4.1 函数 课件（共47张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共47张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1 函数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
结合生活实例，理解变量、常量的概念，能区分变化过程中的变量与常量。
掌握函数的定义，明确 “一个自变量对应唯一因变量” 的核心特征，能判断两个变量是否构成函数关系。
了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），能根据实际情境选择合适的方法表示函数，初步体会数形结合思想。
幻灯片 3：知识导入（生活中的变量关系）
1. 情境分析（找出变化的量与不变的量）
情境 1：汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为\(t\)（h），行驶路程为\(s\)（km）。
变化的量：行驶时间\(t\)、行驶路程\(s\)；不变的量：行驶速度 60km/h。
情境 2：一个长方形的长固定为 5cm，宽为\(w\)（cm），面积为\(S\)（cm ）。
变化的量：宽\(w\)、面积\(S\)；不变的量：长 5cm。
情境 3：某电影院电影票单价为 45 元，购票数量为\(n\)（张），总费用为\(C\)（元）。
变化的量：购票数量\(n\)、总费用\(C\)；不变的量：单价 45 元。
2. 变量与常量的定义
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量（如上述情境中的\(t\)、\(s\)、\(w\)、\(S\)、\(n\)、\(C\)），分为自变量和因变量：
自变量：主动变化的量（如时间\(t\)、宽\(w\)、购票数量\(n\)）；
因变量：随着自变量的变化而变化的量（如路程\(s\)、面积\(S\)、总费用\(C\)）。
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量（如速度 60km/h、长 5cm、单价 45 元）。
3. 提问引导
上述情境中，因变量的变化是否由自变量的变化唯一确定？（如 “时间\(t=2\)h 时，路程\(s\)是否只有一个值？”）
当自变量取一个确定的值时，因变量是否有多个值与之对应？这种 “唯一对应” 的关系有什么特点？
幻灯片 4：函数的定义（核心概念）
1. 定义内容
一般地，在一个变化过程中，有两个变量\(x\)和\(y\)，如果对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与之对应，那么就说\(y\)是\(x\)的函数，\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。
若\(y\)是\(x\)的函数，可记作\(y = f(x)\)（“\(f\)” 表示对应关系，不表示乘法），如\(s = f(t)\)表示路程\(s\)是时间\(t\)的函数。
2. 定义关键词解析
“每一个确定的值”：自变量\(x\)的取值需在合理范围内（如情境 1 中\(t 0\)，时间不能为负数），且覆盖所有可能的有效取值。
“唯一确定的值”：这是函数的核心特征 ——“单值对应”。当\(x\)取一个值时，\(y\)只能有一个值与之对应，不能有两个或多个值（如 “时间\(t=1\)h 时，路程\(s\)只能是 60km，不能同时是 50km 和 60km”）。
3. 函数关系的判断示例（是否为函数）
例 1：判断 “正方形的边长\(a\)与面积\(S\)” 是否为函数关系。
分析：对于边长\(a\)的每一个确定值（\(a > 0\)），面积\(S = a \)都有唯一确定的值，故\(S\)是\(a\)的函数。
例 2：判断 “人的年龄\(x\)与身高\(y\)” 是否为函数关系。
分析：同一年龄\(x\)（如 15 岁），不同人的身高\(y\)可能不同（存在多个值），故\(y\)不是\(x\)的函数。
例 3：判断 “平面直角坐标系中，点的横坐标\(x\)与纵坐标\(y\)” 是否为函数关系。
分析：同一横坐标\(x\)（如\(x=2\)），对应的纵坐标\(y\)可以是任意值（如点（2，3）、（2，4）），故\(y\)不是\(x\)的函数。
幻灯片 5：函数的三种表示方法
1. 列表法（用表格表示函数关系）
定义：将自变量\(x\)的取值和对应的因变量\(y\)的值列成表格，直观反映两者的对应关系。
示例：情境 1 中 “汽车行驶时间与路程” 的函数关系（速度 60km/h）：
行驶时间\(t\)（h）
0.5
1
1.5
2
2.5
行驶路程\(s\)（km）
30
60
90
120
150
优点：直观清晰，可直接读取对应值；缺点：无法体现所有取值（只能列有限个）。
2. 解析式法（用数学式子表示函数关系）
定义：用含自变量\(x\)的数学式子表示因变量\(y\)，即\(y = x è ¨è \)，明确反映两者的数量关系。
示例：
情境 1：\(s = 60t\)（\(t 0\)）；
情境 2：\(S = 5w\)（\(w > 0\)）；
情境 3：\(C = 45n\)（\(n\)为非负整数）。
优点：简洁通用，可计算任意有效\(x\)对应的\(y\)值；缺点：抽象，需通过计算才能得到对应值。
3. 图象法（用图形表示函数关系）
定义：在平面直角坐标系中，以自变量\(x\)为横坐标，因变量\(y\)为纵坐标，将所有\((x, y)\)对应的点描出，连接成图形（通常是直线或曲线），直观反映函数的变化趋势。
示例：情境 1 中 “\(s = 60t\)” 的图象是过原点（0，0）和（1，60）的直线（\(t 0\)部分）。
优点：直观展示函数变化趋势（如上升、下降）；缺点：读取数值存在误差，无法精确表示所有点。
4. 三种表示方法的对比与选择
表示方法
优点
缺点
适用场景
列表法
直观，直接读对应值
仅列有限值，不完整
需快速获取特定值（如工资表、时刻表）
解析式法
简洁，可算任意值
抽象，需计算
需精确计算或推导关系（如数学建模）
图象法
展示变化趋势，直观易懂
数值不精确
分析趋势（如气温变化、股票走势）
幻灯片 6：函数的自变量取值范围（定义域）
1. 定义
自变量\(x\)的取值范围（定义域）：使函数有意义（解析式成立）且符合实际情境的所有\(x\)的值。
注：解析式有意义是基础，实际情境是限制（如 “人数” 需为非负整数，“长度” 需为正数）。
2. 确定取值范围的方法（分情况）
情况 1：解析式为整式（如\(y = ax + b\)、\(y = ax + bx + c\)）
自变量\(x\)可取任意实数（如\(y = 2x + 3\)，\(x\)为任意实数）。
情况 2：解析式含分式（如\(y = \frac{k}{x}\)）
分母不能为 0（如\(y = \frac{1}{x - 2}\)，需满足\(x - 2 0\)→\(x 2\)）。
情况 3：解析式含二次根式（如\(y = \sqrt{x}\)）
被开方数非负（如\(y = \sqrt{x - 1}\)，需满足\(x - 1 0\)→\(x 1\)）。
情况 4：结合实际情境
需符合实际意义（如 “购票数量\(n\)” 需为非负整数，“行驶时间\(t\)” 需\(t 0\)）。
3. 示例：求自变量取值范围
（1）\(y = 3x - 5\)：整式，\(x\)为任意实数；
（2）\(y = \frac{2}{x + 1}\)：分式，\(x + 1 0\)→\(x -1\)；
（3）\(y = \sqrt{4 - x}\)：二次根式，\(4 - x 0\)→\(x ¤ 4\)；
（4）\(y = 2n\)（\(n\)表示 “班级人数”）：实际情境，\(n\)为正整数。
幻灯片 7：典型例题（函数的判断与表示）
例题 1：判断变量关系是否为函数
问题：下列各题中，\(y\)是否为\(x\)的函数？请说明理由：
（1）\(y = 2x + 1\)；（2）\(y = ±\sqrt{x}\)（\(x 0\)）；（3）“三角形的底为\(x\)，面积为\(y\)”（高未固定）。
解答：
（1）是函数。对于\(x\)的每一个值，\(2x + 1\)都有唯一确定的\(y\)值，符合函数定义；
（2）不是函数。当\(x = 4\)时，\(y = ±2\)（有两个值），不符合 “唯一确定”；
（3）不是函数。高未固定时，同一底\(x\)（如\(x=5\)），不同高对应不同面积\(y\)（有多个值），不符合定义。
例题 2：用多种方法表示函数
问题：某水果店售卖苹果，单价为 8 元 /kg，设购买重量为\(x\)（kg），总费用为\(y\)（元）。
（1）用解析式表示\(y\)与\(x\)的函数关系，并写出自变量取值范围；
（2）用列表法表示\(x\)取 1、2、3、4、5 时的函数关系；
（3）简要描述该函数的图象特征。
解答：
（1）解析式：\(y = 8x\)，自变量取值范围：\(x 0\)（购买重量非负）；
（2）列表法：
购买重量\(x\)（kg）
1
2
3
4
5
总费用\(y\)（元）
8
16
24
32
40
（3）图象特征：在平面直角坐标系中，是过原点（0，0）和（1，8）的直线（\(x 0\)部分），\(y\)随\(x\)的增大而增大。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
指出下列变化过程中的变量（自变量、因变量）和常量：
（1）圆的周长\(C\)与半径\(r\)的关系为\(C = 2\pi r\)；
（2）小明带 50 元买笔记本，每本 6 元，剩余金额\(y\)（元）与购买数量\(n\)（本）的关系。
判断下列关系是否为函数：
（1）\(y = x \)（\(x\)为任意实数）；（2）\(x = y \)（\(y\)为任意实数）。
提升题
求下列函数的自变量取值范围：
（1）\(y = \frac{3}{2x - 5}\)；（2）\(y = \sqrt{x + 3} - \frac{1}{x}\)；（3）\(y = 5t\)（\(t\)表示 “打字时间（分钟）”）。
用解析式表示下列函数关系：
（1）长方形的周长为 20cm，长为\(x\)（cm），面积为\(y\)（cm ）；
（2）某手机套餐月租 15 元，每 GB 流量费 3 元，每月总费用\(y\)（元）与流量使用量\(x\)（GB）的关系。
拓展题
已知函数\(y = 2x - 3\)，完成下列任务：
（1）用列表法表示\(x\)取 - 1、0、1、2 时的\(y\)值；
（2）判断点（3，3）、（-2，-7）是否在该函数的图象上；
（3）若\(y = 5\)，求对应的\(x\)值。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆 “自变量” 与 “因变量” 的因果关系：
错误案例：在 “路程\(s = 60t\)” 中，认为 “路程\(s\)是自变量，时间\(t\)是因变量”（实际时间\(t\)主动变化，是自变量；路程\(s\)随\(t\)变化，是因变量）。
规避方法：明确 “主动变化的量是自变量，被动变化的量是因变量”，可通过 “谁影响谁” 判断（如 “时间影响路程”，故\(t\)是自变量，\(s\)是因变量）。
忽略 “唯一对应”，误判函数关系：
错误案例：认为 “\(y = ±\sqrt{x}\)” 是函数（实际\(x=4\)时，\(y= ±2\)，有两个值，不符合 “唯一确定”）；认为 “气温\(y\)与日期\(x\)” 是函数（实际同一日期，不同地区气温不同，\(y\)有多个值）。
规避方法：判断时严格对照定义 ——“对于每一个\(x\)，是否只有一个\(y\)”，若存在某个\(x\)对应多个\(y\)，则不是函数。
确定自变量取值范围时，忽略实际情境：
错误案例：求 “\(y = 3n\)（\(n\)表示人数）” 的取值范围时，认为 “\(n\)为任意实数”（实际人数需为正整数，故\(n\)是正整数）。
规避方法：确定取值范围时
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1 函数
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
人间四月芳菲尽，
山寺桃花始盛开。
白居易
高处不胜寒
苏轼
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明__________随______的变化而变化.
高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化.
天气温度
时间
高山气温
海拔高度
万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢
想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
情景一
函数的概念及表示方法
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3
10
37
45
h（米）
t（分）
下图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间t (min) 之间的关系.
t/分 0 1 2 3 4 5 …
h/米 …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
10
37
45
37
3
10
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
层数 n
物体总数 y
唯一一个 y 值
情景二
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把 -273℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度 T(K) 与摄氏温度 t(℃)之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0.
(1)当 t 分别等于 -43，-27，0，18 时，相应的热力学温度 T 是多少？
(2)给定任一个大于 -273 ℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
唯一一个 T 值
解：当 t = -43时，
T = -43+273 = 230(K)
情景三
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数 n、物体总数 y；
③摄氏温度 t 、热力学温度 T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
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新知讲解
《02》
归纳总结
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
函数
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
表示函数
的一般方法
列表法
图象法
关系式法(表达式法)
情景一
情景二
情景三
讨论：
1.y 与 x 的图象如图所示，问 y 是 x 的函数吗？
x
y
o
1
2
-2
2.下列各图中，x 是自变量，则 y 是 x 的函数吗？为什么？
y 是 x 的函数
y 不是 x 的函数
典例精析
例1 下列关于变量 x ，y 的关系式：① y = 2x + 3；② y = x2 + 3；③ y = 2|x|；④ ；⑤ y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ．
①②③
一个 x 值有两个 y 值与它对应
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
方法
自变量的取值范围
二
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
情景一
自变量 t 的取值范围:__________
t≥0
自变量的取值范围
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
层数 n
物体总数 y
情景二
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量 n 的取值范围：_________.
n 取正整数
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把 -273℃作为热力学温度的零度.热力学温度 T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T = t+273，T≥0.
情景三
自变量 t 的取值范围：___________.
t≥-273
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km.
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
0.1x 表示的意义是什么？
叫做函数的关系式
（2）指出自变量 x 的取值范围；
自变量的取值范围是
0 ≤ x ≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
归纳
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
（3）汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
当 x = 200时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30.
因此，当汽车行驶 200 km时，油箱中还有油 30 L
做一做：下列函数中自变量 x 的取值范围是什么？
-2
x 取全体实数
x 取全体实数
使函数关系式有意义的自变量的全体.
T(K)与 t(℃)的函数关系： T = t + 273 （T≥0），
当 t = 1 时，
T = 1 + 273
= 274（K）.
那么，274 就是当 t = 1 时的函数值.
情景三
函数值
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值．
即：如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时，y = b，那么 b 叫做当 x = a 时的函数值．
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
归纳总结
例3 已知函数
(1)求当 x = 2，3，-3 时，函数的值；
(2)求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当 x = 2 时，y = ；
当 x = 3 时，y = ；
当 x = -3 时，y = 7；
（2）令 解得 x = ，即当 x = 时，y = 0.
1.设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数.
60
s = 60 t
t 和 s
s
t
2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q (kg)与流出时间 t (min)之间的函数关系式是 .
3.下列各表达式不是表示 y 是 x 的函数的是( )
A. B.
C. D.
C
4.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了 20 min到达距离家800 m 的公园，他在公园休息了 10 min，然后用 30 min 原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位： min）之间的函数关系图象大致是（ ）
D
5.求下列函数中自变量x的取值范围：
x 取全体实数
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过 3 公里，一律收费 8 元；超过 3 公里时，超过 3 公里的部分，每公里加收 1.8 元；设乘坐出租车的里程为 x（公里）（x为整数），相对应的收费为 y（元）.
（1）请分别写出当 0＜x≤3 和 x＞3 时，表示 y 与 x 的关系式，并直接写出当 x = 2 和 x = 6 时对应的 y 值；
解：（1）当 0＜x≤3 时，y = 8；
当 x＞3 时，y = 8＋1.8(x－3) = 1.8x＋2.6.
当 x = 2 时，y = 8；x = 6时，y = 1.8×6＋2.6 = 13.4.
（2）当0＜x≤3和x＞3时，y 都是 x 的函数吗？
为什么？
当0＜x≤3和x＞3时，y 都是 x 的函数，因为对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应.
知识点1 函数的相关概念
1.下列图象中，表示是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的
周长与半径的关系式为 ，则其中的自变量是( )
A
A.半径 B.周长 C.2 D.
返回
3.［2025佛山月考］下列四个选项中，不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［教材习题 变式］ 下列变量之间的关系不是函数关系的是
( )
A
A.某班某同学的身高和体重
B.底边上的高一定，等腰三角形的底边长与面积
C.速度一定时，汽车行驶的路程与时间
D.正方形的周长与面积
返回
知识点2 函数的表示法
5. 一项试验的统计数据中变量与 之间的关系如表所示：
30 40 100 120
15 20 50 60
则下面能表示这种关系的式子是( )
D
A. B. C. D.
返回
6. 李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话,
李老师急忙赶回学校。下面四个图象中,能描述李老师与学校的距离 随
时间 变化的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
函数
定义：自变量、因变量、常量
表示函数的一般方法：三种表示方法
函数值
自变量的取值范围
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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