1.2 一定是直角三角形吗 课件（共30张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 1.2 一定是直角三角形吗 课件（共30张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-03 00:00:00 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：1.2 一定是直角三角形吗
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解勾股定理逆定理的内容，能根据三角形三边长度判断该三角形是否为直角三角形。
掌握勾股定理逆定理的验证方法，体会 “从数到形” 的推理过程，提升逻辑思维能力。
能灵活运用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固勾股数的概念及应用。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若 Rt△ABC 中∠C=90°，则\(a^2 + b^2 = c^2\)，c 为斜边）。
常见勾股数：（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）等，满足 “两数平方和等于第三数平方”。
情境导入：
场景 1：木工师傅在制作家具时，需要确定一个三角形框架是否为直角三角形，他只有一把卷尺，测量出三边长度分别为 6dm、8dm、10dm，如何判断这是直角三角形？
场景 2：给定一个三角形的三边长度为 5cm、12cm、13cm，它的三个角中是否有直角？
提问引导：
勾股定理是 “直角三角形→三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)”，反过来，若三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，它一定是直角三角形吗？
如何验证 “三边满足平方关系的三角形是直角三角形”？
幻灯片 4：勾股定理逆定理的探索与验证
1. 提出猜想
观察勾股数对应的三角形：
三边（3,4,5）：\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，对应的三角形是直角三角形；
三边（5,12,13）：\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，对应的三角形是直角三角形；
三边（6,8,10）：\(6^2 + 8^2 = 10^2\)，对应的三角形是直角三角形。
猜想：若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形。
2. 验证猜想（构造法）
验证步骤：
构造 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，\(A'C' = b\)，\(B'C' = a\)（与待验证三角形的较短两边长度相等）。
根据勾股定理，Rt△A'B'C' 的斜边\(A'B'^2 = A'C'^2 + B'C'^2 = a^2 + b^2\)。
已知待验证三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，故\(A'B' = c\)（边长为正）。
对比两个三角形：△ABC 与△A'B'C' 的三边分别相等（\(AB = A'B' = c\)，\(AC = A'C' = b\)，\(BC = B'C' = a\)），根据 SSS 全等判定，△ABC ≌ △A'B'C'。
由全等三角形对应角相等，得∠C = ∠C' = 90°，故△ABC 是直角三角形。
结论：猜想成立，即 “勾股定理逆定理”。
幻灯片 5：勾股定理逆定理的内容与表示
1. 定理内容
若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形，且直角对应最长边\(c\)的对角（即∠C=90°）。
文字语言：三边满足 “较短两边的平方和等于最长边的平方” 的三角形是直角三角形。
符号语言：在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\)为最长边），则△ABC 是 Rt△，且∠C=90°。
2. 定理与勾股定理的关系
对比维度
勾股定理
勾股定理逆定理
条件
三角形是直角三角形
三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)
结论
三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)
三角形是直角三角形
作用
由 “形”（直角三角形）推 “数”（边的平方关系）
由 “数”（边的平方关系）推 “形”（直角三角形）
应用场景
已知直角三角形，求边长
已知三角形三边，判断是否为直角三角形
幻灯片 6：勾股定理逆定理的应用步骤
找最长边：确定三角形三边中的最长边\(c\)（若三边长度相近，需计算后比较）。
算平方和：计算较短两边的平方和\(a^2 + b^2\)，以及最长边的平方\(c^2\)。
作比较：
若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，直角为最长边的对角；
若\(a^2 + b^2 c^2\)，则该三角形不是直角三角形。
验合理性：结合实际场景（如边长为正），确认结论正确。
幻灯片 7：例题讲解 1（判断三角形是否为直角三角形）
例 1：判断下列长度的三条线段能否组成直角三角形：
（1）3cm、4cm、5cm；（2）5cm、12cm、14cm；（3）7cm、24cm、25cm。
解答与分析：
（1）3cm、4cm、5cm：
最长边\(c = 5cm\)；
较短两边平方和：\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)；
最长边平方：\(5^2 = 25\)；
因\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，故能组成直角三角形。
（2）5cm、12cm、14cm：
最长边\(c = 14cm\)；
较短两边平方和：\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)；
最长边平方：\(14^2 = 196\)；
因\(169 196\)，故不能组成直角三角形。
（3）7cm、24cm、25cm：
最长边\(c = 25cm\)；
较短两边平方和：\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)；
最长边平方：\(25^2 = 625\)；
因\(7^2 + 24^2 = 25^2\)，故能组成直角三角形。
例 2：已知一个三角形的三边长为\(m^2 - n^2\)、\(2mn\)、\(m^2 + n^2\)（\(m > n > 0\)），求证：该三角形是直角三角形。
解答与分析：
第一步：找最长边 —— 因\(m > n > 0\)，\(m^2 + n^2\)是最大边（\(m^2 + n^2 > m^2 - n^2\)，\(m^2 + n^2 > 2mn\)）；
第二步：计算较短两边的平方和：\((m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)；
第三步：计算最长边的平方：\((m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)；
第四步：比较得\((m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2\)，故该三角形是直角三角形。
幻灯片 8：例题讲解 2（逆定理的实际应用）
例 3：如图，某工地有一块三角形空地，三边长度分别为 AB=10m、BC=12m、AC=16m，施工队想在空地中确定是否存在直角，以便规划施工，判断该三角形是否为直角三角形，若存在直角，指出直角的位置。
解答与分析：
第一步：找最长边 ——AC=16m（最长边）；
第二步：计算较短两边的平方和：\(AB^2 + BC^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244\)；
第三步：计算最长边的平方：\(AC^2 = 16^2 = 256\)；
第四步：比较 —— 因\(244 256\)，再检查其他组合（是否有其他边为最长边）：
若 BC=12m 为最长边，\(AB^2 + AC^2 = 100 + 256 = 356 144\)；
若 AB=10m 为最长边，\(BC^2 + AC^2 = 144 + 256 = 400 100\)；
结论：该三角形不是直角三角形，不存在直角。
例 4：小明从家出发，先向正东走 3km，再向正北走 4km，最后向正西走 1km 到达学校，判断小明家到学校的直线距离是否为 5km（提示：先确定位置，计算三边长度）。
解答与分析：
第一步：建立坐标系 —— 设小明家为原点 O (0,0)，正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向；
向正东走 3km 到 A (3,0)，向正北走 4km 到 B (3,4)，向正西走 1km 到学校 C (2,4)；
第二步：计算小明家 O 到学校 C 的直线距离 OC（即△OBC 的边 OC）：
OB=5km（3km、4km 直角边，勾股定理），BC=1km，△OBC 中，OC 为待求边；
或直接用坐标计算：\(OC^2 = (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = 4 + 16 = 20\)，\(OC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} 4.47km 5km\)；
结论：小明家到学校的直线距离不是 5km。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列三条线段能否组成直角三角形：
（1）9cm、12cm、15cm；（2）4cm、5cm、6cm；（3）1cm、\(\sqrt{2}\)cm、\(\sqrt{3}\)cm。
已知三角形三边为 a=15、b=20、c=25，求该三角形的最大角的度数（提示：先判断是否为直角三角形）。
提升题
已知一个三角形的三边比为 3:4:5，且周长为 60cm，求该三角形的面积（提示：先求三边长度，再判断是否为直角三角形）。
如图，在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线 AD=12，求证：△ABC 是等腰三角形（提示：先判断△ABD 是否为直角三角形）。
拓展题
已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且满足\(a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c\)，判断△ABC 是否为直角三角形。
幻灯片 10：易错点深度剖析
判断时忽略 “最长边”，平方和比较对象错误：
错误案例：判断三边（5,12,13）时，错算为\(5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194\)，与\(12^2 = 144\)比较（正确应为比较\(5^2 + 12^2\)与\(13^2\)）。
规避方法：判断前必须先确定最长边，将 “较短两边的平方和” 与 “最长边的平方” 比较，不可随意选择两边平方和与第三边平方比较。
对非整数边的三角形，平方计算错误：
错误案例：判断三边（1,\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\)）时，错算\(\sqrt{2}^2 + \sqrt{3}^2 = 2 + 3 = 5\)，与\(1^2 = 1\)比较（正确应为\(1^2 + \sqrt{2}^2 = 1 + 2 = 3 = \sqrt{3}^2\)）。
规避方法：对于含无理数的边长，计算平方时需注意 “\((\sqrt{n})^2 = n\)”，先准确计算各边平方，再进行比较，避免因无理数运算失误导致判断错误。
实际应用中，未先确定三边长度关系：
错误案例：例 4 中，直接认为 “3km、4km、5km” 是勾股数，忽略 “向正西走 1km” 的偏移，错判距离为 5km（正确需重新计算实际三边长度）。
规避方法：实际问题中，需先通过画图或坐标系确定三角形三边的实际长度，再代入逆定理判断，不可直接套用勾股数，忽略位置变化对边长的影响。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
勾股定理逆定理：三边满足 “较短两边平方和等于最长边平方” 的三角形是直角三角形，是直角三角形的重要判定方法。
应用步骤：找最长边→算平方和→作比较→下结论。
与勾股定理的联系：互逆定理，分别从 “形推数” 和 “数推形” 两个方向揭示直角三角形的性质与判定。
方法提炼：
判定直角三角形 “两步法”：第一步通过边长确定最长边，第二步通过平方和关系验证，两步缺一不可；
复杂问题 “数形结合法”：实际应用或代数条件（如边长含字母、等式）时，通过画图或代数变形（如配方）明确三边长度，再用逆定理判断。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（直角三角形判定相关题目）。
拓展练习：
（1）已知△ABC 的三边为 a=7、b=24、c=25，求△ABC 的面积；
（2）若三角形三边为\(n^2 - 1\)、2n、\(n^2 + 1\)（n>1 的整数），证明该三角形是直角三角形。
实践作业：
（1）用卷尺测量家中一个三角形物体（如三角架、屋顶框架）的三边长度，判断它是否为直角三角形；
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′
？
∠C 是直角
△ABC 是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2.
求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，
在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，
连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.
∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS).
∴∠C =∠C1 = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
C1
M
N
B1
A1
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.
特别说明：
归纳总结
典例精析
例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD 中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
所以△ABD 是直角三角形，
∠A 是直角.
D
A
C
4
3
5
13
12
B
例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13，b = 14，c = 15；
解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(3) a∶b∶c = 3∶4∶5.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k.
因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2，
所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
变式1：已知 △ABC 中，AB = n - 1，BC = 2n，AC = n + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB2 + BC2 = (n - 1)2 + (2n)2
= n4 - 2n2 + 1 + 4n2
= n4 + 2n2 + 1
= (n2 + 1)2
= AC2，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
变式2：若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断 △ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0，
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5.
∴ a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.
例3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：
设正方形的边长为 4a，
则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；
在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；
在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
∴ AE2＝EF2＋AF2.
∴△AEF 为直角三角形，且∠AFE＝90°，即 AF⊥EF.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数.
概念学习
勾股数
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
练一练
1. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 3，4，7 B. 5，12，13
C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到
的三角形 ( )
A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
B
A
4. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 为什么
解：是直角三角形. 因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理.
3. 以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的正方形面积是 25，144，169，则这个三角形是______三角形.
直角
5. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同
伴交流.
4
1
2
2
4
3
解：有 4 个，分别是△ABE，△DEF，△FCB，△BEF.
由勾股定理知
BE2 = 22 + 42 = 20，
EF2 = 22 + 12 = 5，
BF2 = 32 + 42 = 25，
∴ BE2 + EF2 = BF2.
∴ △BEF 是直角三角形.
6. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.
解：连接 BD.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
得 BD2 = AB2 + AD2，∴ BD = 5 cm.
又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，
∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.
S四边形ABCD = SRt△BCD－SRt△ABD = BD CD－ AB AD
= ×(5×12－4×3) = 24 (cm2)．
C
B
A
D
变式：如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC ＝ 12 cm，AB ＝ 3 cm，BC ＝ 4 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝ 12 cm.
∴ AC = 5 cm.
又∵
∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.
∴
D
C
B
A
知识点1 由三边关系确定直角三角形
1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组
数为边长，其中能构成直角三角形的是( )
C
A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25
返回
2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则
( )
B
A. B.
C. D. 不是直角三角形
返回
3.若的三边长,,满足 ，则
是( )
A
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
返回
（第4题）
4. 为了增强学生的环保意识和生态
意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如
图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后,
小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚
好到距离树的底部处的 处,测得
,则小树与地面______（填“垂直”或
“不垂直”）。
垂直
返回
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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幻灯片 1：封面
课程名称：1.2 一定是直角三角形吗
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解勾股定理逆定理的内容，能根据三角形三边长度判断该三角形是否为直角三角形。
掌握勾股定理逆定理的验证方法，体会 “从数到形” 的推理过程，提升逻辑思维能力。
能灵活运用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固勾股数的概念及应用。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若 Rt△ABC 中∠C=90°，则\(a^2 + b^2 = c^2\)，c 为斜边）。
常见勾股数：（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）等，满足 “两数平方和等于第三数平方”。
情境导入：
场景 1：木工师傅在制作家具时，需要确定一个三角形框架是否为直角三角形，他只有一把卷尺，测量出三边长度分别为 6dm、8dm、10dm，如何判断这是直角三角形？
场景 2：给定一个三角形的三边长度为 5cm、12cm、13cm，它的三个角中是否有直角？
提问引导：
勾股定理是 “直角三角形→三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)”，反过来，若三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，它一定是直角三角形吗？
如何验证 “三边满足平方关系的三角形是直角三角形”？
幻灯片 4：勾股定理逆定理的探索与验证
1. 提出猜想
观察勾股数对应的三角形：
三边（3,4,5）：\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，对应的三角形是直角三角形；
三边（5,12,13）：\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，对应的三角形是直角三角形；
三边（6,8,10）：\(6^2 + 8^2 = 10^2\)，对应的三角形是直角三角形。
猜想：若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形。
2. 验证猜想（构造法）
验证步骤：
构造 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，\(A'C' = b\)，\(B'C' = a\)（与待验证三角形的较短两边长度相等）。
根据勾股定理，Rt△A'B'C' 的斜边\(A'B'^2 = A'C'^2 + B'C'^2 = a^2 + b^2\)。
已知待验证三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，故\(A'B' = c\)（边长为正）。
对比两个三角形：△ABC 与△A'B'C' 的三边分别相等（\(AB = A'B' = c\)，\(AC = A'C' = b\)，\(BC = B'C' = a\)），根据 SSS 全等判定，△ABC ≌ △A'B'C'。
由全等三角形对应角相等，得∠C = ∠C' = 90°，故△ABC 是直角三角形。
结论：猜想成立，即 “勾股定理逆定理”。
幻灯片 5：勾股定理逆定理的内容与表示
1. 定理内容
若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形，且直角对应最长边\(c\)的对角（即∠C=90°）。
文字语言：三边满足 “较短两边的平方和等于最长边的平方” 的三角形是直角三角形。
符号语言：在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\)为最长边），则△ABC 是 Rt△，且∠C=90°。
2. 定理与勾股定理的关系
对比维度
勾股定理
勾股定理逆定理
条件
三角形是直角三角形
三角形三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)
结论
三边满足\(a^2 + b^2 = c^2\)
三角形是直角三角形
作用
由 “形”（直角三角形）推 “数”（边的平方关系）
由 “数”（边的平方关系）推 “形”（直角三角形）
应用场景
已知直角三角形，求边长
已知三角形三边，判断是否为直角三角形
幻灯片 6：勾股定理逆定理的应用步骤
找最长边：确定三角形三边中的最长边\(c\)（若三边长度相近，需计算后比较）。
算平方和：计算较短两边的平方和\(a^2 + b^2\)，以及最长边的平方\(c^2\)。
作比较：
若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形是直角三角形，直角为最长边的对角；
若\(a^2 + b^2 c^2\)，则该三角形不是直角三角形。
验合理性：结合实际场景（如边长为正），确认结论正确。
幻灯片 7：例题讲解 1（判断三角形是否为直角三角形）
例 1：判断下列长度的三条线段能否组成直角三角形：
（1）3cm、4cm、5cm；（2）5cm、12cm、14cm；（3）7cm、24cm、25cm。
解答与分析：
（1）3cm、4cm、5cm：
最长边\(c = 5cm\)；
较短两边平方和：\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)；
最长边平方：\(5^2 = 25\)；
因\(3^2 + 4^2 = 5^2\)，故能组成直角三角形。
（2）5cm、12cm、14cm：
最长边\(c = 14cm\)；
较短两边平方和：\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)；
最长边平方：\(14^2 = 196\)；
因\(169 196\)，故不能组成直角三角形。
（3）7cm、24cm、25cm：
最长边\(c = 25cm\)；
较短两边平方和：\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)；
最长边平方：\(25^2 = 625\)；
因\(7^2 + 24^2 = 25^2\)，故能组成直角三角形。
例 2：已知一个三角形的三边长为\(m^2 - n^2\)、\(2mn\)、\(m^2 + n^2\)（\(m > n > 0\)），求证：该三角形是直角三角形。
解答与分析：
第一步：找最长边 —— 因\(m > n > 0\)，\(m^2 + n^2\)是最大边（\(m^2 + n^2 > m^2 - n^2\)，\(m^2 + n^2 > 2mn\)）；
第二步：计算较短两边的平方和：\((m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)；
第三步：计算最长边的平方：\((m^2 + n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)；
第四步：比较得\((m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2\)，故该三角形是直角三角形。
幻灯片 8：例题讲解 2（逆定理的实际应用）
例 3：如图，某工地有一块三角形空地，三边长度分别为 AB=10m、BC=12m、AC=16m，施工队想在空地中确定是否存在直角，以便规划施工，判断该三角形是否为直角三角形，若存在直角，指出直角的位置。
解答与分析：
第一步：找最长边 ——AC=16m（最长边）；
第二步：计算较短两边的平方和：\(AB^2 + BC^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244\)；
第三步：计算最长边的平方：\(AC^2 = 16^2 = 256\)；
第四步：比较 —— 因\(244 256\)，再检查其他组合（是否有其他边为最长边）：
若 BC=12m 为最长边，\(AB^2 + AC^2 = 100 + 256 = 356 144\)；
若 AB=10m 为最长边，\(BC^2 + AC^2 = 144 + 256 = 400 100\)；
结论：该三角形不是直角三角形，不存在直角。
例 4：小明从家出发，先向正东走 3km，再向正北走 4km，最后向正西走 1km 到达学校，判断小明家到学校的直线距离是否为 5km（提示：先确定位置，计算三边长度）。
解答与分析：
第一步：建立坐标系 —— 设小明家为原点 O (0,0)，正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向；
向正东走 3km 到 A (3,0)，向正北走 4km 到 B (3,4)，向正西走 1km 到学校 C (2,4)；
第二步：计算小明家 O 到学校 C 的直线距离 OC（即△OBC 的边 OC）：
OB=5km（3km、4km 直角边，勾股定理），BC=1km，△OBC 中，OC 为待求边；
或直接用坐标计算：\(OC^2 = (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = 4 + 16 = 20\)，\(OC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} 4.47km 5km\)；
结论：小明家到学校的直线距离不是 5km。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列三条线段能否组成直角三角形：
（1）9cm、12cm、15cm；（2）4cm、5cm、6cm；（3）1cm、\(\sqrt{2}\)cm、\(\sqrt{3}\)cm。
已知三角形三边为 a=15、b=20、c=25，求该三角形的最大角的度数（提示：先判断是否为直角三角形）。
提升题
已知一个三角形的三边比为 3:4:5，且周长为 60cm，求该三角形的面积（提示：先求三边长度，再判断是否为直角三角形）。
如图，在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线 AD=12，求证：△ABC 是等腰三角形（提示：先判断△ABD 是否为直角三角形）。
拓展题
已知△ABC 的三边长为 a、b、c，且满足\(a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c\)，判断△ABC 是否为直角三角形。
幻灯片 10：易错点深度剖析
判断时忽略 “最长边”，平方和比较对象错误：
错误案例：判断三边（5,12,13）时，错算为\(5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194\)，与\(12^2 = 144\)比较（正确应为比较\(5^2 + 12^2\)与\(13^2\)）。
规避方法：判断前必须先确定最长边，将 “较短两边的平方和” 与 “最长边的平方” 比较，不可随意选择两边平方和与第三边平方比较。
对非整数边的三角形，平方计算错误：
错误案例：判断三边（1,\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\)）时，错算\(\sqrt{2}^2 + \sqrt{3}^2 = 2 + 3 = 5\)，与\(1^2 = 1\)比较（正确应为\(1^2 + \sqrt{2}^2 = 1 + 2 = 3 = \sqrt{3}^2\)）。
规避方法：对于含无理数的边长，计算平方时需注意 “\((\sqrt{n})^2 = n\)”，先准确计算各边平方，再进行比较，避免因无理数运算失误导致判断错误。
实际应用中，未先确定三边长度关系：
错误案例：例 4 中，直接认为 “3km、4km、5km” 是勾股数，忽略 “向正西走 1km” 的偏移，错判距离为 5km（正确需重新计算实际三边长度）。
规避方法：实际问题中，需先通过画图或坐标系确定三角形三边的实际长度，再代入逆定理判断，不可直接套用勾股数，忽略位置变化对边长的影响。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
勾股定理逆定理：三边满足 “较短两边平方和等于最长边平方” 的三角形是直角三角形，是直角三角形的重要判定方法。
应用步骤：找最长边→算平方和→作比较→下结论。
与勾股定理的联系：互逆定理，分别从 “形推数” 和 “数推形” 两个方向揭示直角三角形的性质与判定。
方法提炼：
判定直角三角形 “两步法”：第一步通过边长确定最长边，第二步通过平方和关系验证，两步缺一不可；
复杂问题 “数形结合法”：实际应用或代数条件（如边长含字母、等式）时，通过画图或代数变形（如配方）明确三边长度，再用逆定理判断。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（直角三角形判定相关题目）。
拓展练习：
（1）已知△ABC 的三边为 a=7、b=24、c=25，求△ABC 的面积；
（2）若三角形三边为\(n^2 - 1\)、2n、\(n^2 + 1\)（n>1 的整数），证明该三角形是直角三角形。
实践作业：
（1）用卷尺测量家中一个三角形物体（如三角架、屋顶框架）的三边长度，判断它是否为直角三角形；
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′
？
∠C 是直角
△ABC 是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2.
求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，
在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，
连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.
∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS).
∴∠C =∠C1 = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
C1
M
N
B1
A1
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.
特别说明：
归纳总结
典例精析
例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD 中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
所以△ABD 是直角三角形，
∠A 是直角.
D
A
C
4
3
5
13
12
B
例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13，b = 14，c = 15；
解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(3) a∶b∶c = 3∶4∶5.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k.
因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2，
所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
变式1：已知 △ABC 中，AB = n - 1，BC = 2n，AC = n + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB2 + BC2 = (n - 1)2 + (2n)2
= n4 - 2n2 + 1 + 4n2
= n4 + 2n2 + 1
= (n2 + 1)2
= AC2，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
变式2：若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断 △ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0，
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
∴ a = 3，b = 4，c = 5.
∴ a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形.
例3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：
设正方形的边长为 4a，
则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；
在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；
在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
∴ AE2＝EF2＋AF2.
∴△AEF 为直角三角形，且∠AFE＝90°，即 AF⊥EF.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数.
概念学习
勾股数
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
练一练
1. 下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 3，4，7 B. 5，12，13
C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到
的三角形 ( )
A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
B
A
4. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 为什么
解：是直角三角形. 因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理.
3. 以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的正方形面积是 25，144，169，则这个三角形是______三角形.
直角
5. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同
伴交流.
4
1
2
2
4
3
解：有 4 个，分别是△ABE，△DEF，△FCB，△BEF.
由勾股定理知
BE2 = 22 + 42 = 20，
EF2 = 22 + 12 = 5，
BF2 = 32 + 42 = 25，
∴ BE2 + EF2 = BF2.
∴ △BEF 是直角三角形.
6. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.
解：连接 BD.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
得 BD2 = AB2 + AD2，∴ BD = 5 cm.
又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，
∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.
S四边形ABCD = SRt△BCD－SRt△ABD = BD CD－ AB AD
= ×(5×12－4×3) = 24 (cm2)．
C
B
A
D
变式：如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC ＝ 12 cm，AB ＝ 3 cm，BC ＝ 4 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝ 12 cm.
∴ AC = 5 cm.
又∵
∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.
∴
D
C
B
A
知识点1 由三边关系确定直角三角形
1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组
数为边长，其中能构成直角三角形的是( )
C
A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25
返回
2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则
( )
B
A. B.
C. D. 不是直角三角形
返回
3.若的三边长,,满足 ，则
是( )
A
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
返回
（第4题）
4. 为了增强学生的环保意识和生态
意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如
图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后,
小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚
好到距离树的底部处的 处,测得
,则小树与地面______（填“垂直”或
“不垂直”）。
垂直
返回
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
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