千克） 55 60 65 70
销售量（千克） 70 60 50 40
（1）请确定与之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设与的函数关系为
把与分别代入中
得
解得：
∴与的函数关系为
（2）解：设销售利润为元
=
=
（）
∵
∴抛物线开口向下
∴有最大值
当=70时
最大=800元
答：当销售单价定为70元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。从表格中选取2组数据代入设定的解析式建立方程组求解；
（2）根据二次函数的利润问题求解。利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算。
21．（2023九上·蕲春期中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）以为直径的圆M与y轴交于C、D两点，求弦的长．
【答案】（1）解：令，则，
∴，即，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接，
则，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，解方程即可求出答案.
（2）根据两点间距离公式可得，再根据线段中点坐标公式可得圆心M的坐标为，连接，则，，再根据勾股定理可得OC，再根据垂径定理即可求出答案.
（1）解：令，则，
∴，即，
解得，，
∴A、B两点的坐标分别为、；
（2）解：∵A、B两点的坐标分别为、，
∴，
圆心M的横坐标为，
∴圆心M的坐标为，
如图，连接，
则，，
∴，
∴．
22．（2023九上·江岸期中）已知函数y＝﹣x2+2x+4．
（1）该函数的对称轴为 ，顶点为 ；
（2）当x 时，y随x增大而减小；
（3）当0＜x＜3时，函数值y的取值范围是 ．
【答案】（1）x=1；(1，5)
（2）
（3）
【解析】【解答】（1）解：，
∴该函数的对称轴为直线x=1，顶点为(1，5)；
故答案为：x=1，(1，5)
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，随增大而减小；
故答案为：
（3）解：∵抛物线开口向下，顶点为，
∴当时，函数有最大值，最大值为5，
当时，y=4，
当时，y=-32+2×3+4=1，
∴当时，函数值的取值范围是．
故答案为：
【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，再根据“二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)”即可求解；
（2）由于a=-1<0，抛物线开口向下，根据二次函数的增减性，即可求解；
（3）根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质可得当x=1时，函数有最大值，最大值为5，再分别求出x=0，x=3时的函数值，即可求解．
23．（2023九上·江岸期中）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10．
（1）第5天，该商家获得的利润是 元；第40天，该商家获得的利润是 元；
（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有 天？（直接填写结果）
【答案】（1）450；1000
（2）解：①根据题意得：化简得当时，，∵，∴随增大而增大，当时，，当时，，∵开口向下，∴对称轴，时，随增大而减小，又为整数，∴时，，∵，∴，此时，即第30天利润最大，最大利润1200元，②8
【解析】【解答】（1）解：第5天，该商家获得的利润是（80-50）×（10+5）=450（元）；
设BC的解析式为：y=kx+b，把B（30，50），C（50，70）代入解析式，
得：，
解得：，
∴BC的解析式为y=x+20，
当时，，
即第40天时该产品的成本是60元/件，
利润为：元；故答案为：450；1000
（2）解：②
当时，
又且为整数
∴或29或30
当时，
令
∴，
∴
又
∴且为整数，
∴或32或33或34或35
综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，
故答案为：8.
【分析】（1）利用点B和点C的坐标求出直线BC的解析式，再求当x=40的函数值即可；
（2）①先求出w与x之间的函数关系式和自变量的取值范围，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②根据 当天利润不低于1125元 建立不等式，结合一次函数、二次函数与不等式的关系求解．
24．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（b为常数）．
（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为，
①b的值是 ，点B的坐标是 ；
②当时，借助图象，求自变量x的取值范围；
（2）对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】（1）①；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴
（3）解：如图
∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴
【解析】【解答】解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；
②画出函数图象，图象法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
（1）解：①∵函数图象与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图象如下：
由图可知：当时，或；
（2）解：∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
25．（2023九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中点A的坐标为（1，3）．
（1）求双曲线和直线AB的表达式；
（2）将直线AB向下平移，当平移后的直线A'B'与双曲线只有一个交点时，请求出直线A'B'的解析式；
（3）在y轴上是否存在点P使得∠APD＝45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（1，3）代入y＝得m＝3，
则双曲线的表达式是y＝，
把A（1，3）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝3，
解得b＝4，
则直线AB的表达式是y＝﹣x+4；
（2）解：将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n，
∵直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，
∴＝﹣x+4﹣n，
整理得x2+（n﹣4）x+3＝0，
∵Δ＝（n﹣4）2﹣4×1×3＝0，
解得n＝4+2或n＝4﹣2，
∴直线A'B'的解析式为y＝﹣x﹣2或y＝﹣x+2；
（3）解：存在，
过点A作AM⊥x轴于点M，
∵点A的坐标为（1，3）．
∴M（1，0），
∵直线AB的表达式是y＝﹣x+4，
令y＝0，则0＝﹣x+4，解得x＝4，
∴D（4，0），
∴AM＝DM＝3，
∴△ADM是等腰直角三角形，
以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P，连接MP，
∴∠APD＝∠AMD＝45°，
设P（0，p），
∴MP＝＝3，
∴p＝±2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将 A（1，3）代入y＝得m的值， 从而求得双曲线的解析式，再将 A（1，3）代入y＝﹣x+b求得b的值，从而求得直线AB的解析式；
（2）根据将直线AB向下平移n（n＞0）个单位长度得直线A′B′解析式为y＝﹣x+4﹣n， 且 与反比例函数的图象只有一个交点， 得到关于x的等式，整理得关于x的一元二次方程，利用 Δ＝0，得到关于n的方程，解方程即可求解；
（3）存在，过点A作AM⊥x轴于点M，可得△ADM是等腰直角三角形，以M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴交于点P， 利用圆周角定理可得 ∠APD＝∠AMD＝45°，设P（0，p）和MP的值， 利用勾股定理即可求得点P的坐标.
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