第十七章　因式分解 质量评价卷（含答案）人教版（2024） 数学八年级上册

第十七章　因式分解 质量评价卷
时间:120分钟　满分:150分
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.式子从左到右的变形中,属于因式分解的是( )
A.x2-1=x·x-1
B.x2+2xy+1=x(x+2y)+1
C.a2b+ab3=ab(a+b2)
D.x(x+y)=x2+xy
2.把多项式4x2y2z-12xy2z-6xyz2分解因式时,应提取的公因式是( )
A.xyz B.2xy
C.2xyz D.2x2y2z2
3.多项式a(x2-2x+1)与多项式x2-1的公因式是( )
A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.x2
4.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是a-b,则另一个因式是( )
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
5.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2 B.-x2-y2
C.x2-y2+1 D.-x2+4y2
6.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+2x-1 B.x2+x+
C.x2+2x+4 D.x2-6x+9
7.下面是小明利用完全平方公式进行因式分解的过程:x2+4y2=
(x+2y)2.墨迹将“x2+4y2”中的一项(包括符号)染黑了,则被染黑的这一项是( )
A.+4xy B.+2xy C.-4xy D.-2xy
8.下列因式分解结果正确的是( )
A.x2+xy+x=x(x+y)
B.x2-2x+4=(x-2)2
C.x2-4=(x+4)(x-4)
D.2a(b+c)-(b+c)=(b+c)(2a-1)
9.因式分解整式4xy2-24xy+36x,结果正确的是( )
A.x(2y+6)2 B.2x(y-3)2
C.4x(y-6)2 D.4x(y-3)2
10.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应华、爱、我、中、游、美六个字,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.中华游 C.爱我中华 D.美我中华
11.若关于x的多项式x3+x2-7x-3可以分解为(x2+nx-1)(x+3),则n3的值是( )
A.8 B.-8 C.6 D.-6
12.若m为自然数,则(2m+3)2-4m2的值总能( )
A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.已知xy=-3,x-y=2,则代数式xy2-x2y的值是　 　.
14.若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值是　 　.
15.若a+b=4,a-b=1,则(a+2)2-(b-2)2的值为　 　.
16.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC的周长为　 　.
17.已知m=4n+6,且m2-6mn+16n2=35,则m2n-4mn2的值为　 　.
18.若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2024的值是　 　.
三、解答题(共90分)
19.(12分)因式分解:
(1)2(x-3)+x(3-x); (2)3m3-12m;
(3)18x2y-12xy2+2y3; (4)(x+y)2-4xy.
20.(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)28和2 012这两个数是神秘数吗
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗
21.(12分)在八年级课外兴趣小组活动中,老师提出了如下问题:将2a+3ab-4-6b分解因式.
【观察】经过小组的合作与交流,小明得到了如下的解决方法:
原式=(2a-4)+(3ab-6b)
=2(a-2)+3b(a-2)
=(a-2)(2+3b).
【类比】(1)请用以上方法将x2-a2+x+a分解因式.
【挑战】(2)请用以上方法将ax+a2-2ab-bx+b2分解因式.
22.(12分)下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程:
解:设x2-4x=y,则
原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了(　　)
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中含x的代数式代换,这个结果是否分解彻底 　　　(填“是”或“否”).如果否,最后的结果是　　　　.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式
分解.
23.(14分)我们已经学方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),下面我们来推导另一个式子a3-b3的因式分解,我们从简单的情况开始思考,对于a3-b3,可以这样构造:
先让a3-b3加上a2b-a2b,ab2-ab2,式子的值不变,
即a3-b3=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3,
然后进行分组:
a3-b3=(a3-a2b)+(a2b-ab2)+(ab2-b3),
进一步提取公因式:
a3-b3=a2(a-b)+ab(a-b)+b2(a-b),
最后得到a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
解决问题:
(1)因式分解:x3-8;
(2)若x+y=6,xy=4,求x3+y3的值.
24.(14分)综合与实践:特值法是解决数学问题的一种常用方法,即通过取题中某个未知量的特殊值,通过简单的运算,得出最终答案的一种方法.
综合实践课上田老师展示了如下例题:
例:已知多项式2x3-2x2+m有一个因式是x+1,求m的值.
解:由题意,设2x3-2x2+m=A·(x+1)(A为整式).
上式为恒等式,为了方便计算,取x=-1,
则2×(-1)3-2×(-1)2+m=0,解得m=■.
数学思考:(1)“■”处的值为　　　.
方法应用:(2)已知多项式2x3-x2-x+b有一个因式是2x-1,求b的值;
深入探究:(3)若多项式x4+ax3+bx-3有因式x-1和x+2,求a,b的值.
25.(14分)阅读下面材料,在代数式中,我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,而且还能求代数式的最值.
例如:求代数式x2-12x+2 020的最小值.
解:原式=x2-12x+62-62+2 020=(x-6)2+1 984.
∵(x-6)2≥0,
∴当x=6时,(x-6)2的值最小,最小值为0,
∴(x-6)2+1 984≥1 984,
∴当x=6时,(x-6)2+1 984的值最小,最小值为1 984,
∴代数式x2-12x+2020的最小值是1984.
(1)若y=-x2+2x+2026,求y的最大值;
(2)当m,n为何值时,代数式m2-2mn-2m+2n2-4n+2 030有最小值 并求出这个最小值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.　6　.
14.　±12　.
15.　20　.
16.　12　.
17.　-3　.
18.　2026　.
三、解答题(共90分)
19.解:(1)2(x-3)+x(3-x)
=2(x-3)-x(x-3)
=(x-3)(2-x).
(2)3m3-12m
=3m(m2-4)
=3m(m-2)(m+2).
(3)18x2y-12xy2+2y3
=2y(9x2-6xy+y2)
=2y(3x-y)2.
(4)(x+y)2-4xy
=x2+2xy+y2-4xy
=x2-2xy+y2
=(x-y)2.
20.解:(1)28=82-62,2 012=5042-5022,
∴是神秘数.
(2)(2k+2)2-(2k)2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+1),
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.
(3)设两个连续奇数为2k+1和2k-1,
则(2k+1)2-(2k-1)2=8k.
由(2)可知:神秘数是4的奇数倍,不是4的偶数倍,
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数.
21.解:(1)原式=(x2-a2)+(x+a)
=(x+a)(x-a)+(x+a)·1
=(x+a)(x-a+1).
(2)原式=(a2-2ab+b2)+(ax-bx)
=(a-b)2+x(a-b)
=(a-b)(a-b+x).
22.解:(1)C　(2)否　(x-2)4
(3)设x2-2x=y,
则原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4.
23.解:(1)x3-8=x3-23=(x-2)(x2+2x+4).
(2)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2),用-y替换y,得
x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2).
∵x+y=6,xy=4,
∴x3+y3=(x+y)[(x+y)2-3xy]=6×(62-3×4)=6×24=144.
24.解:(1)4
(2)多项式2x3-x2-x+b有一个因式是2x-1,
设2x3-x2-x+b=A·(2x-1)(A为整式),
令2x-1=0,则x=.将x=代入式子,得
2×--+b=0,
解得b=.
(3)设x4+ax3+bx-3=A·(x-1)(x+2).
取x=1,得14+a×13+b×1-3=0,即a+b=2.
取x=-2,得(-2)4+a×(-2)3+b×(-2)-3=0,
即8a+2b=13.
由解得∴a=,b=.
25.解:(1)y=-x2+2x+2 026
=-x2+2x-1+2 027
=-(x2-2x+1)+2 027
=-(x-1)2+2 027.
∵-(x-1)2≤0,
∴-(x-1)2+2 027≤2 027,
∴y的最大值为2 027.
(2)m2-2mn-2m+2n2-4n+2 030
=m2-2m(n+1)+(n+1)2+n2-6n+9+2 020
=(m-n-1)2+(n-3)2+2 020,
当m-n-1=0,n-3=0时,该代数式有最小值,
解得m=4,n=3,最小值为2 020.