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苏科版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·自贡期中）如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为（ ）
A． B． C． D．都不对
2．（2024九上·天津市期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（2023九上·简阳期中）试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·织金期中）若实数x，y满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．2或－1 D．－2或－1
5．（2023九上·浏阳期中）方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1
6．（2023九上·五华期中）如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·仙居期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·官渡期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（ ）
A．正六边形ABCDEF的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF的边心距等于
D．正六边形ABCDEF的面积等于3
9．（2023九上·绍兴期中）如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·镇海区期中）如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·呼兰期中）方程的两个根是 ．
12．（2023九上·太原期中）将化成一元二次方程的一般形式的结果为+ =0.
13．（2023九上·铜陵期中）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长是 ．
14．（2023九上·石家庄期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ．
15．（2022九上·临淄期中）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
16．（2024九上·北京市期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·大同期中）解方程：
（1）
（2）
18．（2023九上·资中期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
19．（2024九上·恩施期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
20．（2023九上·安新期中）如图，已知的半径为，正六边形为的内接正六边形，连接．
（1） ，的长是 ．
（2）若是的中点，连接，求的长．
21．（2023九上·大厂期中）如图是一个被平均分成等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
用树状图或列表法，求出点落在第二象限内的概率．
22．（2023九上·游仙期中） 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
23．（2023九上·西山期中）淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为15万元，7月份的盈利额达到21.6万元，如果每月增长的百分率相同．
（1）求该烧烤店这两个月的月均增长率．
（2）若该烧烤店盈利的月增长率继续保持不变，预计8月份盈利多少万元？
24．（2023九上·朝阳期中）如图，平行四边形的面积为12，．点在边上（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．
（1）的长度 ．
（2）点到直线的距离是 ．
（3）设点到直线的距离为，求的最小值．
（4）当点落在平行四边形的边上时，直接写出的长度．
25．（2023九上·青白江期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
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苏科版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·自贡期中）如果方程是关于的一元二次方程，那么的值为（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】C
【解析】【解答】
∵方程是关于的一元二次方程
∴ m-3≠0，m -7=2
解得：m=-3
故答案为C
【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且次数最高为2的整式方程是 一元二次方程。
2．（2024九上·天津市期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】∵x1，x2 是一元二次方程 x2+x-2=0的两个根 ∴ x1x2＝-2
故答案为：D .
【分析】利用根与系数的关系得出x1x2=-2 ，牢记两根之和等于- ，两根之积等于。
3．（2023九上·简阳期中）试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8-x)米的大矩形，依题意得：．
故答案为：B.
【分析】设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为(15-2x)米、宽为(8- x)米的矩形，利用种植的面积=合成大矩形的长×宽，即可得出关于x的一元二次方程．
4．（2023九上·织金期中）若实数x，y满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．2或－1 D．－2或－1
【答案】B
【解析】【解答】解：设x2+y2=a，则原式可化为：a2-a-2=0，
解得：a1=2，a2=-1，
又∵x2+y20，
∴x2+y2=2．
故答案为：B.
【分析】根据解一元二次方程的方法换元法求解。要注意隐含条件“x2+y20”，即“x2＋y2的值”不能为负数．
5．（2023九上·浏阳期中）方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5和4 B．5和 C．5和 D．5和1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵将方程整理得：，
∴二次项系数为5，一次项系数为，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的一般形式，、、分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，据此判定．
6．（2023九上·五华期中）如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD，OC
∵∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-58°=122°
∵
∴
故答案为：D
【分析】连接OD，OC，根据四边形内角性质可得∠ADC=122°，再根据三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
7．（2023九上·仙居期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 方程，
添加常数得：
∴.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程得步骤：（1）将一元二次方程整理为一般形式；（2）移项，将常数项移动到右边，注意变号；（3）二次项系数化1，方程两边同时除以二次项系数；（4）添加常数，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；（5）配成完全平方式，然后开方，进行求解即可.
8．（2024九上·官渡期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（ ）
A．正六边形ABCDEF的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF的边心距等于
D．正六边形ABCDEF的面积等于3
【答案】D
【解析】【解答】∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴正六边形ABCDEF的中心角等于 ，
故A正确；
∵⊙O的半径长为a，正六边形ABCDEF的中心角等于60°，
∴△OAB为正三角形，
∴正六边形的边长为a，
∴正六边形ABCDEF的周长等于6a，
故B正确；
∵正六边形ABCDEF的边心距等于 ，
故C正确，
∵正六边形ABCDEF的面积等于六个正三角形OAB的面积，
∴ ，
故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据内接正多边形的性质计算中心角即可判断A；由A得出中心角为60°，根据等边三角形的性质得出正多边形的边长等于a，则可求出正多边形的周长，即可判断B；根据勾股定理求出边心距，即可判断C；正六边形ABCDEF的面积等于六个△OAB的面积，据此计算，即可判断D.
9．（2023九上·绍兴期中）如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设的弧度为x，则的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴的弧度为180°-x，
由折叠知：==x，
=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴==x-90°，
∴=-=90°，
∴所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=，
∴OE= CE-OC=.
故答案为：A.
【分析】由三角形的两边之差小于第三边得点O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x，得、、，进而得到所对圆心角为90°，OE= CE-OC即可求得.
10．（2022九上·镇海区期中）如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（ ）
A．一直不变 B．一直减少
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OE、OF，过O做ON⊥EF，
即
在含的中，有
为圆的直径，为圆的半径
，即
由图可知，当点D从点B运动到点C的过程中，线段AD的长度先减小后增大
线段EF的长度先减小后增大
故答案为：C.
【分析】连接OE、OF，过O做ON⊥EF，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠EOF的度数，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可得∠OEF=∠OFE=30°，在Rt△OEN中，根据含30°角直角三角形的性质表示出EN，进而可用含AD的式子表示出EF，由图可知，当点D从点B运动到点C的过程中，线段AD的长度先减小后增大，据此即可得出线段EF的长度先减小后增大.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·呼兰期中）方程的两个根是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：将原方程转化为
，
∴，，
故答案为：.
【分析】观察方程特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
12．（2023九上·太原期中）将化成一元二次方程的一般形式的结果为+ =0.
【答案】
【解析】【解答】∵一元二次方程为，
∴将方程化为+x+1=0，
故答案为：x+1.
【分析】利用单项式乘多项式及整式的混合运算将方程化为一般式+x+1=0，再求解即可.
13．（2023九上·铜陵期中）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长是 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：
（x-3）（x-4）=0
解得：x=3或x=4
又因菱形的一条对角线为6，故边长只能为4
则：菱形ABCD周长为16
故答案为：16
【分析】先解一元二次方程，再根据菱形一条对角线为6，判断解得的值都存在，最后进行周长的计算。
14．（2023九上·石家庄期中）如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF
∵
∴
∴△ABC为直角三角形
∵圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F
∴，且OD=OE=OF=r
∴
∵
即
解得：r=2
故答案为：2
【分析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据三角形内切圆性质可得，且OD=OE=OF=r，根据三角形面积可得，又因为，代入相应值计算即可求出答案.
15．（2022九上·临淄期中）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】>
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】先求出，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。
16．（2024九上·北京市期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
在和中，
，
，
，
连接，并延长交圆于点，即为最大值，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，连接，并延长交圆于点，即为最大值，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·大同期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程。求根公式：。
（2）根据因式分解法解方程。先移项，再把方程左边分解因式。
18．（2023九上·资中期中）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：
，．
【解析】【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算和解一元二次方程。
（1）根据二次根式的乘除法则优先计算，再计算加减；
（2）解此一元二次方程，可用配方法或因式分解法、公式法等。
19．（2024九上·恩施期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．
【答案】解：（1）∵关于x的方程总有两个实数根，
∴ ，
解得：．
（2）∵为方程的两个根，
∴．
∵，
∴，
∴，
整理，得：，即，
解得：（不合题意，舍去），，
∴m的值为1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得 ，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再结合，可得，再求解即可.
20．（2023九上·安新期中）如图，已知的半径为，正六边形为的内接正六边形，连接．
（1） ，的长是 ．
（2）若是的中点，连接，求的长．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过作，为垂足．
六边形是正六边形，的半径为，
，，
，
，
．
．
是的中点，
，
由（）知，
∴．
【解析】【解答】（1）连接，
解：∵正六边形为的内接正六边形，
∴，，
∴，则，
∴
故答案为：，．
【分析】（1）连接，根据正六边形的性质可得，，进而可得根据弧长公式求得的长，即可求出答案.
（2）过作，为垂足，根据正六边形的性质可得，，，再根据勾股定理求得，进而可得，在中，根据勾股定理即可求出答案.
（1）连接，
解：∵正六边形为的内接正六边形，
∴，，
∴，则，
∴
故答案为：，．
（2）如图，过作，为垂足．
六边形是正六边形，的半径为，
，，
，
，
．
．
是的中点，
，
由（）知，
∴．
21．（2023九上·大厂期中）如图是一个被平均分成等份的转盘，每一个扇形中都标有相应的数字，甲乙两人分别转动转盘，设甲转动转盘后指针所指区域内的数字为，乙转动转盘后指针所指区域内的数字为（当指针在边界上时，重转一次，直到指向一个区域为止）．
直接写出甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率；
用树状图或列表法，求出点落在第二象限内的概率．
【答案】解：（1）∵一共有种等可能的结果，甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的有：，共种情况，
∴甲转动转盘后所指区域内的数字为负数的概率为：；
（2）根据题意，列表得：
甲乙
∴点的坐标一共有种等可能的结果，且每种结果发生的可能性相等，其中点落在第二象限的结果共有种，
∴点落在第二象限内的概率为：．
【解析】【分析】（1）根据古典概率的知识，利用概率公式即可求得答案；（2）根据题意列出表格，然后根据表格即可求得所有等可能的结果与点（x，y）落在第二象限内的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案
22．（2023九上·游仙期中） 如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
【答案】（1）解：设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）解：OH⊥FE于H，则OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF中，HF＝＝16，
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【解析】【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，进而根据勾股定理即可求解；
（2）先根据勾股定理求出HF，进而结合题意即可求解。
23．（2023九上·西山期中）淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为15万元，7月份的盈利额达到21.6万元，如果每月增长的百分率相同．
（1）求该烧烤店这两个月的月均增长率．
（2）若该烧烤店盈利的月增长率继续保持不变，预计8月份盈利多少万元？
【答案】（1）解：设该烧烤店这两个月盈利额的月均增长率为x，
根据题意得：15（1+x）2＝21.6，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该烧烤店这两个月盈利额的月均增长率为20%；
（2）解：根据题意得：21.6×（1+20%）＝25.92（万元）．
答：预计8月份盈利25.92万元．
【解析】【分析】（1）非常典型的用一元二次方程解决增长百分率问题，，n是周期数，本题的周期是月，周期数从5月到7月就是2，期初和期末数量已知，依据公式可解方程求增长率x；
（2）在上一问的基础上，已知增长率和期初数量，周期数是1，仍然依据此公式，可求期末数量。
24．（2023九上·朝阳期中）如图，平行四边形的面积为12，．点在边上（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．
（1）的长度 ．
（2）点到直线的距离是 ．
（3）设点到直线的距离为，求的最小值．
（4）当点落在平行四边形的边上时，直接写出的长度．
【答案】（1）3
（2）2
（3）点关于直线的对称点，
，即点在以为圆心，为半径的，
过点作于点交于点，
此时，为点到直线的距离的最小值，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的最小值为1
（4）由（3）知，
，
点不可能落在边上，
由于点与点不重合，点也不可能落在边上，
当点落在边上时，如图3，
点关于直线的对称点，
，
由（1）得：，
；
当点落在边上时，
如图4，设交于点，
点关于直线的对称点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
综上所述，的长为或3
【解析】【解答】解：（1）根据折叠性质可得：，
故答案为：3；
（2）如图1，过点作于点，
，
故答案为：2；
【分析】（1）由折叠的性质直接得出结果；
（2）过点作于点，利用平行四边形面积公式求AB边上的高，根据点到直线的距离的定义即可得出结果；
（3）由点关于直线的对称点，可得，过点作于点，交于点，此时，为点到直线的距离的最小值，利用平行四边形面积求得，即可求得答案；
（4）分两种情况：点落在边上时，或点落在边上，分别利用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质求解即可；
25．（2023九上·青白江期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【解析】【分析】(1)根据勾系一元二次方程的定义，设a＝3，b＝4，c＝5即可求解.
(2)由 是"勾系一元二次方程”得a2+b2＝c2 ，因为 = 2c2﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 ，所以关于x的"勾系一元二次方程”必有实数根.
(3)把x=-1代入方程得a- c+b=0，整理得 a+b＝c ，由四边形ACDE的周长是6，可得 2（a+b）+c＝6，解得c=2，则 a2+b2＝c2＝4，a+b＝2，变形整理得 ab＝2，从而得到△ABC面积.
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