2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级上学期开学考数学试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级上学期开学考数学试卷(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 657.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-01 10:41:17 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 任意实数
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
4.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为()
A. B. C. D.
5.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若方程的两个实数根为、，则的值为（ ）
A. 7 B. 3 C. －5 D. 9
7.已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（）
A. (-2， 0) B. (-3， 0) C. (-4， 0) D. (-5， 0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将一元二次方程化成一般式为 ．
12.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值 .
13.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ．
14.二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是 ．
15.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（﹣1，0），则以下结论：①abc>0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确的有 （填序号）
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：
(1) ．
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
(1) 求该二次函数表达式；
(2) 直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．
18.(本小题8分)
在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．
20.(本小题8分)
浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
(1) 写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2) 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
21.(本小题8分)
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
(1) 如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
(2) 线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
22.(本小题8分)
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
(1) 请用含有x的代数式表示的长；
(2) 花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
(3) 求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？
23.(本小题8分)
综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．
如何设计建造花园？
提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．
决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6．
方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．
方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成．
问题解决 （1）求方某一中在墙上借用的的长度．（2）求方案二中的长．（3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】3或﹣5
13.【答案】-4
14.【答案】
15.【答案】②⑤⑥
16.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17.【答案】【小题1】
解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设二次函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数表达式为；
【小题2】
∵，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴为，
∴当y随x的增大而减小时x的取值范围．
18.【答案】解：设空白区域的宽度为，由题意得：
解得：，（不符合题意，舍去），
答：空白区域的宽度为．
19.【答案】【小题1】
证明：∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0，
∴此方程总有两个不等实根；
【小题2】
，
，．
∵ 方程的根均为整数，
∴．
20.【答案】【小题1】
解:依题意得,销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450,
则w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250,
【小题2】
w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000,
∵－10＜0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,当x＝35时,w最大＝1000元,故当单价为35元时,每天的利润最大为1000元．
21.【答案】【小题1】
解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：
（6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
【小题2】
不能，理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC=×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
22.【答案】【小题1】
解：，
∴
【小题2】
在点P与，的距离分别是和，
，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；
【小题3】
解：在点P与，的距离分别是和，
，
面积S与x的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米．
23.【答案】解：（1）设的长度为，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由题意可得的长度应小于的长度，
即，
则应舍去，只取，
即方案一中在墙上借用的的长度为；
（2）设的长度为，则，
那么，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
即求方案二中的长为；
（3）由（1）可得，，
则；
由（2）得：，，
则；
那么更接近
故该酒店应选择方案二．
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 任意实数
3.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
4.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为()
A. B. C. D.
5.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.若方程的两个实数根为、，则的值为（ ）
A. 7 B. 3 C. －5 D. 9
7.已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9.如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（）
A. (-2， 0) B. (-3， 0) C. (-4， 0) D. (-5， 0)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将一元二次方程化成一般式为 ．
12.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值 .
13.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ．
14.二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是 ．
15.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（﹣1，0），则以下结论：①abc>0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确的有 （填序号）
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：
(1) ．
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
(1) 求该二次函数表达式；
(2) 直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．
18.(本小题8分)
在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．
20.(本小题8分)
浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
(1) 写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2) 求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
21.(本小题8分)
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，
(1) 如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？
(2) 线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
22.(本小题8分)
【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
(1) 请用含有x的代数式表示的长；
(2) 花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
(3) 求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？
23.(本小题8分)
综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．
如何设计建造花园？
提出问题 某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．
决策依据 长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6．
方案一 如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．
方案二 如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成．
问题解决 （1）求方某一中在墙上借用的的长度．（2）求方案二中的长．（3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】3或﹣5
13.【答案】-4
14.【答案】
15.【答案】②⑤⑥
16.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17.【答案】【小题1】
解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设二次函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数表达式为；
【小题2】
∵，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴为，
∴当y随x的增大而减小时x的取值范围．
18.【答案】解：设空白区域的宽度为，由题意得：
解得：，（不符合题意，舍去），
答：空白区域的宽度为．
19.【答案】【小题1】
证明：∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0，
∴此方程总有两个不等实根；
【小题2】
，
，．
∵ 方程的根均为整数，
∴．
20.【答案】【小题1】
解:依题意得,销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450,
则w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250,
【小题2】
w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000,
∵－10＜0,
∴函数图象开口向下,w有最大值,当x＝35时,w最大＝1000元,故当单价为35元时,每天的利润最大为1000元．
21.【答案】【小题1】
解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：
（6-x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意，
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
【小题2】
不能，理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：
S△ABC=×6×8=24，
（6﹣y） 2y=12，
y2﹣6y+12=0，
∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.
22.【答案】【小题1】
解：，
∴
【小题2】
在点P与，的距离分别是和，
，，
，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；
【小题3】
解：在点P与，的距离分别是和，
，
面积S与x的函数解析式为：
，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米．
23.【答案】解：（1）设的长度为，则，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由题意可得的长度应小于的长度，
即，
则应舍去，只取，
即方案一中在墙上借用的的长度为；
（2）设的长度为，则，
那么，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
即求方案二中的长为；
（3）由（1）可得，，
则；
由（2）得：，，
则；
那么更接近
故该酒店应选择方案二．
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