【完全解读】2016年秋八年级数学上册 5 二元一次方程组教学案 （新版）北师大

第五章　二元一次方程组
1.了解二元一次方程(组)的有关概念,会解简单的二元一次方程组(数字系数);能根据具体问题中的数量关系,列出二元一次方程组解决简单的实际问题,并能检验解的合理性.
2.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系,会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
经历从实际问题中抽象出二元一次方程(组)的过程,体会方程的模型思想,发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力,培养良好的数学应用意识.www-2-1-cnjy-com
了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元思想”,从而初步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想.
一、《标准》要求
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用方程、函数进行表述的方法,体会模型的思想,建立符号意识.
2.初步学会在具体的情境中能从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
4.掌握代入消元法和加减消元法,能解二元一次方程组.
5.能解简单的三元一次方程组.
6.体会一次函数与二元一次方程的关系.
7.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
二、教材分析
具体地,第1节通过丰富的实例,建立二元一次方程和二元一次方程组,让学生观察归纳出二元一次方程和二元一次方程组的有关概念,并从中体会方程的模型思想.第2节,顺理成章地给出现实问题的解答,进而通过具体方程总结出求解二元一次方程组的两种基本方法——代入消元法、加减消元法.第3~5节再次通过几个问题情境,进行列二元一次方程组解决实际问题的训练.这样,一方面,在列方程组的建模过程中,强化了方程的模型思想,培养了学生列方程解决现实问题的意识和能力;另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题的解决过程中提高学生的解题技能.第6节通过对二元一次方程、二元一次方程组与一次函数关系的讨论,建立方程与函数的联系,引导学生从“形”的角度看待二元一次方程和二元一次方程组.第7节通过待定系数法,利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.第8节作为选学内容介绍三元一次方程组的基本解法.
【重点】　
1.二元一次方程组的解法.
2.二元一次方程组在生活中的应用.
【难点】　一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.
1.教学要注意与一元一次方程的类比,让学生体会学习二元一次方程组的必要性,结合自己已有的解一元一次方程的经验,探索二元一次方程组的解法,体会消元、转化的数学思想方法.
2.教学内容的选取和呈现要关注现实意义和学生的兴趣,充分利用学生已有经验,尽量创设有利于学生自主探究的课堂氛围,鼓励学生合作探究,提倡用学生的智慧解决学生的问题.
3.关注学生对知识与技能的理解和应用.对知识与技能的评价,应重视学生的理解和在新情境中的应用,如考查学生能否根据实际问题正确地建立模型,能否选择恰当的方法解二元一次方程组,解方程组正确与否,能否检验求得结果的合理性.
4.关注学生列方程解决实际问题的意识、水平及在学习过程中的表现,注重培养学生的应用意识.例如,让学生以小组合作学习的形式分析一下开放性的问题,并说出心得体会,在学生的交流中对其进行评价;让学生自主地观察生活实际,并据此编制有关应用问题,从学生所编制的应用问题中评判其应用意识和应用水平.
1　认识二元一次方程组
1课时
2　求解二元一次方程组
2课时
3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1课时
4　应用二元一次方程组——增收节支
1课时
5　应用二元一次方程组——里程碑上的数
1课时
6　二元一次方程与一次函数
1课时
7　用二元一次方程组确定一次函数表达式
1课时
*8　三元一次方程组
1课时
回顾与思考
1课时
1　认识二元一次方程组
通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念,并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
发展学生的归纳、观察和概括的能力,同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
激发学生的求知欲望,培养他们勇于探索的精神.
【重点】　对二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念的理解,并会判断二元一次方程组的解.
【难点】　对二元一次方程及二元一次方程组的解的个数的判断.
【教师准备】　预设学生学习过程中可能出现的问题.
【学生准备】　复习一元一次方程的有关概念.
导入一:
每块饼干的质量是x克,每颗糖果的质量是y克,小明拿了一个等臂天平,在左边秤盘放两块饼干,右边秤盘放三颗糖果,结果天平两臂平衡,当在左边秤盘里又放了三块饼干,右边秤盘里又放了四颗糖果时,天平并没有平衡,只好在右边秤盘里又加了1克的砝码才使得天平平衡.上面的例子中,可以得到两个方程是2x=3y和5x=7y+1,怎样看待这两个方程呢?它们的解有什么实际意义?
导入二:
我们已经学习了一元一次方程,你能举一个一元一次方程的例子吗?
生:(轻松回答)3x+4=5x,0.5x=3.
师:很好!那么什么是一元一次方程?
生:含有一个未知数,并且所含未知数的次数为1的整式方程叫一元一次方程.
师:非常准确!从这节课开始我们将进一步来学习有关方程的问题.我们都知道牛和马是人类最忠诚的帮手,在那个非机械化的年代,是它们为我们驮运货物,帮助农民耕地……活干多了,牢骚也来了.请同学们看下面的故事,同时请两个同学来为它们配音.(多媒体出示)
(显示对话,老牛与小马,学生配音)
老牛喘着气吃力地说:“累死我了.”小马说:“你还累,这么大的个,才比我多驮了2个.”老牛气喘吁吁地说:“哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!”小马不相信地说:“真的?!”
生:(笑)……
师:两位同学表演得很不错,请同学们想一想它们在争论什么呢?
生:它们在争论谁的包裹多.
师:对,那么你能用数学知识帮助它们解决这个问题吗?
让每个学习小组讨论(讨论2分钟,然后发言).教师注意引导学生设两个未知数,从而得出两个二元一次方程.
师:题目中等量关系有几个?你是如何得到的?
生:2个等量关系.
依据老牛的包裹数比小马多2个得到:老牛驮的包裹数-小马驮的包裹数=2个.依据老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛驮的包裹数是小马驮的2倍得到:老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数-1)×2.
师:你能设出适当的未知数列出相应的方程吗?请大家写下来.
生:(板演)设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.根据题意得x-y=2,x+1=2(y-1).
[设计意图]　以动漫的形式引出方程问题,调动学生的积极性,让学生再次经历建模的同时,以相对轻松的状态进入后面的学习.通过自主探究来认识体会二元一次方程建模思想的过程,也是学生完成从一元到多元的认识转化过程.
　　[过渡语]　我们以前学过的方程都是含有一个未知数的,如果方程中含有两个未知数,这样的方程是怎样的呢?
一、认识二元一次方程
思路一
出示教材第103页上半页情境图,师生交流.
①怎样列一元一次方程解决这个问题呢?
生1:设老牛驮了x个包裹,则有2(x-3)=x+1.
生2:设小马驮了x个包裹,则有2(x-1)=x+3.
②如果设两个未知数,怎样解决这个问题呢?
设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多了2个,由此你能得到怎样的方程?
生:x-2=y.
若老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹数是小马的2倍,由此你又能得到怎样的方程?
生:x+1=2(y-1).
③怎样列出教材第104页引例中的方程?
生:x+y=8,5x+3y=34.
小结:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
思路二
大家观察下面的5个方程,是我们学过的一元一次方程吗?
360x+720y=17280;x-y=2;x+1=2(y-1);x+y=8;5x+8y=34.
生:不是.
师:与一元一次方程的特征相比较我们可以给它们取一个什么名称呢?
生:二元一次方程!
师:很好,请同学们找出二元一次方程有什么特征?
生1:含有两个未知数.
生2:未知数的次数是1.
生3:方程两边都是整式.
(多媒体同一页显示,便于学生逐条比较)
师:对于方程xy+8=5x,大家认为是二元一次方程吗?(学生认识不统一,有说是,有说不是)xy(多媒体用红色圈出)这个项的次数是几?(学生有的说是2,有的说是1.此时老师加以纠正,单项式的次数是单项式中所有字母的指数和,因此项xy次数为2,原方程不是二元一次方程)
师:我们应将“未知数的次数是1”更正为什么?
生:含未知数的项的次数是1.
师:很好,现在大家知道什么叫二元一次方程了吗?
生:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
(多媒体显示二元一次方程的概念,并让学生加以巩固)
[设计意图]　为了让学生尽快理解新知识,教学通过类比的方法,引导学生与一元一次方程相比较,逐步理解二元一次方程的概念,同时培养学生归纳概括能力.
师:两人一组,分别写出几个方程,让另一位同学判断是不是二元一次方程.
(学生迅速出题,然后互相判断,很多小组出现争执,场面非常活跃,教师巡视,对出现的争执及时给予评判)
[知识拓展]　1.二元一次方程还可以定义为:在方程中有两个未知数,未知数与未知数之间没有乘法、除法运算,并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.本节课常出现的错误是对二元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数都是1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+2=0也是二元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如二元一次方程ax+y=6中a≠0这个条件.
3.二元一次方程满足的条件
二、认识二元一次方程组
问题1
在前面的实际问题中,这两个方程中x的含义相同吗?分别是什么含义?y呢?
问题2
若x,y同时满足这两个方程,用什么方式把这两个方程联立起来,即写成什么形式呢?
问题3
如果两个方程中相同字母所代表的含义相同,把它们联立起来,就组成了二元一次方程组,你能归纳出二元一次方程组的概念吗?
问题4
根据二元一次方程组的概念回答问题:
①二元一次方程组中每个方程都必须是二元一次方程吗?
②一次方程指的是“含未知数的项的次数是1”还是“各个未知数的次数是1”?
③二元一次方程组中一定只能含有两个一次方程吗?
[处理方式]　学生独立思考后小组讨论交流,小组代表发言.教师适时点拨,逐步总结出二元一次方程组的定义(含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组).强调定义中的两个未知数是指两个方程共含两个未知数,一次方程可以是一元一次方程,也可以是二元一次方程.点拨性语言例如:成为二元一次方程组应满足几个条件?
根据上面的定义分别判断这样的两个方程组:(1)(2)是不是二元一次方程组?让学生对二元一次方程组的定义进行再认识.
[设计意图]　将方程返回实际问题中理解研究,体现数学与生活实际的联系.通过一个个问题的设计,将二元一次方程组的概念进行解剖,帮助学生理解概念.
[知识拓展]　1.二元一次方程组的概念也不是严格的定义.例如:这三个方程组都是二元一次方程组,其中方程组②中的第一个方程只有一个未知数;方程组③中的两个方程也都分别只有一个未知数,但它们仍然都是二元一次方程组.为了更好地识别一个方程组是不是二元一次方程组,我们可以这样叙述:在一个方程组中,共有2个未知数,并且每个方程都是一次方程,这样的方程组就是二元一次方程组.
2.事实上,共含有两个未知数的几个二元一次方程组成的方程组都是二元一次方程组,而我们最常见的是两个二元一次方程组成的方程组.
三、二元一次方程和二元一次方程组的解
思路一
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.如x=6,y=2是方程x+y=8的一个解,记作同样也是方程x+y=8的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
例如:就是二元一次方程组的解.
思路二
(1)x=6,y=2适合方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能找出适合方程x+y=8的x,y的值吗?
(2)x=5,y=3适合5x+3y=34吗?x=2,y=8呢?
(3)你能找到一组x,y的值,同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?
生1:x=6,y=2适合二元一次方程x+y=8;x=5,y=3;x=4,y=4都适合,还有x=0,y=8;x=-1,y=9……
生2:x=5,y=3适合二元一次方程5x+3y=34;x=2,y=8也适合.
(多媒体出示)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
师:x=6,y=2是二元一次方程x+y=8的一个解,记作同时也是二元一次方程x+y=8的一个解.大家说二元一次方程有多少个解呢?
生1:很多个.
生2:无数个!
(师强调:二元一次方程的一个解不是一个值,而是一对值;一般地,二元一次方程有无数个解)
师:刚才我们找出二元一次方程的解,那么有没有一组x,y的值同时适合这两个方程呢?
生:同时适合这两个方程.
(多媒体出示概念)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.(给两分钟时间巩固理解概念)
[知识拓展]　1.二元一次方程组的解是一对数,要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验,这对数只有满足方程组中的每一个方程,这对数才能是这个方程组的解.
2.一般情况下,二元一次方程的解有无数个,而二元一次方程组的解是唯一的.但当对二元一次方程的解加以限制时也可能变为有限个了,如x+y=2的正整数解只有
1.下列选项中,是二元一次方程的是 (　　)
A.7x+3y=2 B.xy=9
C.x+2y2=11 D.=2
解析:本题考查二元一次方程的定义,B选项的次数为2,C选项的最高次数为2,D选项不是整式方程,故选项B,C,D都不是二元一次方程.故选A.
2.下列方程组中,属于二元一次方程组的是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:本题主要考查二元一次方程组的定义,A选项共含有三个未知数;B选项是二元二次方程组;D选项中-5y=6不是整式方程,不是二元一次方程组.故选C.
3.下面各组数中,是二元一次方程组的解的是 (　　)
A. B.
C. D.
答案:D
4.已知是二元一次方程组的解,则m-n的值是　　　　.?
解析:把代入方程组解得则m-n=1-(-3)=1+3=4.故填4.
1　认识二元一次方程组
1.认识二元一次方程
2.认识二元一次方程组
3.二元一次方程和二元一次方程组的解
一、教材作业
【必做题】
教材第106页习题5.1第1,2题.
【选做题】
教材第106页习题5.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列方程组是二元一次方程组的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.对于二元一次方程4x-3y=7,下列说法正确的是 (　　)
A.只有一个解
B.只有两个解
C.有无数个解
D.任何一对有理数都是它的解
3.二元一次方程组的解是 (　　)
A. B.
C. D.
4.对于二元一次方程组甲:与二元一次方程乙:9x-13y=135的关系,下面说法正确的是 (　　)
A.方程组甲的解必是方程乙的解
B.方程乙的解必是方程组甲的解
C.方程组甲的解不一定是方程乙的解
D.方程组甲的解与方程乙的解完全相同
5.为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地抽查了10000人,并进行统计分析,结果显示:在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人,如果设这10000中,吸烟者患肺癌的人数为x,不吸烟者患肺癌的人数为y,根据题意,下面列出的方程组正确的是 (　　)
A.
B.
C.
D.
【能力提升】
6.若是二元一次方程ax+by=-2的一个解,则代数式2a-b+7=　　　　.?
7.若x2m-7+4y3n-2=0是二元一次方程,则m=　　　　,n=　　　　.?
8.请写出一个二元一次方程组:　　　　,使它的解为?
9.已知二元一次方程2x+3y+5=0.
(1)将已知方程写成用含有y的代数式表示x的形式;
(2)写出方程的三个解.
10.根据题意列出方程组.
(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,那么明明两种邮票各买了多少枚?
(2)将若干只鸡放入若干个笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放.那么有多少只鸡,多少个笼?
11.已知方程组的解为求(m-n)2的值.
【拓展探究】
12.已知方程(k2-4)x2+(k+2)x+(k-6)y=k+8,则:
(1)当k为何值时,方程为关于y的一元一次方程?
(2)当k为何值时,方程为关于x,y的二元一次方程?
【答案与解析】
1.D(解析:A选项含有三个未知数,B选项的未知数x,y出现在分母上,不是整式方程,C选项的xy项为二次项.)
2.C(解析:二元一次方程的解应该有无数个,但若加以限制可能只有有限个了.)
3.B(解析:根据二元一次方程组的解的定义,将四组值依次代入原方程组检验即可,而检验只有选项B中x,y的值能使二元一次方程组中的每个方程左右两边都相等.故选B.)
4.A(解析:方程组的解是组成这个方程组的各个方程的公共解.)
5.B
6.5(解析:将代入ax+by=-2,得2a-b+7=-2+7=5.)
7.4　1(解析:根据二元一次方程的定义可知2m-7=1,3n-2=1,故m=4,n=1.)
8.(答案不唯一)
9.解:(1)由2x+3y+5=0,得2x=-5-3y,所以x=-y-.　(2)答案不唯一,如:或或
10.解:(1)设0.8元的邮票买了x枚,2元的邮票买了y枚,根据题意得　(2)设有x只鸡,y个笼,根据题意得
11.解:将代入原方程组得解得所以(m-n)2=0.
12.解:(1)依题意,得即k=-2时,原方程为关于y的一元一次方程.　(2)依题意,得即k=2时,原方程为关于x,y的二元一次方程.
在学习一元一次方程的基础上,延伸到二元一次方程组的学习,通过知识的类比和迁移,学生可以比较顺利地了解二元一次方程组的相关概念.通过具体的生活情境,帮助学生从生活的角度感知数学知识的存在.
忽略强调二元一次方程的解有无数个(一般情况下),忽略二元一次方程组可能存在无解现象.不强调这一点,会加大今后理解一次函数与二元一次方程组关系的难度.
根据知识之间的内在联系,可以引导学生从一元一次方程相关概念出发,引导学生探索发现二元一次方程组的概念,类比方程的解的概念,自己总结出方程组的解的概念.
随堂练习(教材第105页)
1.解:设小明买了面值为50分的邮票x枚,买了面值为80分的邮票y枚,依题意得
2.解:(2)和(4)是二元一次方程2x+y=10的解.
3.(3)
习题5.1(教材第106页)
1.(1)4x+7y=76　(2)4　(3)5
2.解:(2)是该方程组的解.
3.解:(1)设该班有男生x人,女生y人,则可列方程组　(2)设有x个同学,y本笔记本,则可列方程组
4.解:(1)答案不唯一,如:和
(2)答案不唯一,如:　(3)
(4)
5.解:他们所列的方程组都可以看成是正确的,产生分歧的原因是:小明设苹果每千克x元,梨每千克y元,而小丽设梨每千克x元,苹果每千克y元.
教学时应注意让学生理解以下几点:(1)运用类比的方法比较二元一次方程与一元一次方程的有关概念的异同,加深对概念的理解;(2)方程思想是一种重要的数学思想,注意结合实际,从而理解方程是刻画现实世界的有效数学模型;(3)正确理解二元一次方程及二元一次方程组的解的含义,与一元一次方程的解做好区分,找出异同;(4)学习中加强方程中“元”和“次”的认识,为以后学习中遇到的“消元”和“降次”做好基础铺垫.
　已知下列四对数值:
(1)哪几对是方程2x-y=5的解?
(2)哪几对是方程x+3y=6的解?
(3)哪几对是方程组的解?
〔解析〕　根据二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义进行验算.
解:(1)①和②是方程2x-y=5的解.
(2)①和③是方程x+3y=6的解.
(3)①是方程组的解.
[注意事项]　二元一次方程组的解是方程组中各个方程的公共解,因此在检验方程组的解时,应对每个方程进行检验,而初学者往往只会对其中的一个方程进行检验,而忽略对方程组中其他方程的检验.
2　求解二元一次方程组
会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.
了解二元一次方程组的“消元”思想,初步体会化未知为已知的化归思想.
培养学生探索尝试的创新精神.
【重点】　解二元一次方程组的两种基本方法.
【难点】　二元一次方程组转化为一元一次方程.
第课时
会用代入消元法解二元一次方程组.
培养学生独立思考问题的能力,同时能对复杂的问题有计划、有步骤地处理.
在探索新知的过程中,体会数学的趣味性,进而养成善于思考、勤于钻研的好习惯.
【重点】　用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤.
【难点】　在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
【教师准备】　预想学生学习中可能遇到的问题.
【学生准备】　复习二元一次方程组的相关概念.
导入一:
上节课我们讨论了老牛和小马驮的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组到底谁的包裹多呢?这就需要解这个二元一次方程组.一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?(课件展示问题)
[处理方式]　小组展开讨论,完成自主学习.
[设计意图]　通过提出这个实际问题,得出解方程组的必要性.充分调动学生的积极性,发挥团结合作,激发学生学习兴趣.
导入二:
大家都喜欢吃水果,老师这里也买了一些苹果和梨,请大家帮老师算算水果的质量(课件展示):
市场上1斤苹果售价3元,1斤梨售价2元,老师买了苹果x斤,梨y斤,共用了18元钱,则苹果和梨之间的等量关系是什么?
[处理方式]　学生畅所欲言,在表达自己的想法的过程中发现无法得出确切的水果质量.
生1:苹果的总价+梨的总价=18元.
生2:我可以列方程为3x+2y=18.
师:那老师增加一个条件,如果买了苹果4斤,你又能列出什么样的关系式?
生:可以列方程组为
师:你能求出具体的质量了吗?
生:可以,把x=4代入到第二个方程中,即可求出未知数y的值,也就可以得出苹果及梨的具体质量.
[设计意图]　通过解决相关题目使学生感受要想求出两个未知数的值,必须先知道其中一个未知数的值.这样设计为下面用代入消元法解二元一次方程组打下基础:即消去一个未知数,转化为一元一次方程去解.同时情境的创设贴合实际,可以激发学生的求知欲.
　　[过渡语]　我们怎样解二元一次方程组呢?
一、解二元一次方程组
思路一
问题1
在老牛和小马的问题中,二元一次方程组是怎样变成一元一次方程的?
问题2
在这个变化的过程中未知数的个数发生了怎样的变化?
问题3
求出一个未知数的值后,第二个未知数的值可如何求出?
【学生活动】　学生独立完成.小组交流上面三个问题.二元一次方程组有两个未知数,如果消去其中的一个未知数,就可以将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,就可以求解了,那么我们究竟怎么转化呢?我们发现由方程x-y=2可以得到y=x-2,把它代入到方程x+1=2(y-1)中,将方程x+1=2(y-1)中的y换为x-2,这个方程就化为一元一次方程了.这样便将我们不会解的方程组转化为我们会解的方程了.
[设计意图]　通过自学老牛和小马的问题,锻炼学生的自学能力,让学生经历利用代入消元法将方程组转化为方程的过程.
展示交流解题方法:
解:　(为了书写方便,先标上序号)
由①得y=x-2.③　(变形,用含x的代数式表示y)
将③代入②得x+1=2(x-2-1),(将二元一次方程转化为一元一次方程)
解得x=7.(解一元一次方程,求出x的值)
把x=7代入③,得y=5.(再代入求y的值)
所以原方程组的解为(总结,写出方程组的解)
所以老牛驮了7个包裹,小马驮了5个包裹.
[设计意图]　运用数学中“化未知为已知”的化归思想,使问题得到解决,培养学生的自主探索意识、合作交流的精神,启发学生并跟学生一起探讨“化未知为已知”的方法,这样进行教学既能及时发现学生的闪光点,又能培养学生良好的合作关系,提高学生的学习兴趣.
师:在解上面的二元一次方程组时,我们是将其中的一个方程变形,即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后代入第二个未变形的方程中,从而由“二元”转化为“一元”而达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.
思路二
代入法的基本思路是:通过“代入”达到“消元”(即消去一个未知数)的目的,从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程.
代入法的一般步骤:
下面以方程组　为例,具体说明如下:
第一步:由方程①得到y=2x-5;
第二步:将y=2x-5代入②中,得到3x+4(2x-5)=2;
第三步:由3x+4(2x-5)=2,解得x=2;
第四步:将x=2代入y=2x-5,求得y=-1,得到原方程组的解为
由上例可总结出代入法的一般步骤为:
(1)选择较简单的方程,用其中一个未知数表示另一个未知数,写成x=……或y=……的形式.
(2)代入:将(1)中x=……或y=……代入另一个方程中,消去一个未知数.
(3)求其中一个未知数的值:解(2)中的一元一次方程,求出一个未知数的值.
(4)求另一个未知数的值:将求出的一个未知数的值代入方程组中的任一方程,可求出另一个未知数的值,也可代入(1)中得到的x=……或y=……中.
(5)写出方程组的解.
这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
[设计意图]　通过探究,使学生初步感知用代入法解二元一次方程组的基本思路,为下面例题的解答奠定良好的基础.
二、例题讲解
　解方程组
解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14,
3y+9+2y=14,5y=5,y=1.
将y=1代入②得x=4.
所以原方程组的解是
【思考】　(1)将y=x-3代入①可以吗?
(2)还有其他的代入方法吗?
(3)在代入的过程中要注意什么?
　解方程组
解:由②得x=13-4y,③
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
26-8y+3y=16,-5y=-10,y=2.
将y=2代入③得x=5.
所以原方程组的解是
【教师总结】　上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.主要步骤是:①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;②将这个代数式代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程;③解这个一元一次方程;④把求得的一次方程的解代入方程组中的任一方程,求得另一个未知数的值,组成方程组的解,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
[知识拓展]　当二元一次方程组中的系数或未知数的关系较为复杂时,可先将方程组整理成二元一次方程组的标准形式这里a1,b1,c1,a2,b2,c2是整数,x,y是未知数,例如:解方程组时,应先经过去分母、移项、合并同类项等步骤,将方程组变为
1.解方程组的代入消元法是指把一个二元一次方程中的　　　　用含有　　　　的代数式表示出来,并　　　　另一个方程中,从而消去一个未知数,化为　　　　.?
答案:某个未知数　另一个未知数　代入　一元一次方程
2.用代入法解方程组　使得代入后消元较容易变形的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.由①得x= B.由①得y=
C.由②得x= D.由②得y=2x-5
答案:D
3.用代入消元法解方程组
解:由①得x=12-y,③
把③代入②得2(12-y)+3y=34,解得y=10,
把y=10代入①得x=2,所以
第1课时
例1
例2
代入消元法
一、教材作业
【必做题】
教材第109页随堂练习.
【选做题】
教材第110页习题5.2第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·娄底中考)方程组　的解是 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知x+3y-6=0,用含x的代数式表示y为　　　　.用含y的代数式表示x为　　　　.?
3.解方程组
【能力提升】
4.四名同学解二元一次方程组　提出四种不同的解法,其中解法不正确的是 (　　)
A.由①得x=,代入②
B.由①得y=,代入②
C.由②得y=-,代入①
D.由②得x=3+2y,代入①
5.用代入法解方程组　由②得y=　　　　,③　把③代入①,得　,?
解得x=　　　　,再把求得的x值代入②,得y=　　　　.原方程组的解为　　　　.?
【拓展探究】
6.已知关于x,y的方程组和的解相同,求a,b的值.
【答案与解析】
1.D(解析:由①得y=1-x,③　把③代入②得2x-(1-x)=5,解得x=2.把x=2代入①得y=-1.所以原方程组的解是)
2.y=　x=6-3y
3.解:由①得x=y+1,③　把③代入②,得2(y+1)+y=2,解得y=0.把y=0代入③,得x=1.所以原方程组的解是
4.C(解析:由②得y=-.)
5.4x-1　x+2(4x-1)=7　1　3　
6.解:由题意可得方程组　由①得y=,③　将③代入②得x=3.将x=3代入①得y=1.将代入中,得解这个方程组,得因此a,b的值分别是-2,5.
本节课的重点是用消元的思想方法去解二元一次方程组.理解方程组的解的含义和理解方程组内两个方程之间的关系,是把学生引入“代入法”解二元一次方程组的关键.在教学的过程中,不是直接告诉学生方法,而是通过探索领悟“代入法”的实质.
在处理例题思考的时候,课堂上存在蜻蜓点水的倾向,应该当做课堂教学的一个重要环节来处理,这样更能强化学生对知识的理解.
通过不同的代入方法的比较,帮助学生认识到要选择简便的方法进行代入.增设例题,强化对代入法这种数学思想方法的理解.
随堂练习(教材第109页)
解:(1)　(2)　(3)　(4)(过程略)
习题5.2(教材第110页)
1.解:(1)　(2)　(3)　(4)(过程略)
2.解:　由①得x=8-y,③　把③代入②得5(8-y)+3y=34,解得y=3,把y=3代入③得x=5,所以是原方程组的解.上一节课的方法是试验求值,而本节课的方法是代入求值,比上一节课的方法更简单、直观.
解二元一次方程组的关键是要化“二元”为“一元”,即把陌生的“二元一次方程组”转化为熟悉的“一元一次方程”,求解的关键是“消元”,当方程组中某个未知数的系数为±1或常数项为0时,用代入法解方程组比较简单.
第课时
会用加减消元法解二元一次方程组.
培养学生归纳总结问题的能力,同时使学生会使用较严密的数学语言概括出问题的主要方面.
在解决实际问题的过程中,大胆尝试不同解法,并在体验成功的快乐的同时,激发学生浓厚的学习兴趣.
【重点】　用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
【难点】　形成加减消元的基本思路,并能灵活选择代入法、加减法解二元一次方程组.
【教师准备】　预想学生学习本课时会遇到的问题.
【学生准备】　复习、体会解二元一次方程组的消元思想.
导入一:
同学们,上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组,哪位同学能说一说解方程组的基本思路是什么?代入法解方程组的主要步骤有哪些?
【学生活动】　先独立思考,再小组交流.
生1:解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”.
生2:代入法解方程组的主要步骤有:
(1)变形——用含一个未知数的代数式表示另一个未知数(选系数较简单的);
(2)代入——消去一个未知数;
(3)求解——分别求出两个未知数的值;
(4)写解——写出方程组的解.
师:回答得很好.本节课我们继续学习求解二元一次方程组.
[设计意图]　通过对解方程组的基本思路、代入法解方程组的主要步骤的复习回顾,进一步加深学生对解方程组的主要步骤的理解,为本课时的教学做准备.
导入二:
用代入法解下面的二元一次方程组:
【学生活动】　学生独立解答,小组内交流解法.
展示解题方法:
解法1:把②变形,得x=,③
把③代入①,得3×+5y=21,
解得y=3.
把y=3代入②,得x=2.
所以方程组的解为
解法2:由②得5y=2x+11,③
把5y看成一个整体,将③代入①,得3x+(2x+11)=21,
解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以方程组的解为
师:请同学们仔细观察方程组中y的系数,有什么特点?你们还有什么想法?
本节课我们继续学习求解二元一次方程组.
一、二元一次方程组的解法(加减消元法)
师:解二元一次方程组　除了用“代入消元”法解方程组之外,你还有什么想法?
生:我的想法是:5y与-5y互为相反数,可以把①②直接相加便消去y了.
所以根据等式的基本性质,方程①+方程②得5x=10,
解得x=2,
把x=2代入①,解得y=3,
所以方程组的解为
师:他应用了一种新的解题方法,并且分析得很好!你们能理解这种方法吗?
生:能.方程①和②中的5y和-5y互为相反数,根据相反数的和为零,将方程①和②的左右两边相加,然后根据等式的基本性质消去了未知数y,得到了一个关于x的一元一次方程,从而实现了化“二元”为“一元”的目的.【来源：21cnj*y.co*m】
师:这种解法是否更简便呢?
生:是.
师:很好!这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
[设计意图]　通过学生练习、对比、讨论,既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识,又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法.
二、例题讲解
　　[过渡语]　参考刚才的解题思路,怎样解下面的二元一次方程组呢?
(教材例3)解方程组
【师生活动】　学生分析,教师巡视、引导、解疑,注意发现学生在解答过程中出现的新的想法,可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上,完成后进行评析.
生:在这个方程组中,未知数x的系数相等,都是2.把这两个方程两边分别相减,可消掉未知数x.解法如下:
解:由②-①,得8y=-8,y=-1.
把y=-1代入①,得2x-5×(-1)=7,x=1.
所以原方程组的解是
解答完本题后,教师提醒学生口算检验,让学生养成检验的习惯,同时强调以下两点:
(1)注意解此题的易错点是“②-①”时,是(2x+3y)-(2x-5y)=-1-7,方程左边去括号时注意符号;另外解题时,“①-②”或“②-①”都可以消去未知数x,不过在“①-②”时,得到的方程中,y的系数是负数,所以在上面的解法中选择“②-①”.
(2)把y=-1代入①或②,最后结果是一样的,但我们通常的做法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中,求出另一个未知数的值.
师:通过刚才的解答你们能发现前面这两个方程组有什么特点吗?解这类方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些?(小组内讨论,2分钟后找学生回答)
生:特点为某一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路:“二元”“一元”.
主要步骤:①加减消元,得到一个一元一次方程;②解一元一次方程;③把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程,求出另一个未知数的值,从而得方程组的解.(教师用多媒体出示)
【小试牛刀】(课件展示)
1.将方程组中的两个方程的两边　　　　,就可以消去未知数　　　　.?
2.将方程组中的两个方程的两边　　　　,就可以消去未知数　　　　.?
3.用加减消元法解下列方程组.
(1)　(2)
[设计意图]　通过学生的观察、探索、归纳、总结,得到了加减消元法的原理和方法,使学生明确使用加减法的条件,体会在一定条件下使用加减法的优越性.之后,由学生做练习,体会加减消元法的基本特点,熟悉加减消元法的基本步骤,提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能,积累解二元一次方程组的活动经验.
三、拓展延伸,深化认知
(教材例4)解方程组
师:有方法可以解决这个问题吗?
生:有!可以运用等式的性质使某一个未知数的系数相同或互为相反数,然后再用加减消元法解方程组.
师:很好.但是你必须首先选择好先消去哪一个未知数.例如这个方程组,可以先消去x.现在我们一起写出解答过程.
解:由①×3得6x+9y=36,③
由②×2得6x+8y=34,④
由③-④得y=2.
把y=2代入①,得x=3.
所以原方程组的解是
师:分析上面的解答过程,你能归纳出什么叫加减消元法吗?
生:在组成方程组的两个方程中,若某个未知数的系数互为相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数,若某个未知数的系数相等,可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
[知识拓展]　1.当方程组中的两个方程的某个未知数的系数相同或互为相反数时,用加减消元法求解比较简便.
2.若两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系,可利用等式的性质将其转化成系数相同或互为相反数的类型,选择加减消元法求解.
3.若两个方程中同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,再用加减消元法求解.
4.对于比较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母、去括号、移项、合并同类项等),通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再计算.
1.解二元一次方程组常用的方法有　　　　消元法和　　　　消元法.?
答案:代入　加减
2.已知方程组若要求x-y,则最简便的方法是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.代入消元法 B.加减消元法
C.两种一样 D.以上都不正确
答案:B
3.用加减消元法解方程组　较简便的解法步骤:将两个方程　　　　,消去未知数　　　　,得到关于　　　　的一元一次方程,解得y,再求　　　　,从而得到原方程组的解.?
答案:相减　x　y　x
4.用加减法解方程组
解:由①+②,得10x=10,x=1,③　把③代入①,得3×1-5y=8,y=-1,所以原方程组的解为
第2课时
例3
例4
一、教材作业
【必做题】
教材第113页习题5.3第1,2题.
【选做题】
教材第114页习题5.3第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.方程组的解是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.二元一次方程组的解是 (　　)
A. B.
C. D.
3.用加减消元法解方程组时,有以下四种变形,其中正确的变形是 (　　)
A.只有①和② B.只有③和④
C.只有①和③ D.只有②和④
4.若是方程组的解,则m,n的值是 (　　)
A. B.
C. D.
【能力提升】
5.已知x,y满足方程组则x-y的值为　　　　.?
6.若(5x+2y-12)2+|3x+2y-6|=0,则2x+4y=　　　　.?
【拓展探究】
7.在解方程组　时,小明把方程①抄错了,从而得到错解而小亮却把方程②抄错了,得到错解你能求出原方程组正确的解吗?原方程组到底是怎样的?
【答案与解析】
1.D(解析:两个方程相加消去y,得3x=6,解得x=2,将其代入第一个方程,得y=-1.)
2.A
3.B
4.B(解析:把x,y的值代入方程组,得　由①×2+②,得5m=10,m=2,将m=2代入①,得n=3.故选B.)
5.1(解析:用第一个方程减去第二个方程即可得到x-y=1.)
6.0(解析:两个非负数的和为0,只能各自为0.)
7.解:把代入方程②,得b+7a=19,把代入方程①,得-2a+4b=16.解方程组得所以原方程组为解得
本节课在引入加减法解二元一次方程组时,通过对上一节课的学习,比较了代入法的两种不同思路,在整体代入的基础上,自然引入加减法解二元一次方程组.达到消元的目的后,解二元一次方程组就是水到渠成了.
根据方程组的特点,选取灵活的方式解二元一次方程组,是学生形成解题能力的一个重要方面.本节课在总结的时候,忽略了对灵活选取方法的强调.
在练习题的设置过程中,增加对比性较强的方程组,便于学生思考解方程组要注意选择灵活的方法.
随堂练习(教材第112页)
解:(1)　(2)　(3)
(4)(过程略)
习题5.3(教材第113页)
1.解:(1)　(2)　(3)　(4)(过程略)
2.提示:方程组的解为两种方法的共同点是都先消去一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程来解.
3.(1)解:(过程略)　(2)解法1:设x+y=a,x-y=b,则原方程组化为解得所以用加减消元法解得解法2:把原方程组化简成用加减消元法解得解法1可以利用(1)中的结论,比解法2简便一些.
4.解:一定能求出这两个数.理由如下:设这两个数分别为x和y,它们的和为a,差为b(a,b为已知数),则解得
1.加减消元法.
(1)加减消元法的选择方法是:①选择系数绝对值较小的未知数消元;②某一未知数绝对值相等,如果符号不同,用加法消元,符号相同,用减法消元;③某一未知数系数成倍数关系时,直接对其中一个方程变形,使其系数绝对值相等,再运用加减消元;④当相同的未知数的系数都不相等时,找出某一个未知数的最小公倍数,同时对两个方程进行变形,转化为绝对值相同的系数,再用加减法来解.
(2)用加减法解方程组时需注意:①对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数;②两个方程的左右两边的各项都要同时相加或相减.
2.技巧方法小结.
(1)解二元一次方程组的关键在于消元,也就是要化“二元”为“一元”,即把陌生的“二元一次方程组”转化为熟悉的“一元一次方程”.消元有两种方法:代入消元法和加减消元法.
(2)解二元一次方程组时常出现的错误有:①求解不完整,只求出一个未知数的值就认为解完了;②将两个方程相减时容易弄错符号;③方程两边同乘一个不等于零的数时,容易漏乘某项.
3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼
能分析简单问题中的数量关系,建立二元一次方程组解决实际问题.
在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程(组)解决现实问题的意识和应用能力.
在用方程组解决实际问题的过程中,培养应用数学的意识,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
【重点】　让学生经历和体验方程组解决实际问题的过程.
【难点】　用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题的过程.
【教师准备】　教材“鸡兔同笼”问题的投影图片.
【学生准备】　总结二元一次方程组的解法.
导入一:
古代算书《九章算术》卷七中有“盈不足”问题:今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,问大小器各容几何?意思是说:有大小两种盛米的桶,已知5个大桶加1个小桶可以盛3斛米;1个大桶加上5个小桶可以盛2斛米,求1个大桶和1个小桶分别可以盛几斛米.
[设计意图]　由数学历史故事为背景,激发学生的学习热情,感受数学在生活中的应用,吸引学生的注意力,同时为本课的学习做好铺垫.
导入二:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
[设计意图]　多媒体展示“鸡兔同笼”问题后,说明该问题是古代著名的“难题”,以此激发学生解决问题的好奇心;提出问题后,让学生先思考,后讨论,然后找学生说出他的解题思路,写出解题过程,让学生讨论对不对,有没有不同的思路和观点;最后在学生充分讨论的基础上进行讲解.【来源：21·世纪·教育·网】
今天,我们就一起研究列二元一次方程组解决实际问题.
　　[过渡语]　我们如何应用学过的知识解决一些实际问题呢?
一、出示教材“鸡兔同笼”的问题
“雉兔同笼”题为:“今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问雉兔各几何?”
(1)“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢?
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?
(3)你能解决这个有趣的问题吗?与同伴进行交流.
思路一
【师生活动】　教师讲数学历史引入“鸡兔同笼”问题,多媒体展示具体“历史记载”激发学生兴趣,引起学生思考,并找语文素养好的学生翻译成现代文,如“笼子里装有鸡和兔子,从上面数共有35个头,从下面数共有94只脚,求鸡和兔子各多少只.”
1.用一元一次方程求解.
解:设有鸡x只,则有兔(35-x)只,
得2x+4(35-x)=94,2x+140-4x=94,-2x=-46,x=23,35-x=12.
所以有鸡23只,兔12只.
小结:一元一次方程解法的优点是思维便捷.一元一次方程解法的不足是计算较复杂.
2.用二元一次方程组求解.
解:设有鸡x只,兔y只,则
由①×2,得2x+2y=70,③
由②-③,得2y=24,y=12,
把y=12代入①,得x=23.
所以有鸡23只,兔12只.
小结:用二元一次方程组解答的优点是思维快速简单.用二元一次方程组解答的不足是计算复杂些.
[设计意图]　体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程,通过比较列一元一次方程求解、列二元一次方程组求解的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
思路二
第(1)问由学生讨论完成,明确基本数量关系.
第(2)问分成两组进行.第一组列一元一次方程解决,第二组列二元一次方程组解决.
第(3)问学生解答各自列出的方程(组),并体会二元一次方程组为解决问题带来的便利.
【教师总结】　列二元一次方程组解决问题的步骤:
(1)弄清题意和题目中的数量关系,设出题中的两个未知数;
(2)找出表示应用题全部含义的两个相等关系;
(3)根据找出的两个相等关系列出所需的方程,从而列出方程组;
(4)解方程组;
(5)检验所得的解是不是方程组的解,并且要检验其是否符合题意,否则要舍去;
(6)写出答案,包括单位名称.
二、学以致用
　以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
问题1
“将绳三折测之,绳多五尺”,什么意思?“若将绳四折测之,绳多一尺”,又是什么意思?
【学生活动】　学生拿出准备的绳子以小组为单位,动手演示“绳三折,绳四折”,要求组员间互相纠错.最后找学生总结“将绳三折测之,绳多五尺”是指将一条绳子分成相等的三份,还剩五尺;“将绳四折测之,绳多一尺”是指将一条绳子分成相等的四份,还剩一尺.
问题2
找出等量关系并完成题目.
【师生活动】　学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范.
解:设绳长x尺,井深y尺,
根据题意,得
由①-②,得-=4,=4,x=48.
将x=48代入①,得y=11.
答:绳长48尺,井深11尺.
问题3
你能否总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤?
【学生活动】　放手让学生以小组为单位进行总结,要求小组找出发言人,其他成员有序地进行补充.
总结:(1)审:审清题意;(2)设:设出两个未知数;(3)找:弄清各个量之间的关系,找出等量关系;(4)列:根据题意列出二元一次方程组;(5)解:正确地求出二元一次方程组的解;(6)答:根据实际情况检验方程组的解后写出答案.
[设计意图]　此例用于巩固引例中用列二元一次方程组解应用题的思路以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.学生在列方程组的建模过程中,一方面强化了方程的模型思想,也培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.
三、变式练习
问题:古有一捕快,一天晚上他在野外的一个茅屋里,听到外边来了一群人,在分赃,他隐隐约约地听到几个声音,下面有一古诗为证:“隔壁听到人分银,不知人数不知银.只知每人五两多六两,每人六两少五两,问你多少人数多少银?”
【师生活动】　学生独立完成,教师巡视学生做题情况,并对出现的问题及时的解决纠正,在学生完成后组织学生进行交流、评价、展示、纠错.
[设计意图]　利用与前面类似的题目,让学生尝试运用解题步骤解决问题,同时巩固建立方程模型的思想方法,规范学生的解题步骤.
[知识拓展]　列方程组解应用题:
(1)列方程组解应用题的关键是准确找出题目中的相等关系,正确地列出方程组.
(2)列方程组时应注意:①方程两边表示的是同类量;②同类量的单位要统一;③方程两边的数值要相等;④一般来说,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组.
(3)作答时,要根据实际问题的意义,判断求得的结果是否合理,不合理的解应该舍去.
(4)审题、找相等关系以及检验过程只需在草纸上完成,书写的过程只需设、列、解、答四步.在设、答两步要写清单位名称.
1.已知长江比黄河长836 km,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km.设长江、黄河的长分别是x km,y km,则下列方程组中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
解析:根据长江比黄河长836 km,得x-y=836;根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284 km,得6y-5x=1284.可列方程组为故选C.
2.甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行,2 h后相遇,若甲比乙每小时多骑2.5 km,则乙的速度是每小时(　　)
A.12.5 km B.15 km
C.17.5 km D.20 km
解析:本题中的两个等量关系为:甲的速度=乙的速度+2.5;2×甲的速度+2×乙的速度=65.设甲的速度是每小时x km,乙的速度是每小时y km.则解得所以乙的速度是每小时15 km.故选B.
3.用一根绳子环绕一棵大树,若环绕大树4周,则绳子还多1尺;若环绕大树5周,则绳子又少3尺.设这根绳子有x尺,环绕大树一周需要y尺,则下列所列方程组正确的是 (　　)
A. B.
C. D.
答案:B
4.某班有40名同学去看演出,购买甲、乙两种票共用去370元,其中甲种票每张10元,乙种票每张8元,设购买了甲种票x张,乙种票y张,由此可列出方程组:　　　　　　　　.?
解析:根据题意可找到等量关系:甲种票的数量+乙种票的数量=40,购甲种票的总费用+购乙种票的总费用=370.故填
5.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
解:设李大叔去年甲种蔬菜种植了x亩,乙种蔬菜种植了y亩,则解得答:李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩,乙种蔬菜种植了4亩.
3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第116页习题5.4第1,2题.
【选做题】
教材第116页习题5.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小刚买了两种不同的贺卡共5张,单价分别是1元和2元,共用8元.设小刚买的1元和2元的贺卡分别为x张,y张,则下面的方程组正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.某车间有56名工人生产螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓16个或螺母24个,求怎样分配工人才能恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套.设分配x人生产螺栓,y人生产螺母,依题意列方程组是 (　　)
A. B.
C. D.
3.一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,若设∠1=x°,∠2=y°,则可得到方程组为 (　　)
A. B.
C. D.
4.如图所示,两台天平保持平衡,已知每块巧克力的质量相等,且每个果冻的质量也相等,则每块巧克力和每个果冻的质量分别为 (　　)
A.10 g,40 g B.15 g,35 g
C.20 g,30 g D.30 g,20 g
【能力提升】
5.若马四匹,牛六头,共价四十八两;马三匹,牛五头,共价三十八两.求马、牛各价几何.
6.某专业户今年养的鸭是去年的5倍,今年养的鹅是去年的15.5倍.已知今年养的鸭和鹅的总数是7200只,恰好是去年总数的12倍,这个专业户在今年和去年养的鸭和鹅各是多少只?
7.4辆小卡车和5辆大卡车一次共可运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可运货物51吨,求小卡车和大卡车每辆每次可以各运货物多少吨.21教育网
【拓展探究】
8.如图所示,在长方形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,且ΔBEC的面积比ΔDEF的面积大5 cm2,求DF的长.
【答案与解析】
1.C
2.A
3.C
4.C
5.解:设每匹马价x两,每头牛价y两,则　①×3-②×4,得18y-20y=144-152,y=4.将y=4代入①,得x=6.答:马价6两,牛价4两.
6.解:设去年养鸭x只,养鹅y只,则解得答:这个专业户在今年养鸭1000只,养鹅6200只,去年养鸭200只,养鹅400只.
7.解:设小卡车每次运货物x吨,大卡车每次运货物y吨,则解得答:小卡车每辆每次可以运货物1.5吨,大卡车每辆每次可以运货物4.2吨.
8.解:设ΔBEC的面积为x cm2,ΔDEF的面积为y cm2,梯形ABED的面积为z cm2,依题意,得　由②-①,得y+z=43,即ΔABF的面积为43 cm2.设DF的长为a cm,则有×8×(6+a)=43,解得a=,即DF的长为 cm.
从解二元一次方程组到列二元一次方程组解实际问题,对于学生来说是一个知识的跨越,表面看多设一个未知数列方程比设一个未知数容易找等量关系,事实上列方程组解决问题对学生来说还存在一定的难度,本节课正是基于这种认识,细化列方程组解决问题的过程,比较好地突破了教学难点.
设立不同的未知数,对所列的方程组的形式有一定的影响.课堂中应该把学生所列的方程组进行比较,便于学生领悟总结列方程组解决问题的步骤.
帮助学生领悟方程思想在解决实际问题中的重要性.通过例题帮助学生理解,有时候列一元一次方程解决问题是困难的,甚至是不能解决的.
随堂练习(教材第116页)
解:设每头牛价值x两金,每只羊价值y两金,由题意得解得答:每头牛价值两金,每只羊价值两金.
习题5.4(教材第116页)
1.提示:“鸡兔同笼”问题:(用一元一次方程解)设鸡有x只,则兔有(35-x)只.依题意得2x+4(35-x)=94,解得x=23,35-23=12(只).(用算术方法解)(4×35-94)÷(4-2)=23(只),35-23=12(只).“随堂练习”的问题:(用一元一次方程解)设每头牛价值x两金,则每只羊价值(10-5x)两金,依题意得2x+(10-5x)=8,解得x=,×10-5×=(两金).(用算术方法解)10+8=18(两金),[10-18÷(5+2)×2]÷(5-2)=(两金),÷2=(两金).
2.解:设这根绳子长x尺,环绕大树一周需要y尺.根据题意得解得答:这根绳子长25尺,环绕大树一周需要7尺.
3.解:设大马有x匹,小马有y匹.根据题意得解得答:大马有25匹,小马有75匹.
4.解:设有x人,物品价值y元.根据题意得解得答:有7人,该物品价值53元.
　《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图(1)(2)所示,图中

各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图(1)所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是则图(2)所示的算筹图我们可以表述为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
〔答案〕　A
4　应用二元一次方程组——增收节支
1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系,列出相应的二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.加强学生列方程组的技能训练,形成解决实际问题的一般性策略.
通过列方程组解决实际问题.
1.通过列方程组解决实际问题,培养应用数学的意识,提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新能力以及克服学习中困难的精神.
【重点】　用列表的方式分析题目中的各个量的关系,加强学生列方程组的技能训练.
【难点】　借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.
【教师准备】　预想学生在列方程、解方程过程中可能遇到的问题.
【学生准备】　总结列方程解决实际问题应注意的事项.
导入一:
在当地农业技术部门指导下,小明家增加种植菠萝的投资,使今年的菠萝喜获丰收,下面是小明和爸爸、妈妈的一段对话.
请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入.(收入-投资=净赚)
[设计意图]　本环节应给学生充足的时间进行练习和探究,通过学生参加的社会实践活动入手,采取变式的形式让学生对于本节课的内容产生一定的兴趣.
导入二:
师:同学们,假设你是一个成功的企业家,你觉得如何让企业增加更多利润呢?
生1:调动员工的工作积极性!
生2:扩大生产!
生3:多种经营,增加收入!
生4:减少不必要的开支,降低成本!
……
师:很好!只要我们增加收入,减少不必要的开支,我们的生活会越来越好!那就让我们共同来探究增收节支的问题吧!(板书课题)
[设计意图]　转换角色,激发学生的学习兴趣,同时点明主题,让学生明确本节课的任务.
　　[过渡语]　通过列二元一次方程组,可以帮助我们解决生活中的许多问题.
一、问题引入
思路一
某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有:
总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
　　问题1
某工厂去年的总收入设为x万元,今年的总收入比去年增加了20%,今年的总收入为　　　　.?
学生通过分析得出:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%)=(1+20%)x万元.
问题2
这个工厂去年的总支出设为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出为　　　　.?
生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%)=(1-10%)y万元.
问题3
这个工厂今年的利润为780万元,根据问题1,2,可得　　　　　　　　=780万元(利润=总收入-总支出).?2-1-c-n-j-y
生:根据“利润=总收入-总支出”,得出(1+20%)x-(1-10%)y=780万元.
师:题中是否蕴含着第二个方程,如果有,让学生列出方程组并解方程组.
[设计意图]　本环节的安排,让学生真正地感受到数学来源于生活,通过自己亲身经历的事情以及遇到的一些常见的数学问题,要求学生能回顾一下增收节支的一些基础问题并解决这些问题,使学生能了解一下利润问题,为本节课的学习减少了一些困难.
思路二
出示教材第117页引例,让学生小组讨论完成表格,并解答.
生:讨论得出下列内容:
总收入/万元
总支出/万元
利润/万元
去年
x
y
200
今年
(1+20%)x
(1-10%)y
780
　　根据题意,得解得
师:若条件不变,求今年的总收入,总支出各是多少万元.
若设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,则
请同学们解出这个题.
生:讨论得出
师:解题的过程烦琐吗?这个题有没有更好的解决办法?
学生讨论探索,得出可设间接未知数,设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,计算更方便些.
[设计意图]　通过学生熟悉的生活中的经济问题去激发学生学习本节课的兴趣.让学生明确“利润=收入-支出”这个关系式,为后面的学习做好铺垫,打下基础.通过完成表格使学生初步感受用适当的图表,可以帮助理清题目中的数量关系,从而提高分析问题和解决问题的能力.在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.【出处：21教育名师】
二、例题讲解
　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?
师:每餐甲、乙原料中含蛋白质及铁质应如何表示呢?
生:每餐甲原料中含蛋白质=0.5×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含蛋白质=0.7×每餐乙原料的质量;每餐甲原料中含铁质=1×每餐甲原料的质量;每餐乙原料中含铁质=0.4×每餐乙原料的质量.【版权所有：21教育】
师:设每餐需甲原料x g,乙原料y g,那么你们能完成下面的图表吗?
甲原料x g
乙原料y g
所配制的营养品
其中所含
蛋白质
其中所
含铁质
　　[处理方式]　学生分析独立作答,教师巡视、指导学生,待学生完成后,教师用实物投影展示答案.
甲原料x g
乙原料y g
所配制的营养品
其中所含
蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
35单位
其中所
含铁质
x单位
0.4y单位
40单位
　　师:你能从上面图表中找出等量关系吗?
生:可知等量关系为:营养品中的蛋白质=甲原料中所含蛋白质+乙原料中所含蛋白质;营养品中的铁质=甲原料中所含铁质+乙原料中所含铁质.
师:根据等量关系,列出方程组,请完成问题的解答.
[处理方式]　学生独立解决,教师巡视、指导学生,鼓励学生板演,完成后,教师校正答案、评价,并展示正确答案,规范解题步骤.
解:设每餐需甲原料x g,需乙原料y g,
根据题意,得
化简,得
由①-②得5y=150,y=30.
将y=30代入①,得x=28.
所以每餐需甲原料28 g,乙原料30 g.
师:由此我们可知,图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系,很容易列出方程组解决问题.
[设计意图]　通过“例题探索”使学生初步学会建立适当的图表,理清题目中的数量关系,列出方程组,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展]　列方程组解应用题时应掌握的几个技巧:(1)列方程组时,要抓住关键词语,如:和、差、倍、几分之几、多、少、大、小等,要挖掘各类问题中的相等关系,如:相遇问题,相遇时二人所走路程之和等于两地的距离;浓度问题,稀释前后溶质不变;追及问题,速度差×时间=追及前相隔距离等;(2)借助几何图形或表格,帮助我们理解题意,如:工程问题、行程问题可以利用线段图形来分析理解,浓度问题可以借助表格来帮助理解题意;(3)注意检验,检验所求是否为正确的解答,既要检验所求结果是否为方程组的解,又要检验是否符合题意.

1.21枚1角与5角的硬币,共是5元3角,其中1角与5角的硬币各是多少?设1角硬币x枚,5角硬币y枚,填写下表,并求出x,y的值.
1角
5角
总和
硬币数
x
y
21
钱数
5元3角
　　解:填表如下:
1角
5角
总和
硬币数
x
y
21
钱数
x
5y
5元3角
　　根据题意得解得
2.某单位购买甲、乙两种纯净水共用250元,其中甲种水每桶8元,乙种水每桶6元;乙种水的桶数是甲种水桶数的75%.设买甲种水x桶,买乙种水y桶,则所列方程组中正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
答案:A
3.下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价.(收盘价:股票每天交易结束时的价格)
时间
种类　
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲
12
12.5
12.9
12.45
12.75
乙
13.5
13.3
13.9
13.4
13.15
　　某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等),该账户上星期一至星期二获利200元,星期二至星期三获利1300元,求此人持有甲、乙股票各多少股.
解:设此人持有甲、乙股票分别是x股,y股,由题意得解得答:此人持有甲、乙股票分别为1000股,1500股.
4　应用二元一次方程组——增收节支
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第119页习题5.5第1,2题.
【选做题】
教材第119页习题5.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元,若购买甲、乙两种电影票共40张,恰好用去700元,则甲种电影票买了　　　　.?
2.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两样菜只要36元.”爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨的单价上涨20%.”小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少.”请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元).
3.商店新进一批商品准备出售,若打8折出售,则10天可以售完,并能获利10000元;若打7.5折出售8天可以售完,可获利8000元.商品存放一天需要100元的存货费.求这批商品的本钱(购货价)和预售总价各是多少.
【能力提升】
4.水果市场批发一种水果,价格如下表:
批发水果数量/kg
x≤20
20x>40
批发价格/(元/kg)
6
5
4
若某水果商店两次共进50 kg这种水果,并且共付264元钱,则两次购进水果的数量分别是多少?
5.用甲、乙两种原料配制某种营养液,已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表:
甲种原料
乙种原料
维生素C/kg
600
100
原料价格/(元/kg)
8
4
现要求花72元钱配制含5000单位的维生素C的一种营养液,则应分别买这两种原料各多少千克?
【拓展探究】
6.有四种原料:①浓度50%的酒精溶液150克;②浓度90%的酒精溶液45克;③纯酒精45克;④水45克.请你设计一种方案,只选取三种原料(各取若干或全部),配制成浓度60%的酒精溶液200克.你准备选哪三种原料?各取多少?用列方程组的方法说明你的配制方法的正确性.
【答案与解析】
1.20张(解析:设购买甲种电影票x张,乙种电影票y张,由题意得解得即甲种电影票买了20张.)
2.解法1:设上月萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得解得这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3(元),这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18(元).答:这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.解法2:这天萝卜的单价是x元,排骨的单价是y元,根据题意得解得答:这天萝卜的单价是3元,排骨的单价是18元.
3.解:设这批商品的本钱(购货价)为x元,预售总价为y元,根据题意得解这个方程组得答:这批商品的本钱为24200元,预售总价为44000元.
4.解:设第一次购进x千克,第二次购进y千克.①当x≤20,2040时,解得(不符合题意,舍去).③当205.解:设购买甲种原料x kg,乙种原料y kg,根据题意,得解这个方程组,得答:应购买甲种原料8 kg,乙种原料2 kg.
6.解:设取浓度50%的酒精溶液150克,纯酒精x克,水y克,依题意,得解得答:取浓度50%的酒精溶液150克,纯酒精45克,水5克.本题答案不唯一.
本节课帮助学生进一步感受了数学在实际问题中的广泛应用,让学生领悟恰当设置未知数有助于降低解决问题的难度,便于顺利的解决问题.
用恰当的方法寻找等量关系是列方程解决问题的关键.对于经常运用的等量关系,应该鼓励学生进行归纳和总结,这方面对学生的指导和提示做得不够.
运用列表的方式帮助学生建立等量关系列方程组,学生在掌握的过程中还不熟练.或者还不乐意用这种方法去解决问题.今后应该强化学生对解决问题方法重要性的认识.
随堂练习(教材第118页)
1.解:如下表所示:
一班
二班
两班总和
学生人数
x
y
100
达标学生人数
87.5%x
75%y
81%×100
由上表可列方程组解得
2.解:如下表所示:
甲行走
的路程
乙行走
的路程
甲、乙两人行
走的路程之和
第一种情况
(甲先走2 h)
(2+2.5)x
2.5y
36
第二种情况
(乙先走2 h)
3x
(2+3)y
36
由上表可列方程组解得
习题5.5(教材第119页)
1.解:答案不唯一.如:小明和弟弟共有200元零花钱,小明钱数的5%与弟弟钱数的45%正好是总钱数的35%.小明和弟弟各有多少零花钱?
2.解:设三人间租x间,两人间租了y间.根据题意,得解得答:三人间租了8间,两人间租了13间.
3.解:设甲的速度为x m/s,乙的速度为y m/s.根据题意,得解得答:甲的速度为 m/s,乙的速度为 m/s.
4.解:设从批发市场批发了x kg黄瓜,y kg茄子.根据题意,得解得所以卖完这些黄瓜和茄子可赚(3.6-2.4)×25+(2.8-2)×15=42(元).
　某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,他开车如果以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟;如果以每小时75千米的速度行驶,那么可提前24分钟到达乙地.求从甲地到乙地的路程.
〔正解〕　设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间为t小时,
根据题意,得解得
答:从甲地到乙地的路程为120千米.
〔错解1〕　设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,
根据题意,得解得
答:从甲地到乙地的路程是7200千米.
〔错解2〕　设从甲地到乙地的路程为s千米,从甲地到乙地的规定时间是t小时,
根据题意,得
解得(舍去).
【易错辨析】　错解1的解题过程错在方程两边的单位不统一,其中和t的单位是小时,而24的单位是分钟.错解2是错误地理解了题目中的等量关系,晚到24分钟说明所用时间多,应为t+;提前24分钟说明所用时间少,应为t-.
5　应用二元一次方程组——里程碑上的数
用二元一次方程组解决有关场景中的数学问题和行程问题,归纳用方程组解决实际问题的一般步骤.
让学生体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,鼓励学生合作交流,培养学生的团队精神.
让学生在数学学习的过程中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立解决问题的自信心.
【重点】　用二元一次方程组解决数学问题的步骤.
【难点】　将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型.
【教师准备】　教材第120页情境图的投影图片.
【学生准备】　总结列方程组解决问题时应注意的问题.
导入一:
小明和小梅做猜数游戏,小明说:“我写了从小到大排列的三个数,第一个数(最小)是两位数,且数字之和为10,第二个数(中间的数)是第一个数的十位数字与个位数字对调后的两位数,第三个数(最大的数)是将第一个数的中间添上一个0得到的三位数.这三个数中,前两个数的差是后两个数的差的4倍.”你知道这三个数吗?21cnjy.com
导入二:
师:前两节和大家一起学习了用二元一次方程组解决“鸡兔同笼”“增收节支”等生活中的数学问题,这节课我们继续学习第5节应用二元一次方程组——里程碑上的数.(板书课题)
1.一个两位数,个位数字是a,十位数字是b,则这个两位数用代数式表示为　　　　;若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数,用代数式表示为　　　　.?
〔答案〕　10b+a　10a+b
2.一个两位数,个位上的数为x,十位上的数为y,如果在它们之间添上一个0,就得到一个三位数,这个三位数用代数式可以表示为　　　　.?
师:(引导)如23这个两位数,它的十位数字是2,个位数字是3.它可表示为2×10+3.现在的问题是23变成了203,可以看出个位数字没有变,仍然是3,而十位数字2却变成百位数字了,因此它可表示为2×100+3.于是,这个三位数可表示为100y+x.
再举一些数让学生试一试.
[设计意图]　通过回答以上两个问题,让学生学会已知一个数各位上的数字,如何用代数式表示这个数的方法,为后面的学习打下基础.
一、里程碑上的数
思路一
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1 h看到的里程情况.你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗?21教育名师原创作品
发现学生面露难色,无从下手.课件出示下面的问题提示:
如果设小明在12:00看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么:
(1)12:00时小明看到的数可以表示为　,?
根据两个数字之和为7,可列出方程　.?
(2)13:00时小明看到的数可以表示为　,?
12:00~13:00间摩托车行驶的路程是　.?
(3)14:00时小明看到的数可表示为　,?
13:00~14:00间摩托车行驶的路程是　.?
(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
师:这是一个较为有趣的问题,它既是一个数字问题,又和行程有关,相对而言有一定的难度.请同学们仔细观察图片,根据问题提示思考,并完成问题.自己完成后,小组内交流,形成统一意见.
师:派学生代表汇报讨论交流的成果.
生:这道题既与数字问题有关,又与行程问题有关,所以我们既要找出数字间的等量关系,又要找出行程间的等量关系.
数字间的等量关系是:12:00时看到的是一个两位数,两个数字之和是7;
行程间的等量关系是:12:00~13:00间摩托车行驶的路程=13:00~14:00间摩托车行驶的路程.
师:很好,等量关系找得非常准确.同学们,等量关系找到了,你能解决这个问题了吗?
生:(边在黑板上画表格,边讲解)
设小明在12:00看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么:
时刻
百位数字
十位数字
个位数字
表达式
12:00
x
y
10x+y
13:00
y
x
10y+x
14:00
x
0
y
100x+y
　　相等关系:
(1)12:00时看到的数,两个数字之和是7,所以x+y=7.
(2)路程差:
12:00~13:00:(10y+x)-(10x+y).
13:00~14:00:(100x+y)-(10y+x).
因为路程差相等,所以(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x),从而得方程组:
化简得解得
因此,小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.
师:这位同学讲解得太精彩了!
(同学们鼓起了掌)
师:通过对这道题的解决,同学们有什么启发?
生1:遇到较复杂的问题时,一定要冷静,仔细分析题目中的数量关系,找出相等关系.
生2:要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量,然后利用相等关系列方程.
师:同学们,在遇到复杂问题时,一定要认真分析题目中的数量关系,可以把复杂问题分解成几个简单问题去分析,必要时可以借助于表格,理清题中的未知量、已知量以及等量关系,这样,条理比较清楚,可使思路变得更清晰,复杂问题就可迎刃而解.(学法小结)
[设计意图]　生动的情境引入,意在激发学生的学习兴趣;利用图表帮助分析使条理清楚,降低思维难度,并使列方程解决问题的过程更加清晰;学法小结,着重强调分析方法,养成归纳小结的良好习惯.
思路二
如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y,那么:
(1)12:00时小明看到的数可表示为　,?
根据两个数字之和是7,可列出方程:　.?
(2)13:00时小明看到的数可表示为　,?
12:00~13:00间摩托车行驶的路程是　.?
(3)14:00时小明看到的数可表示为　,?
13:00~14:00间摩托车行驶的路程是　.?
(4)12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系?你能列出相应的方程吗?
首先让学生熟悉并思考题目的意义,然后小组间相互讨论交流,最后师生共同分析,寻找每一个问题的答案.
问题1
问题4
因为是匀速行驶,所以12:00~13:00与13:00~14:00两段时间内摩托车的行驶路程是相等的,即(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x).
师:这样我们就得到了关于x,y的二元一次方程,组成了方程组.
(板书解题过程)
解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x,个位数字是y,
由题意得:
化简得解得
答:小明在12:00时看到的里程碑上的数是16.
[设计意图]　创设问题情境,激发学生的学习兴趣.让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法.把这个复杂的数字、行程问题,分解成几个简单的问题串,学生通过层层分析,进一步理解解决问题的一般步骤,同时也体会到合作的乐趣.
二、例题讲解
　两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.
〔解析〕　一个多位数,它的含义是:每个数位上的数值与它所在的“位”相乘,再把它们的积相加.而个位上的“位”为1,十位上的“位”为10,百位上的“位”为100……所以个位数为a,十位数为b,百位数为c,千位数为d的四位数应表示为1000d+100c+10b+a.
解:设较大的两位数为x,较小的两位数为y,
根据题意,得
化简,得即
解这个方程组,得
所以这两个两位数分别是45和23.
[知识拓展]　1.对于两位数、三位数的数字问题,关键是明确它们各数位上的数字之间的关系:(1)两位数=十位数字×10+个位数字;(2)三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.
2.解与日常生活、生产实际、市场经济等有关的应用题时,一般都要用以前学过的有关知识,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型,借助方程组及其他数学知识来求解.
3.注意:(1)弄清“放在左边”“放在右边”“数字之和”“对调”“中间加0”“后面加0”等关键词语的含义;(2)找出各个量的关系,列出两个或两个以上的等量关系是解题关键.
[方法归纳]　列二元一次方程组解应用题的一般步骤:
(1)审:审清题意和题目中的数量关系;
(2)设:根据题目灵活设未知数;
(3)列:根据题目中的等量关系列出方程;
(4)解:解方程组求出未知数;
(5)验:检查所求结果是否正确和是否符合实际意义;
(6)答:写出答句.

1.对于一个两位数,若个位数字是x,十位数字是y,这个数为　　　　;对于一个三位数,若个位数字是x,十位数字是y,百位数字是z,这个数为　　　　.?
答案:x+10y　x+10y+100z
2.一个两位数,个位数字与十位数字的和为12,交换十位与个位数字的位置,所得到的新两位数比原来的两位数大18,若设原数的个位数字为x,十位数字为y,则:
个位数字
十位数字
两位数的表示形式
原数
x
y
新数
y
x
　　由题意得方程组则此方程组的解为
答案:x+10y　y+10x　x+y=12　(10x+y)-(x+10y)=18　x=7　y=5
5　应用二元一次方程组——里程碑上的数
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第122页习题5.6第1,2题.
【选做题】
教材第122页习题5.6第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个两位数,个位数字为x,十位数字为(x+2),则这个两位数可以表示为　　　　.若将两个数字对调,则现在的两位数与原来的两位数的和为　　　　.?　　21*cnjy*com
2.有一个两位数等于它的十位上的数与个位上的数之和的4倍,若原数加上27所得的新数等于原数的十位上的数与个位上的数的位置对换后的数,则原数为　　　　.?
3.有一个两位数,如果把这个数两个数位上的数字对调,那么所得的新数比原数小27;又若将这个两位数除以它的各位数字之和的2倍,商是3,余数是7,这个两位数是多少?
4.有一个三位数,现将最左边的数字移至最右边,则比原来的数小45;又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3.求原来的三位数.
5.一个两位数,个位数字比十位数字多2,如果把个位数字与十位数字对调,则新数是原数的2倍少17,求原来的两位数.
【能力提升】
6.有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把两个数字的位置对调,那么所得的新数与原数的和为143,求这个两位数.
7.有两个两位数的和为88,把较小的两位数写在较大的两位数的右边,得到一个四位数,把较小的两位数写在较大的两位数的左边,得到另一个四位数,这两个四位数的差为3564,求这两个两位数分别为多少.
【拓展探究】
8.为建设节约型、环境友好型社会,克服因干旱而造成的电力困难,切实做好节能减排工作.某地拟定对居民家庭用电实行“阶梯电价”,电力公司规定:居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时)时,实行“基本电价”;当居民家庭用电量超过80千瓦时时,超过部分实行“提高电价”.
(1)小张家4月份用电量为100千瓦时,上缴电费68元;5月份用电量为120千瓦时,上缴电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时;
(2)若6月份小张家预计用电130千瓦时,请预算小张家6月份应上缴的电费.
【答案与解析】
1.10(x+2)+x　22x+22
2.36(解析:设十位数字为x,个位数字为y,则)
3.解:设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,则这个两位数可表示为10x+y,将两个数字对调后,新的两位数可表示为10y+x,根据题意可得方程组化简得由①×4得4x-4y=12③,由③-②得y=5,将y=5代入①,得x=8,所以这个两位数是85.
4.解:设百位数字为x,由十位数字和个位数字组成的两位数为y,则解得所以原三位数为439.
5.解:设原来的两位数的个位数字为x,十位数字为y,则解得所以原来的两位数为35.
6.解:设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意得整理,得解得答:这个两位数是49.
7.解:设较小的两位数为x,较大的两位数为y,由题意得解得所以这两个两位数分别是26,62.
8.解:(1)设“基本电价”为x元/千瓦时,“提高电价”为y元/千瓦时,由题意得解得答:“基本电价”为0.6元/千瓦时,“提高电价”为1元/千瓦时.　(2)80×0.6+(130-80)×1=98(元).答:预计小张家6月份上缴的电费为98元.
从本节课的教学目标看,帮助学生感受数学与生活的联系,提高用数学知识解决问题的能力,无疑是本节课的重要教学目标.通过对引例的分析,深化了学生对建立方程解决问题的方便性的认识,通过例题的具体分析,帮助学生了解寻找等量关系、建立等量关系的思考方向,本节课较好地实现了这个目标.
在本节课的教学活动中,由于老师对引例和例题的分析较多,学生主动参与活动较少,部分习题的设置难度较大,对基础较差的学生来说会存在解题的困难.
增设补充例题,这样既可以帮助学生深刻领会学到的方法,也可以补充课堂活动上学生交流讨论不足的问题.
随堂练习(教材第121页)
解:设这个两位数为x,各位数字之和为y,则解得答:这个两位数是56.
习题5.6(教材第122页)
1.解:答案不唯一.如:五一期间,春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游,景区门票售票标准是:成人门票为148元/张,学生门票为20元/张,该旅行团购买门票共花费1936元,则该旅行团购买成人门票和学生门票各多少张?
2.解:设原来两个加数分别为x,y,小明在x后面多写了一个0,小亮在y后面多写了一个0,则解得答:原来两个加数分别为21和32.
3.解:设小颖上坡、下坡分别用了x min和y min.4.8 km/h=80 m/min,12 km/h=200 m/min,由题意得解这个方程组得答:小颖上坡、下坡分别用了11 min和5 min.
4.解:设需要36元/kg的糖果x kg,20元/kg的糖果y kg.根据题意,得解这个方程组得答:需要36元/kg的糖果50 kg,20元/kg的糖果50 kg.
列二元一次方程组解决简单的实际问题,教师要注意引导学生自己分析题意,找出题目中所蕴含的相等关系,建立数学模型.但这对多数学生来说,还是比较困难的,教学时不能急于求成,应循序渐进,引导学生在分析问题和解决问题的过程中不断摸索,积累经验,逐步提高自己的能力.要让学生经过自主探索、交流讨论,去尝试解决,并在探索和解决问题的过程中获得成功的体验,得到发展,学会新的东西,发展自己的思维能力.
常见的实际问题类型:
(1)图形问题:解这类问题要认真观察所给图形,找出等量关系,这里的等量关系可以根据有关几何图形的性质,如周长、面积等计算公式找出来,也可以根据图形中线段或角的关系找出来.
(2)和差、倍分问题:解这类问题的基本等量关系是:较大量=较小量+多余量;总量=倍数×一份的量.
(3)行程问题:解这类问题的基本关系式是:路程=速度×时间;常见的行程问题可分为四种情况:①平路问题;②上、下坡路问题;③环路问题;④航速问题.其中航速问题又分水中航行和风中航行两类,基本关系式是:①顺流(风)速度=静水(无风)中的速度+水(风)速;②逆流(风)速度=静水(无风)中的速度-水(风)速.
(4)工程问题:解这类问题的基本关系式为:工作量=工作效率×工作时间.
(5)增长率问题:解这类问题的基本关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量;原量×(1-减少率)=减少后的量.
(6)利润问题:解这类问题的基本关系式是:利润=售价-进价,利润率=×100%;另外应注意打x折时,价格应为原价的倍,而不是x倍.
(7)银行利率问题:解这类问题的基本关系式是:免税利息=本金×利率×期数,税后利息=本金×利率×期数-本金×利率×期数×税率.
(8)数字问题:解这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及表示,另外要注意多位数的表示法,如:个位上数字为x,十位上数字为y的两位数可表示为10y+x.
6　二元一次方程与一次函数
1.理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.掌握两直线在同一坐标系中的位置关系,能根据图象确定二元一次方程组的解.
通过学生的思考、操作和观察,培养学生归纳、概括的能力.
通过积极参与数学学习活动,培养学生独立思考、积极探索、勇于创新、团结合作的精神.
【重点】　理解二元一次方程组与一次函数图象的关系.
【难点】　应用方程与函数的联系解决问题.
【教师准备】　教材图5 - 1,图5 - 2的投影片.
【学生准备】　复习一次函数和二元一次方程组解的概念.
导入一:
师:二元一次方程x+y=5的解有多少个?
生:(齐答)有无数个解.
师:如果我把方程x+y=5移项,变形为y=5-x.你们熟悉这个关系式吗?
生:(齐答)熟悉.
师:它是?
生:(齐答)一次函数.
师:你能说出一次函数的图象是什么吗?
生:是一条直线.
师:请在直角坐标系(如下图所示)中画出它的图象.
学生在直角坐标系中画一次函数y=5-x的图象,教师巡视指导.完成后,利用实物投影展示学生的画图情况,及时反馈评价.21*cnjy*com
师:同学们,一次函数y=5-x的图象由无数个点组成,二元一次方程x+y=5有无数个解,它们之间有什么关系?带着这个问题,让我们一起学习第五章第6节二元一次方程与一次函数.(板书课题:6　二元一次方程与一次函数)
[设计意图]　通过设置问题情境,让学生感受方程x+y=5和一次函数y=5-x的相互转化,启发、引导学生初步感受二元一次方程与一次函数的对应关系.设置疑问,激发学生的求知欲,培养学生的学习兴趣,为新课的学习做好铺垫.
导入二:
　　[过渡语]　随着数学学习的不断深入和知识的不断积累,我们思考问题的角度更加全面,解决问题的方法也更加灵活多样.接下来请同学们思考并解决下面的问题.
二元一次方程x+y=5中:
问题1
【课件1】　用含x的式子表示y,则y=　　　　.?
问题2
【课件2】　由此能判断y是x的一次函数吗?
问题3
【课件3】　所有二元一次方程都可以转化为一次函数的形式吗?
问题4
【课件4】　二元一次方程2x-y=1如何转化呢?2x-y=3呢?
[处理方式]　展示课件,学生口答4个问题.(4)放给学生,先让他们自己去找二元一次方程的例子,接着转化成一次函数的形式,然后再完成给出的两个例子的转化.对于不同学生的不同回答给予及时鼓励和准确的评价.随着问题的出现和解决,自然而然地引出课题.(板书课题)
[设计意图]　通过设置问题情境,让学生经历以上4个问题的解决,初步直观地感受到二元一次方程与一次函数之间的相互关系及互相转化在本质上表示的是同一个关系,从而引出课题“二元一次方程与一次函数”.简单直观的问题串,分解学生理解的梯度,增强学习的信心,调动思考的积极性.给出的3个方程是本节课研究的主导线,为后面的学习探究做了充足的准备和铺垫.
一、二元一次方程与一次函数的关系
　　[过渡语]　同学们,如果我们以二元一次方程x+y=5每一个解的x的值作为横坐标,y的值作为纵坐标构成点的坐标,你能在直角坐标系中描出以上述方程非负整数解为坐标的点吗?
思路一
生:能.
师:请在直角坐标系(如下图所示)中描出来,看看你有什么发现.(学生根据转化的点的坐标描出各解对应的点)
生:这些解对应的点都在一次函数y=5-x的图象上.
师:在一次函数y=5-x的图象上任取一点,这个点的坐标适合方程x+y=5吗?
生:适合.
师:你能展示你的思考过程吗?
生:我选择的点是(2,3),把点的坐标代入方程,方程两边相等.
师:你真棒!同学们用掌声鼓励一下这位同学.
师:方程x+y=5的解有无数个,如果我们把这些以方程x+y=5的解为坐标的所有点都描出来,那么这些点组成的图象是什么?
生:是一条直线.
师:与一次函数y=5-x的图象相同吗?
生:相同.
师:由此你能得出什么结论?请在小组内交流你的想法.(学生在小组内交流,交流后代表展示,教师适时引导)
生:以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同,是同一条直线.(板书)
师:一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.(多媒体出示)(给学生10秒钟体会理解)
思路二
出示并讨论教材第123页引例中的4个问题.
(1)方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.(无数个.例如x=1,y=4;x=2,y=3)
(2)在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=5-x的图象上吗?(描点略,都在一次函数y=5-x的图象上)
(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?(适合方程x+y=5)
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗?(相同)
学生经过上述讨论后,老师总结:
任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个,以一个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同,是一条直线.例如:方程x+y=5,可化为y=-x+5的形式,方程x+y=5的解有无数个,以方程x+y=5的解为坐