13.1.1 第1课时 直角三角形三边的关系 课件(共25张PPT)-2025-2026学年八年级数学上学期华东师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.1 第1课时 直角三角形三边的关系 课件(共25张PPT)-2025-2026学年八年级数学上学期华东师大版（2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-03 07:17:09 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第1课时 直角三角形三边的关系
第13章 13.1.1 直角三角形三边的关系
1.掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法.(重点)
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理,经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数形结合的数学思想.(难点)
学习目标
情境引入
我们可以看出如图所示图形由四个直角三角形和一个正方形组成,你知道该图形蕴含了怎样博大精深的知识吗
勾股定理
问题1 如图，观察正方形瓷砖铺成的地面.
(1)正方形P的面积是 平方厘米；
提示 正方形P的面积是1平方厘米.
(2)正方形Q的面积是 平方厘米；
提示 正方形Q的面积是1平方厘米.
(3)正方形R的面积是 平方厘米.
提示 正方形R的面积是2平方厘米.
(4)上面三个正方形的面积之间有什么关系
提示 SP＋SQ＝SR.
问题2 根据问题1回答:等腰直角三角形的三边有什么关系 说明了什么
提示 SP＝AC2，SQ＝BC2，SR＝AB2，AC2＋BC2＝AB2.
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题3 观察图形完成表格(每个小正方形的面积为单位1).
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9
右图 16 9
13
25
问题4 分析问题3表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
提示 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题5 如图，分别以5 cm，12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立？
提示 测量出斜边的长度为13 cm，52＋122＝132，成立.
知识梳理
勾股定理：直角三角形两直角边的_______等于斜边的_____.
注意点：(1)勾股定理适用的前提条件是在直角三角形中；(2)运用勾股定理时，一定要先弄清哪个是直角，再分别确定已知边和所求边是直角边还是斜边；(3)若没有明确哪个角是直角，则需要分情况进行讨论，以免遗漏.
平方和
平方
问题6 证明勾股定理，完成下列填空.
方法一 如图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积＝ .
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝ ，即 .
c2
4·ab＋(b－a)2＝a2＋b2
a2＋b2＝c2
方法二 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.
大正方形的面积＝ .
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝ ＝ .
由题可知 ， 化简可得 .
(a＋b)2
4·ab＋c2
2ab＋c2
(a＋b)2＝2ab＋c2
a2＋b2＝c2
(课本P122例1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC的长.
例
解 根据勾股定理，可得AB2＋BC2＝AC2.
所以AC＝＝10.
反思感悟
在直角三角形中，已知两边，可求第三边，也可用勾股定理建立方程.
如图，在Rt△ABC中， ∠C ＝ 90°， a＝3，c＝5， 求b的值.
跟踪训练
解 由勾股定理得a2＋b2＝c2，
∴b＝＝4.
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为
A.8 B.10 C.12 D.18
√
2.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋AC2的值是
A.4 B.6 C.8 D.12
√
解析 在Rt△ABC中，斜边AB＝2，
由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2＝4，
∴AB2＋BC2＋AC2＝2AB2＝8.
3.我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.下列各组数中，满足a，b，c关系的是
A.4，5，6 B.5，7，8
C.3，4，5 D.5，10，13
√
解析 ∵a2＋b2＝c2，
∴A中，42＋52≠62，故不符合题意；
B中，52＋72≠82，故不符合题意；
C中，32＋42＝52，故符合题意；
D中，52＋102≠132，故不符合题意.
4.已知a，b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a＋b＝6，ab＝4，则这个直角三角形的斜边长为 .
解析 ∵a＋b＝6，ab＝4，
∴斜边＝＝2.
2
5.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4，则最大的正方形E的面积是 .
16
解析 如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4，
∴SA＋SB＝SF，SC＋SD＝SG，SF＋SG＝SE，
∴SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝4＋6＋2＋4＝16，
∴正方形E的面积为16.
本课结束
第1课时 直角三角形三边的关系
第13章 13.1.1 直角三角形三边的关系
1.掌握勾股定理及其简单应用,理解定理的一般探究方法.(重点)
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理,经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数形结合的数学思想.(难点)
学习目标
情境引入
我们可以看出如图所示图形由四个直角三角形和一个正方形组成,你知道该图形蕴含了怎样博大精深的知识吗
勾股定理
问题1 如图，观察正方形瓷砖铺成的地面.
(1)正方形P的面积是 平方厘米；
提示 正方形P的面积是1平方厘米.
(2)正方形Q的面积是 平方厘米；
提示 正方形Q的面积是1平方厘米.
(3)正方形R的面积是 平方厘米.
提示 正方形R的面积是2平方厘米.
(4)上面三个正方形的面积之间有什么关系
提示 SP＋SQ＝SR.
问题2 根据问题1回答:等腰直角三角形的三边有什么关系 说明了什么
提示 SP＝AC2，SQ＝BC2，SR＝AB2，AC2＋BC2＝AB2.
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
问题3 观察图形完成表格(每个小正方形的面积为单位1).
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9
右图 16 9
13
25
问题4 分析问题3表中数据，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
提示 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
问题5 如图，分别以5 cm，12 cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立？
提示 测量出斜边的长度为13 cm，52＋122＝132，成立.
知识梳理
勾股定理：直角三角形两直角边的_______等于斜边的_____.
注意点：(1)勾股定理适用的前提条件是在直角三角形中；(2)运用勾股定理时，一定要先弄清哪个是直角，再分别确定已知边和所求边是直角边还是斜边；(3)若没有明确哪个角是直角，则需要分情况进行讨论，以免遗漏.
平方和
平方
问题6 证明勾股定理，完成下列填空.
方法一 如图是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积＝ .
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝ ，即 .
c2
4·ab＋(b－a)2＝a2＋b2
a2＋b2＝c2
方法二 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形.
大正方形的面积＝ .
四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和＝ ＝ .
由题可知 ， 化简可得 .
(a＋b)2
4·ab＋c2
2ab＋c2
(a＋b)2＝2ab＋c2
a2＋b2＝c2
(课本P122例1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC的长.
例
解 根据勾股定理，可得AB2＋BC2＝AC2.
所以AC＝＝10.
反思感悟
在直角三角形中，已知两边，可求第三边，也可用勾股定理建立方程.
如图，在Rt△ABC中， ∠C ＝ 90°， a＝3，c＝5， 求b的值.
跟踪训练
解 由勾股定理得a2＋b2＝c2，
∴b＝＝4.
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，且已知a＝5，c＝13，则b为
A.8 B.10 C.12 D.18
√
2.在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2＋BC2＋AC2的值是
A.4 B.6 C.8 D.12
√
解析 在Rt△ABC中，斜边AB＝2，
由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2＝4，
∴AB2＋BC2＋AC2＝2AB2＝8.
3.我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.下列各组数中，满足a，b，c关系的是
A.4，5，6 B.5，7，8
C.3，4，5 D.5，10，13
√
解析 ∵a2＋b2＝c2，
∴A中，42＋52≠62，故不符合题意；
B中，52＋72≠82，故不符合题意；
C中，32＋42＝52，故符合题意；
D中，52＋102≠132，故不符合题意.
4.已知a，b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a＋b＝6，ab＝4，则这个直角三角形的斜边长为 .
解析 ∵a＋b＝6，ab＝4，
∴斜边＝＝2.
2
5.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4，则最大的正方形E的面积是 .
16
解析 如图，
∵所有的三角形都是直角三角形，正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，2，4，
∴SA＋SB＝SF，SC＋SD＝SG，SF＋SG＝SE，
∴SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝4＋6＋2＋4＝16，
∴正方形E的面积为16.
本课结束