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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·西青期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
2．（2024九上·龙岗期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·万州期中）如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．8
4．（2024九上·深圳期中）和是关于x的方程的两个实根，且满足则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·金沙期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
6．（2023九上·市南区期中）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（22+x﹣15）（40﹣3x）＝156
B．（x﹣15）[40﹣3（x﹣22）]＝156
C．（22+x）（40﹣3x）＝156
D．（22+x）（40﹣3x）﹣15×40＝156
7．（2023九上·成都期中）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
8．（2023九上·闵行期中）如图，点D、E、F分别在的边上，且，，下列4个式子中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·南宁期中）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·福田期中）如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ．
12．（2024九上·清水期中）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2024九上·吉林期中）方程x2=2的解是 .
14．（2023九上·青白江期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 ．
15．（2023九上·青白江期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
16．（2024九上·雨花期中）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C'处，点M、N分别是线段AC'与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A'处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·江津期中）解方程：
（1）
（2）
18．（2024九上·翁源期中）乐昌马蹄是广东韶关的特产，韶关乐昌有着“马蹄之乡”的美称．乐昌马蹄以个头大、清甜多汁、爽脆无渣为特点而闻名全国，畅销国内外．某农产品商以每斤5元的价格收购乐昌马蹄，若按每斤10元出售，平均每天可售出100斤．市场调查反映：如果每斤降价1元，每天销售量相应增加50斤．
（1）若该农产品商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低多少元？
（2）日销售利润能否达到700元？如果能，请计算出每斤马蹄降价多少元；如果不能，请说明理由．
19．（2024九上·惠东期中）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
20．（2024九上·南山期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21．（2023九上·七星期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE点F．
（1）求证：；
（2）若，，求，的长．
22．（2023九上·秀洲期中）如图，D，E分别是上的点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
23．（2023九上·哈尔滨期中）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海些的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位丁灯塔的北偏东方向上的处.
（1）在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里
（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）
24．（2024九上·佛山期中）如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转．
（1）如图（2），正方形旋转到此位置，求证：；
（2）在旋转的过程中，当时，试求的长；
（3）的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由．
25．（2023九上·浦东期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．
（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）若，连接，写出与的位置关系，并证明结论．
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华东师大版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·西青期中）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式（一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根）得到，即可得出答案．
2．（2024九上·龙岗期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是：
故答案为D．
【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
3．（2024九上·万州期中）如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，，
∴，
∴，
故答案为：A，
【分析】根据平行线分线段成比例得到即可解题．
4．（2024九上·深圳期中）和是关于x的方程的两个实根，且满足则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x的方程有两个不同的实根，
∴，
∴或，
由一元二次方程根与系数的关系，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
解得，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合求出m的取值范围即可.
5．（2023九上·金沙期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
与是位似图形，点O是位似中心，
，AB∥DE，
，
故答案为：D.
【分析】先根据，得到，利用位似的性质得到，AB∥DE，然后再根据相似三角形的性质列出算式计算进而求解.
6．（2023九上·市南区期中）某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（22+x﹣15）（40﹣3x）＝156
B．（x﹣15）[40﹣3（x﹣22）]＝156
C．（22+x）（40﹣3x）＝156
D．（22+x）（40﹣3x）﹣15×40＝156
【答案】A
【解析】【解答】上涨x元则销量减少3x，可列方程；
故答案为：A.
【分析】首先确定价格上涨之后销量减少了多少，根据每个的利润乘以数量等于利润即可列出方程。
7．（2023九上·成都期中）如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【解析】【解答】△ADE∽△ACB，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质列出关于AE的比例式，代入数据即可求解.
8．（2023九上·闵行期中）如图，点D、E、F分别在的边上，且，，下列4个式子中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：因为DE∥BC，所以，所以A正确；
B： 因为DE∥BC，所以，又因为EF∥AB，所以，所以，所以B不正确；
C：因为EF∥AB，所以，所以C正确；
D： 因为DE∥BC，所以，又因为EF∥AB，所以，所以，所以D正确；
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例，可得对应线段成比例，分别进行正确推理，即可得出正确选项。
9．（2024九上·广州期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第 2023 次旋转后点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，过点C作，如图所示，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为，
第二次旋转后点C的坐标为，
第三次旋转后点C的坐标为，
∵每次旋转，，
∴每旋转4次为一个循环．
∵，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，
∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故答案为：B．
【分析】
连接，过点C作，垂足为P，通过证得，得出，通过解直角三角形得到点C的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点C的坐标为，解答即可．
10．（2023九上·南宁期中）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，使，连接，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
为直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中 ，，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：C
【分析】延长到点，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，，由直角三角形判定定理可得为直角三角形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，在中 ，根据勾股定理可得，再结合三角形面积即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·福田期中）如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：随机解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，
其中能取下气球的有两种，所以概率为．
故答案为：．
【分析】
根据解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，再确定其中能取下气球的有两种，最后根据概率公式计算即可解答．
12．（2024九上·清水期中）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】：k＜1．
【解析】【解答】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，∴△= =4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．
【分析】根据一元二次方程 有两个不相等的实数根可知其根的判别式的值应该大于0，从而列出关于k的不等式，求解即可。
13．（2024九上·吉林期中）方程x2=2的解是 .
【答案】±
【解析】【解答】解：x2=2，
x=±．
故答案为±．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
14．（2023九上·青白江期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，10）．将△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点B的对应点B′在直线上，则点A与其对应点A′之间的距离为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解： ∵点B的坐标为（0，10），
由平移得B'的纵坐标为10，
把y=10代入 得，x=12，
∴B'（12，10），
∴AA'=BB'=12.
故答案为：12.
【分析】根据平移的性质得B'的纵坐标与B的纵坐标相同为10，代入 解得B'（12，10），从而由平移性质得AA'=BB'=12.
15．（2023九上·青白江期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
【答案】49
【解析】【解答】解： ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，
∴，△ABC∽△DEF，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴.
故答案为：49.
【分析】根据位似的性质得，△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
16．（2024九上·雨花期中）如图，把正方形纸片对折得到矩形ABCD，点E在BC上，把△ECD沿ED折叠，使点C恰好落在AD上点C'处，点M、N分别是线段AC'与线段BE上的点，把四边形ABNM沿NM向下翻折，点A落在DE的中点A'处．若原正方形的边长为12，则线段MN的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，作A'G⊥AD于G，A'H⊥AB于H，交MN于O，连接AA'交MN于K．
由题意四边形DCEC'是正方形，△DGA'是等腰直角三角形，
∴DG＝GA'＝3，AG＝AD﹣DG＝9，设AM＝MA'＝x，
在Rt△MGA'中，x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，AA'＝，
∵sin∠MAK＝，
∴ ，
∴MK＝，
∵AM∥OA'，
∴∠MAA`=∠HA`A，
∵AM＝A'M，
∴∠MAA`=∠MA`A，
∴∠MA`A=∠HA`A，
∵∠A`KM=∠A`KO，A`K=A`K，
，
∴MK＝KO，
∵BN∥HA'∥AD，DA'＝EA'，
∴MO＝ON，
∴MN＝4MK＝2，
故答案为2．
【分析】
由折叠知四边形DCEC`是正方形，且A`为对角线DE的中点，作A'G⊥AD于G，A'H⊥AB于H，交MN于O，连接AA'交MN于K，由题意知A`G=DG=3，AG=9，设AM=x，则GM=9-x、A`M=x，则由勾股定理可求得AM=5，由折叠知MN垂直平分AA`，则解直角三角形AMK和直角三角形AA`G可求得MK的长，再利用矩形的判定和性质可得A`H平行AD，则可利用平行线的性质结合等腰三角形的性质可证明，从而可得MK=OK，再由平行线分线段成比例定理可得OM=ON，即可得MN=4MK．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·江津期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【解答】(1)
解：
∴，，
∴
(2)、
解：
，
∴ .
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解.
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解.
18．（2024九上·翁源期中）乐昌马蹄是广东韶关的特产，韶关乐昌有着“马蹄之乡”的美称．乐昌马蹄以个头大、清甜多汁、爽脆无渣为特点而闻名全国，畅销国内外．某农产品商以每斤5元的价格收购乐昌马蹄，若按每斤10元出售，平均每天可售出100斤．市场调查反映：如果每斤降价1元，每天销售量相应增加50斤．
（1）若该农产品商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低多少元？
（2）日销售利润能否达到700元？如果能，请计算出每斤马蹄降价多少元；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每斤马蹄降价元，
根据题意得，
解得，
答：若该农商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低1元或2元
（2）解：日销售利润不能达到700元．
理由如下：设每斤马蹄降价元，
则，
化简得，
，
方程无实数根，
日销售利润不能达到700元.
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）每斤利润：原本收购价每斤5元，售价每斤10元，降价x元后，每斤售价为(10-x)元，那么每斤的利润就是(10-x-5)元（售价减去收购价再减去降低的价格)，销售量：原本平均每天可售出100斤，每降价1元，每天销售量相应增加50斤，降价x元后，每天销售量为(100+50x)斤；再根据 “日销售利润=每斤利润×日销售量”，可列出方程(10-x-5)(100+50x)=600；化简解得x的值即可得出答案；
（2）设每斤马蹄降价元，销售利润能否达到700元列出一元二次方程，求出根的判别式即可求解．
（1）解：设每斤马蹄降价元，
根据题意得，
解得，
答：若该农商想要日销售利润达到600元，则每斤马蹄应降低1元或2元．
（2）解：日销售利润不能达到700元．
理由如下：设每斤马蹄降价元，
则，
化简得，
，
方程无实数根，
日销售利润不能达到700元．
19．（2024九上·惠东期中）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答：
（1）若苗圃园的面积为，求x的值；
（2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：x的值为9；
（2）解：苗圃园的面积不能达到，理由如下：假设苗圃园的面积能达到，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
【解析】【分析】（1） 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． 则平行于墙的一边为：（30-2x），然后根据矩形面积公式，即可得出方程，解方程即可求解，并根据实际问题取符合题意的值即可；
（2）按照（1）的方法可得出方程，根据此方程无解可得出结论。
（1）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：x的值为9；
（2）解：苗圃园的面积不能达到，理由如下：
假设苗圃园的面积能达到，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到．
20．（2024九上·南山期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，，并且．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，，并且，
∴，
∴；
（2）解：∵，是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据方程根与系数的关系可得，，整体代入方程得到关于m的一元二次方程，再解方程即可求出答案.
21．（2023九上·七星期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE点F．
（1）求证：；
（2）若，，求，的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是边的中点，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
即，
解得：，
则，
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，证出，根据相似三角形的判定即可得解；
（2）由勾股定理求出，由相似三角形的性质得出 ，求出 ，由 ， 即可得的长．
22．（2023九上·秀洲期中）如图，D，E分别是上的点，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）根据有两对对应角相等的两个三角形相似，可得△AED∽△ABC；
（2）根据三角形相似，对应边成比例，列比例式，即可求出ED的长.
23．（2023九上·哈尔滨期中）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海些的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位丁灯塔的北偏东方向上的处.
（1）在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里
（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．
由题意，得，海里．
在中，∵，，
∴（海里）．
答：在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是海里.
（2）解：∵，，
∴
在中，∵，海里，
∴（海里）．
∴（海里）．
答：轮船航行的距离为海里．
【解析】【分析】（1）过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．根据题意判断出△是等腰直角三角形，斜边海里，即可求出直角边的长度．
（2）海监船航行的路程即为的长度．在，利用∠B的正切函数值求出的长，即可求出AB长.
24．（2024九上·佛山期中）如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转．
（1）如图（2），正方形旋转到此位置，求证：；
（2）在旋转的过程中，当时，试求的长；
（3）的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形，∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（2）解：如图1，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
（3）解：存在．如图2，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴是线段的垂直平分线，如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴直线与直线是同一条直线，
∴点与点重合，即，
设与交于点，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）要证，可通过证明和全等实现。利用正方形性质找全等条件（边相等、角相等 ）.
（2）过作交延长线于，利用等腰三角形性质和直角三角形边角关系求解.
（3）先假设存在，由，结合正方形性质和全等三角形，求出相关角度和线段长度，进而得.
（1）证明：∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图1，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）存在．如图2，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴是线段的垂直平分线，如图，
∵是线段的垂直平分线，
∴直线与直线是同一条直线，
∴点与点重合，即，
设与交于点，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
25．（2023九上·浦东期中）已知，在中，，的顶点D在边上，交于点F（点F在点D的右侧），．
（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）若，连接，写出与的位置关系，并证明结论．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于H，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴或3；
（3）解：平行，证明如下：
连接，如图所示，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理及各角之间的关系得出，根据两角相等证明三角形相似；
（2）作于H，根据含30度角的直角三角形的性质及相似三角形的判定得出，设，则，代入求解；
（3）连接，根据相似三角形的性质可证，再根据相似三角形的判定和性质确定，由内错角相等，两直线平行即可证明
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