2.2.3 立方根 课件（共31张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.2.3 立方根
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解立方根的定义，能明确立方根与平方根的区别与联系。
掌握立方根的表示方法（三次根号表示），能准确读写一个数的立方根。
掌握立方根的性质（正数有正立方根、负数有负立方根、0 的立方根是 0），能进行简单的立方根计算，提升数系运算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
平方根：若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x = \pm \sqrt{a}\)，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；
立方运算：如\(2^3 = 8\)，\((-2)^3 = -8\)，\(0^3 = 0\)，立方运算的结果与原数符号一致（正数立方为正，负数立方为负，0 立方为 0）。
情境导入：
问题 1：要制作一个体积为 8 立方米的正方体木箱，需要确定木箱的棱长是多少米？
分析：设正方体棱长为\(x\)米，根据正方体体积公式 “体积 = 棱长 ”，得\(x^3 = 8\)，因\(2^3 = 8\)，故\(x = 2\)，即棱长为 2 米，2 就是 8 的 “立方根”。
问题 2：若正方体体积为 - 8 立方米（假设存在负体积模型），棱长\(x\)满足什么关系？\(x\)是多少？
分析：\(x^3 = -8\)，因\((-2)^3 = -8\)，故\(x = -2\)，-2 就是 - 8 的 “立方根”。
提问引导：
与平方根不同，负数是否有立方根？一个数的立方根有几个？
立方根的表示方法与平方根有何差异？
幻灯片 4：立方根的定义
1. 定义内容
一般地，如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根（也叫三次方根）。
关键词解析：
前提：\(a\)可以是任意实数（正数、负数、0），因为立方运算对任意实数都有意义，且结果唯一；
结果：\(x\)的符号与\(a\)一致（\(a > 0\)则\(x > 0\)，\(a < 0\)则\(x < 0\)，\(a = 0\)则\(x = 0\)），且一个数的立方根只有一个。
2. 与平方根的对比（核心差异）
对比维度
立方根
平方根
定义
若\(x^3 = a\)，则\(x\)是\(a\)的立方根
若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x\)是\(a\)的平方根
被开方数范围
任意实数（正数、负数、0）
非负数（\(a \geq 0\)），负数无平方根
结果数量
任意数都有且只有一个立方根
正数有 2 个，0 有 1 个，负数没有
符号特征
立方根与被开方数符号一致（\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)）
正数的两个平方根互为相反数
示例（\(a=8\)）
\(\sqrt[3]{8} = 2\)（仅 1 个）
\(\pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\)（2 个）
3. 定义应用示例
因\(3^3 = 27\)，故 27 的立方根是 3，记为\(\sqrt[3]{27} = 3\)；
因\((-4)^3 = -64\)，故 - 64 的立方根是 - 4，记为\(\sqrt[3]{-64} = -4\)；
因\(0.5^3 = 0.125\)，故 0.125 的立方根是 0.5，记为\(\sqrt[3]{0.125} = 0.5\)；
因\(0^3 = 0\)，故 0 的立方根是 0，记为\(\sqrt[3]{0} = 0\)；
因\((\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}\)，故\(\frac{8}{27}\)的立方根是\(\frac{2}{3}\)，记为\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}\)。
幻灯片 5：立方根的表示方法与性质
1. 表示方法
一个数\(a\)的立方根记为\(\sqrt[3]{a}\)，读作 “三次根号\(a\)”，其中 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 是三次根号，“3” 是根指数（不可省略，与平方根的根指数 “2” 省略不同），\(a\)是被开方数（可任意实数）。
符号对应关系：
若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)（唯一解）；
负数的立方根可转化为正数立方根的相反数：\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)（如\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)）。
2. 核心性质
被开方数\(a\)的取值
立方根的情况
示例
\(a > 0\)（正数）
有一个正的立方根（\(\sqrt[3]{a} > 0\)）
\(a=64\)，\(\sqrt[3]{64} = 4\)
\(a < 0\)（负数）
有一个负的立方根（\(\sqrt[3]{a} < 0\)）
\(a=-27\)，\(\sqrt[3]{-27} = -3\)
\(a = 0\)
有一个立方根，就是 0 本身（\(\sqrt[3]{0} = 0\)）
\(\sqrt[3]{0} = 0\)
任意实数\(a\)
\((\sqrt[3]{a})^3 = a\)，\(\sqrt[3]{a^3} = a\)（立方与开立方互为逆运算）
\((\sqrt[3]{5})^3 = 5\)，\(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\)
3. 特殊数的立方根
立方根为本身的数：-1、0、1（因\((-1)^3 = -1\)，\(0^3 = 0\)，\(1^3 = 1\)）；
10 以内整数的立方及立方根：\(\sqrt[3]{1}=1\)、\(\sqrt[3]{8}=2\)、\(\sqrt[3]{27}=3\)、\(\sqrt[3]{64}=4\)、\(\sqrt[3]{125}=5\)等（可直接记忆，简化计算）。
幻灯片 6：例题讲解 1（立方根的计算与识别）
例 1：求下列各数的立方根：
（1）125；（2）-0.008；（3）\(\frac{27}{64}\)；（4）\(-\frac{1}{216}\)。
解答与分析：
（1）∵ \(5^3 = 125\)，∴ 125 的立方根是 5，记为\(\sqrt[3]{125} = 5\)；
（2）∵ \((-0.2)^3 = -0.008\)，∴ -0.008 的立方根是 - 0.2，记为\(\sqrt[3]{-0.008} = -0.2\)；
（3）∵ \((\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}\)，∴ \(\frac{27}{64}\)的立方根是\(\frac{3}{4}\)，记为\(\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}\)；
（4）∵ \((-\frac{1}{6})^3 = -\frac{1}{216}\)，∴ \(-\frac{1}{216}\)的立方根是\(-\frac{1}{6}\)，记为\(\sqrt[3]{-\frac{1}{216}} = -\frac{1}{6}\)。
例 2：计算下列各式的值：
（1）\(\sqrt[3]{-27}\)；（2）\((\sqrt[3]{10})^3\)；（3）\(\sqrt[3]{(-6)^3}\)；（4）\(\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{-8}\)。
解答与分析：
（1）利用\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)，得\(\sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = -3\)；
（2）利用\((\sqrt[3]{a})^3 = a\)，得\((\sqrt[3]{10})^3 = 10\)；
（3）利用\(\sqrt[3]{a^3} = a\)，得\(\sqrt[3]{(-6)^3} = -6\)；
（4）分别计算立方根：\(\sqrt[3]{1} = 1\)，\(\sqrt[3]{-8} = -2\)，相加得\(1 + (-2) = -1\)。
幻灯片 7：例题讲解 2（立方根的性质应用）
例 3：若\(\sqrt[3]{x - 1} = 2\)，求\(x\)的值；若\(\sqrt[3]{y + 4} = -3\)，求\(y\)的值。
解答与分析：
（1）求\(x\)的值：
两边同时立方（立方与开立方互为逆运算）：\((\sqrt[3]{x - 1})^3 = 2^3\)；
化简得：\(x - 1 = 8\) → \(x = 8 + 1 = 9\)；
（2）求\(y\)的值：
两边同时立方：\((\sqrt[3]{y + 4})^3 = (-3)^3\)；
化简得：\(y + 4 = -27\) → \(y = -27 - 4 = -31\)。
答：\(x = 9\)，\(y = -31\)。
例 4：已知一个正方体的体积是另一个正方体体积的 8 倍，若较小正方体的棱长为 2cm，求较大正方体的棱长。
解答与分析：
第一步：求较小正方体的体积：\(V_{ ° } = 2^3 = 8\)（cm ）；
第二步：求较大正方体的体积：\(V_{ ¤§} = 8 V_{ ° } = 8 8 = 64\)（cm ）；
第三步：求较大正方体的棱长（体积的立方根）：
设棱长为\(x\)，则\(x^3 = 64\) → \(x = \sqrt[3]{64} = 4\)（cm）。
答：较大正方体的棱长为 4cm。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
求下列各数的立方根：
（1）216；（2）-1；（3）0.125；（4）\(-\frac{8}{125}\)。
计算下列各式：
（1）\(\sqrt[3]{-64}\)；（2）\((\sqrt[3]{7})^3\)；（3）\(\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-1}\)；（4）\(\sqrt[3]{(-4)^3}\)。
提升题
若\(\sqrt[3]{2x + 5} = 3\)，求\(x\)的值；若\(\sqrt[3]{3y - 2} = -2\)，求\(y\)的值。
已知正方体的体积为\(1000\)cm ，求正方体的表面积（提示：先求棱长，再算表面积）。
拓展题
已知\(x = \sqrt[3]{2} - 1\)，求\((x + 1)^3\)的值；已知\(y = \sqrt[3]{a}\)，求\(y^3 + a\)的值。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆立方根与平方根的表示方法（根指数省略错误）：
错误案例：将 “\(\sqrt[3]{8}\)” 写成 “\(\sqrt{8}\)”（忽略立方根的根指数 “3”，误写为平方根）；将 “\(\sqrt[3]{-8}\)” 计算为 “\(\pm 2\)”（混淆立方根与平方根的结果数量，立方根只有 1 个）。
规避方法：牢记 “立方根带根指数 3，平方根根指数 2 可省略”，计算前先看根指数，根指数为 3 则是立方根（结果唯一，符号与被开方数一致），根指数为 2 或省略则是平方根（正数有两个根）。
负数的立方根计算错误（符号判断失误）：
错误案例：认为 “\(\sqrt[3]{-27}\)无意义”（负数有立方根，正确应为 - 3）；计算 “\(\sqrt[3]{-125}\)” 得 5（符号错误，正确应为 - 5）。
规避方法：记住 “立方根符号与被开方数一致”，负数的立方根是负数，可先求正数的立方根，再添负号（如\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)），避免符号混淆。
应用立方根性质时，逆运算步骤遗漏：
错误案例：例 3 中，由\(\sqrt[3]{x - 1} = 2\)直接得\(x - 1 = 2\)（遗漏 “两边立方” 的逆运算步骤，正确应为\(x - 1 = 2^3 = 8\)）。
规避方法：已知立方根求被开方数时，必须通过 “立方” 逆运算（两边同时立方）消去三次根号，不可直接去掉根号等式不变，确保运算逻辑正确。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
定义：若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)，任意数都有唯一立方根，符号与被开方数一致；
与平方根的区别：被开方数范围（任意数 vs 非负数）、结果数量（1 个 vs2 个 / 0 个）、符号特征（同号 vs 相反数）；
性质：(\sqrt [3]{-a}
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.3立方根
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
某化工厂使用半径为 1 米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的 8 倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
问题：要做一个体积为 27 cm3 的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为 x cm，则
这就是要求一个数，使它的立方等于 27.
因为
所以 x = 3. 即正方体的棱长为 3 cm.
想一想 (1) 什么数的立方等于 -8？
(2) 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的边长又该是多少？
-2
立方根的概念及性质
立方根的概念及表示法
注意：这个根指数3 绝对不可省略！
每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号 a ”. 如：x3 = 7 时，x 是 7 的立方根．
a 叫做被开方数
3 叫做根指数
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 = 8，所以 8 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）.
0
2
-2
0
-2
0.5
0.5
立方根的性质
一个正数有一个正的立方根，
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
立方根是它本身的数有 1，-1， 0；
平方根是它本身的数
只有 0；
算术平方根是它本身的数有 0 和 1.
知识要点
求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，a 叫做被开方数.
如： = 8，所以将 8 开立方就等于 2，即 = 2.
开立方及相关运算
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新知讲解
《02》
典例精析
例1 求下列各数的立方根:
（1）
（2）
解：-5 的立方根是
（3）
（4）0.216；
（5）-5.
求下列各式的值：
体会：对于任何数 a ,
a
2
4
0
-2
-3
探究1
3
23 ___，
=
3
43 ___，
=
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会：对于任何实数 a,
a
8
27
0
-8
-27
探究2
求下列各式的值：
体会：
(1) 求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数；
(2) 负号可从“根号内”直接移到“根号外”.
求下列各式的值:
(1) ； (2)
探究3
-0.2
-0.2
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别和联系
可以为任何数
非负数
±
求下列各数的值：
(1) 0.5. (2)－4. (3) －4. (4) 5. (5) 16.
练一练
例2 求下列各式的值：
( )
1. 判断下列说法是否正确：
×
(2) 任何数的立方根都只有一个. ( )
(3) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么 这个数一定是零. ( )
×
×
(5) 0 的平方根和立方根都是 0. ( )
√
(1) 25 的立方根是 5. ( )
(4) 一个数的立方根不是正数就是负数.
√
2. 比较 3，4， 的大小.
解：33 = 27，43 = 64.
因为 27 < 50 < 64，
所以 3 < < 4.
3. 立方根概念的起源与几何中的正方体有关，如果一个正方体的体积为 V，那么这个正方体的棱长为多少？
解：这个正方体的棱长为 .
4. 求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
（4）
= – 0.3.
=
=
=
=
=
5.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解：因为 600 + 129 = 729，
729 的立方根是 9，
所以这个正方体的棱长为 9 cm.
若 = 2， = 4，求 的值.
解：∵ = 2， = 4，
∴ x = 23，y2 = 16,
∴ x = 8，y = ±4.
∴ x + 2y = 8 + 2×4 = 16，或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0.
∴ = = 4，或 = = 0.
拓展提升
知识点1 立方根的定义
1.（1）因为（___） ，所以125的立方根是___，用数学式子表
示为__________；
（2）因为（____），所以 的立方根是____，用数学式
子表示为_____________；
（3）0的立方根是___。
5
5
0
返回
2. 的立方根是____。
返回
3.下列说法正确的是( )
D
A.是的立方根 B.64的立方根是
C.是的立方根 D.的立方根是
返回
4.体积为4的正方体的棱长是( )
C
A.4的平方 B.4的平方根
C.4的立方根 D.4的算术平方根
返回
5.下列说法正确的是( )
D
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是 或0或1
返回
知识点2 开立方
6.计算： ( )
B
A.3 B. C.9 D.
返回
7.下列计算中，错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
立方根
立方根的概念及性质
开立方及相关运算
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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