课件21张PPT。21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系旧知回顾一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： x=(b2-4ac≥ 0)填表，观察、猜想 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知根与系数关系 如果关于x的方程的两根是 , ,则:如果方程二次项系数不为1呢?问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,那么 x1 + x2 = x1 x2= -（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0探究归纳韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 一元二次方程根与系数关系的证明：x1 + x2 =+==-x1 x2 =●===1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -小试身手例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1） x 2 - 6x - 15 = 0
（2）3x 2 + 7x - 9 = 0
（3）5x - 1 = 4x 2 x1 + x2 = 6x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 = -3x1 + x2 =x1 x2 =例题探究例2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 .
求：(1) (2) x12+x22解：由题意可知x1+x2= - , x1 · x2= -3(1)= ==(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2＝(- )2 -2×(-3)＝6变式 练习： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（2） （1）（3）（x1- x2）2例3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= -2由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6∴ x1 ＝－3答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.解二：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 ＋2= k+1x1 ●2= 3k解这方程组，得x1 =－3 k =－2答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.例3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= ,∴ x1= ,又 x1●1= ,∴ m= 3x1 = 16 课堂练习2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：由根与系数的关系，得x1+x2= -2 , x1 · x2=∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3.拓展探索2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去.∴ k=0 通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比.课堂小结课本P17 习题21.2 第7题.课后作业课件17张PPT。21.2 解一元二次方程-----公式法1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）用直接开平方法求出方程的根.
旧知回顾2.用配方法解下列一元二次方程.探究新知探究归纳利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.例2.解下列方程.例题探究例2.解下列方程.例2.解下列方程.例2.解下列方程. 1.教科书第12页练习第1题(1)(3)(5). 2.要设计一座2 m高的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部（全身）的高度比,雕像的下部应设计为多高?课堂练习CB分析:即设雕像下部高x m,于是得方程整理得x2-x 雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:A 2.利用求根公式解一元二次方程的步骤.课堂小结 1.必做题：
教科书第12页练习第1题（2）（4）（6）；第2题.
教科书第17页习题21.2第4、5题.
2.选做题：
教科书第17页习题21.2第13题.课后作业课件16张PPT。21.2 解一元二次方程-----因式分解法1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?2. 什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.直接开平方法配方法x2=a (a≥0)(x+m)2=n (n≥0)公式法旧知回顾分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即 根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s）探究新知解：配方法公式法解：a = 4.9，b =－10，c = 0 b2－4ac
= (－10)2－4×4.9×0=100因式分解两个因式乘积为 0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根这种解法是不是很简单？ 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次的？①②探究归纳分解因式法解一元二次方程的步骤是:2.将方程左边因式分解为A×B.3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.1.将方程右边等于0.例3 解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(x－2)(x＋1)=0.例题探究因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,例3 解下列方程：解：（2）移项、合并同类项，得1. 解下列方程：解： 因式分解，得（1） x2+x=0x ( x+1 ) = 0.得 x = 0 或 x + 1 =0，x1=0 , x2=－1.解：因式分解，得课堂练习解：化为一般式为因式分解，得x2－2x+1 = 0.( x－1 )( x－1 ) = 0.有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，x1=x2=1.解：因式分解，得( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，解：化为一般式为因式分解，得6x2 － x －2 = 0.( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，解：变形有因式分解，得( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，x1 = 3 , x2 = 1.2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为r根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.因式分解，得于是得答：小圆形场地的半径是分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程左边因式分解，右边等于0;2.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.课堂小结 教科书习题 21.2 第 6，10 题．课后作业课件20张PPT。21.2 解一元二次方程-----配方法学习目标： 1．会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的 基本过程，会用配方法解一元二次方程； 2．在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中， 进一步加深对化归的数学思想的理解．
学习重点： 理解配方法及用配方法解一元二次方程．目标重点 问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以 上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全 身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕 像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？解：设雕像的下部高为 x m，
据题意，列方程得
整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．探究新知 你会解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程组一元一次方程一元二次方程消元降次 思考：如何解一元二次方程． 问题2 解方程 x 2 = 25，依据是什么？ 解得 x 1 = 5，x 2 = - 5．平方根的意义 请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？ 结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，平方根的意义降次 （当 p≥0 时） 问题4 怎样解方程 x 2 + 6x + 4 = 0 ①？x 2 + 6x + 9 = 5 ② 试一试：与方程 x2 + 6x + 9 = 5 ② 比较，
怎样解方程 x2 + 6x + 4 = 0 ① ？ 怎样把方程①化成方程②的形式呢？ 怎样保证变形的正确性呢？ 即由此可得… 解：左边写成平方形式 移项
x2 + 6x = -4 ③两边加 9
= -4 + 9 x2 + 6x + 9回顾解方程过程：两边加 9，左边 配成完全平方式 移项左边写成完全 平方形式 降次解一次方程x2 + 6x + 4 = 0x2 + 6x = -4x2 + 6x + 9 = -4 + 9 想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．两边加 9 一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．x2 + 6x = -4 ③x2 + 6x + 9 = -4 + 9 议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？配成完全平方形式 通过 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．配方 具体步骤：
（1）移项；
（2）在方程两边都加上一次项系数一半的平方．探究归纳平方根的意义降次 （当 p≥0 时） 问题5 通过解方程 x 2 + 6x + 4=0 ，请归纳这类方程是怎样解的？ （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? 思考归纳 解一元二次方程的一般步骤：两边加 9，左边 配成完全平方式 移项左边写成完全 平方形式 降次x2 + 6x + 4 = 0x2 + 6x = -4x2 + 6x + 9 = -4 + 9解一次方程例1 解下列方程：分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
（2）先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.例题学习解:配方：由此可得：移项，得∴ 原方程的解为：注意：方程的二次项系数不是1时，为便于配方，可以让方程的各项除以二次项系数.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（1）当p>0时，方程有两个不等的实数根（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有
所以方程无实数根.归纳总结课堂小结 1．教科书第6页练习；第 9页练习．
2．思考：利用本节课的知识，试解关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0．课后作业
