2025-2026学年人教版八年级上册数学第十五章 轴对称证明题训练（含答案）

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2025-2026学年人教版八年级上册数学第十五章 轴对称证明题训练
1．如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
2．如图，在中，平分，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
3．如图，中，垂直平分， 交于点F， 交于点E，且， 连接．
（1）求证：；
（2）若的周长为20cm，， 求长．
4．如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
5．已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，．
（1）连接，，若，求的周长；
（2）若，求证：平分，
6．如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：是等边三角形．
7．如图，为等边三角形，与相交于点于．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的长．
8．如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，求的周长．
9．如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．
（1）若，求的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点.
（1）求证：BE=AC.
（2）若∠B=35°，求∠EAD的度数.
11．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
12．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，．
（1）求证：；
（2）求证：．
13．已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
14．如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F．
（1）求证：是的垂直平分线．
（2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论．
15．如图所示，是等腰三角形，，、分别为线段、上一点，，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
（1）证明：．
（2）若，求的度数．
16．如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，．
（1）求证：．
（2）已知，求的度数．
17．如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD，连接AD，AE，DE．
（1）求证：；
（2）试判断△ADE的形状，并说明理由．
18．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．如图，在四边形中，，，点在上，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．如图，在中，为边上一点，，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
22．如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，．
（1）说明的理由；
（2）说明是等边三角形的理由．
23．如图，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
24．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且 与相交于点P，于点Q
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
25．如图，在中，，于点D，过点C作，，连接并延长，交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）求证：．
26．如图，已知是等边三角形，D为上一点，，．
．
（1）求证：；
（2）求证：是等边三角形．
27．如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）过点D作交于点E，求证：是等腰三角形．
28．已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
在中，由三角形内角和定理，得
又，
的度数为．
2．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
3．【答案】（1）证明：∵垂直平分，∴
∵
∴垂直平分
∴
∴
（2）解：∵的周长为20cm，∴cm，
∵cm，
∴cm
∵，
∴
＝6cm
4．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°，
由（1）知：△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+25°=70°．
答：∠ACF的度数为70°.
5．【答案】（1）解：如图，连接，
点与点关于对称，
．
同理：．
的周长；
（2）证明：∵、为，的中点，
，，
，
．
又点与点关于对称，点与点关于对称，
，，
平分．
6．【答案】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
7．【答案】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
在与中，
，
，
。
（2）解：由（1）得∴，
。
（3）解：由（1）得，
，，
，
，
又，
．
8．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，是中线，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴．
∵为等边三角形，是中线，
∴，
∴的周长．
9．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
（2）是等边三角形，
理由：，，
，
在中，，
，，
是等边三角形．
10．【答案】（1）证明：连接AE，如图所示，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE=AC.
（2）证明：∵EF垂直平分AB，∠B=35°，
∴由对称性可得∠BAE=∠B=35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-90°-35°=55°，
∴∠EAD=55°-35°=20°.
11．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
∴，
∵，
∴
∴，
∴
12．【答案】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴（HL）．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．【答案】（1）证明：∵等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴≌；
（2）解：是等边三角形．理解如下：
∵≌，
∴，，
∴，
即，
∴是等边三角形．
14．【答案】（1）证明：是的平分线上一点，，，
，，
，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；
（2）解：是的平分线上一点，，
，
，，
，，
，
，
．
15．【答案】（1）证明：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．

16．【答案】（1）证明：∵，为上的中线，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵点F为中点，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，即，
∴．
17．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
由（1）可得：
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
又∵
∴为等边三角形．
18．【答案】（1）证明：连接，
∵D在的垂直平分线上，
∴，
∵，，平分，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵，为延长线上一点，
∴
∵，，
∴()
（2）证明：∵，，
∴
∵，，
∴
∴，
∴
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，CD=AC
∴，
∵AB=AC
，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，即，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
23．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
24．【答案】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵三角形是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：，，
，
，
，
∴，
，
∴；
（2）证明：，，
，
在与中，
，
；
（3）解：由（2）可得，
，
，，
．
26．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∵，，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
由得是等腰三角形，
又∵，
∴是等边三角形．
27．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
28．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
．
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