4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题 课件（共38张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解两个一次函数图象交点的数学意义（对应方程组的解），能通过图象或计算求出交点坐标。
掌握通过两个一次函数图象分析数量关系的方法（如比较函数值大小、确定自变量取值范围）。
能运用两个一次函数的图象解决实际问题（如行程问题、费用对比问题、利润问题），提升数形结合与实际应用能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的图象：形如\(y = kx + b\)（\(k 0\)）的函数图象是一条直线，\(k\)决定直线倾斜方向（\(k>0\)上升，\(k<0\)下降），\(b\)是直线与\(y\)轴交点的纵坐标（截距）。
一次函数与方程的关系：一次函数\(y = kx + b\)的图象与\(x\)轴交点的横坐标，是方程\(kx + b = 0\)的解。
情境导入：
问题 1：小明和小红分别从家出发去图书馆，小明骑自行车，速度为 15km/h，出发时距图书馆 30km；小红坐公交，速度为 25km/h，出发时距图书馆 40km。若两人的行驶路程\(y\)（km，距图书馆的距离）与行驶时间\(x\)（h）的函数关系分别为\(y_1 = -15x + 30\)、\(y_2 = -25x + 40\)，如何通过图象判断谁先到达图书馆？两人出发后多久距图书馆的距离相等？
问题 2：观察两个函数的图象，它们的交点代表什么含义？图象中哪一段表示小明距图书馆的距离比小红近？
提问引导：
两个一次函数的图象相交，交点坐标与两个函数的解析式有什么关系？
如何通过图象比较两个一次函数的函数值大小，解决实际中的 “谁快谁慢”“谁多谁少” 问题？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 两个一次函数图象交点的意义
1. 交点的数学意义
对于两个一次函数\(y_1 = k_1x + b_1\)（\(k_1 0\)）和\(y_2 = k_2x + b_2\)（\(k_2 0\)），它们的图象（两条直线）的交点坐标\((x_0, y_0)\)，是方程组\(\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2\end{cases}\)的解，即满足\(y_0 = k_1x_0 + b_1\)且\(y_0 = k_2x_0 + b_2\)。
解读：交点的横坐标\(x_0\)是使两个函数值相等的自变量取值，纵坐标\(y_0\)是此时对应的相等的函数值。
2. 求交点坐标的方法（两种）
方法 1：图象法
在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象，找到两条直线的交点，读取交点的横、纵坐标（适用于粗略估算或验证）。
示例：画\(y_1 = 2x + 1\)和\(y_2 = -x + 4\)的图象，交点为\((1, 3)\)，即方程组\(\begin{cases}y = 2x + 1 \\ y = -x + 4\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 3\end{cases}\)。
方法 2：代数法（精确计算）
联立两个函数解析式，解方程组求\(x\)和\(y\)，步骤如下：
联立解析式：\(\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2\end{cases}\)；
消去\(y\)：令\(k_1x + b_1 = k_2x + b_2\)，解出\(x_0\)；
求\(y_0\)：将\(x_0\)代入任意一个解析式，求出\(y_0\)；
交点坐标为\((x_0, y_0)\)。
示例：求\(y_1 = -15x + 30\)与\(y_2 = -25x + 40\)的交点：
联立得\(-15x + 30 = -25x + 40\)→\(10x = 10\)→\(x = 1\)；
代入\(y_1\)：\(y = -15 1 + 30 = 15\)；
故交点为\((1, 15)\)，即出发 1 小时后，两人距图书馆的距离均为 15km。
3. 特殊情况：两直线平行（无交点）
当\(k_1 = k_2\)且\(b_1 b_2\)时，两条直线平行，无交点，对应的方程组无解（两个函数值永远不相等）；
当\(k_1 = k_2\)且\(b_1 = b_2\)时，两条直线重合，有无数个交点，对应的方程组有无数组解（两个函数完全相同）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 通过图象比较两个一次函数的函数值
1. 比较依据
对于两个一次函数\(y_1 = k_1x + b_1\)和\(y_2 = k_2x + b_2\)，在同一坐标系中：
当图象中\(y_1\)的直线在\(y_2\)的直线上方时，对应自变量取值范围内，\(y_1 > y_2\)；
当图象中\(y_1\)的直线在\(y_2\)的直线下方时，对应自变量取值范围内，\(y_1 < y_2\)；
交点处\(y_1 = y_2\)（自变量为交点横坐标）。
2. 分情况讨论（以交点横坐标\(x_0\)为分界）
情况 1：\(k_1 > k_2\)（\(y_1\)上升比\(y_2\)快，或下降比\(y_2\)慢）
当\(x > x_0\)时，\(y_1 > y_2\)；
当\(x < x_0\)时，\(y_1 < y_2\)。
示例：\(y_1 = 2x + 1\)（\(k_1=2>0\)），\(y_2 = -x + 4\)（\(k_2=-1<0\)），交点\(x_0=1\)：\(x>1\)时，\(y_1 > y_2\)；\(x<1\)时，\(y_1 < y_2\)。
情况 2：\(k_1 < k_2\)（\(y_1\)上升比\(y_2\)慢，或下降比\(y_2\)快）
当\(x > x_0\)时，\(y_1 < y_2\)；
当\(x < x_0\)时，\(y_1 > y_2\)。
示例：\(y_1 = -15x + 30\)（\(k_1=-15\)），\(y_2 = -25x + 40\)（\(k_2=-25\)，\(k_1 > k_2\)，即\(y_1\)下降慢），交点\(x_0=1\)：\(x>1\)时，\(y_1 > y_2\)（小明距图书馆更远）；\(x<1\)时，\(y_1 < y_2\)（小明距图书馆更近）。
3. 实际意义：判断 “多与少”“快与慢”
若\(y\)表示 “距离”，\(x\)表示 “时间”：\(y_1 < y_2\)表示同一时间内，第一个物体距目标更近；
若\(y\)表示 “费用”，\(x\)表示 “数量”：\(y_1 < y_2\)表示购买相同数量时，第一种方案费用更低；
若\(y\)表示 “路程”，\(x\)表示 “时间”：\(y_1 > y_2\)表示同一时间内，第一个物体行驶路程更远（速度更快）。
幻灯片 6：典型例题 1—— 行程问题（相遇与快慢判断）
例 1：甲、乙两人从 A 地出发去 B 地，甲骑电动车，乙骑自行车，两人的行驶路程\(y\)（km）与行驶时间\(x\)（h）的函数关系分别为\(y_ = 20x\)（甲的速度为 20km/h，无初始路程）和\(y_ = 12x + 8\)（乙先出发 0.5 小时，已行驶 8km，速度为 12km/h）。
（1）在同一坐标系中画出两个函数的图象，求出交点坐标，并说明交点的实际意义；
（2）出发后多久，甲超过乙（即甲的路程大于乙的路程）？
（3）若 A、B 两地相距 60km，谁先到达 B 地？
解答与分析：
（1）画图象与求交点：
甲的图象：过原点（0，0）和（1，20）的直线；
乙的图象：过（0，8）和（1，20）的直线；
联立方程：\(20x = 12x + 8\)→\(8x = 8\)→\(x = 1\)，代入得\(y = 20\)；
交点坐标（1，20），实际意义：出发 1 小时后，甲追上乙，此时两人均行驶了 20km。
（2）甲超过乙的时间：
由图象可知，当\(x > 1\)时，\(y_ \)的直线在\(y_ \)上方，即\(y_ > y_ \)；
故出发 1 小时后，甲超过乙。
（3）谁先到达 B 地：
甲到达 B 地的时间：令\(y_ = 60\)→\(20x = 60\)→\(x = 3\)（小时）；
乙到达 B 地的时间：令\(y_ = 60\)→\(12x + 8 = 60\)→\(12x = 52\)→\(x 4.33\)（小时）；
因\(3 < 4.33\)，故甲先到达 B 地。
幻灯片 7：典型例题 2—— 费用对比问题（方案选择）
例 2：某通讯公司推出两种手机流量套餐：
套餐 A：月租费 10 元，每 GB 流量费 5 元，每月总费用\(y_A\)（元）与流量使用量\(x\)（GB）的函数关系为\(y_A = 5x + 10\)；
套餐 B：月租费 25 元，每 GB 流量费 2 元，每月总费用\(y_B\)（元）与流量使用量\(x\)（GB）的函数关系为\(y_B = 2x + 25\)。
（1）求两种套餐总费用相等时的流量使用量；
（2）通过图象分析，当每月流量使用量分别为 3GB、8GB 时，选择哪种套餐更划算？
（3）若每月流量使用量在什么范围时，套餐 A 更划算？套餐 B 更划算？
解答与分析：
（1）总费用相等的流量：
联立方程：\(5x + 10 = 2x + 25\)→\(3x = 15\)→\(x = 5\)（GB）；
此时总费用\(y = 5 5 + 10 = 35\)（元），即流量使用 5GB 时，两种套餐总费用均为 35 元。
（2）具体流量的套餐选择：
当\(x = 3\)GB 时：\(y_A = 5 3 + 10 = 25\)（元），\(y_B = 2 3 + 25 = 31\)（元），\(y_A < y_B\)，选套餐 A；
当\(x = 8\)GB 时：\(y_A = 5 8 + 10 = 50\)（元），\(y_B = 2 8 + 25 = 41\)（元），\(y_A > y_B\)，选套餐 B。
（3）套餐划算的流量范围：
由图象可知（或代数推导）：
当\(x < 5\)GB 时，\(y_A < y_B\)，套餐 A 更划算；
当\(x > 5\)GB 时，\(y_A > y_B\)，套餐 B 更划算；
当\(x = 5\)GB 时，两者费用相等，任选其一。
幻灯片 8：典型例题 3—— 利润问题（产量与利润关系）
例 3：某工厂生产 A、B 两种产品，生产 x 件 A 产品的利润\(y_1\)（元）与产量 x 的函数关系为\(y_1 = 12x - 100\)（固定成本 100 元，每件利润 12 元）；生产 x 件 B 产品的利润\(y_2\)（元）与产量 x 的函数关系为\(y_2 = 8x + 50\)（固定成本 50 元，每件利润 8 元）。
（1）当产量为多少时，生产 A 产品的利润等于生产 B 产品的利润？此时利润为多少？
（2）当产量超过多少时，生产 A 产品的利润大于生产 B 产品的利润？
（3）若工厂计划生产 50 件产品（A 或 B），选择生产哪种产品利润更高？高多少？
解答与分析：
（1）利润相等的产量：
联立方程：\(12x - 100 = 8x + 50\)→\(4x = 150\)→\(x = 37.5\)（件）；
因产量为整数，故产量 37 件时，\(y_1 = 12 37 - 100 = 344\)元，\(y_2 = 8 37 + 50 = 346\)元；产量 38 件时，\(y_1 = 12 38 - 100 = 356\)元，\(y_2 = 8 38 + 50 = 354\)元；
理论上产量 37.5 件时利润相等，此时利润\(y = 12 37.5 - 100 = 350\)元。
（2）A 产品利润更高的产量：
由 (12
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
O
x
y
观察与思考
观察下图，你能发现它们三条函数直线之间的差别吗？
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
销售收入
引例：l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图意填空：
当销售量为 2 吨时，销售收入＝　　元，
2000
两个一次函数的应用
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1 反映了公司产品的销售收入与销售量的关系.
销售收入
l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，
y = 1000x
l1
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2 反映了公司产品的销售成本与销售量的关系
销售成本
　　l2对应的函数表达式是　　　　　　　　.
y = 500x + 2000
l2
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l2
当销售成本为 4500元 时，销售量＝　　吨；
5
销售成本
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
l2
（1）当销售量为 6 吨时，销售收入＝　　　　元，
　　 销售成本＝　　　元， 利润＝　　　　元.
6000
5000
(2)当销售量为　 　时，销售收入等于销售成本.
4 吨
销售收入
销售成本
1000
销售收入和销售成本都是 4000 元.
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
l1
l2
(3)当销售量　　　　　时，该公司赢利(收入大于成本)；
当销售量　　　　　时，该公司亏损(收入小于成本)；
大于 4 吨
小于 4 吨
销售收入
销售成本
5
6
1
2
3
P
你还有什么发现？
7
8
x/吨
y/元
O
1
2
3
4
5
6
1000
4000
5000
2000
3000
6000
销售成本
销售收入
l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的 k 和 b 的实际意义各是什么？
l2
l1
k 的实际意义是表示每销售 1 吨产品的收入或成本；
b 的实际意义是表示变化的起始值.
如 k1 表示销售 1 吨产品可收入 1000 元
b2 表示销售成本从2000 元开始逐步增加
b1表示收入从无到有
如 k2 表示销售 1 吨产品成本为 500 元
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
典例精析
例1 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追赶（如图）.
海
岸
公
海
B
A
下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离 s 与追赶时间 t 之间的关系. 根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
解：观察图象知， 当 t＝0 时，B 距海岸 0 海里，即
s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
（2）A、B 哪个速度快？
t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2，l1 的纵坐标增加了 5.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
即 10 分钟内，
A 行驶了 2 海里，
B 行驶了 5 海里，
所以 B 的速度快.
7
5
当 t＝15 时，l1 上对应点在 l2 上对应点的下方
这表明，15 分钟时 B 不能追上 A.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
（3）15分钟内 B 能否追上 A？
15
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
12
14
（4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？
　　如图延伸 l1 、l2 相交于点 P.
因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A.
P
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
P
（5）当 A 逃到离海岸12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？
从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12.
这说明在
A 逃入公海前，
我边防快艇 B
能够追上 A 船.
10
k1表示快艇 B 的速度，k2 表示可疑船只 A 的速度. 可疑船只 A 的速度是 0.2海里/分，快艇 B 的速度是 0.5 海里/分.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t /分
s /海里
l1
l2
B
A
12
14
（6）l1 与 l2 对应的两个一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x + b2 中，k1，k2 的实际意义各是什么？可疑船只 A 与快艇 B 的速度各是多少？
下图 l1，l2 分别是龟兔赛跑中 s 与 t 的函数图象.
（1）这一次是 　 米赛跑.
（2）表示兔子的图象是 .
100
l2
练一练
s /米
l1
l2
100
20
120
40
60
80
1
2
3
4
5
O
t /分
6
8
7
12
9
10
11
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米；
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米；
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟.
40
4
40
s /米
l1
l2
1
2
3
4
5
O
100
20
120
40
60
80
t /分
6
8
7
-1
12
9
10
11
-3
-2
-4
例2 已知一次函数 y＝ x＋a 和 y＝－ x＋b 的图象都经过点 A(－4，0)，且与 y 轴分别交于 B、C 两点，求△ABC 的面积．
解：∵y＝ x＋a与y＝－ x＋b的
图象都过点A(－4，0)，
∴ ×(－4)＋a＝0，－ ×(－4)
＋b＝0.
∴a＝6，b＝－2.
∴两个一次函数分别是y＝ x＋6和y＝－ x－2.
y＝ x＋6 与 y 轴交于点 B，则 y＝ ×0＋6＝6，
∴B(0，6)；
y＝－ x－2与 y 轴交于点 C，则 y＝－2，
∴C(0，－2)．如图所示，
S△ABC＝ BC·AO
＝ ×4×(6＋2)＝16.
方法总结：解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与 x 轴、y 轴交点的坐标．
1. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h.
解析：根据图象可得出：甲的速度为
120÷5 = 24 (km/h)，
乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)，
速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h).
0.8
B
解析：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为 b 米/秒，由题意得
1600 + 100a = 1400 + 100b，
1600 + 300a = 1400 + 200b，
解得 a = 2，b = 4.
故这次越野跑的全程 1600+300×2 = 2200 米．
2.一次越野跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了1400 米，小明、小刚所跑的路程 y (米)与时间 t (秒)之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．
2200
A.小亮骑自行车的平均速度是 12 km/h
B.小明比小亮提前 0.5 小时到达公园
C.小明在距学校 12 km 处追上小亮
D.9：30 小明与小亮相距 4 km
3.小亮和小明周六到距学校 24 km 的滨湖湿地公园春游，小亮 8：00 从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明 8：30 从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程 S（km）与时间 t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（　　）
D
解：A.根据函数图象小亮去滨湖湿地公园所用时间为
10﹣8 = 2 小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2 = 12（km/h），故正确；
B.由图象可得，小明到滨湖湿地公园对应的时间
t = 9.5，小亮到滨湖湿地公园对应的时间 t = 10，
10﹣9.5 = 0.5（小时），
∴小明比小亮提前 0.5 小时到达滨湖湿地公园，故正确；
C.由图象可知，当 t = 9 时，小明追上小亮，此时小亮离开学校的时间为 9﹣8 = 1小时，
∴小亮走的路程为：1×12 = 12 km，
∴小明在距学校 12 km 出追上小亮，故正确；
D.由图象可知，当 t = 9.5 时，小明的路程为 24 km，小亮的路程为12×(9.5﹣8) = 18 km，此时小明与小亮相距 24﹣18 = 6 km，故错误；故选：D．
4.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y (厘米)与燃烧时间 x (时)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧
前的高度分别是 ，
从点燃到燃尽所用的时间
分别是 .
30 厘米、25 厘米
2时、2.5时
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
y甲 = -15x + 30
y乙 = -10x + 25
x = 1
x＞1
x＜1
知识点 两个一次函数图象的应用
（第1题）
1.如图， 反映了某产品的销售收入与销
售量之间的关系， 反映了该产品的销售
成本与销售量之间的关系，根据图中信息
判断两个函数图象的交点表示的实际意义
为______________________。
销售收入等于销售成本
返回
2.［2025盐城月考］某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两
卡所需费用（元），（元）与入园次数 （次）的函数关系如图所
示。当满足________时， 。
（第2题）
返回
（第3题）
3.［教材习题 变式］ 一艘轮船和一艘快艇沿
相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
C
A.轮船的速度为
B.轮船比快艇先出发
C.快艇的速度为
D.快艇比轮船早到
返回
（第4题）
4.［教材 问题变式］某手工作坊生产并销售某种
食品，假设销售量与产量相等，如图所示的线段
，分别表示每天生产成本（元）、收入
（元）与产量 之间的函数关系。
（1）分别求出,关于 的函数表达式；
解：设，将代入，得 ，
再将代入，易得 ，
所以。设，把 代入，
得，解得，所以 。
（2）若该手工作坊每天工作，每小时生产 食品，则一天可获
利润为多少元？
解：设一天可获利润为 元，
则 。由题意得
，所以 ，
所以一天可获利润为1 040元。
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（第5题）
5.［2024济南中考］某公司生产了， 两款新
能源电动汽车。如图，,分别表示款， 款
新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量
与汽车行驶路程 的关系。当两
款新能源电动汽车的行驶路程都是 时，
款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能
源电动汽车电池的剩余电量多____ 。
12
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（第6题）
6. 假期将至，某游泳俱乐部面向学
生推出这个假期的优惠活动，活动方案如下：方案一，
购买一张学生假期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二，不购买学生假期专享卡，每次游泳费用按八
折优惠。设某学生假期游泳 次，按照方案一
所需总费用为（元），且 ；
C
A.5 B.7 C.6 D.8
按照方案二所需总费用为（元），且 ，其函数图象
如图所示。若某位学生发现他购买与不购买假期专享卡所需总费用相同，
则他去游泳的次数 是( )
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两个一次函数的应用
方案选择问题
实际生活中的问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！