江苏省连云港市和安中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 江苏省连云港市和安中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 144.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-01 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年江苏省连云港市和安中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x+2y=5 B. x2-2x=-1 C. 5x2-6y-2=0 D.
2.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断
3.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 60°
4.下列说法中，正确的是（ ）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的圆周角也相等
D. 在同圆或等圆中，90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径
5.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. （40-2x）（19-x）=352 B. （40+x）（19+x）=352
C. （40-x）（19-x）=352 D. （40-2x）（19-2x）=352
6.若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为2，-3，则关于y的方程a（y-2）2+b（y-2）+c=0的两根分别为（ ）
A. 2，-3 B. 4，2 C. 1，-3 D. 4，-1
7.魏晋时期刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S-S1=（ ）
A. π-2
B. π-1
C. π-3
D. 2π-3
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是（ ）
A. 3
B. 3
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知x=a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式a2+2a+2022的值为 .
10.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD的度数为______．
11.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为5cm、13cm,则弦AB的长为 .
12.某中学九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有 个队.
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC是 °.
14.若关于x的一元二次方程（k-3）x2+2kx+k-2=0有实数根，则k的取值范围是 .
15.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P，Q，M、N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2cm,当x= 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.
16.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，过点B作BD⊥BC，且，连接AD，则AD的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
解方程：
（1）；
（2）2x2+x-6=0；（配方法）
（3）2+2x=x2；（公式法）
（4）3（x-2）2=x（x-2）.
18.(本小题8分)
如图，已知△ABC.
（1）利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆；
（2）若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径.
19.(本小题8分)
超市以每件10元的价格购进了一批玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经调查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40个.如何定价才能使每天的利润为1400元？
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB=，AD=1，求CD的长度．
21.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（ 2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
22.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，当点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t s.
（1）若AP=2PQ，求t的值；
（2）连接AQ，是否存在时间t,使得S△APQ=4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=30°，DE=5，求BD的长.
24.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD=∠BCD；
（2）若DE=13，AE=17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
25.(本小题14分)
某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究.
【问题呈现】
阿基米德折弦定理：如图①.AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）.BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.
同学们正在讨论如何证明该定理的正确性.他们想到用“截长法”进行证明.下面是部分证明过程.请补充完整.
证明：如图②，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中点.
∴MA=______.
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴______≌______.
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=______.
∴AB+BD=CG+DG.
即CD=DB+BA.
【变式探究】
如图③，若点M是的中点.【问题呈现】中的其他条件不变.判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
【实践应用】
如图④，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°.若AB=6，⊙O的半径为5.求AD的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】2025
10.【答案】144°
11.【答案】24cm
12.【答案】6
13.【答案】60°
14.【答案】且k≠3
15.【答案】2或4
16.【答案】
17.【答案】，；
，x2=-2；
，；
x1=2，x2=3
18.【答案】解：（1）如图，先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，再过点O作OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径画圆，
则⊙O即为所求．
（2）设△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，连接OE，OF，OA，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+BC+AC=24．
∵△ABC的面积为24，OE=OF=OD，
∴S△AOB+S△BOC+S△AOC====24，
∴OD=2，
∴它的内切圆的半径为2．
19.【答案】每件玩具的定价应为15元或17元，能使每天的利润为1400元．
20.【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=，
∴AC＝=2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝=．
21.【答案】解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得，．
即实数m的取值范围是．
（2）由得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得．
∵＞，
∴不合题意，舍去．
若x1-x2=0，即x1=x2，
∴△=0，由（1）知．
故当时，．
22.【答案】t=1；
存在，t=2
23.【答案】如图，连接OD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
∴ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ACB=∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
15
24.【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠BCD=45°，
∵AE=17，
∴ME=AM=17×=，
∵DE=13，
∴DM===，
∴AD=AM+DM=12，
∴AB=AD=12=24，
∴AO==12；
（3）AF+BC=DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN=∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD=∠DNB=90°，DF=DN，四边形DFCN是正方形,
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF=BN，CF=CN，
∵∠FCD=45°，
∴DF=CF，
∴CN=BN+BC=AF+BC=CF=DF．
即AF+BC=DF．
25.【答案】MC △MAB △MCG DG
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x+2y=5 B. x2-2x=-1 C. 5x2-6y-2=0 D.
2.已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断
3.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 60°
4.下列说法中，正确的是（ ）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的圆周角也相等
D. 在同圆或等圆中，90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径
5.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. （40-2x）（19-x）=352 B. （40+x）（19+x）=352
C. （40-x）（19-x）=352 D. （40-2x）（19-2x）=352
6.若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为2，-3，则关于y的方程a（y-2）2+b（y-2）+c=0的两根分别为（ ）
A. 2，-3 B. 4，2 C. 1，-3 D. 4，-1
7.魏晋时期刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S-S1=（ ）
A. π-2
B. π-1
C. π-3
D. 2π-3
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.点P为△ABC内一点，且满足PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是（ ）
A. 3
B. 3
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知x=a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式a2+2a+2022的值为 .
10.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE=72°，那么∠BOD的度数为______．
11.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为5cm、13cm,则弦AB的长为 .
12.某中学九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有 个队.
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC是 °.
14.若关于x的一元二次方程（k-3）x2+2kx+k-2=0有实数根，则k的取值范围是 .
15.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P，Q，M、N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2cm,当x= 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.
16.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，过点B作BD⊥BC，且，连接AD，则AD的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
解方程：
（1）；
（2）2x2+x-6=0；（配方法）
（3）2+2x=x2；（公式法）
（4）3（x-2）2=x（x-2）.
18.(本小题8分)
如图，已知△ABC.
（1）利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆；
（2）若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径.
19.(本小题8分)
超市以每件10元的价格购进了一批玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个.经调查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40个.如何定价才能使每天的利润为1400元？
20.(本小题10分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB=，AD=1，求CD的长度．
21.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（ 2）当x12﹣x22=0时，求m的值．
22.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,点P从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，当点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t s.
（1）若AP=2PQ，求t的值；
（2）连接AQ，是否存在时间t,使得S△APQ=4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AC的中点，连接DE.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=30°，DE=5，求BD的长.
24.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD=∠BCD；
（2）若DE=13，AE=17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
25.(本小题14分)
某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究.
【问题呈现】
阿基米德折弦定理：如图①.AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）.BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=DB+BA.
同学们正在讨论如何证明该定理的正确性.他们想到用“截长法”进行证明.下面是部分证明过程.请补充完整.
证明：如图②，在CD上截取CG=AB，连接MA、MB、MC和MG.
∵M是的中点.
∴MA=______.
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴______≌______.
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=______.
∴AB+BD=CG+DG.
即CD=DB+BA.
【变式探究】
如图③，若点M是的中点.【问题呈现】中的其他条件不变.判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明.
【实践应用】
如图④，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC=45°.若AB=6，⊙O的半径为5.求AD的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】2025
10.【答案】144°
11.【答案】24cm
12.【答案】6
13.【答案】60°
14.【答案】且k≠3
15.【答案】2或4
16.【答案】
17.【答案】，；
，x2=-2；
，；
x1=2，x2=3
18.【答案】解：（1）如图，先分别作∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O，再过点O作OD⊥BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径画圆，
则⊙O即为所求．
（2）设△ABC的内切圆⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，连接OE，OF，OA，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+BC+AC=24．
∵△ABC的面积为24，OE=OF=OD，
∴S△AOB+S△BOC+S△AOC====24，
∴OD=2，
∴它的内切圆的半径为2．
19.【答案】每件玩具的定价应为15元或17元，能使每天的利润为1400元．
20.【答案】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=，
∴AC＝=2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝=．
21.【答案】解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得，．
即实数m的取值范围是．
（2）由得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得．
∵＞，
∴不合题意，舍去．
若x1-x2=0，即x1=x2，
∴△=0，由（1）知．
故当时，．
22.【答案】t=1；
存在，t=2
23.【答案】如图，连接OD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
∴ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ACB=∠ECD+∠OCD=90°，
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
15
24.【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠BCD=45°，
∵AE=17，
∴ME=AM=17×=，
∵DE=13，
∴DM===，
∴AD=AM+DM=12，
∴AB=AD=12=24，
∴AO==12；
（3）AF+BC=DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN=∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD=∠DNB=90°，DF=DN，四边形DFCN是正方形,
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF=BN，CF=CN，
∵∠FCD=45°，
∴DF=CF，
∴CN=BN+BC=AF+BC=CF=DF．
即AF+BC=DF．
25.【答案】MC △MAB △MCG DG
第1页，共1页
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